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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第六章 圖形的變化
6.2 圖形的軸對稱平移及旋轉
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圖形的軸對稱 ☆ 數學中考中，這部分知識，每年考查1~4道題,分值為3~12分，以選擇題的形式考查頻繁，填空題形式偶爾也出現，但在解答題里經常出現，有的省市在壓軸題里也體現。則4各考點都屬于難點知識，需要在掌握基礎理論后，熟練訓練各種考點的實際問題，形成自己的一套正確快速解題思路。
考點2 圖形的平移 ☆☆
考點3 圖形的旋轉 ☆☆
考點4 最短路徑問題 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 圖形的軸對稱
1．對稱軸：把一個圖形沿某條直線對折，如果它與另一個圖形_____，就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。
2．軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠_______，那么這個圖形叫做軸對稱圖形。
3．軸對稱的性質：
（1）關于某條直線成軸對稱的兩個圖形是_____形。
（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的________。
（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么_____在對稱軸上。
（4）軸對稱圖形上對應_____相等、對應____相等。
4.軸對稱圖形與軸對稱對比記憶理解
軸對稱圖形 軸對稱
圖 形
定 義 如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸 如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸
性 質 對應線段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′
對應角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′
對應點所連的線段被對稱軸垂直平分
區 別 (1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言； (2)對稱軸不一定只有一條 (1)軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形； (2)只有一條對稱軸
關 系 (1)沿對稱軸對折，兩部分重合； (2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱 (1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形
【易錯點提示】解決折疊問題
（1）折疊后能夠重合的線段相等，能夠重合的角相等，能夠重合的三角形全等，折疊前后的圖形關于折痕對稱，對應點到折痕的距離相等。
（2）折疊類問題中，如果翻折的直角，那么可以構造三垂直模型，利用三角形相似解決問題。
（3）折疊類問題中，如果有平行線，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分線。這對解決問題有很大幫助。
（4）折疊類問題中，如果有新的直角三角形出現，可以設未知數，利用勾股定理構造方程解決。
（5）折疊類問題中，如果折痕經過某一個定點，往往用輔助圓解決問題。一般試題考查點圓最值問題。
（6）折疊后的圖形不明確，要分析可能出現的情況，一次分析驗證可以利用紙片模型分析。
考點2 圖形的平移
1.平移的定義：平面圖形的每個點沿著某一方向移動_____的距離，這樣的圖形運動稱為平移.平移是由移動的_____和移動的_____所決定.平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。
2．三大要素： 一是平移的______，二是平移的______，三是平移的______．
注意：經平移運動后的圖形的位置發生變化, 形狀和大小不變.
3.理解并掌握平移的性質：
（1）______平行（或在一條直線上）且相等；______相等.
（2）______所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
（3）圖形在平移后______和_____都不變. 也就是說平移前后的圖形全等．
4.坐標系中的平移
（1）一次函數的平移
設一次函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（2）反比例函數的平移
設反比例函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（3）二次函數的平移
設二次函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（4）設函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（5）函數平移規律
口訣1：上加下減，左加右減；
口訣2：左右橫，上下縱，正減負加.
【易錯點提示】平移問題
1．平移后，對應線段相等且平行，對應點所連的線段平行（或共線）且相等．
2．平移后，對應角相等且對應角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．
3．平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．
平移問題,包括直線(線段)的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題;其他曲面的平移問題。
考點3 圖形的旋轉
1.旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做_______，轉動的角度叫做_______。
注意：圖形的旋轉三大要素：_______、_______和_______．圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變。如下圖所示：
2.旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個_____旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角大于0°，小于360°）。
3.旋轉的性質
（1）______到旋轉中心的距離相等。
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角______旋轉角。
4.中心對稱圖形與中心對稱
（1）中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉______度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。
（2）中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉_____度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。
【注意】旋轉作圖步驟：
（1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；
（2）找出原圖形的關鍵點；
（3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；
（4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形．
5．中心對稱和中心對稱圖形的區別
區別：中心對稱是指兩個__圖形之間的相互位置關系，這兩個圖形關于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關于點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指_____本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上。
如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關于中心對稱。
6.中心對稱圖形的判定
如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。
7.中心對稱的性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形是____。
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心____。
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段____（或者在同一直線上）且_____。
8.坐標系中對稱點的特征
（1）關于原點對稱的點的特征
兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號_____，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P′（-x，-y）
（2）關于x軸對稱的點的特征
兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x符號_____，y的符號____，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P′（x，-y）
（3）關于y軸對稱的點的特征
兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y符號_____，x的符號____，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P′（-x，y）
9.常見的中心對稱圖形
平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．旋轉問題包括直線(線段)的旋轉問題、三角形的旋轉問題、四邊形的旋轉問題、其他圖形的旋轉問題.
【易錯點提示】旋轉變換的應用
(1)求角度；(2)求弧度；(3)求面積；(4)證明線段相等；
(5)證明角相等；(6)證明位置關系；(7)綜合應用。
解題關鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉不變性、數值不變性等。旋轉是一種全等變換，旋轉改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發生改變，所以在解答有關旋轉的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質的運用、銳角三角函數建立的邊角關系起著關鍵的作用．
考點4 最短路徑問題
1．最短路徑問題
(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
現在假設點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
根據是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.
