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中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第六章 圖形的變化
6.4 視圖與投影
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三視圖與投影 ☆☆☆ 數學中考中，有關視圖與投影的部分，每年考查1道題,屬于必考知識點，難度不大，難度系數0.7，分值為3分，通常以選擇題的形式考查。對于這部分的復習需要學生熟練掌握三視圖概念和區分，理解投影的類型及其區別，對幾何體的平面展開圖通過強化訓練就會化難為易。
考點2 幾何體的平面展開圖 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1. 三視圖與投影
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物體在光線的照射下，會在某個平面 (地面或墻壁)上留下它的_____，這就是投影現象。
(2) 平行投影：_____光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影，稱為平行投影。
(3) 中心投影：手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從_____發出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。
(4) 平行投影與中心投影的區別與聯系：
2.正投影
(1) 概念：投影線_____于投影面產生的投影叫做正投影．
(2) 性質：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的____、____完全相同．
【方法指導】A. 根據兩種物體的影子判斷其是在燈光下還是在陽光下的投影，關鍵是看這兩種物體的頂端和其影子的頂端的連線是平行還是相交，若平行則是在陽光下的投影，若相交則是在燈光下的投影．
B. 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發生變化，但光源、物體的影子始終在物體的兩側．
C. 物體的投影分為中心投影和平行投影．
3.三視圖
(1) 三視圖的概念
將三個投影面展開在一個平面內，得到這個物體的一張三視圖.
1）主視圖：從___面看得到的視圖叫做主視圖．
2）左視圖：從____面看得到的視圖叫做左視圖．
3）俯視圖：從___面看得到的視圖叫做俯視圖．
【注意】在三種視圖中，主視圖反映物體的長和高，左視圖反映了物體的寬和高，俯視圖反映了物體的長和寬．
(2) 三視圖的畫法：
①確定主視圖的_____，畫出主視圖；
②在主視圖____下方畫出俯視圖，注意與主視圖長對正；
③在主視圖正____方畫出左視圖，注意與主視圖高平齊，與俯視圖寬相等；
④為表示圓柱、圓錐等的對稱軸，規定在視圖中加畫點劃線表示對稱軸.
注意：不可見的輪廓線，用____線畫出.
【易錯提示】①畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡記為“主俯長對正，主左高平齊，左俯寬相等”．
②注意實線與虛線的區別：能看到的線用實線，看不到的線用虛線．
(3)常見幾何體的三視圖：
(4) 由三視圖確定幾何體：
由三視圖想象立體圖形時，先分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象立體圖形的前面、主面和左側面的局部形狀，然后再綜合起來考慮整體圖形．
(5) 由三視圖確定幾何體的面積和體積：
①先根據給出的三視圖確定立體圖形，并確定立體圖形的長、寬、高、底面半徑等；
②根據已知數據，求出立體圖形的體積（或將立體圖形展開成一個平面圖形，求出展開圖的面積）.
考點2 幾何體的平面展開圖
1. 展開圖：將立體圖形沿某幾條____剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖。
2. 幾何體展開圖規律如下：
（1）沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形,若干個平面圖形也可以____一個多面體；
（2）同一個多面體沿不同的棱剪開,得到的平面展開圖是不一樣的,就是說:同一個立體圖形可以有多種_____的展開圖。
3．常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
【易錯提示】正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側各有一個，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11．
考點1. 三視圖與投影
【例題1】（2024福建省）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【變式練1】（2024武漢一模）如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【變式練2】（2024貴州遵義一模）如圖是《九章算術》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（ ）
A. B. C. D.
【變式練3】（2024四川眉山一模）下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【變式練4】（2024內蒙古呼和浩特一模）圖中幾何體的三視圖是（ ）
A. B. C. D.
【變式練5】（2024山東濰坊一模）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據計算這個幾何體的表面積是（　　）
A．20π B．18π C．16π D．14π
【例題2】（2024黑龍江綏化）下列敘述正確的是（ ）
A. 順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形
B. 平分弦的直徑垂直于弦
C. 物體在燈泡發出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等
【變式練1】（2024河北石家莊一模）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【變式練2】（2024河南鄭州一模）小華家客廳有一張直徑為高為的圓桌有一盞燈到地面垂直距離為圓桌的影子為，則點到點的距離為_______．
【變式練3】（2024浙江杭州一模）某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，則AB=_________m．
考點2. 幾何體的平面展開圖
【例題3】（2024江蘇鹽城）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（ ）
A. 濕 B. 地 C. 之 D. 都
【變式練1】（2024黑龍江大慶一模）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是（　　）
A B C D
【變式練2】（2024吉林長春一模）已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰長為5，底邊長為4的等腰三角形，則該幾何體的側面展開圖的面積是　　．（結果保留π）
