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中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第一章 數與式
1.1 實數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 實數的分類及正負數的意義 ☆☆ 實數部分，每年考查2~4道題,分值為6~10分，對于實數的復習需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和等考點。2025年各省市選擇題會出現相反數、絕對值、倒數、科學計數法問題，填空題會出現實數的簡單計算、解答題仍然以考查實數混合計算為主。
考點2 實數的相關概念及科學記數法 ☆☆☆
考點3 實數的運算及大小比較 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 實數的分類及正負數的意義
1. 實數的分類
（1）按照______分類
（2）按照______分類
注意：0既不屬于正數，也不屬于負數，在理解無理數時，要注意“無限不循環”，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如，等；
（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如等；
（3）有特定結構的數，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函數，如sin60°等.
2. 正負數的意義
（1）正負數的概念
1）正數：大于0的數叫做正數。
2）負數：______前面加上符號“-”的數叫負數。
3）0 既不是正數也不是負數，它是正負數的分界.
【提示】一個數前面的“+”“-”號叫做它的符號.有時，我們為了明確表達意義，在正數前面也加上“+”（正）號，如+3，+1.8％，+0.5，….不過一般情況下我們省略“+”不寫.
（2）正負數的意義
具有相反意義的量應滿足的條件：
①必須是_____量，而且是成對出現的；
②只要求意義相反，不要求數量一定______.
（3）正數、負數和0在實踐中的應用
1）可以用來表示體重的變化情況；
2）可以用來表示不同_______的海拔高度；
3）可以用來表示某時氣溫變化情況；
4）可以用來表示貨物出口額變化情況；
5）其他情況。
考點2 實數的相關概念及科學記數法
1．數軸：規定了_____、______和___方向的直線叫做數軸.數軸上所有的點與全體實數一一對應.
【注意1】在數學中，可以用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸。數軸要滿足以下要求：
（1）在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點；
（2）通常規定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向；
（3）選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個長度取一個點，依次表示1，2,3,4...；從原點向左，每隔一個長度取一個點，依次表示-1，-2,-3,-4...。分數或者小數也可以用數軸上的點表示。
【注意2】數軸的畫法.
A. 畫一條水平直線，在直線上取一點表示0，并把這個點叫作原點，選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸.
數軸的畫法：
（1）畫一條水平直線，定原點(如圖)，原點表示0.
（2）規定從原點向右為正方向，那么相反的方向(從原點向左)則為負方向.
（3）選擇適當的長度為單位長度.
B. 畫數軸注意事項：
(1)原點、單位長度和正方向三要素缺一不可；
(2)直線一般畫水平的；
(3)正方向用箭頭表示，一般取從左到右；
(4)取單位長度應結合實際需要，但要做到刻度均勻。
2．相反數：只有______不同，而_______相同的兩個數稱為互為相反數，若a、b互為相反數，則a+b=0.
一般地，a和-a互為相反數；特別地，0的相反數是0.
【溫馨提醒】相反數的幾何意義
（1）互為相反數的兩個數分別位于原點的兩側（0除外）；
（2）互為相反數的兩個數到原點的距離相等.
（3）一般地，設a是一個正數，數軸上與原點的距離是a的點有兩個，它們分別在原點的兩側，表示a和-a，這兩點關于原點對稱.
3．絕對值：數軸上表示數a的點與原點的_______稱數a的絕對值，記作 |a|.
性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的________；0的絕對值是0.
即（1）如果a＞0，那么|a| =a
（2）如果a＜0，那么|a| =-a
（3）如果a=0，那么|a| =0
4．倒數：1除以一個不等于_____的實數所得的商，叫做這個數的倒數.若a、b互為倒數，則ab=1.
5．科學記數法：科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數．當原數絕對值_____10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1；當原數絕對值_____1時，寫成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.
【易錯點提示】用科學記數法表示一個數時，需要從兩個方面入手，關鍵是確定a和n的值．
(1)a值的確定：1≤|a|<10；(2)n值的確定：①當原數大于或等于10時，n等于原數的整數位數減1；②當原數大于0且小于1時，n是負整數，它的絕對值等于原數左起第一位非零數字前所有零的個數(含小數點前的零)；③有計數(量)單位的科學記數法，先把數字單位轉化為純數字表示，再用科學記數法表示．常用的計數單位有：1億＝108，1萬＝104，計量單位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等．
6．近似數：近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。
7．平方根：（1）算術平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，則_____數x叫做a的算術平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，則x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示為，a的算術平方根表示為.
（4）
8．立方根：（1）定義：若_______，則x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示為.
（3）.9．數的乘方：求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫______.在an中，a叫底數，n叫指數.
考點3 實數的運算及大小比較
1. 實數的運算
（1）有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法_______ 、加法_____ 、乘法________、乘法_______、 乘法________.
（2）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.
（3）指數，負整數指數冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數，則.
【注意】 -1的奇次冪為-1，偶次冪為1.
2. 實數的大小比較方法
（1）______法：當a＞0，b＞0時，a＞b．
（2）________法：利用a＝(a≥0)，將根號外的因數移到根號內，再比較被開方數的大小．
（3）_______法：當a－b＝0時，可知a＝b；當a－b＞0時，可知a＞b；當a－b＜0時，可知a＜b．
（4）_______法：若，則A＝B；若＞1，則A＞B；若＜1，則A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）_______比較法：設a、b是兩負實數，則。
備注：遇到有理數和帶根號的無理數比較大小時，讓“數全部回到根號下”，再比較大小。
考點1 實數的分類及正負數的意義
【例題1】（2024福建省）下列實數中，無理數是（ ）
A. B. 0 C. D.
【對點變式練1】（2024·南昌市一模）有下列四個論斷：①﹣是有理數；② 是分數；③2.131131113…是無理數；④π是無理數，其中正確的是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【對點變式練2】（2024四川綿陽一模）下列說法：
（1）0是整數；
（2）-7/3是負分數；
（3）4.2不是正數；
（4）自然數一定是正數；
（5）負分數一定是負有理數.