(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．
為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
證明：由作圖可知，點B和B′關于直線l對稱，
所以直線l是線段BB′的垂直平分線．
因為點C與C′在直線l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
2.運用軸對稱解決距離最短問題
運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同．
利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求　根據軸對稱的性質、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導致答非所問．
3．利用平移確定最短路徑選址
選址問題的關鍵是把各條線段_____到一條線段上．如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．
4．生活中的距離最短問題
由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法______在一條線段上，從而解決這個問題，運用軸對稱性質，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長．所以作已知點關于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法．
5.運用軸對稱解決距離之差最大問題
利用軸對稱和三角形的三邊關系是解決幾何中的最大值問題的關鍵．先做出其中一點關于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求．根據垂直平分線的性質和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．
【易錯點提示】
解決距離的最值問題的關鍵運用軸對稱變換、平移變換及三角形三邊關系是解決一些距離的最值問題的有效方法．
考點1 圖形的軸對稱
【例題1】 （2024甘肅威武）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子于點________的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形．（填寫A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點上）
【變式練1】（2024安徽一模）下列圖案中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
【變式練2】（2024江蘇連云港一模）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
考點2 圖形的平移
【例題2】 （2024甘肅臨夏）如圖，等腰中，，，將沿其底邊中線向下平移，使的對應點滿足，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是______．
【變式練1】（2024濟南一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，如果將△ABC先向右平移4個單位長度，在向下平移1個單位長度，得到△A 1B 1C 1，那么點A的對應點A 1的坐標為（　　）
A． （4，3） B． （2，4） C． （3，1） D． （2，5）
【變式練2】（2024福建一模）如圖，一次函數的圖象過點，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【變式練3】（2024四川雅安一模）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
考點3 圖形的旋轉
【例題3】（2024廣州）下列圖案中，點為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點對稱的是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024蘇州一模）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A B C D
【變式練2】（2024黑龍江鶴崗一模）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【變式練3】（2024貴州一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉60°，使點B落在點B′的位置，連接BB′，過點D作DE⊥BB′，交BB′的延長線于點E，則B′E的長為（　　）
A． B． C． D．
考點4 最短路徑問題
【例題4】（2024黑龍江綏化）如圖，已知，點為內部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當的周長最小時，則______．
【變式練1】（2024湖北鄂州一模）如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個村莊，現在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應在河上哪一點修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)
【變式練2】（2024湖南一模）在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最小．
考點1. 圖形的軸對稱
1. （2024江蘇揚州）“致中和，天地位焉，萬物育焉”，對稱之美隨處可見．下列選項分別是揚州大學、揚州中國大運河博物館、揚州五亭橋、揚州志愿服務的標識．其中的軸對稱圖形是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024內蒙古赤峰）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A. B. C. D.
3. （2024四川眉山）下列交通標志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024廣西）端午節是中國傳統節日，下列與端午節有關的文創圖案中，成軸對稱的是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024貴州省）“黔山秀水”寫成下列字體，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024武漢市）現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
7. （2024天津市）在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
8. （2024河北省）如圖，與交于點O，和關于直線對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D．下列不一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
考點2. 圖形的平移
1. （2024江蘇連云港）如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是，則圖中陰影圖形的周長是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024內蒙古包頭）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A. B. C. D.
3. （2024吉林長春）如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數的圖象交于點．若，則點的坐標是（　　）
A. B. C. D.
考點3. 圖形的旋轉
1. （2024遼寧）紋樣是我國古代藝術中的瑰寶．下列四幅紋樣圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川內江）2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，指導農事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024黑龍江大慶）垃圾分類功在當代利在千秋，下列垃圾分類指引標志圖形中，是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南長沙）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024深圳）下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024黑龍江齊齊哈爾）下列美術字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A. B. C. D.
7. （2024湖北省）平面坐標系中，點的坐標為，將線段繞點順時針旋轉，則點的對應點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
8. （2024天津市）如圖，中，，將繞點順時針旋轉得到，點的對應點分別為，延長交于點，下列結論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
9. （2024河南省）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內旋轉，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為_________，最小值為_________.
10. （2024安徽省）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系，格點（網格線的交點）A、B，C、D的坐標分別為，，，．
（1）以點D為旋轉中心，將旋轉得到，畫出；
（2）直接寫出以B，，，C為頂點的四邊形的面積；
（3）在所給的網格圖中確定一個格點E，使得射線平分，寫出點E的坐標．
11. （2024黑龍江齊齊哈爾）綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．
（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數量關系是______；
（2）【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；
（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；
（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．
12. （2024廣西）如圖1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點M，O，CO平分∠ACB.
（1）求證：；
（2）如圖2，將繞點O逆時針旋轉得到，旋轉角為．連接，
①求面積的最大值及此時旋轉角的度數，并說明理由；
②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數．
13. （2024廣東） 【知識技能】
（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．
【數學理解】
（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線．求證：．
【拓展探索】
（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．
考點4. 最短路徑問題
1. （2024四川廣安）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為______．
2. （2024四川成都市）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為______．
3. （2024四川涼山）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為______
4. （2024四川涼山）如圖，在菱形中，，是邊上一個動點，連接，的垂直平分線交于點，交于點．連接．
（1）求證：；
（2）求的最小值．
5. （2024江蘇鹽城）發現問題
小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？
分析問題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．
小明設計了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．
解決問題
在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．
考點1 圖形的軸對稱
1．在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A．B． C．D．
2.冬季奧林匹克運動會是世界上規模最大的冬季綜合性運動會，下列四個圖是歷屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（ ）
A B. C. D.