【變式練3】（2024沈陽一模）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（　　）
A． B． C． D．
考點1 三視圖與投影
1. （2024甘肅威武）如圖所示，該幾何體的主視圖是（　　）
A. B. C. D.
2. （2024廣西）榫卯是我國傳統建筑及家具的基本構件．燕尾榫是“萬榫之母”，為了防止受拉力時脫開，榫頭成梯臺形，形似燕尾，如圖是燕尾榫正面的帶頭部分，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024河北省）如圖是由個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川成都市）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024山東威海）下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024四川廣元）一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
7. （2024甘肅臨夏）馬家窯彩陶絢麗典雅，符號豐富，被稱為彩陶文化的“遠古之光”．如圖是一件馬家窯彩陶作品的立體圖形，有關其三視圖說法正確的是（ ）
A. 主視圖和左視圖完全相同 B. 主視圖和俯視圖完全相同
C. 左視圖和俯視圖完全相同 D. 三視圖各不相同
8. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，若幾何體是由5個棱長為1的小正方體組合而成的，則該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9·
9. （2024黑龍江綏化）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個幾何體的三視圖，那么構成這個幾何體的小正方體的個數是（ ）
A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個
考點2 幾何體的平面展開圖
1. （2024青海省）生活中常見的路障錐通常是圓錐的形狀，它的側面展開圖是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江蘇常州）下列圖形中，為四棱錐的側面展開圖的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江蘇揚州）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（ ）
A. 三棱錐 B. 圓錐 C. 三棱柱 D. 長方體
4. （2024江西省）如圖是的正方形網格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（ ）
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
5. （2024四川德陽）走馬燈，又稱仙音燭，據史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時期，盛行于宋代，是中國特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節日，在一次綜合實踐活動中，一同學用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側面有一個三角形面上寫了“祥”字，當燈旋轉時，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
6. （2024四川廣安）將“共建平安校園”六個漢字分別寫在某正方體的表面上，下圖是它的一種展開圖，則在原正方體上，與“共”字所在面相對的面上的漢字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 園
7. （2024福建省）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．
圖1 圖2 圖3
（1）直接寫出的值；
（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（ ）
圖4
A． B．
C． D．
（3）
卡紙型號 型號Ⅰ 型號Ⅱ 型號Ⅲ
規格（單位：cm）
單價（單位：元） 3 5 20
現以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．
（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）
考點1 三視圖與投影
1. 如圖，是一個底面為等邊三角形的正三棱柱，它的主視圖是（　　）
A． B． C． D．
2．如圖所示的幾何體的主視圖是（　　）
A．B． C．D．
3. 下列圖形中，主視圖和左視圖一樣的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖是由五個相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
5．下面四個幾何體中，左視圖為圓的是（　　）
A． B． C． D．
6. 如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（　　）
A. B. C. D.
7.下列幾何體中，俯視圖不是圓的是（　　）
A.四面體 B．圓錐 C．球 D．圓柱
8. 某種零件模型如圖所示，該幾何體（空心圓柱）的俯視圖是( )
A. B. C. D.
9. 如圖所示的幾何體的俯視圖可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列四個幾何體中，主視圖與俯視圖不同的幾何體是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列幾何體中，主視圖為矩形的是（ ）
A. B. C. D.
12. 我國某型號運載火箭的整流罩的三視圖如圖所示，根據圖中數據（單位：米）計算該整流罩的側面積（單位：平方米）是（　　）
A．7.2π B．11.52π C．12π D．13.44π
13. 如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所標數據計算這個幾何體的體積為（　　）
A．12π B．18π C．24π D．30π
14. 一個長方體的三視圖如圖所示，若其俯視圖為正方形，則這個長方體的表面積為（ ）
A．　　 B． 　　C．　　 D．
15．把如圖所示的紙片沿著虛線折疊，可以得到的幾何體是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐 D．四棱錐
16. 如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數最多是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
17. 把一個正五棱柱如圖擺放，當投射線由正前方射到后方時，它的正投影是圖中的( )
A． B． C． D．
18．小明想測量一棵樹的高度，他發現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時 刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為（ ）
A．米 B．12米 C．米 D．10米
19. 數學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．
20．如圖，小明在A時測得旗桿的影長是2米，B時測得旗桿的影長是8米，兩次的日照光線恰好互相垂直，則旗桿的高度是______米．
21. 一個長8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影線垂直于α.