其中正確的有 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例題2】 （2024武漢市）中國是世界上最早使用負數的國家．負數廣泛應用到生產和生活中，例如，若零上記作，則零下記作_________．
【對點變式練1】（2024云南一模）下列說法中錯誤的是（ ）
A．一個正數的前面加上負號就是負數
B．不是正數的數一定是負數
C．0既不是正數也不是負數
D．正負數可用來表示具有相反意義的量
【對點變式練2】（2024黑龍江綏化一模）中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數．如果收入100元記作+100元．那么 80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
考點2 實數的相關概念（含平方根、算術平方根、立方根）及科學記數法
【例題3】 （2024黑龍江齊齊哈爾）實數-5相反數是（ ）
A. 5 B. C. D.
【對點變式練1】（2024大連二模）下列各組數中互為相反數的是（ ）
A．-2與 B．-2與 C．-2與 D．2與|-2|
【對點變式練2】（2024吉林一模）寫出一個負數，使這個數的絕對值小于3__________．
【對點變式練3】（2024南寧一模）﹣7的倒數是（　　）
A． B．7 C．- D．﹣7
【例題4】（2024江蘇常州）16的算術平方根是___________．
【對點變式練1】（2024武漢一模）3的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
【對點變式練2】（2024海南二模）的算術平方根為（ ）
A． B． C． D．
【對點變式練3】（2024福建廈門一模）實數8的立方根是_____．
【例題5】（2024深圳）如圖，實數a，b，c，d在數軸上表示如下，則最小的實數為（ ）
A. a B. b C. c D. d
【對點變式練1】（2024蘇州一模）下列數軸表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【對點變式練2】（2024濟南一模）若，則實數在數軸上對應的點的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【例題6】（2024黑龍江齊齊哈爾）共青團中央發布數據顯示：截至2023年12月底，全國共有共青團員萬名．將萬用科學記數法表示為______．
【對點變式練1】（2024福建寧化一模）中國華為麒麟985處理器是采用7納米制程工藝的手機芯片，在指甲蓋大小的尺寸上塞進了120億個晶體管，是世界上最先進的具有人工智能的手機處理器，將120億個用科學記數法表示為( )
A．個 B．個 C．個 D．個
【對點變式練2】（2024四川達州一模）今年我市參加中考的學生人數約為人.對于這個近似數，下列說法正確的是（ ）
A．精確到百分位，有3個有效數字? B．精確到百位，有3個有效數字
C．精確到十位，有4個有效數字? D．精確到個位，有5個有效數字
考點3 實數的運算及大小比較
【例題7】（2024福建省）計算：
．
【對點變式練1】（2024河南許昌一模）計算：_____．
【對點變式練2】（2024湖南益陽一模）計算：
【例題8】（2024甘肅威武）下列各數中，比-2小的數是（　　）
A. B. C. 4 D. 1
【對點變式練1】（2024浙江溫州一模）數1，0，，﹣2中最大的是（ ）
A．1 B．0 C． D．﹣2
【對點變式練2】（2024南京一模）比較大小： ____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【對點變式練3】（2024哈爾濱一模），在數軸上位置如圖所示，則，，，的大小順序是( )
A． B． C． D．
考點1. 實數的分類及正負數的意義
1. （2024甘肅臨夏）下列各數中，是無理數的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
2. （2024湖南省）在日常生活中，若收入300元記作+300元，則支出180元應記作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3. （2024山東威海）一批食品，標準質量為每袋454g．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024江蘇連云港）如果公元前121年記作年，那么公元后2024年應記作__________年．
考點2. 實數的相關概念及科學記數法
1. （2024河南省）如圖，數軸上點P表示的數是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. （2024內蒙古赤峰）如圖，數軸上點A，M，B分別表示數，若，則下列運算結果一定是正數的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024山東煙臺）實數，，在數軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南省）計算：________．
5. （2024江蘇鹽城）有理數2024的相反數是（ ）
A. 2024 B. C. D.
6. （2024黑龍江大慶）下列各組數中，互為相反數的是（ ）
A. 和 B. 2024和
C. 和2024 D. 和
7. （2024內蒙古包頭）若互為倒數，且滿足，則的值為（ ）
A. B. C. 2 D. 4
8. （2024江蘇揚州）實數2的倒數是（ ）
A. B. 2 C. D.
9. （2024陜西省）-3的倒數是（ ）
A. B. C. D.
10. （2024福建省）據《人民日報》3月12日電，世界知識產權組織近日公布數據顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數據69610用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
11. （2024甘肅臨夏）據央視財經《經濟信息聯播》消息：甘肅天水憑借一碗香噴噴的麻辣燙成為最“熱辣滾燙”的頂流．2024年3月份，天水市累計接待游客464萬人次，旅游綜合收入27億元．將數據“27億”用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
12. （2024廣西）廣西壯族自治區統計局發布的數據顯示，2023年全區累計接待國內游客8.49億人次．將849000000用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
13. （2024黑龍江綏化）中國的領水面積約為370 000 km2，將數370 000用科學記數法表示為：__________．
考點3. 實數的運算及大小比較
1. （2024四川內江）16的平方根是（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
2. （2024黑龍江大慶）計算：=___．
3. （2024內蒙古包頭）計算：______．
4. （2024四川廣安）______．
5. （2024四川成都市）若，為實數，且，則的值為______．
6. （2024吉林省）若（﹣3）×口的運算結果為正數，則口內的數字可以為（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