3.如圖，△ABC中，點D為邊BC的中點，連接AD，將△ADC沿直線AD翻折至△ABC所在平面內，得△ADC′，連接CC′，分別與邊AB交于點E，與AD交于點O．若AE＝BE，BC′＝2，則AD的長為　　．
考點2. 圖形的平移
1.如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距離為6，則陰影部分面積為（　　）
A．48 B．96 C．84 D．42
2．如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點A，B的坐標分別為（3，），（4，0）．把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，如果點D的坐標為（6，），則點E的坐標為　 　．
如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．求EC+GC的最小值為　 　．
考點3.圖形的旋轉
1．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A B C D
2. 下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現出來的，這些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A．B． C．D．
3．如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．當AC平分∠B′AC′時，∠α與∠β滿足的數量關系是（　　）
A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°
4．如圖，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉90°，得到△A′B′C′，則點A的對應點A′的坐標是（　　）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
5．如圖，在邊長為6的正方形ABCD內作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．若DF＝3，則BE的長為　　．
. 如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，△ABO的三個頂點坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）畫出△ABO關于x軸對稱的△A1B1O，并寫出點A1的坐標；
（2）畫出△ABO繞點O順時針旋轉90°后得到的△A2B2O，并寫出點A2的坐標；
（3）在（2）的條件下，求點A旋轉到點A2所經過的路徑長（結果保留π）．
7. 已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF．
（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數量關系是 　 　；
（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．
考點4. 最短路徑問題
1.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
2. 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
3．如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第六章 圖形的變化
6.2 圖形的軸對稱平移及旋轉
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圖形的軸對稱 ☆ 數學中考中，這部分知識，每年考查1~4道題,分值為3~12分，以選擇題的形式考查頻繁，填空題形式偶爾也出現，但在解答題里經常出現，有的省市在壓軸題里也體現。則4各考點都屬于難點知識，需要在掌握基礎理論后，熟練訓練各種考點的實際問題，形成自己的一套正確快速解題思路。
考點2 圖形的平移 ☆☆
考點3 圖形的旋轉 ☆☆
考點4 最短路徑問題 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 圖形的軸對稱
1．對稱軸：把一個圖形沿某條直線對折，如果它與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。
2．軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形。
3．軸對稱的性質：
（1）關于某條直線成軸對稱的兩個圖形是全等形。
（2）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
（3）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。
（4）軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。
4.軸對稱圖形與軸對稱對比記憶理解
軸對稱圖形 軸對稱
圖 形
定 義 如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸 如果兩個圖形對折后，這兩個圖形能夠完全重合，那么我們就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸
性 質 對應線段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′
對應角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′
對應點所連的線段被對稱軸垂直平分
區 別 (1)軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言； (2)對稱軸不一定只有一條 (1)軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖形； (2)只有一條對稱軸
關 系 (1)沿對稱軸對折，兩部分重合； (2)如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成“兩個圖形”，那么這“兩個圖形”就關于這條直線成軸對稱 (1)沿對稱軸翻折，兩個圖形重合；(2)如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形
【易錯點提示】解決折疊問題
（1）折疊后能夠重合的線段相等，能夠重合的角相等，能夠重合的三角形全等，折疊前后的圖形關于折痕對稱，對應點到折痕的距離相等。
（2）折疊類問題中，如果翻折的直角，那么可以構造三垂直模型，利用三角形相似解決問題。
（3）折疊類問題中，如果有平行線，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分線。這對解決問題有很大幫助。
（4）折疊類問題中，如果有新的直角三角形出現，可以設未知數，利用勾股定理構造方程解決。
（5）折疊類問題中，如果折痕經過某一個定點，往往用輔助圓解決問題。一般試題考查點圓最值問題。
（6）折疊后的圖形不明確，要分析可能出現的情況，一次分析驗證可以利用紙片模型分析。
考點2 圖形的平移
1.平移的定義：平面圖形的每個點沿著某一方向移動相同的距離，這樣的圖形運動稱為平移.平移是由移動的方向和移動的距離所決定.平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。
2．三大要素： 一是平移的起點，二是平移的方向，三是平移的距離．
注意：經平移運動后的圖形的位置發生變化, 形狀和大小不變.
3.理解并掌握平移的性質：
（1）對應線段平行（或在一條直線上）且相等；對應角相等.
（2）對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等.
（3）圖形在平移后形狀和大小都不變. 也就是說平移前后的圖形全等．
4.坐標系中的平移
（1）一次函數的平移
設一次函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（2）反比例函數的平移
設反比例函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（3）二次函數的平移
設二次函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（4）設函數的解析式為
若將它向上平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向下平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向左平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為；
若將它向右平移個單位長度，得到新的一次函數解析式為.
（5）函數平移規律
口訣1：上加下減，左加右減；
口訣2：左右橫，上下縱，正減負加.