(1) 求影子A1B1的長度 (如圖①)；
(2) 若將木棒繞其端點A逆時針旋轉30°，求旋轉后木棒的影長A2B2 (如圖②)．
22．如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直，為了測得電線桿的高度，一個小組的同學進行了如下測量：某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米，落在地面上的影子DH的長為5米，依據這些數據，該小組的同學計算出了電線桿的高度．
(1)該小組的同學在這里利用的是　 　投影的有關知識進行計算的；
(2)試計算出電線桿的高度，并寫出計算的過程．
23. 小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．
24．如圖所示，某校墻邊有甲、乙兩根木桿，如果乙木桿的影子剛好不落在墻上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)請你畫出此時DE在陽光下的投影；
(2)若同時測量出DE在陽光下的投影長為6 m，請你計算DE的長．
考點2 幾何體的平面展開圖
1.如圖所示的是一個幾何體的三視圖．
(1)寫出這個幾何體的名稱；
(2)根據所示數據計算這個幾何體的表面積；
(3)如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發，沿表面爬到AC的中點D，請你求出這個線路的最短路程．
2．歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數學家、自然科學家，他在數學、物理、建筑、航海等領域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發現多面體的頂點數（Vertex）、棱數E（Edge）、面數F（Flat surface）之間存在一定的數量關系，給出了著名的歐拉公式．
（1）觀察下列多面體，并把下表補充完整：
名稱 三棱錐 三棱柱 正方體 正八面體
圖形
頂點數V 4 6 8
棱數E 6 12
面數F 4 5 8
（2）分析表中的數據，你能發現V、E、F之間有什么關系嗎？請寫出關系式：______________．
3．研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題．
（1）閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體ABCD﹣A′B′C′D′（圖1），因為在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′與AB相交于點A，所以直線AB與AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC′所成的角．
解決問題
如圖1，已知正方體ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的兩直線BA′與AC所成角的大小．
（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個面上的點；
①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是 　 　；
②在所選正確展開圖中，若點M到AB，BC的距離分別是2和5，點N到BD，BC的距離分別是4和3，P是AB上一動點，求PM+PN的最小值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第六章 圖形的變化
6.4 視圖與投影
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三視圖與投影 ☆☆☆ 數學中考中，有關視圖與投影的部分，每年考查1道題,屬于必考知識點，難度不大，難度系數0.7，分值為3分，通常以選擇題的形式考查。對于這部分的復習需要學生熟練掌握三視圖概念和區分，理解投影的類型及其區別，對幾何體的平面展開圖通過強化訓練就會化難為易。
考點2 幾何體的平面展開圖 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1. 三視圖與投影
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物體在光線的照射下，會在某個平面 (地面或墻壁)上留下它的影子，這就是投影現象。
(2) 平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影，稱為平行投影。
(3) 中心投影：手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。
(4) 平行投影與中心投影的區別與聯系：
2.正投影
(1) 概念：投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影．
(2) 性質：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同．
【方法指導】A. 根據兩種物體的影子判斷其是在燈光下還是在陽光下的投影，關鍵是看這兩種物體的頂端和其影子的頂端的連線是平行還是相交，若平行則是在陽光下的投影，若相交則是在燈光下的投影．
B. 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發生變化，但光源、物體的影子始終在物體的兩側．
C. 物體的投影分為中心投影和平行投影．
3.三視圖
(1) 三視圖的概念
將三個投影面展開在一個平面內，得到這個物體的一張三視圖.
1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖．
2）左視圖：從左面看得到的視圖叫做左視圖．
3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖．
【注意】在三種視圖中，主視圖反映物體的長和高，左視圖反映了物體的寬和高，俯視圖反映了物體的長和寬．
(2) 三視圖的畫法：
①確定主視圖的位置，畫出主視圖；
②在主視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖長對正；
③在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖高平齊，與俯視圖寬相等；
④為表示圓柱、圓錐等的對稱軸，規定在視圖中加畫點劃線表示對稱軸.
注意：不可見的輪廓線，用虛線畫出.
【易錯提示】①畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等．簡記為“主俯長對正，主左高平齊，左俯寬相等”．
②注意實線與虛線的區別：能看到的線用實線，看不到的線用虛線．
(3)常見幾何體的三視圖：
(4) 由三視圖確定幾何體：
由三視圖想象立體圖形時，先分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象立體圖形的前面、主面和左側面的局部形狀，然后再綜合起來考慮整體圖形．
(5) 由三視圖確定幾何體的面積和體積：
①先根據給出的三視圖確定立體圖形，并確定立體圖形的長、寬、高、底面半徑等；
②根據已知數據，求出立體圖形的體積（或將立體圖形展開成一個平面圖形，求出展開圖的面積）.
