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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第一章 數(shù)與式
1.4 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì) ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)二次根式的部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。二次根式的運算的考查多是體現(xiàn)在其他解答題里。二次根式的估值雖然不常見，但屬于能力亮點問題，估計會成為今后高頻考點。
考點2 二次根式的運算 ☆☆☆
考點3 二次根式的估值 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1.二次根式的概念
我們把形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．注意：a可以是數(shù)，也可以是式.
2.二次根式有意義的條件
要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)a≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為零。
3. 最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
4. 同類二次根式： 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．
5．二次根式的性質(zhì)
（1）≥ 0（≥0）(二次根式雙重非負(fù)性)；
【解讀】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即為二次根式的雙重非負(fù)性。
1）正數(shù)和零叫做非負(fù)數(shù)．常見的非負(fù)數(shù)有|a|，a2，(a≥0)．
2）若幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個數(shù)都為零．
如：若a2+|b|+=0，則a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考經(jīng)常出現(xiàn)利用這個性質(zhì)來解決問題。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【方法總結(jié)】歸納總結(jié)二次根式問題考點類型及解題方法（十分重要）
【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
【類型2】 根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件：
(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
【類型3】 利用二次根式的非負(fù)性求解。二次根式和絕對值都具有非負(fù)性，幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0.
【類型4】和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．
考點2. 二次根式的運算
1.二次根式的加減
（1）二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡的二次根式，再將被開方數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。
（2）二次根式的混合運算
1)明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里；
2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用。
2.二次根式的乘除
乘法法則：；
除法法則：．
3.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用．
【補(bǔ)充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的根號化去，叫做分母有理化。
2.常見類型：
常見類型一：．
常見類型二：．
其中，我們稱是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的關(guān)鍵是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個倍數(shù)。
4.熟記一些常見的有理化因式：
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是。
5.分母有理化十法
分母有理化是一種極其重要的恒等變形，它廣泛應(yīng)用于根式的計算和化簡，除掌握基本方法外，需根據(jù)不同題的特點，靈活應(yīng)用解法，講求技巧，以達(dá)化難為易，化繁為簡的目的。
通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。
【二次根式加減乘除運算方法總結(jié)】
【類型1】被開方數(shù)相同的最簡二次根式。根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時，應(yīng)該根據(jù)同類二次根式的概念建立方程或方程組求解．
【類型2】 二次根式的加減運算。二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時系數(shù)相加減，根式不變．
【類型3】 二次根式的化簡求值。化簡求值時一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解．
【類型4】 二次根式加減運算在實際生活中的應(yīng)用。利用二次根式來解決生活中的問題，應(yīng)認(rèn)真分析題意，注意計算的正確性與結(jié)果的要求．
【二次根式的乘法類型題及解題方法總結(jié)】
【類型1】 二次根式的乘法法則成立的條件。運用二次根式的乘法法則：·＝(a≥0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件．
【類型2】 二次根式的乘法運算。在運算過程中要注意根號前的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，必須化成假分?jǐn)?shù)，如果被開方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡后再相乘．
【類型3】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對二次根式進(jìn)行化簡．
主要運用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)對二次根式進(jìn)行化簡．
【類型4】二次根式乘法的綜合應(yīng)用。把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．
【二次根式的除法問題類型及解題方法總結(jié)】
【類型1】 二次根式的除法運算。利用二次根式的除法法則進(jìn)行計算時，可以用“除以一個不為零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡．
【類型2】 二次根式的乘除混合運算。二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，在運算時要注意運算符號和運算順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù)．
【類型3】 利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍。運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝(a＞0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件．
【類型4】 利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開方數(shù)中的分母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式．
【類型5】最簡二次根式。解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
【類型6】二次根式除法的綜合運用。解決本題的關(guān)鍵是正確運用公式．用二次根式的除法進(jìn)行運算，解這類問題時要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一．
考點3. 二次根式的估值
1．比較二次根式的大小方法
比較兩個二次根式大小的方法：可轉(zhuǎn)化為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采用平方法.
2.用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍
用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍時,一般采用“相鄰平方比較”法,即用兩個相鄰數(shù)的平方與被開方數(shù)比較,若被開方數(shù)介于這兩個相鄰數(shù)的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數(shù)之間,估算的精確度可由相鄰數(shù)的精確度來確定.