【易錯點提示】平移問題
1．平移后，對應線段相等且平行，對應點所連的線段平行（或共線）且相等．
2．平移后，對應角相等且對應角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．
3．平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．
平移問題,包括直線(線段)的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題;其他曲面的平移問題。
考點3 圖形的旋轉
1.旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。
注意：圖形的旋轉三大要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度．圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變。如下圖所示：
2.旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角大于0°，小于360°）。
3.旋轉的性質
（1）對應點到旋轉中心的距離相等。
（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。
4.中心對稱圖形與中心對稱
（1）中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。
（2）中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。
【注意】旋轉作圖步驟：
（1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；
（2）找出原圖形的關鍵點；
（3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；
（4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形．
5．中心對稱和中心對稱圖形的區別
區別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系，這兩個圖形關于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關于點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上。
如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關于中心對稱。
6.中心對稱圖形的判定
如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。
7.中心對稱的性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。
8.坐標系中對稱點的特征
（1）關于原點對稱的點的特征
兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P′（-x，-y）
（2）關于x軸對稱的點的特征
兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x符號相同，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P′（x，-y）
（3）關于y軸對稱的點的特征
兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y符號相同，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P′（-x，y）
9.常見的中心對稱圖形
平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．旋轉問題包括直線(線段)的旋轉問題、三角形的旋轉問題、四邊形的旋轉問題、其他圖形的旋轉問題.
【易錯點提示】旋轉變換的應用
(1)求角度；(2)求弧度；(3)求面積；(4)證明線段相等；
(5)證明角相等；(6)證明位置關系；(7)綜合應用。
解題關鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉不變性、數值不變性等。旋轉是一種全等變換，旋轉改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發生改變，所以在解答有關旋轉的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質的運用、銳角三角函數建立的邊角關系起著關鍵的作用．
考點4 最短路徑問題
1．最短路徑問題
(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
現在假設點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
根據是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.
(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．
為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
證明：由作圖可知，點B和B′關于直線l對稱，
所以直線l是線段BB′的垂直平分線．
因為點C與C′在直線l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
2.運用軸對稱解決距離最短問題
運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同．
利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求　根據軸對稱的性質、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導致答非所問．
3．利用平移確定最短路徑選址
選址問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上．如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．
4．生活中的距離最短問題
由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉化在一條線段上，從而解決這個問題，運用軸對稱性質，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉化成一條線段，如圖，AO＋BO＝AC的長．所以作已知點關于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法．
5.運用軸對稱解決距離之差最大問題
利用軸對稱和三角形的三邊關系是解決幾何中的最大值問題的關鍵．先做出其中一點關于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求．根據垂直平分線的性質和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值．
【易錯點提示】
解決距離的最值問題的關鍵運用軸對稱變換、平移變換及三角形三邊關系是解決一些距離的最值問題的有效方法．
考點1 圖形的軸對稱
【例題1】 （2024甘肅威武）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方如果落子于點________的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形．（填寫A，B，C，D中的一處即可，A，B，C，D位于棋盤的格點上）
【答案】A或C
【解析】根據軸對稱圖形的定義解答即可．
本題考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．
【詳解】根據軸對稱圖形的定義，發現放在B，D處不能構成軸對稱圖形，放在A或C處可以，
故答案為：A或C．
【變式練1】（2024安徽一模）下列圖案中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
【答案】D.
【解析】根據軸對稱圖形的定義：在一個平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.四個選項只有選項D符合要求，故答案選D.
【變式練2】（2024江蘇連云港一模）下列圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．
A.是軸對稱圖形，故該選項正確，符合題意；
B.不是軸對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；
C.不是軸對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；
D.不是軸對稱圖形，故該選項不正確，不符合題意；故選A
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
考點2 圖形的平移
【例題2】 （2024甘肅臨夏）如圖，等腰中，，，將沿其底邊中線向下平移，使的對應點滿足，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是______．
【答案】##
【解析】本題考查平移的性質，相似三角形的判定和性質，三線合一，根據平移的性質，推出，根據對應邊上的中線比等于相似比，求出的長，三線合一求出的長，利用面積公式進行求解即可．
【詳解】∵等腰中，，，
∴，
∵為中線，
∴，，
∴，，
∴，
∵將沿其底邊中線向下平移，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【變式練1】（2024濟南一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，如果將△ABC先向右平移4個單位長度，在向下平移1個單位長度，得到△A 1B 1C 1，那么點A的對應點A 1的坐標為（　　）
A． （4，3） B． （2，4） C． （3，1） D． （2，5）
【答案】D
【解析】根據平移規律橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減進行計算即可．
由坐標系可得A（﹣2，6），將△ABC先向右平移4個單位長度，在向下平移1個單位長度，點A的對應點A1的坐標為（﹣2+4，6﹣1），
即（2，5），
【點撥】此題主要考查了坐標與圖形的變化﹣﹣平移，關鍵是掌握點的坐標的變化規律．
【變式練2】（2024福建一模）如圖，一次函數的圖象過點，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，將直線向右平移1個單位得到 ，該圖像經過原點，
由圖像可知，在y軸右側，直線位于x軸上方，即y>0，
因此，當x>0時，，
【點睛】本題綜合考查了函數圖像的平移和利用一次函數圖像求對應一元一次不等式的解集等，解決本題的關鍵是牢記一次函數的圖像與一元一次不等式之間的關系，能從圖像中得到對應部分的解集，本題蘊含了數形結合的思想方法等．
【變式練3】（2024四川雅安一模）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】根據平移的性質得出AD＝BE，進而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面積之比解答即可．