考點2 幾何體的平面展開圖
1. 展開圖：將立體圖形沿某幾條棱剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖。
2. 幾何體展開圖規律如下：
（1）沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形,若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；
（2）同一個多面體沿不同的棱剪開,得到的平面展開圖是不一樣的,就是說:同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖。
3．常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
【易錯提示】正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側各有一個，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11．
考點1. 三視圖與投影
【例題1】（2024福建省）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內部中間是一個長方形．故選：C．
【變式練1】（2024武漢一模）如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據從正面所看得到的圖形為主視圖，據此解答即可．
從正面可發現有兩層，底層三個正方形，上層左邊是一個正方形．故選：A．
【點睛】主要考查三視圖的知識，掌握主視圖是從物體的正面看得到的視圖成為解答本題的關鍵．
【變式練2】（2024貴州遵義一模）如圖是《九章算術》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據左視圖的意義和畫法可以得出答案．
∵該幾何體為放倒的三棱柱，
∴根據左視圖的畫法，從左往右看，看到的是一個直角在左邊的直角三角形，故選：A．
【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，熟練掌握簡單幾何體的三視圖是解答本題的關鍵．從正面、上面和左面三個不同的方向看一個物體，并描繪出所看到的三個圖形，即幾何體的三視圖．
【變式練3】（2024四川眉山一模）下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】俯視圖是從物體上面看所得到的圖形，據此判斷得出物體的俯視圖．
A、圓錐體的俯視圖是圓，故此選項不合題意；
B、三棱柱的俯視圖是三角形，故此選項符合題意；
C、球的俯視圖是圓，故此選項不合題意；
D、圓柱體的俯視圖是圓，故此選項不合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中．
【變式練4】（2024內蒙古呼和浩特一模）圖中幾何體的三視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據圖示確定幾何體的三視圖即可得到答案．
由幾何體可知，該幾何體的三視圖為
故選C
【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，掌握三視圖的視圖方位及畫法是解題的關鍵，注意實際存在又沒有被其他棱所擋，在所在方向看不到的棱應用虛線表示．
【變式練5】（2024山東濰坊一模）如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所示數據計算這個幾何體的表面積是（　　）
A．20π B．18π C．16π D．14π
【答案】B
【解析】由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，根據圖中給定數據求出表面積即可．
由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，且底面半徑為，
∴這個幾何體的表面積=底面圓的面積+圓柱的側面積+圓錐的側面積
=22π+222π+32π=18π，故選：B．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體、圓錐和圓柱的計算，由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體是解題的關鍵．
【例題2】（2024黑龍江綏化）下列敘述正確的是（ ）
A. 順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形
B. 平分弦的直徑垂直于弦
C. 物體在燈泡發出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等
【答案】C
【解析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關系，根據相關定理逐項分析判斷，即可求解．
A. 順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；
B. 平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；
C. 物體在燈泡發出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；
D. 在同圓或等圓 中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．
【變式練1】（2024河北石家莊一模）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根據太陽光下的影子的特點：（1）同一時刻，太陽光下的影子都在同一方向；（2）太陽光線是平行的，太陽光下的影子與物體高度成比例，據此逐項判斷即可．
選項A、B中，兩棵小樹的影子的方向相反，不可能為同一時刻陽光下的影子，則選項A、B錯誤
選項C中，樹高與影長成反比，不可能為同一時刻陽光下的影子，則選項C錯誤
選項D中，在同一時刻陽光下，影子都在同一方向，且樹高與影長成正比，則選項D正確故選：D．
【變式練2】（2024河南鄭州一模）小華家客廳有一張直徑為高為的圓桌有一盞燈到地面垂直距離為圓桌的影子為，則點到點的距離為_______．
【答案】4
【解析】本題考查了中心投影，相似三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=.
∵AB=1.2，∴CD=2.又∵FC=2,∴DF=CD+FC=2+2=4．故答案為：4．
【變式練3】（2024浙江杭州一模）某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，則AB=_________m．
【答案】9.88
【解析】根據平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質即可求解．
∵同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DE，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴，即，
解得AB=9.88，
∴旗桿的高度為9.88m．
故答案為：9.88．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．證明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解題的關鍵．
考點2. 幾何體的平面展開圖
【例題3】（2024江蘇鹽城）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（ ）