7. （2024廣西）計算：
8. （2024湖北省）計算：
9. （2024江蘇鹽城）計算：
10. （2024甘肅臨夏）計算：．
11. （2024貴州省）在①，②，③，④中任選3個代數式求和；
12. （2024黑龍江齊齊哈爾）計算：
13. （2024甘肅威武）定義一種新運算*，規定運算法則為：（m，n均為整數，且）．例：，則________．
14. （2024廣西）下列選項記錄了我國四個直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（ ）
A. B. C. D.
15. （2024廣西）寫一個比大的整數是_______．
16. （2024廣州）四個數-10，-1，0，10中，最小的數是（ ）
A. B. C. 0 D. 10
17. （2024山東威海）下列各數中，最小的數是（ ）
A. B. C. D.
18. （2024安徽省）我國古代數學家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分數形式的近似值為．比較大小：______（填“>”或“<”）．
考點1. 實數的分類及正負數的意義
1.在下列實數：、、、、、﹣0.0010001中，有理數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2. 把下列各數分別填在相應的集合內：
﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9
分數集： ．
負數集： ．
有理數集： ．
3. 在﹣4、﹣2、0、1、3、4這六個數中，正數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4. 在0，-2，5，，-0.3中，負數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 若盈余2萬元記作萬元，則萬元表示（ ）
A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損萬元 D．不盈余也不虧損
6. 中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數．如果收入100元記作+100元．那么 80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
考點2. 實數的相關概念及科學記數法
1．如圖，數軸上有三個點A，B，C，若點A，B表示的數互為相反數，則圖中點C對應的數是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
2．﹣3的絕對值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
3.的相反數是（　　）
A. B. C. D.
4. 的倒數是（　　）
A. B. C. D.
5．（2022 攀枝花）2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
6．（2022 淮安）實數27的立方根是　　 ．
7．（2022 鄂州）計算：＝　　 ．
8．（2022 常州）化簡：＝　　 ．
9．中國華為麒麟985處理器是采用7納米制程工藝的手機芯片，在指甲蓋大小的尺寸上塞進了120億個晶體管，是世界上最先進的具有人工智能的手機處理器，將120億個用科學記數法表示為( )
A．個 B．個 C．個 D．個
10．下列說法中，正確的是（　　　）
A．近似數3.76與3.760表示的意義一樣 B．近似數13.2億精確到億位
C．3.0×103精確到百位，有4個有效數字 D．近似數30.000有5個有效數字
11．用四舍五入法將精確到千位，正確的是（ ）
A． B． C． D．
考點3. 實數的運算及大小比較
1．若，則__________．
2．已知，則的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．用“”或“”符號填空：______．
4．在有理數1，，-1，0中，最小的數是（ ）
A．1 B． C． D．0
5．比較，，的大小，結果正確的是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
6．有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，且|a|＜|b|，下列各式中正確的個數是（　　）
①a+b＜0； ②b﹣a＞0； ③ ； ④3a﹣b＞0； ⑤﹣a﹣b＞0．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
7．若，則a，b，c的大小關系是_______．（用<號連接）
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第一章 數與式
1.1 實數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 實數的分類及正負數的意義 ☆☆ 實數部分，每年考查2~4道題,分值為6~10分，對于實數的復習需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和等考點。2025年各省市選擇題會出現相反數、絕對值、倒數、科學計數法問題，填空題會出現實數的簡單計算、解答題仍然以考查實數混合計算為主。
考點2 實數的相關概念及科學記數法 ☆☆☆
考點3 實數的運算及大小比較 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 實數的分類及正負數的意義
1. 實數的分類
（1）按照定義分類
（2）按照正負分類
注意：0既不屬于正數，也不屬于負數，在理解無理數時，要注意“無限不循環”，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如，等；
（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如等；
（3）有特定結構的數，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函數，如sin60°等.
2. 正負數的意義
（1）正負數的概念
1）正數：大于0的數叫做正數。
2）負數：正數前面加上符號“-”的數叫負數。
3）0 既不是正數也不是負數，它是正負數的分界.
【提示】一個數前面的“+”“-”號叫做它的符號.有時，我們為了明確表達意義，在正數前面也加上“+”（正）號，如+3，+1.8％，+0.5，….不過一般情況下我們省略“+”不寫.
（2）正負數的意義
具有相反意義的量應滿足的條件：
①必須是同類量，而且是成對出現的；
②只要求意義相反，不要求數量一定相等.
（3）正數、負數和0在實踐中的應用
1）可以用來表示體重的變化情況；
2）可以用來表示不同地點的海拔高度；
3）可以用來表示某時氣溫變化情況；
4）可以用來表示貨物出口額變化情況；
5）其他情況。
考點2 實數的相關概念及科學記數法
1．數軸：規定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數軸.數軸上所有的點與全體實數一一對應.
【注意1】在數學中，可以用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸。數軸要滿足以下要求：
（1）在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點；
（2）通常規定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向；
（3）選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個長度取一個點，依次表示1，2,3,4...；從原點向左，每隔一個長度取一個點，依次表示-1，-2,-3,-4...。分數或者小數也可以用數軸上的點表示。
【注意2】數軸的畫法.
A. 畫一條水平直線，在直線上取一點表示0，并把這個點叫作原點，選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸.
數軸的畫法：
（1）畫一條水平直線，定原點(如圖)，原點表示0.
（2）規定從原點向右為正方向，那么相反的方向(從原點向左)則為負方向.
（3）選擇適當的長度為單位長度.
B. 畫數軸注意事項：
(1)原點、單位長度和正方向三要素缺一不可；
(2)直線一般畫水平的；
(3)正方向用箭頭表示，一般取從左到右；
(4)取單位長度應結合實際需要，但要做到刻度均勻。
2．相反數：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數稱為互為相反數，若a、b互為相反數，則a+b=0.