3.二次根式估值一般步驟
（1）一般先對根式進(jìn)行平方，如；
（2）找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個完全平方數(shù)，如4<5<9；
（3）對以上兩個整數(shù)開方，如，；
（4）這個根式的值在這兩個相鄰整數(shù)之間，如．
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
【例題1】（2024黑龍江綏化）若式子有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)題意可得，即可求解．
∵式子有意義，
∴，
解得：，故選：C．
【對點變式練1】（2024內(nèi)蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)； (2)； (3)；(4)； (5)；
(6)(x≤3)；(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．
【答案】見解析。
【解析】判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；
(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
因為，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指數(shù)都是2，且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.的根指數(shù)不是2，，(x≥0)，的被開方數(shù)小于0，所以不是二次根式．
【對點變式練2】（2024哈爾濱一模）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本題考查了二次根式有意義的條件，必須保證被開方數(shù)大于等于0．
根據(jù)二次根式里面被開方數(shù)即可求解．
由題意知：被開方數(shù)，解得：．
【對點變式練3】（2024吉林長春一模）若，則(a+b)2025= ．
【答案】1
【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義，求出a、b的值，代入計算即可．
∵，
∴a-2=0且b+1=0，
解得，a=2，b=-1，
∴(a+b)2020=(2-1)2025=1
考點2. 二次根式的運算
【例題2】 （2024甘肅威武）計算：．
【答案】0
【解析】根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
．
【對點變式練1】（2024哈爾濱二模）計算﹣2的結(jié)果是 　 　．
【答案】2．
【解析】直接化簡二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
【對點變式練2】（2024沈陽一模）計算·的結(jié)果是________．
【答案】 6a
【解析】 ·＝＝6a.
【對點變式練3】（2024湖南一模）化簡：
(a＞0，b＞0，c＞0)．
【答案】見解析。
【解析】運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，用分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根．
＝＝.
考點3. 二次根式的估值
【例題3】 （2024河北省）已知a，b，n均為正整數(shù)．
（1）若，則______；
（2）若，則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少______個．
【答案】 ①. ②.
【解析】本題考查的是無理數(shù)的估算以及規(guī)律探究問題，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，為連續(xù)的三個自然數(shù)，，可得，，再利用完全平方數(shù)之間的數(shù)據(jù)個數(shù)的特點探究規(guī)律即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案為：；
（2）∵a，b，n均為正整數(shù)．
∴，，為連續(xù)的三個自然數(shù)，而，
∴，，
觀察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴與之間的整數(shù)有個，
與之間的整數(shù)有個，
∴滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少（個）．
【對點變式練1】（2024遼寧一模）估計的值在（　　）
A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間
【答案】B
【解析】先寫出21的范圍，再寫出的范圍．
∵16＜21＜25，
∴4＜＜5．
【對點變式練2】（2024廣州一模）下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（ ）
A． B． C．3.1 D．
【答案】A．
【解析】因為，所以，且是無理數(shù)，故選項A正確．
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1. （2024四川德陽）化簡：＝__________．
【答案】3
【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)“”進(jìn)行計算即可得．
．
【點睛】本題考查了化簡二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．
2. （2024江蘇連云港）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，
要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，
∴．
3. （2024上海市）已知，則___________．
【答案】1
【解析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知，則可得出，求出x即可．
根據(jù)題意可知：，
∴，
解得：．
考點2. 二次根式的運算
1. （2024湖南省）計算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. 14 D.
【答案】D
【解析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計算是解題關(guān)鍵．
直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．
【詳解】，故選：D
2. （2024四川樂山）已知，化簡的結(jié)果為（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)化簡二次根式，然后再根據(jù)去絕對值即可．
，
∵，
∴，
∴，
∴，故選：B．
3. （2024山東威海）計算：________．
【答案】
【解析】本題考查了二次根式的混合運算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計算即可求解．
．
4. （2024貴州省）計算的結(jié)果是________．
【答案】
【解析】利用二次根式的乘法運算法則進(jìn)行計算．
原式==．
【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，掌握二次根式乘法的運算法則（a≥0，b＞0）是解題關(guān)鍵．
5. （2024天津市）計算的結(jié)果為___．
【答案】
【解析】利用平方差公式計算后再加減即可．
原式．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關(guān)鍵．
6. （2024河南省）計算：；
【答案】9
【解析】利用二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪的意義化簡計算即可；
原式
7. （2024上海市）計算：．
【答案】
【解析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關(guān)鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進(jìn)行計算．
【詳解】
．
考點3. 二次根式的估值
1. （2024重慶市A）已知，則實數(shù)的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的方法是解決此題的關(guān)鍵．先求出，即可求出m的范圍．
∵，
∵，
∴，故選：B．
2. （2024四川資陽）若，則整數(shù)m的值為（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】此題考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的估算方法．首先確定和的范圍，然后求出整數(shù)m的值的值即可．
∵，即，，即，
又∵，
∴整數(shù)m的值為：3，故選：B．
3. （2024重慶市B）估計的值應(yīng)在（　　）
A. 8和9之間 B. 9和10之間 C. 10和11之間 D. 11和12之間
【答案】C
【解析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數(shù)的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可．
∵，
而，
∴
4. （2024江蘇鹽城）矩形相鄰兩邊長分別為、，設(shè)其面積為，則S在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C
【解析】本題主要考查無理數(shù)的估算，二次根式的乘法，先計算出矩形的面積，再利用放縮法估算無理數(shù)大小即可．
，
，
，
，
即S在3和4之 間，故選：C．
5. （2024內(nèi)蒙古赤峰）請寫出一個比小的整數(shù)_____________
【答案】1（或2）
【解析】先估算出在哪兩個整數(shù)之間，即可得到結(jié)果．
，
滿足條件的數(shù)為小于或等于2的整數(shù)均可.