A. 濕 B. 地 C. 之 D. 都
【答案】C
【解析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，對于正方體的平面展開圖中相對的面一定相隔一個小正方形，由此可解．
由正方體表面展開圖的特征可得：
“鹽”的對面是“之”，
“地”的對面是“都”，
“濕”的對面是“城”，故選C．
【變式練1】（2024黑龍江大慶一模）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是（　　）
A B C D
【答案】B．
【解析】考點是幾何體的展開圖。由平面圖形的折疊及幾何體的展開圖解題，注意帶圖案的一個面不是底面．本題主要考查了幾何體的展開圖．解題時勿忘記正四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．注意做題時可親自動手操作一下，增強空間想象能力．
選項A和C帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式；
選項B能折疊成原幾何體的形式；
選項D折疊后下面帶三角形的面與原幾何體中的位置不同．
【變式練2】（2024吉林長春一模）已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖和左視圖都是腰長為5，底邊長為4的等腰三角形，則該幾何體的側面展開圖的面積是　　．（結果保留π）
【答案】10π
【解析】知識點有幾何體的表面積；幾何體的展開圖；由三視圖判斷幾何體。
由三視圖可知，該幾何體是圓錐，∴側面展開圖的面積＝π 2 5＝10π，故答案為10π．
【變式練3】（2024沈陽一模）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據正方體的展開圖的11種不同情況進行判斷即可．
正方體展開圖的11種情況可分為“1﹣4﹣1型”6種，“2﹣3﹣1型”3種，“2﹣2﹣2型”1種，“3﹣3型”1種，因此選項D符合題意，故選：D．
【點睛】考查正方體的展開圖，理解和掌握正方體的展開圖的11種不同情況，是正確判斷的前提．
考點1 三視圖與投影
1. （2024甘肅威武）如圖所示，該幾何體的主視圖是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了簡單幾何體的三視圖，根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
從正面看得到的圖形是：
故選：C．
2. （2024廣西）榫卯是我國傳統建筑及家具的基本構件．燕尾榫是“萬榫之母”，為了防止受拉力時脫開，榫頭成梯臺形，形似燕尾，如圖是燕尾榫正面的帶頭部分，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查三視圖，根據主視圖是從前往后看，得到的圖形，進行判斷即可．
由圖可知：幾何體的主視圖為：
故選A．
3. （2024河北省）如圖是由個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查簡單組合體的三視圖，左視圖每一列的小正方體個數，由該方向上的小正方體個數最多的那個來確定，通過觀察即可得出結論．掌握幾何體三種視圖之間的關系是解題的關鍵．
【詳解】通過左邊看可以確定出左視圖一共有列，每列上小正方體個數從左往右分別為、、．
故選：D．
4. （2024四川成都市）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查簡單幾何體的三視圖，根據主視圖是從正面看到的圖形求解即可．
該幾何體的主視圖為，
故選：A．
5. （2024山東威海）下列幾何體都是由四個大小相同的小正方體搭成的．其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了三視圖；分別判斷四個選項中幾何體主視圖、左視圖與俯視圖，通過比較即可得出答案．
A、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；
B、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；
C、主視圖為，左視圖為，主視圖與左視圖不同，故該選項不符合題意；
D、主視圖為，左視圖和俯視圖為，主視圖、左視圖與俯視圖完全相同，故該選項符合題意；
故選：D．
6. （2024四川廣元）一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題主要考查了組合體的三視圖，解題的關鍵是根據從上面看到的圖形是幾何體的俯視圖即可解答．
從上面看，如圖所示：
故選：C．
7. （2024甘肅臨夏）馬家窯彩陶絢麗典雅，符號豐富，被稱為彩陶文化的“遠古之光”．如圖是一件馬家窯彩陶作品的立體圖形，有關其三視圖說法正確的是（ ）
A. 主視圖和左視圖完全相同 B. 主視圖和俯視圖完全相同
C. 左視圖和俯視圖完全相同 D. 三視圖各不相同
【答案】D
【解析】本題考查幾何體的三視圖，根據主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從上面看得到的圖形，左視圖是左邊看到的圖形，即可得出答案．
【詳解】解：該幾何體的三視圖各不相同，主視圖的中間出有兩個“耳朵”而左視圖則沒有；俯視圖是三個同心圓（夾在中間的圓由虛線構成）．
故選：D．
8. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，若幾何體是由5個棱長為1的小正方體組合而成的，則該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9·
【答案】B
【解析】本題考查簡單組合體的三視圖，根據從左面看得到的圖形是左視圖，從上面看的到的視圖是俯視圖，再根據面積的和，可得答案．
【詳解】左視圖：
俯視圖：
∴該幾何體左視圖與俯視圖的面積和是：
故選：B
9. （2024黑龍江綏化）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，下圖是這個幾何體的三視圖，那么構成這個幾何體的小正方體的個數是（ ）
A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個
【答案】A
【解析】此題主考查了三視圖，由主視圖易得這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個數，由主視圖和左視圖可得第二層立方體的個數，相加即可．
【詳解】由三視圖易得最底層有個正方體，第二層有個正方體，那么共有個正方體組成．
故選：A．
考點2 幾何體的平面展開圖
1. （2024青海省）生活中常見的路障錐通常是圓錐的形狀，它的側面展開圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了立體圖形的側面展開圖．熟記常見立體圖形的側面展開圖的特征是解決此類問題的關鍵．由圓錐的側面展開圖的特征知它的側面展開圖為扇形．
圓錐的側面展開圖是扇形．
故選：D．
2. （2024江蘇常州）下列圖形中，為四棱錐的側面展開圖的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖是解題的關鍵．根據棱錐的側面展開圖的特征即可得到答案．
棱錐的側面是三角形，故四棱錐的側面展開圖的是
故選：B．
3. （2024江蘇揚州）如圖是某幾何體的表面展開后得到的平面圖形，則該幾何體是（ ）
A. 三棱錐 B. 圓錐 C. 三棱柱 D. 長方體
【答案】C
【解析】本題考查了常見幾何體的展開圖，掌握常見幾何體展開圖的特點是解題的關鍵．
根據平面圖形的特點，結合立體圖形的特點即可求解．
【詳解】根據圖示，上下是兩個三角形，中間是長方形，
∴該幾何體是三棱柱，
故選：C ．