一般地，a和-a互為相反數；特別地，0的相反數是0.
【溫馨提醒】相反數的幾何意義
（1）互為相反數的兩個數分別位于原點的兩側（0除外）；
（2）互為相反數的兩個數到原點的距離相等.
（3）一般地，設a是一個正數，數軸上與原點的距離是a的點有兩個，它們分別在原點的兩側，表示a和-a，這兩點關于原點對稱.
3．絕對值：數軸上表示數a的點與原點的距離稱數a的絕對值，記作 |a|.
性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.
即（1）如果a＞0，那么|a| =a
（2）如果a＜0，那么|a| =-a
（3）如果a=0，那么|a| =0
4．倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數.若a、b互為倒數，則ab=1.
5．科學記數法：科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數．當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1；當原數絕對值小于1時，寫成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.
【易錯點提示】用科學記數法表示一個數時，需要從兩個方面入手，關鍵是確定a和n的值．
(1)a值的確定：1≤|a|<10；(2)n值的確定：①當原數大于或等于10時，n等于原數的整數位數減1；②當原數大于0且小于1時，n是負整數，它的絕對值等于原數左起第一位非零數字前所有零的個數(含小數點前的零)；③有計數(量)單位的科學記數法，先把數字單位轉化為純數字表示，再用科學記數法表示．常用的計數單位有：1億＝108，1萬＝104，計量單位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等．
6．近似數：近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。
7．平方根：（1）算術平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，則正數x叫做a的算術平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，則x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示為，a的算術平方根表示為.
（4）
8．立方根：（1）定義：若x3＝a，則x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示為.
（3）.
9．數的乘方：求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪.在an中，a叫底數，n叫指數.
考點3 實數的運算及大小比較
1. 實數的運算
（1）有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結合律、 乘法分配律.
（2）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.
（3）指數，負整數指數冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數，則.
【注意】 -1的奇次冪為-1，偶次冪為1.
2. 實數的大小比較方法
（1）平方法：當a＞0，b＞0時，a＞b．
（2）移動因數法：利用a＝(a≥0)，將根號外的因數移到根號內，再比較被開方數的大小．
（3）作差法：當a－b＝0時，可知a＝b；當a－b＞0時，可知a＞b；當a－b＜0時，可知a＜b．
（4）作商法：若，則A＝B；若＞1，則A＞B；若＜1，則A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。
備注：遇到有理數和帶根號的無理數比較大小時，讓“數全部回到根號下”，再比較大小。
考點1 實數的分類及正負數的意義
【例題1】（2024福建省）下列實數中，無理數是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】無理數就是無限不循環小數，理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數，由此即可判定選擇項．
本題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：等；開方開不盡的數；以及像，等數．
【詳解】根據無理數的定義可得：無理數是
故選：D．
【對點變式練1】（2024·南昌市一模）有下列四個論斷：①﹣是有理數；② 是分數；③2.131131113…是無理數；④π是無理數，其中正確的是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【解析】根據無理數的概念即可判定選擇項．
①﹣是有理數，正確；②是無理數，故錯誤；
③2.131131113…是無理數，正確；④π是無理數，正確；正確的有3個．故選B．
【點睛】本題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．
【對點變式練2】（2024四川綿陽一模）下列說法：
（1）0是整數；
（2）-7/3是負分數；
（3）4.2不是正數；
（4）自然數一定是正數；
（5）負分數一定是負有理數.
其中正確的有 （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】（1）0是整數整數，說法正確；
（2）-7/3是負分數，說法正確；
（3）有限小數4.2是分數，分數也有正分數和負分數，4.2是正分數，也是正數；題中說法錯誤；
（4）0和正整數統稱為自然數。“0”既不是正數又不是負數，但是“0”是自然數或整數.
所以自然數一定是正數的說法及其錯誤；
0是整數，正確；
（5）分數是有理數，負分數一定是負有理數.說法正確。
【例題2】 （2024武漢市）中國是世界上最早使用負數的國家．負數廣泛應用到生產和生活中，例如，若零上記作，則零下記作_________．
【答案】
【解析】本題考查了正數和負數的意義，在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
零上記作，則零下記作．，
故答案為：．
【對點變式練1】（2024云南一模）下列說法中錯誤的是（ ）
A．一個正數的前面加上負號就是負數
B．不是正數的數一定是負數
C．0既不是正數也不是負數
D．正負數可用來表示具有相反意義的量
【答案】B
【解析】A．一個正數的前面加上負號就是負數，說法正確；
B．不是正數的數一定是負數，說法錯誤，因為0不是正數，但也不是負數；
C．0既不是正數也不是負數，說法正確；
D．正負數可用來表示具有相反意義的量，說法正確。
【對點變式練2】（2024黑龍江綏化一模）中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數．如果收入100元記作+100元．那么 80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】收入用正數，則支出為負數。支出80元記作-80元. -80元九表示支出80元。
考點2 實數的相關概念（含平方根、算術平方根、立方根）及科學記數法
【例題3】 （2024黑龍江齊齊哈爾）實數-5相反數是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了相反數的判斷，根據相反數的定義解答即可．
的相反數是5．
故選：A．
【對點變式練1】（2024大連二模）下列各組數中互為相反數的是（ ）
A．-2與 B．-2與 C．-2與 D．2與|-2|
【答案】A
【解析】分析出每個選項的兩個值到底是多少，再判定是否互為相反數.
A. -2與,其中=2,所以正確；B. -2與，其中=-2，錯誤
C. -2與，兩數互為負倒；D. 2與|-2|，其中|-2|=2，錯誤
【點睛】熟練掌握對解此類問題至關重要.