由平移性質可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△ECG，
∵BC：EC＝3：1， ∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，
∴＝4，
∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4．
考點3 圖形的旋轉
【例題3】（2024廣州）下列圖案中，點為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點對稱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵．根據對應點連線是否過點判斷即可．
由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點對稱的是C，故選：C．
【變式練1】（2024蘇州一模）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A B C D
【答案】A．
【解析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合.A.∵該圖形旋轉180°后能與原圖形重合，∴該圖形是中心對稱圖形；
B.∵該圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴該圖形不是中心對稱圖形；
C.∵該圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴該圖形不是中心對稱圖形；
D.∵該圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，∴該圖形不是中心對稱圖形．
【變式練2】（2024黑龍江鶴崗一模）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
【變式練3】（2024貴州一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉60°，使點B落在點B′的位置，連接BB′，過點D作DE⊥BB′，交BB′的延長線于點E，則B′E的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分別延長AD和BE交于點F，
由題知，AB＝2，∠ABF＝60°，
∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF cos60°＝4×＝2，
∠F＝90°﹣∠ABF＝30°，
∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，
∴EF＝DF cos∠F＝（2）×＝3﹣，
由題知，△ABB'是等邊三角形，
∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1．
考點4 最短路徑問題
【例題4】（2024黑龍江綏化）如圖，已知，點為內部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當的周長最小時，則______．
【答案】##度
【解析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用；作點P關于，的對稱點．連接．則當，是與，的交點時，的周長最短，根據對稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解．
【詳解】作關于，的對稱點．連接．則當，是與，的交點時，的周長最短，連接，
關于對稱，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
【變式練1】（2024湖北鄂州一模）如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個村莊，現在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應在河上哪一點修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)
【答案】見解析
【解析】利用兩點之間線段最短得出答案．
如圖所示，連接AB交直線a于點P，此時橋到這兩村莊的距離之和最短．理由：兩點之間線段最短．
【方法總結】求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
【變式練2】（2024湖南一模）在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最小．
【答案】見解析
【解析】先確定其中一個點關于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為所求的點．
如圖：(1)作點B關于直線l的對稱點B′；(2)連接AB′交直線l于點M；(3)點M即為所求的點．
【方法總結】利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求，據軸對稱的性質、用三角形三邊關系求解．
考點1. 圖形的軸對稱
1. （2024江蘇揚州）“致中和，天地位焉，萬物育焉”，對稱之美隨處可見．下列選項分別是揚州大學、揚州中國大運河博物館、揚州五亭橋、揚州志愿服務的標識．其中的軸對稱圖形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，進行分析即可．
【詳解】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．
2. （2024內蒙古赤峰）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】A．是軸對稱圖形，故A符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故B不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，故C不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．
【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3. （2024四川眉山）下列交通標志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形可得答案．
【詳解】A.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C. 不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D. 不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．
4. （2024廣西）端午節是中國傳統節日，下列與端午節有關的文創圖案中，成軸對稱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查成軸對稱的定義，掌握成軸對稱的定義是解題的關鍵．把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫作對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫作對稱點．根據兩個圖形成軸對稱的定義，逐一判斷選項即可．
【詳解】A．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
B．圖案成軸對稱，故符合題意；
C．圖案不成軸對稱，故不符合題意；
D．圖案不成軸對稱，故不符合題意；故你：B．
5. （2024貴州省）“黔山秀水”寫成下列字體，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了軸對稱圖形概念，一個圖形沿著某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形就叫軸對稱圖形．根據軸對稱圖形概念，結合所給圖形即可得出答案．
【詳解】A．不是軸對稱圖形，不符合題意；
B． 是軸對稱圖形，符合題意；
C． 不是軸對稱圖形，不符合題意；
D． 不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．
6. （2024武漢市）現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【詳解】A，B，D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．
7. （2024天津市）在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿某一條直線對折,對折后的兩部分是完全重合的,那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形是解題的關鍵．
A.不是軸對稱圖形；
B.不是軸對稱圖形；
C.是軸對稱圖形；
D.不是軸對稱圖形；故選C．
8. （2024河北省）如圖，與交于點O，和關于直線對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D．下列不一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考查了軸對稱圖形的性質，平行線的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據軸對稱圖形的性質即可判斷B、C選項，再根據垂直于同一條直線的兩條直線平行即可判斷選項D．
由軸對稱圖形的性質得到，，
∴，
∴B、C、D選項不符合題意，故選：A．
考點2. 圖形的平移
1. （2024江蘇連云港）如圖，正方形中有一個由若干個長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是，則圖中陰影圖形的周長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查平移的性質，利用平移的性質將陰影部分的周長轉化為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，由此解答即可．
【詳解】由圖可得：陰影部分的周長為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，
陰影圖形的周長是：，故選：A．
2. （2024內蒙古包頭）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了二次函數的平移以及頂點式，根據平移的規律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．
【詳解】拋物線向下平移2個單位后，
則拋物線變為，
∴化成頂點式則為 ，故選：A．
3. （2024吉林長春）如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數的圖象交于點．若，則點的坐標是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查反比例函數、解直角三角形、平移的性質等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