4. （2024江西省）如圖是的正方形網格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（ ）
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
【答案】B
【解析】此題主要考查了幾何體的展開圖，關鍵是掌握正方體展開圖的特點．依據正方體的展開圖的結構特征進行判斷，即可得出結論．
【詳解】如圖所示：
共有2種方法，
故選：B．
5. （2024四川德陽）走馬燈，又稱仙音燭，據史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時期，盛行于宋代，是中國特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節日，在一次綜合實踐活動中，一同學用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側面有一個三角形面上寫了“祥”字，當燈旋轉時，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
【答案】A
【解析】本題考查的是簡單幾何體的展開圖，利用四棱錐的展開圖的特點可得答案．
由題意可得：展開圖是四棱錐，
∴A、B、C處依次寫上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；
故選A
6. （2024四川廣安）將“共建平安校園”六個漢字分別寫在某正方體的表面上，下圖是它的一種展開圖，則在原正方體上，與“共”字所在面相對的面上的漢字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 園
【答案】A
【解析】此題考查正方體相對面上的字．根據正方體相對面之間間隔一個正方形解答．
與“共”字所在面相對面上的漢字是“校”，
故選：A．
7. （2024福建省）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．
圖1 圖2 圖3
（1）直接寫出的值；
（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（ ）
圖4
A． B．
C． D．
（3）
卡紙型號 型號Ⅰ 型號Ⅱ 型號Ⅲ
規格（單位：cm）
單價（單位：元） 3 5 20
現以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．
（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）
【答案】（1）2； （2）C； （3）見解析．
【解析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創新意識等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）由折疊和題意可知，，，四邊形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根據幾何體的展開圖即可求解；
（3）由題意可得，每張型號卡紙可制作10個正方體，每張型號卡紙可制作2個正方體，每張型號卡紙可制作1個正方體，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖：
上述圖形折疊后變成：
由折疊和題意可知，，，
∵四邊形正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值為：．
【小問2詳解】
解：根據幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和“意”在對應面上，而對應面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，
∴C選項符合題意，
故選：C．
【小問3詳解】
解：
卡紙型號 型號 型號 型號
需卡紙的數量（單位：張） 1 3 2
所用卡紙總費用（單位：元） 58
根據（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為，則要制作一個邊長為的正方體的展開圖形為：
∴型號卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖：
型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖：
型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖：
∴可選擇型號卡紙2張，型號卡紙3張，型號卡紙1張，則
（個），
∴所用卡紙總費用為：
（元）．
考點1 三視圖與投影
1. 如圖，是一個底面為等邊三角形的正三棱柱，它的主視圖是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】找到從正面看所得到的圖形即可．
如圖所示的正三棱柱，其主視圖是矩形，矩形中間有一條縱向的虛線．
2．如圖所示的幾何體的主視圖是（　　）
A．B． C．D．
【答案】B
【解析】根據主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形即可．
從正面看該組合體，所看到的圖形為：
3. 下列圖形中，主視圖和左視圖一樣的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據各個幾何體的主視圖和左視圖進行判定即可．
A．主視圖和左視圖不相同，故本選項不合題意；
B．主視圖和左視圖不相同，故本選項不合題意；
C．主視圖和左視圖不相同，故本選項不合題意；
D．主視圖和左視圖相同，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，解題的關鍵是掌握各種幾何體的三視圖的形狀．
4. 如圖是由五個相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】左視圖是從物體的左邊觀察得到的圖形，結合選項進行判斷即可．
從左邊看，有兩列，從左到右第一列是兩個正方形，第二列底層是一個正方形．
故選：B．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握左視圖的定義．
5．下面四個幾何體中，左視圖為圓的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據四個幾何體的左視圖進行判斷即可．
下面四個幾何體中，A的左視圖為矩形；B的左視圖為三角形；C的左視圖為矩形；
D的左視圖為圓．故選：D．
【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關鍵．
6. 如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
從左邊看，可得如下圖形：
故選：A．
【點睛】本題考查三視圖、熟練掌握三視圖的定義是解決問題的關鍵．
7.下列幾何體中，俯視圖不是圓的是（　　）
A.四面體 B．圓錐 C．球 D．圓柱
【答案】A
【解析】分別找出從圖形的上面看所得到的圖形即可．
A.俯視圖是三角形，故此選項正確；
B.俯視圖是圓，故此選項錯誤；
C.俯視圖是圓，故此選項錯誤；
D.俯視圖是圓，故此選項錯誤。
【點撥】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關鍵是掌握俯視圖是從幾何體的上面看所得到的圖形．
8. 某種零件模型如圖所示，該幾何體（空心圓柱）的俯視圖是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】找到從上面看所得到的圖形即可：空心圓柱由上向下看，看到的是一個圓環．故選C