【對點變式練2】（2024吉林一模）寫出一個負數，使這個數的絕對值小于3__________．
【答案】-1
【解析】根據絕對值的定義及有理數的大小比較方法求解即可．
∵|-1|=1，1<3，∴這個負數可以是-1．故答案為：-1（答案不唯一）．
【點睛】一個正數的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個負數的絕對值等于它的相反數．
【對點變式練3】（2024南寧一模）﹣7的倒數是（　　）
A． B．7 C．- D．﹣7
【答案】C
【解析】此題根據倒數的含義解答，乘積為1的兩個數互為倒數，所以﹣7的倒數為1÷（﹣7）．
﹣7的倒數為：1÷（﹣7）＝﹣．故選C．
【點睛】此題考查的知識點是倒數．解答此題的關鍵是要知道乘積為1的兩個數互為倒數，所以﹣7的倒數為1÷（﹣7）．
【例題4】（2024江蘇常州）16的算術平方根是___________．
【答案】4
【解析】∵
∴16的平方根為4和-4，
∴16的算術平方根為4
【對點變式練1】（2024武漢一模）3的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【解析】直接根據平方根的概念即可求解．
∵∴3的平方根是．故選：D．
【點睛】本題主要考查了平方根的概念，解決本題的關鍵是熟記平方根的定義．
【對點變式練2】（2024海南二模）的算術平方根為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求得的值，再繼續求所求數的算術平方根即可．
∵=2，而2的算術平方根是，∴的算術平方根是，故選B．
點睛：此題主要考查了算術平方根的定義，解題時應先明確是求哪個數的算術平方根，否則容易出現選A的錯誤．
【對點變式練3】（2024福建廈門一模）實數8的立方根是_____．
【答案】2．
【解析】根據立方根的定義解答.
∵，∴8的立方根是2．故答案為2．
【點睛】本題考查立方根的定義，熟記定義是解題的關鍵.
【例題5】（2024深圳）如圖，實數a，b，c，d在數軸上表示如下，則最小的實數為（ ）
A. a B. b C. c D. d
【答案】A
【解析】本題考查了根據數軸比較實數的大小．根據數軸上右邊的數總比左邊的大即可判斷．
由數軸知，，
則最小的實數為a
【對點變式練1】（2024蘇州一模）下列數軸表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意數軸的三要素以及在數軸上，右邊的數總比左邊的數大即可做出判斷．
A選項，應該正數在右邊，故該選項錯誤；
B選項，負數的大小順序不對；
C選項，沒有原點；
D選項，有原點，單位長度．
【對點變式練2】（2024濟南一模）若，則實數在數軸上對應的點的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根據a的值確定a的范圍，再根據a的范圍確定a在數軸上的位置．
∵
∴，
∴，
∴點A在數軸上的可能位置是：
，
【例題6】（2024黑龍江齊齊哈爾）共青團中央發布數據顯示：截至2023年12月底，全國共有共青團員萬名．將萬用科學記數法表示為______．
【答案】
【解析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．
萬
【對點變式練1】（2024福建寧化一模）中國華為麒麟985處理器是采用7納米制程工藝的手機芯片，在指甲蓋大小的尺寸上塞進了120億個晶體管，是世界上最先進的具有人工智能的手機處理器，將120億個用科學記數法表示為( )
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【解析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．
120億個用科學記數法可表示為：個．故選C．
【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
【對點變式練2】（2024四川達州一模）今年我市參加中考的學生人數約為人.對于這個近似數，下列說法正確的是（ ）
A．精確到百分位，有3個有效數字? B．精確到百位，有3個有效數字
C．精確到十位，有4個有效數字? D．精確到個位，有5個有效數字
【答案】B
【解析】有效數字的計算方法是：從左邊第一個不是0的數字起，后面所有的數字都是有效數字．
∵6.01×104=60100，∴它有3個有效數字，6，0，1，精確到百位．故選B．
考點3 實數的運算及大小比較
【例題7】（2024福建省）計算：
．
【答案】4
【解析】本題考查零指數冪、絕對值、算術平方根等基礎知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
根據零指數冪、絕對值、算術平方根分別計算即可；
原式．
【對點變式練1】（2024河南許昌一模）計算：_____．
【答案】
【解析】先計算0次冪，絕對值和負指數冪，再算加減.
故答案為：
【點睛】考核知識點：實數的混合運算.理解0次冪，絕對值和負指數冪的意義是關鍵.