如圖：過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，先根據點A坐標計算出、k值，再根據平移、平行線的性質證明，進而根據求出，最后代入反比例函數解析式取得點C的坐標，進而確定,，再運用勾股定理求得，進而求得即可解答．
【詳解】如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，則軸，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函數的圖象上，
∴．
∴將直線向上平移若干個單位長度后得到直線，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即點C的橫坐標為2，
將代入，得，
∴C點的坐標為，
∴,，
∴，
∴,
∴ 故選：B．
考點3. 圖形的旋轉
1. （2024遼寧）紋樣是我國古代藝術中的瑰寶．下列四幅紋樣圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
A、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．
2. （2024四川內江）2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，指導農事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．本題主要考查了中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．
【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；
C．不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D．是中心對稱圖形，故D選項合題意；故選：D．
3. （2024黑龍江大慶）垃圾分類功在當代利在千秋，下列垃圾分類指引標志圖形中，是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據軸對稱圖形的概念，中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．中心對稱圖形的關鍵是確定對稱中心，繞對稱中心旋轉 能與自身重合，掌握以上知識是解題的關鍵．
4. （2024湖南長沙）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知定義：軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據此逐項判斷即可．
A中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B中圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
C中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D中圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意，故選：B．
5. （2024深圳）下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別．在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，故選：C．
6. （2024黑龍江齊齊哈爾）下列美術字中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】中心對稱圖形的定義：旋轉180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，根據定義即可判斷出答案．
【詳解】選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
選項是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；
故選：
【點睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，熟記兩種圖形的特點并準確判斷是解題的關鍵．
7. （2024湖北省）平面坐標系中，點的坐標為，將線段繞點順時針旋轉，則點的對應點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查坐標系下的旋轉．過點和點分別作軸的垂線，證明，得到，，據此求解即可．
【詳解】過點和點分別作軸的垂線，垂足分別為，
∵點的坐標為，
∴，，
∵將線段繞點順時針旋轉得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴點的坐標為，故選：B．
8. （2024天津市）如圖，中，，將繞點順時針旋轉得到，點的對應點分別為，延長交于點，下列結論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了旋轉性質以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先根據旋轉性質得，結合，即可得證，再根據同旁內角互補證明兩直線平行，來分析不一定成立；根據圖形性質以及角的運算或線段的運算得出A和C選項是錯誤的．
【詳解】解：記與相交于一點H，如圖所示：
∵中，將繞點順時針旋轉得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D選項是正確的，符合題意；
設
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B選項不正確，不符合題意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A選項不正確，不符合題意；
∵將繞點順時針旋轉得到，
∴
∴
故C選項不正確，不符合題意；故選：D
9. （2024河南省）如圖，在中，，，線段繞點C在平面內旋轉，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最大值為_________，最小值為_________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】根據題意得出點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以為直徑的圓上，根據，得出當最大時，最大，最小時，最小，根據當與相切于點D，且點D在內部時，最小，最大，當與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，分別畫出圖形，求出結果即可．
【詳解】∵，，
∴，
∵線段繞點C在平面內旋轉，，
∴點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，
∵，
∴，
∴點E在以為直徑的圓上，
在中，，
∵為定值，
∴當最大時，最大，最小時，最小，
∴當與相切于點D，且點D在內部時，最小，最大，連接，，如圖所示：
則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值為；
當與相切于點D，且點D在外部時，最大，最小，連接，，如圖所示：
則，
∴，
∴，
∵四邊形為圓內接四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值為；
故答案為：；．
【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質，找出取最大值和最小值時，點D的位置．
10. （2024安徽省）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系，格點（網格線的交點）A、B，C、D的坐標分別為，，，．
（1）以點D為旋轉中心，將旋轉得到，畫出；
（2）直接寫出以B，，，C為頂點的四邊形的面積；
（3）在所給的網格圖中確定一個格點E，使得射線平分，寫出點E的坐標．
【答案】（1）見詳解 （2）40 （3）(答案不唯一)
【解析】【分析】本題主要考查了畫旋轉圖形，平行四邊形的判定以及性質，等腰三角形的判定以及性質等知識，結合網格解題是解題的關鍵．
（1）將點A，B，C分別繞點D旋轉得到對應點，即可得出．
（2）連接，，證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質以及網格求出面積即可．
（3）根據網格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根據三線合一的性質即可求出點E的坐標．
【小問1詳解】
解：如下圖所示：
【小問2詳解】
連接，，
∵點B與，點C與分別關于點D成中心對稱，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
【小問3詳解】
∵根據網格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是線段的垂直平分線，
∵B，C的坐標分別為，，
∴點，
即．（答案不唯一）
11. （2024黑龍江齊齊哈爾）綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．
（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段與的數量關系是______；
（2）【問題解決】如圖3，連接并延長交的延長線于點，若，，求的面積；
（3）【類比遷移】在(2)的條件下，連接交于點，則______；
（4）【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線上找點，使，請直接寫出線段的長度．
【答案】（1） （2）10 （3） （4）或
【解析】【分析】（1）根據旋轉的性質可得，，進而證明，即可求解；
（2）根據（1）的方法證明，進而證明，求得，則，然后根據三角形的面積公式，即可求解．
（3）過點作于點，證明得出，證明，設，則，代入比例式，得出，進而即可求解；
（4）當在點的左側時，過點作于點，當在點的右側時，過點作交的延長線于點，分別解直角三角形，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，作交的延長線于點．
，
，
，
，
，
又且
，
；
【小問2詳解】
解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小問3詳解】
解：如圖所示，過點作于點，
∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
設，則，
解得：
∴；
【小問4詳解】
解：如圖所示，當在點的左側時，過點作于點
∵
∴，設，則，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如圖所示，當在點的右側時，過點作交的延長線于點，
∵
∴
∵
∴
設，則，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，旋轉的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
12. （2024廣西）如圖1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點M，O，CO平分∠ACB.