9. 如圖所示的幾何體的俯視圖可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
從上邊看，是一個六邊形和圓形．
故選：C．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖是解題關鍵．
10. 下列四個幾何體中，主視圖與俯視圖不同的幾何體是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】正方體的主視圖與俯視圖都是正方形，圓柱橫著放置時，主視圖與俯視圖都是長方形，球體的主視圖與俯視圖都是圓形，只有圓錐的主視圖與俯視圖不同．
【詳解】A、正方體的主視圖與俯視圖都是正方形，選項不符合題意；
B、圓柱橫著放置時，主視圖與俯視圖都是長方形，選項不符合題意；
C、圓錐的主視圖與俯視圖分別為圓形、三角形，故符合題意；
D、球體的主視圖與俯視圖都是圓形，故不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了簡單的幾何體的三視圖，從不同方向看物體的形狀所得到的圖形可能不同．
11. 下列幾何體中，主視圖為矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據常見幾何體的主視圖，依次判斷即可．
A．該三棱錐的主視圖為中間有條線段的三角形，故不符合題意；
B．該圓錐的主視圖為三角形，故不符合題意；
C．該圓柱的主視圖為矩形，故符合題意；
D．該圓臺的主視圖為梯形，故不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查常見幾何體的三視圖，掌握常見幾何體的三視圖是解答本題的關鍵．
12. 我國某型號運載火箭的整流罩的三視圖如圖所示，根據圖中數據（單位：米）計算該整流罩的側面積（單位：平方米）是（　　）
A．7.2π B．11.52π C．12π D．13.44π
【答案】C
【解析】根據幾何體的三視圖得這個幾何體是上面圓錐下面是圓柱，再根據圓錐的側面是扇形和圓柱的側面是長方形即可求解．
觀察圖形可知：
圓錐母線長為：＝2（米），
所以該整流罩的側面積為：π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2＝12π（平方米）．
答：該整流罩的側面積是12π平方米．
13. 如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所標數據計算這個幾何體的體積為（　　）
A．12π B．18π C．24π D．30π
【答案】B
【解析】直接利用三視圖得出幾何體的形狀，再利用圓柱體積求法得出答案．
由三視圖可得，幾何體是空心圓柱，其小圓半徑是1，大圓半徑是2，
則大圓面積為：π×22＝4π，小圓面積為：π×12＝π，
故這個幾何體的體積為：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．
14. 一個長方體的三視圖如圖所示，若其俯視圖為正方形，則這個長方體的表面積為（ ）
A．　　 B． 　　C．　　 D．
【答案】A．
【解析】根據三視圖圖形得出AC＝BC＝3，EC＝4，即可求出這個長方體的表面積．
∵如圖所示，∴AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴正方形ABCD面積為：3×3＝9，
側面積為：4AC·CE＝3×4×4＝48，
∴這個長方體的表面積為：48＋9＋9＝66．
15．把如圖所示的紙片沿著虛線折疊，可以得到的幾何體是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐 D．四棱錐
【答案】A
【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．
【解析】觀察展開圖可知，幾何體是三棱柱．
16. 如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數最多是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層小正方體的個數，由左視圖可得第二層小正方體的最多個數，再相加即可．
由俯視圖可知最底層有5個小正方體，由左視圖可知這個幾何體有兩層，其中第二層最多有3個，那么搭成這個幾何體所需小正方體最多有個．
故選：B．
【點睛】考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．
17. 把一個正五棱柱如圖擺放，當投射線由正前方射到后方時，它的正投影是圖中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據正投影的性質，該物體為五棱柱，當投射線由正前方射到后方時，其正投影應是矩形，且寬度為對角線的長，故選C.
18．小明想測量一棵樹的高度，他發現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時 刻，一根長為l米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為（ ）
A．米 B．12米 C．米 D．10米
【答案】A
【解析】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定和性質．
延長AC交BF延長線于E點，則∠CFE=30°．
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，
∵同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=．故選A．
19. 數學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．
【答案】12
【解析】根據同時、同地物高和影長的比不變，構造相似三角形，然后根據相似三角形的性質解答．
設旗桿為AB，如圖所示：
根據題意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案為：12．
【點睛】本題考查了中心投影、相似三角形性質的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．
20．如圖，小明在A時測得旗桿的影長是2米，B時測得旗桿的影長是8米，兩次的日照光線恰好互相垂直，則旗桿的高度是______米．
【答案】4
【解析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質的應用，也考查了平行投影，找準相似三角形是解答此題的關鍵．
如圖，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，則可判斷Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可計算出PQ．
如圖，∠CPD=90°，QC=2m，QD=8m，
∵PQ⊥CD，∴∠PQC=90°，∴∠C+∠QPC=90°，
而∠C+∠D=90°，∴∠QPC=∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴即，
∴PQ=4，即旗桿的高度為4m．故答案為4．
21. 一個長8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影線垂直于α.
(1) 求影子A1B1的長度 (如圖①)；
(2) 若將木棒繞其端點A逆時針旋轉30°，求旋轉后木棒的影長A2B2 (如圖②)．
【答案】(1) A1B1=8cm. (2)A2B2= cm.
【解析】（1）AB平行于投影面α，投影線垂直于α.影子是正投影形成的。影子長等于物體長。
所以A1B1=AB=8cm.