【對點變式練2】（2024湖南益陽一模）計算：
【答案】7
【解析】先算乘方、二次根式的混合運用和絕對值，最后算加減即可．
==7．
【點睛】考查了乘方、二次根式的混合運用和絕對值等知識，掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．
【例題8】（2024甘肅威武）下列各數中，比-2小的數是（　　）
A. B. C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】本題主要考查了有理數比較大小，根據正數大于0，0大于負數，兩個負數比較大小，絕對值越大其值越小進行求解即可．
∵，
∴，
∴四個數中比小的數是．
【對點變式練1】（2024浙江溫州一模）數1，0，，﹣2中最大的是（ ）
A．1 B．0 C． D．﹣2
【答案】A
【解析】將各數按照從小到大順序排列，找出最大的數即可．
排列得：-2＜＜0＜1，則最大的數是1，故選：A．
【點睛】此題考查了有理數大小比較，將各數正確的排列是解本題的關鍵．
【對點變式練2】（2024南京一模）比較大小： ____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
【解析】為黃金數，約等于0.618，=0.625顯然前者小于后者．
或者作差法：-=＜0，所以，前者小于后者．故答案為＜．
【對點變式練3】（2024哈爾濱一模），在數軸上位置如圖所示，則，，，的大小順序是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】從數軸上a b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根據以上結論即可得出答案．
從數軸上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a |，∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，
即b＜-a＜a＜-b，故選D．
【點睛】本題考查了數軸和有理數的大小比較，關鍵是能根據a、b的值得出結論-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，題目比較好，是一道比較容易出錯的題目．
考點1. 實數的分類及正負數的意義
1. （2024甘肅臨夏）下列各數中，是無理數的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
【答案】A
【解析】本題考查無理數的定義，根據無理數是無限不循環小數結合立方根的定義，進行判斷即可．
A、是無理數，符合題意；
B、是有理數，不符合題意；
C、是有理數，不符合題意；
D、0.13133是有理數，不符合題意；故選A．
2. （2024湖南省）在日常生活中，若收入300元記作+300元，則支出180元應記作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】此題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義，結合題意解答即可；
【詳解】收入為“”，則支出為“”，
那么支出180元記作元．故選：C．
3. （2024山東威海）一批食品，標準質量為每袋454g．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了絕對值的意義，正負數的意義，直接利用正負數的意義以及絕對值的意義可得最接近標準是哪一袋．
【詳解】∵超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．
∴
∴最接近標準質量的是 故選：C．
4. （2024江蘇連云港）如果公元前121年記作年，那么公元后2024年應記作__________年．
【答案】
【解析】本題考查正負數意義，根據正負數表示一對相反意義的量，公元前為負，則公元后為正，進行作答即可．
公元前121年記作年，那么公元后2024年應記作年．
考點2. 實數的相關概念及科學記數法
1. （2024河南省）如圖，數軸上點P表示的數是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】本題考查了數軸，掌握數軸的定義是解題的關鍵．
根據數軸的定義和特點可知，點P表示的數為，從而求解．
【詳解】根據題意可知點P表示的數為，故選：A．
2. （2024內蒙古赤峰）如圖，數軸上點A，M，B分別表示數，若，則下列運算結果一定是正數的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了列代數式、數軸、正數和負數、絕對值等知識點，得到，且是解題的關鍵．
數軸上點A，M，B分別表示數，則、，由可得原點在A、M之間，由它們的位置可得，，且，再根據整式的加減乘法運算的計算法則逐項判斷即可．
【詳解】數軸上點A，M，B分別表示數,
∴、，
∵，
∴原點在A，M之間，由它們的位置可得，且，
∴，，，
故運算結果一定是正數的是．故選：A．
3. （2024山東煙臺）實數，，在數軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了數軸，絕對值，不等式性質，根據數軸分別判斷，，的正負，然后判斷即可，解題的關鍵是結合數軸判斷判，，的正負．
由數軸可得，，，，
、，原選項判斷錯誤，不符合題意，
、，原選項判斷正確，符合題意，
、根據數軸可知：，原選項判斷錯誤，不符合題意，
、根據數軸可知：，則，原選項判斷錯誤，不符合題意，故選：．
4. （2024湖南省）計算：________．
【答案】2024
【解析】本題考查了求一個數的相反數，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．根據相反數的定義，即可求解．
．
5. （2024江蘇鹽城）有理數2024的相反數是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了求一個數的相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0，據此求解即可．
有理數2024的相反數是，
故選：B．
6. （2024黑龍江大慶）下列各組數中，互為相反數的是（ ）
A. 和 B. 2024和
C. 和2024 D. 和
【答案】A
【解析】本題考查相反數．根據只有符號不同的兩個數互為相反數，結合絕對值的意義逐項判斷即可．
A.和互為相反數，故A選項符合題意；
B.2024和互為倒數，故B選項不符合題意；
C.和2024不互為相反數，故C選項不符合題意；
D.和不互為相反數，故D選項不符合題意；故選：A．
7. （2024內蒙古包頭）若互為倒數，且滿足，則的值為（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】本題主要考查了倒數的定義，根據互為倒數，則，把代入，即可得出m的值，進一步即可得出n的值．
∵互為倒數，
∴，
∵，
∴，
則，故選：B．
8. （2024江蘇揚州）實數2的倒數是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了倒數的定義，根據倒數的定義：“乘積為1的兩個數互為倒數”即可求解，掌握倒數的概念是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴的倒數為， 故選：D ．
9. （2024陜西省）-3的倒數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由互為倒數的兩數之積為1，即可求解．
∵，
∴的倒數是. 故選C
10. （2024福建省）據《人民日報》3月12日電，世界知識產權組織近日公布數據顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數據69610用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據科學記數法的定義解答，科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．
本題考查了科學記數法，熟悉科學記數法概念是解題的關鍵．
故選：C．
11. （2024甘肅臨夏）據央視財經《經濟信息聯播》消息：甘肅天水憑借一碗香噴噴的麻辣燙成為最“熱辣滾燙”的頂流．2024年3月份，天水市累計接待游客464萬人次，旅游綜合收入27億元．將數據“27億”用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．
27億．故選：C．
12. （2024廣西）廣西壯族自治區統計局發布的數據顯示，2023年全區累計接待國內游客8.49億人次．將849000000用科學記數法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查科學記數法，根據科學記數法的表示方法：為整數，進行表示即可．
；故選B．
13. （2024黑龍江綏化）中國的領水面積約為370 000 km2，將數370 000用科學記數法表示為：__________．
【答案】3.7×105
【解析】科學記數法是指：a×，且1≤＜10，n為原數的整數位數減一，370000=3.7×．
考點3. 實數的運算及大小比較
1. （2024四川內江）16的平方根是（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
【解析】題考查了平方根，熟記定義是解題的關鍵．根據平方根的定義計算即可．
16的平方根是，故選：D．
2. （2024黑龍江大慶）計算：=___．
【答案】﹣2
【解析】根據立方根的定義，求數a的立方根，也就是求一個數x，使得x3=a，則x就是a的立方根．
∵（－2）3=－8，
∴
3. （2024內蒙古包頭）計算：______．
【答案】3
【解析】本題考查實數的混合混算，先進行開方和乘方運算，再進行加法運算即可．
原式
4. （2024四川廣安）______．
【答案】0
【解析】本題考查的是實數的混合運算，先計算算術平方根，再計算減法運算即可.