（1）求證：；
（2）如圖2，將繞點O逆時針旋轉得到，旋轉角為．連接，
①求面積的最大值及此時旋轉角的度數，并說明理由；
②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數．
【答案】（1）見解析 （2）①，；②或
【解析】
小問1詳解】
證明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
【小問2詳解】
解：①∵∠B=90°
∴，
∴，∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，∴，，
∴，∴，
取中點，連接，，作于N，
由旋轉的性質知，為旋轉所得線段，
∴，，，
根據垂線段最短知，
又，
∴當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，
此時，
∴面積的最大值為；
②∵，，
∴，
同理
∴為直角三角形時，只有，
當A和重合時，如圖，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三點共線，
∴為直角三角形，
此時旋轉角；
當和C重合時，如圖，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三點共線，
又
∴為直角三角形，
此時旋轉角；
綜上，旋轉角的度數為或時，為直角三角形．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，含的直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質等知識，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關鍵．
13. （2024廣東） 【知識技能】
（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到．當點E的對應點與點A重合時，求證：．
【數學理解】
（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點D按逆時針方向旋轉，得到，連接，，作的中線．求證：．
【拓展探索】
（3）如圖3，在中，，點D在上，．過點D作，垂足為E，，．在四邊形內是否存在點G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析
【解析】（1）根據中位線性質、旋轉的性質即可證明；
（2）利用旋轉的性質、外角定理、中位線的性質證明后即可證明；
（3）通過解直角三角形得到，，過點C作于點M，易證，得到，即可求得，進而，從而點M是的中點，過點D作，交于點P，連接，，，根據三線合一得，證明，即可求的，過點P作于點N，則四邊形是矩形，得到，因此點N是的中點，進而，再證，得到，根據，即可推出，因此當點G與點P重合時，滿足．
【詳解】證明：（1）是的中位線，
且．
又繞點D按逆時針方向旋轉得到
．
（2）由題意可知：，，．
作，則且，
又，
．
根據外角定理
，
，
．
又，是的中位線，
，
，
，
，
，
．
（3）存在點使得．
∵，
∴，
∴在中，，
過點C作于點M，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點M是的中點，
∴是的垂直平分線，
過點D作，交于點P，連接，，
∴，
∴根據三線合一得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
過點P作于點N，則四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴點N是的中點，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
即，
∴，
∴當點G與點P重合時，滿足．
【點睛】本題考查了旋轉的性質、中位線的性質、外角定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握知識點以及靈活運用是解題的關鍵．
考點4. 最短路徑問題
1. （2024四川廣安）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為______．
【答案】
【解析】如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，當重合時，最小，最小值為，再進一步結合勾股定理求解即可.
【詳解】解：如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，
∴當重合時，最小，最小值為，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質及掌握各知識點是解題的關鍵．
2. （2024四川成都市）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為______．
【答案】5
【解析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質．先取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，得到，，再由軸對稱圖形的性質和兩點之間線段最短，得到當三點共線時，的最小值為，再利用勾股定理求即可．
【詳解】取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，
則可知，，
∴，
即當三點共線時，的最小值為，
∵直線垂直于y軸，
∴軸，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案為：5
3. （2024四川涼山）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為______
【答案】
【解析】【分析】記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當最小時，最小，點P與點K重合，此時最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結果．
【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接，
當，，當，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵與相切，
∴，
∴，
∵，
∴當最小時即最小，
∴當時，取得最小值，
即點P與點K重合，此時最小值為，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值為．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關鍵．
4. （2024四川涼山）如圖，在菱形中，，是邊上一個動點，連接，的垂直平分線交于點，交于點．連接．
（1）求證：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】【分析】（1）根據菱形的性質證明，再結合是的垂直平分線，即可證明；
（2）過點N作于點F，連接，，則，故，此時，在中，進行解直角三角形即可．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：過點N作于點F，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
當點A、N、F三點共線時，取得最小值，如圖：
即，
∴在中，，
∴的最小值為．
【點睛】本題考查了菱形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，解直角三角形，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．
5. （2024江蘇鹽城）發現問題
小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？
分析問題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．
小明設計了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．
解決問題
在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．
【答案】分析問題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問題：方案3路徑最短，理由見解析
【解析】【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式即可求解；方案3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有列，行，斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，即可得出總路徑長；
解決問題：利用作差法比較三種方案即可．
題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵．
【詳解】解：方案1：根據題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，
∴每行鏟的路徑長為，
∵每列有k個籽，呈交錯規律排列，
∴相當于有行，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；；；
方案2：根據題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，
∴每列鏟路徑長為，
∵每行有n個籽，呈交錯規律排列，，
∴相當于有列，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；
方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為，
根據題意得一共有列，行，
斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，
∴鏟除全部籽的路徑總長為：；
解決問題
由上得：，
∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；
，
∵，
當時，
，
，
∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．
考點1 圖形的軸對稱
1．在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線成軸對稱．
A．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；
D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．
2.冬季奧林匹克運動會是世界上規模最大的冬季綜合性運動會，下列四個圖是歷屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】根據軸對稱圖形的定義，即可求解．
A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：A
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關鍵．
3.如圖，△ABC中，點D為邊BC的中點，連接AD，將△ADC沿直線AD翻折至△ABC所在平面內，得△ADC′，連接CC′，分別與邊AB交于點E，與AD交于點O．若AE＝BE，BC′＝2，則AD的長為　　．