（2）木棒繞其端點A逆時針旋轉30°，求旋轉后木棒的影長A2B2 =AE。
在Rt△AEB中，∠AEB=90，∠BAE=30°，AB=8cm.
AE可求。
22．如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直，為了測得電線桿的高度，一個小組的同學進行了如下測量：某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米，落在地面上的影子DH的長為5米，依據這些數據，該小組的同學計算出了電線桿的高度．
(1)該小組的同學在這里利用的是　 　投影的有關知識進行計算的；
(2)試計算出電線桿的高度，并寫出計算的過程．
【答案】(1) 平行；(2)電線桿的高度為7米．
【解析】（1）平行；
（2）連接AM、CG，過點E作EN⊥AB于點N，過點G作GM⊥CD于點M，
則BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5
所以AN=10-2=8，
由平行投影可知：即
解得CD=7
所以電線桿的高度為7m．
23. 小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．
【答案】旗桿的高AB為3米．
【解析】證明△AOD∽△EFG，利用相似比計算出AO的長，再證明△BOC∽△AOD，然后利用相似比計算OB的長，進一步計算即可求解．
∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗桿的高AB為3米．
【點睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．
24．如圖所示，某校墻邊有甲、乙兩根木桿，如果乙木桿的影子剛好不落在墻上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)請你畫出此時DE在陽光下的投影；
(2)若同時測量出DE在陽光下的投影長為6 m，請你計算DE的長．
【答案】見解析。
【解析】(1)作直線AC，過D作AC的平行線交BC于F，EF即為DE在陽光下的投影(圖略)．
(2)由題意得EF＝6 m，又∵AC∥DF，∴△ABC∽△DEF，
∴，
∴，
DE＝10 m．
故DE長10 m．
考點2 幾何體的平面展開圖
1.如圖所示的是一個幾何體的三視圖．
(1)寫出這個幾何體的名稱；
(2)根據所示數據計算這個幾何體的表面積；
(3)如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發，沿表面爬到AC的中點D，請你求出這個線路的最短路程．
【答案】見解析。
【解析】(1)圓錐．
(2)表面積S＝S扇形＋S圓＝πrl＋πr2
＝12π＋4π＝16π(平方厘米)．
(3)如圖右圖所示，將圓錐側面展開，線段BD為所求的最短路程．
由條件得∠BAB′＝120°，C為弧BB′的中點，所以BD＝3
2．歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數學家、自然科學家，他在數學、物理、建筑、航海等領域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發現多面體的頂點數（Vertex）、棱數E（Edge）、面數F（Flat surface）之間存在一定的數量關系，給出了著名的歐拉公式．
（1）觀察下列多面體，并把下表補充完整：
名稱 三棱錐 三棱柱 正方體 正八面體
圖形
頂點數V 4 6 8
棱數E 6 12
面數F 4 5 8
（2）分析表中的數據，你能發現V、E、F之間有什么關系嗎？請寫出關系式：______________．
【答案】（1）表格詳見解析；（2）
【解析】（1）通過認真觀察圖象，即可一一判斷；（2）從特殊到一般探究規律即可．
【詳解】（1）填表如下：
名稱 三棱錐 三棱柱 正方體 正八面體
圖形
頂點數V 4 6 8 6
棱數E 6 9 12 12
面數F 4 5 6 8
（2）據上表中的數據規律發現，多面體的頂點數V、棱數E、面數F之間存在關系式：．
【點睛】本題考查規律型問題，歐拉公式等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般探究規律的方法，屬于中考常考題型．
3．研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題．
（1）閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體ABCD﹣A′B′C′D′（圖1），因為在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′與AB相交于點A，所以直線AB與AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC′所成的角．
解決問題
如圖1，已知正方體ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的兩直線BA′與AC所成角的大小．
（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個面上的點；
①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是 　 　；
②在所選正確展開圖中，若點M到AB，BC的距離分別是2和5，點N到BD，BC的距離分別是4和3，P是AB上一動點，求PM+PN的最小值．
【答案】見解析。
【分析】（1）如圖1中，連接BC′．證明△A′BC′是等邊三角形，推出∠BA′C′＝60°，由題意可知∠C′A′B是兩條直線AC與BA′所成的角．
（2）根據立方體平面展開圖的特征，解決問題即可．
（3）如圖丙中，作點N關于AD的對稱點K，連接MK交AD于P，連接PN，此時PM+PN的值最小，最小值為線段MK的值，過點M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
解：（1）如圖1中，連接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等邊三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是兩條直線AC與BA′所成的角，
∴兩直線BA′與AC所成角為60°．
（2）①觀察圖形可知，圖形丙是圖2的展開圖，
故答案為：丙．
②如圖丙中，作點N關于AD的對稱點K，連接MK交AD于P，連接PN，此時PM+PN的值最小，最小值為線段MK的值，過點M作MJ⊥NK于J．
由題意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值為10．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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