5. （2024四川成都市）若，為實數，且，則的值為______．
【答案】1
【解析】本題考查非負數的性質，根據平方式和算術平方數的非負數求得m、n值，進而代值求解即可．
∵，
∴，，
解得，，
∴．
6. （2024吉林省）若（﹣3）×口的運算結果為正數，則口內的數字可以為（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了有理數的乘法計算，根據有理數的乘法計算法則，分別計算出與四個選項中的數的乘積即可得到答案．
【詳解】，，，，
四個算式的運算結果中，只有3是正數，故選：D．
7. （2024廣西）計算：
【答案】
【解析】本題主要考查了有理數的混合運算．先算乘法和乘方，再算加法即可．
【詳解】原式
．
8. （2024湖北省）計算：
【答案】3
【解析】本題主要考查了實數混合運算，根據零指數冪運算法則，算術平方根定義，進行計算即可．
【詳解】
．
9. （2024江蘇鹽城）計算：
【答案】
【解析】此題考查了實數的混合運算，計算絕對值、零指數冪、代入特殊角三角函數值，再進行混合運算即可.
10. （2024甘肅臨夏）計算：．
【答案】0
【解析】本題考查實數的混合運算，先進行開方，去絕對值，零指數冪和負整數指數冪的運算，再進行加減運算即可．
【詳解】原式．
11. （2024貴州省）在①，②，③，④中任選3個代數式求和；
【答案】見解析
【解析】利用實數的混合運算的法則和運算順序解題即可.
選擇①，②，③，
；
選擇①，②，④，
；
選擇①，③，④，
；
選擇②，③，④，
12. （2024黑龍江齊齊哈爾）計算：
【答案】；
【解析】根據算術平方根，特殊角的三角函數值，零指數冪，負整數指數冪，進行計算即可求解.
原式
13. （2024甘肅威武）定義一種新運算*，規定運算法則為：（m，n均為整數，且）．例：，則________．
【答案】8
【解析】根據定義，得，解得即可．
本題考查了新定義計算，正確理解定義的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】根據定義，得．
14. （2024廣西）下列選項記錄了我國四個直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫最低的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了溫度的比較以及正負數的概念，掌握比較有理數大小的方法是解決本題的關鍵．以下記為負數，以上記為正數，溫度都小于時，絕對值最大的，溫度最低．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴氣溫最低的是北京．故選：A．
15. （2024廣西）寫一個比大的整數是_______．
【答案】2(答案不唯一)
【解析】本題考查實數大小比較，估算無理數的大小是解題的關鍵．
先估算出的大小，再找出符合條件的整數即可．
【詳解】，
，
符合條件的數可以是：2(答案不唯一)．
16. （2024廣州）四個數-10，-1，0，10中，最小的數是（ ）
A. B. C. 0 D. 10
【答案】A
【解析】本題考查了有理數的大小比較，解題關鍵是掌握有理數大小比較法則：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小．
【詳解】，
最小的數是，故選：A．
17. （2024山東威海）下列各數中，最小的數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了實數的大小比較，根據實數的大小比較即可求解．
，
∵
∴最小的數是 故選：A．
18. （2024安徽省）我國古代數學家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分數形式的近似值為．比較大小：______（填“>”或“<”）．
【答案】>
【解析】本題考查的是實數的大小比較，先比較兩個正數的平方，從而可得答案．
∵，，
而，
∴，
∴
考點1. 實數的分類及正負數的意義
1.在下列實數：、、、、、﹣0.0010001中，有理數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解析】由題意根據有理數的定義：整數與分數統稱有理數，進行提示即可判斷．
∵＝3，＝4，
∴，，，﹣0.0010001是有理數，其它的是無理數．
有理數有4個.
2. 把下列各數分別填在相應的集合內：
﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9
分數集： ．
負數集： ．
有理數集： ．
【答案】見解析．
【解析】按照有理數的分類填寫：
有理數．
分數集：5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、；
負數集：﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9；
有理數集：﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9；
故答案為：5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、；﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9；﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9．
【點評】本題考查了有理數，認真掌握正數、負數、整數、分數、正有理數、負有理數、非負數的定義與特點，注意整數和正數的區別，注意0是整數，但不是正數．
3. 在﹣4、﹣2、0、1、3、4這六個數中，正數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】實數分類為：正數，零，負數，其中數字前面帶有符號 “﹣”的數為負數，“0”僅有一個數，其余均為正數,由此可得出判斷.
這六個數中，只有“1,3,4”這三個數為正數，故答案為C.
點睛：考查對正數的認識：數字前帶符號“+”的數即為正數，符號“+”可省略不寫，據此可以得出判斷；也可以用排除法判斷，實數可分為以下三類：正數，0，負數，排除了0和負數，其余的都是正數.