【答案】3．
【解析】根據翻折的性質和三角形的中位線可以得到OD的長，然后根據全等三角形的判定和性質可以得到AO的長，從而可以求得AD的長．
由題意可得，
△DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，
∴點O為CC′的中點，
∵點D為BC的中點，
∴OD是△BCC′的中位線，
∴OD＝BC′，OD∥BC′，
∴∠COD＝∠EC′B＝90°，
∵AE＝BE，BC′＝2，
∴OD＝1，
在△EC′B和△EOA中，
，
∴△EC′B≌△EOA（AAS），
∴BC′＝AO，
∴AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝2+1＝3
考點2. 圖形的平移
1.如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距離為6，則陰影部分面積為（　　）
A．48 B．96 C．84 D．42
【答案】A．
【解析】考點是平移的性質。根據平移的性質得出BE=6，DE=AB=10，則OE=6，則陰影部分面積=S四邊形ODFC=S梯形ABEO，根據梯形的面積公式即可求解．
由平移的性質知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四邊形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE） BE=（10+6）×6=48．
2．如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點A，B的坐標分別為（3，），（4，0）．把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，如果點D的坐標為（6，），則點E的坐標為　 　．
【答案】（7，0）．
【解析】利用平移的性質解決問題即可．
∵A（3，），D（6，），
∴點A向右平移3個單位得到D，
∵B（4，0），
∴點B向右平移3個單位得到E（7，0）。
3．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．求EC+GC的最小值為　 　．
【答案】．
【解析】根據菱形的性質得到AB＝1，∠ABD＝30°，根據平移的性質得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四邊形EGCD是平行四邊形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根據平移的性質得到點E在過點A且平行于BD的定直線上，作點D關于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于AE，解直角三角形即可得到結論．
∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
∴四邊形EGCD是平行四邊形，∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵點E在過點A且平行于BD的定直線上，
∴作點D關于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于E，
則CM的長度即為EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MHAD，
∴DM＝1，∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2CD．
考點3. 圖形的旋轉
1．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A B C D
【答案】D
【解析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，結合選項所給圖形進行判斷即可．
A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
C．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意．
2. 下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現出來的，這些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．
A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．
3．如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．當AC平分∠B′AC′時，∠α與∠β滿足的數量關系是（　　）
A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°
【答案】C
【解析】∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD繞點A逆時針旋轉∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝α，
∵AD∥BC，
∴4α+β＝180°．
4．如圖，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉90°，得到△A′B′C′，則點A的對應點A′的坐標是（　　）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【答案】D
【解析】根據平移和旋轉的性質，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉90°，得到△A′B′C′，即可得點A的對應點A′的坐標．
如圖，
△A′B′C′即為所求，
則點A的對應點A′的坐標是（﹣1，4）．
5．如圖，在邊長為6的正方形ABCD內作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．若DF＝3，則BE的長為　　．
【答案】2
【解析】據旋轉的性質可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根據題目中的條件，可以得到△EAG≌△EAF，再根據DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以得到DE的長，本題得以解決．
由題意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
設BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即CE＝2
6. 如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，△ABO的三個頂點坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）畫出△ABO關于x軸對稱的△A1B1O，并寫出點A1的坐標；
（2）畫出△ABO繞點O順時針旋轉90°后得到的△A2B2O，并寫出點A2的坐標；
（3）在（2）的條件下，求點A旋轉到點A2所經過的路徑長（結果保留π）．
【答案】見解析。
【解析】利用軸對稱的性質分別作出A，B的對稱點A1，B1即可．利用旋轉變換的性質分別作出A，B的對應點A2，B2即可．利用弧長公式l＝，求解即可．
（1）如圖，△A1B1O即為所求，點A1的坐標（﹣1，﹣3）；
（2）如圖，△A2B2O即為所求，點A2的坐標（3，1）；
（3）點A旋轉到點A2所經過的路徑長＝＝π
7. 已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF．
（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數量關系是 　 　；
（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．
【答案】見解析。
【解析】（1）結論：AE＝CF．
理由：如圖1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．
（2）結論成立．
理由：如圖2中，
∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．
（3）如圖3中，
由旋轉的性質可知OE＝OA，
∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴＝，
∴△AOE∽△COF，∴＝，
∵CF＝OA＝5，∴＝，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝．
考點4. 最短路徑問題
1.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【解析】考點有軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關系，三角形外角性質，等腰三角形的性質。
根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和ED的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，進而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如圖，作A關于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值。作DA延長線AH。
2. 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大．
【答案】見解析
【解析】此題的突破點是作點A(或B)關于直線l的對稱點A′(或B′)，作直線A′B(AB′)與直線l交于點C，把問題轉化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決．
如圖所示，以直線l為對稱軸，作點A關于直線l的對稱點A′，A′B的連線交l于點C，則點C即為所求．理由：在直線l上任找一點C′(異于點C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因為點A，A′關于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因為點C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
【方法總結】如果兩點在一條直線的同側，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
3．如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．
【答案】12
【解析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據三角形的三邊關系即可得出結論．
如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6∴2∴2∴則的最大值與最小值的差為12．
【點睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關系，解題關鍵在于添加輔助線構建全等三角形把AD轉化為BE從而求解，是一道較好的中考題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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