4. 在0，-2，5，，-0.3中，負數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根據負數的定義判斷即可
根據負數的定義可知，這一組數中，負數有兩個，即-2和-0.3．故選B．
5. 若盈余2萬元記作萬元，則萬元表示（ ）
A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損萬元 D．不盈余也不虧損
【答案】B
【解析】根據正數和負數表示具有相反意義的量解答．
∵盈余2萬元記作 +2 萬元，
∴-2萬元表示虧損2萬元，故選：B．
【點睛】本題考查了正數和負數的意義，熟練掌握正數與負數的意義是解題的關鍵．
6. 中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數．如果收入100元記作+100元．那么 80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】收入用正數，則支出為負數。支出80元記作-80元. -80元九表示支出80元。
考點2. 實數的相關概念及科學記數法
1．如圖，數軸上有三個點A，B，C，若點A，B表示的數互為相反數，則圖中點C對應的數是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
【答案】C
【解析】關鍵：是找出原點位置．理解相反數在數軸上的幾何意義，即兩數分布在原點的左右兩側，一正一負，且等距．點A到點B之間共六格，所以原點在點A右邊的第3格（也可以說是在點B左邊第3格）．
因為點A，點B表示的數互為相反數，所以原點在線段AB中間，即在點A右邊的第3格，得出點C在原點的右邊第1格，所以點C對應的數是1．
2．﹣3的絕對值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【答案】B
【解析】計算絕對值要根據絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
解：|﹣3|＝3．
故﹣3的絕對值是3．
3.的相反數是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直接根據相反數的求法求解即可．
任意一個實數a的相反數為-a
由 的相反數是 ；故選A．
【點睛】本題主要考查相反數，熟練掌握求一個數的相反數是解題的關鍵．
4. 的倒數是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據倒數的概念作答即可．
的倒數是．
【點睛】本題考查了倒數概念，即乘積為1的兩個數互為倒數，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
5．（2022 攀枝花）2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
【答案】D
【解析】因為（±）2＝2，
所以2的平方根是，故選：D．
6．（2022 淮安）實數27的立方根是　　 ．
【答案】3
【解析】∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
7．（2022 鄂州）計算：＝　　 ．
【答案】2
【解析】∵22＝4，
∴＝2．
8．（2022 常州）化簡：＝　　 ．
【答案】2
【解析】∵23＝8
∴＝2．
9．中國華為麒麟985處理器是采用7納米制程工藝的手機芯片，在指甲蓋大小的尺寸上塞進了120億個晶體管，是世界上最先進的具有人工智能的手機處理器，將120億個用科學記數法表示為( )
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【解析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正數；當原數的絕對值時，n是負數．
120億個用科學記數法可表示為：個．故選C．
【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．
10．下列說法中，正確的是（　　　）
A．近似數3.76與3.760表示的意義一樣 B．近似數13.2億精確到億位
C．3.0×103精確到百位，有4個有效數字 D．近似數30.000有5個有效數字
【答案】D
【解析】A． 近似數3.76精確到百分位，3.760精確到千分位，表示的意義不同，故A錯誤；
B． 近似數13.2億精確到千萬位，故B錯誤；C． 3.0×103精確到百位，有2個有效數字，故C錯誤；
D． 近似數30.000有5個有效數字，正確．故選D．
11．用四舍五入法將精確到千位，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用科學記數法表示，然后把百位上的數字5進行四舍五入即可．
130542精確到千位是1.31×105．故選：C．
【點睛】本題考查了近似數和有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．
考點3. 實數的運算及大小比較
1．若，則__________．
【答案】2
【解析】根據非負數的性質進行解答即可．
，，，，，
．
【點睛】本題考查了非負數的性質，掌握幾個非負數的和為0，這幾個數都為0，是解題的關鍵．
2．已知，則的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】直接利用絕對值和二次根式的性質分別化簡得出答案．
∵，∴a-2=0，b-2a=0，
解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故選：D．
【點睛】此題主要考查了非負數的性質，正確得出a，b的值是解題關鍵．
3．用“”或“”符號填空：______．
【答案】
【解析】兩個負數，絕對值大的其值反而小，據此判斷即可．
∵|-7|=7，|-9|=9，7<9，∴-7>-9，故答案為：>．
【點睛】此題主要考查了有理數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：兩個負數，絕對值大的其值反而小．
4．在有理數1，，-1，0中，最小的數是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】根據負數小于0，0小于正數即可得出最小的數．
1，，-1，0這四個數中只有-1是負數，所以最小的數是-1，故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的大小比較．理解0大于任何負數，小于任何正數是解題關鍵．
5．比較，，的大小，結果正確的是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
【答案】A
【解析】根據有理數大小比較的方法即可求解．
∵<0，<0，>0∴最大；又∵>，∴＜；∴＜＜．故選A．
點評：本題考查有理數比較大小的方法：①正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數；②兩個負數，絕對值大的反而小．
6．有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，且|a|＜|b|，下列各式中正確的個數是（　　）
①a+b＜0； ②b﹣a＞0； ③ ； ④3a﹣b＞0； ⑤﹣a﹣b＞0．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【解析】數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點表示的數．原點左邊的數為負數，原點右邊的數為正數．從圖中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根據有理數的運算法則判斷即可．
根據數軸上a，b兩點的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根據有理數的加法法則，可知a+b＜0，故正確；
②∵b＜a，∴b-a＜0，故錯誤；
③∵|a|＜|b|，∴
∵<0,，，根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小∴，故正確；
④3a﹣b=3a+（- b）∵3a>0,-b>0∴3a﹣b>0，故正確；
⑤∵﹣a>b∴- a﹣b>0.故①③④⑤正確，選C.
【點睛】本題考查根據點在數軸的位置判斷式子的正負，本部分的題主要根據，數軸上左邊的點表示的數總比右邊的點表示的數要小，及有理數的運算規律來判斷式子的大小.
7．若，則a，b，c的大小關系是_______．（用<號連接）
【答案】
【解析】分別計算零次冪，負整數指數冪，絕對值，再比較大小即可．
．
【點睛】本題考查的是零次冪，負整數指數冪，絕對值的運算，有理數的大小比較，掌握以上知識是解題的關鍵．
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