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數(shù)是常用的估算無理數(shù)的方法．
6. （2024深圳）如圖所示，四邊形，，均為正方形，且，，則正方形的邊長可以是________．（寫出一個答案即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算．利用算術(shù)平方根的性質(zhì)求得，，再根據(jù)無理數(shù)的估算結(jié)合，即可求解．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴正方形的邊長，即，
∴正方形的邊長可以是2．
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1. 若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是_______．
【答案】x≥8
【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得x-8≥0，然后進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案為：x≥8．
【點睛】本題考查了二次根式有意義條件，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．
2.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　　．
【答案】x＞3．
【解析】由題意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
【點撥】根據(jù)二次根式有意義的條件可得2x﹣6＞0，再解即可．
考點2. 二次根式的運算
1．下列各式是最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A.是最簡二次根式，符合題意；
B.2，不是最簡二次根式，不符合題意；
C.|a|，不是最簡二次根式，不符合題意；
D.，不是最簡二次根式，不符合題意．
【點撥】利用最簡二次根式定義判斷即可．
2.把下列式子的分母有理化：
【答案】見解析。
【解析】把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如與，與 均為有理化因式。
3．已知a＝，b＝，求a2－ab＋b2的值．
【答案】22
【解析】 所求代數(shù)式a2－ab＋b2可轉(zhuǎn)化為用a＋b與ab表示的式子，而所給條件也可以進(jìn)行分母有理化，從而得到a＋b與ab的值，這樣可使計算簡便．
∵a＝＝－，b＝＝＋，
∴a＋b＝2 ，ab＝2，
∴a2－ab＋b2＝－3ab＝－3×2＝22.
4. 若實數(shù)m，n滿足，則_______．
【答案】7
【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出m、n的值，進(jìn)而代入數(shù)值可求解．
由題意知，m，n滿足，
∴m-n-5=0，2m+n 4=0，
∴m=3，n=-2，
∴．
【點睛】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結(jié)論可以求解這類題目．
5. 計算的結(jié)果是_________．
【答案】2
【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．
．
故答案為：2．
【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡，注意：．
6. 若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，且，
所以，
所以，，所以
7.(1)已知a、b滿足＋|b－|＝0，解關(guān)于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是實數(shù)，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
【答案】見解析。
【解析】(1)根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性求解即可；(2)根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可求得x的值，進(jìn)而求得y的值，進(jìn)而可求出yx的平方根．
(1)根據(jù)題意得解得則(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；
(2)根據(jù)題意得解得x＝3.則y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根為±8.
8. 計算：．
【答案】
【解析】根據(jù)化簡絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，零次冪進(jìn)行計算即可求解．
原式＝
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握化簡絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，零次冪是解題的關(guān)鍵．
9．下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)同類二次根式的概念與二次根式的乘法逐一判斷可得答案．
A．與不是同類二次根式，不能合并，此選項計算錯誤；
B．2與不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤；
C．，此選項計算正確；
D．2與﹣2不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤．
10. 從，﹣，﹣這三個實數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依題意任選兩數(shù)相乘，將所得的三個乘積與2作比較，即可得出結(jié)論．
∵，
，
（﹣）×＝＞2，
∴從，﹣，﹣這三個實數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有2個．
11. 已知x為實數(shù)時，化簡＋.
【答案】見解析。
【解析】根據(jù)＝|a|，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，將x的取值范圍分段進(jìn)行討論解答．
＋＝＋＝|x－1|＋|x|.
當(dāng)x≤0時，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；
當(dāng)0＜x≤1時，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；
當(dāng)x＞1時，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
方法總結(jié)：利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡時，要結(jié)合具體問題，先確定出被開方數(shù)的正負(fù)，對于式子＝|a|，當(dāng)a的符號無法判斷時，就需要分類討論，分類時要做到不重不漏．
12.計算：
(1)9÷3×；
(2)a2··b÷.
【答案】見解析。
【解析】先把系數(shù)進(jìn)行乘除運算，再根據(jù)二次根式的乘除法則運算．
(1)原式＝9×××＝18；
(2)原式＝a2·b·＝.
13. 計算：．
【答案】
【解析】根據(jù)二次根式的混合運算進(jìn)行計算即可求解．
原式
.
【點睛】本題考查了次根式的混合運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵
考點3. 二次根式的估值
1．估計的值在（ ）
A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間
【答案】B
【解析】∵，∴．故選：B
【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．
2．若a＝，b＝，c＝2，b，c的大小關(guān)系為（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c
【答案】C
【解析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的意義估算出a、b的近似值，再進(jìn)行比較即可．
∵＜＜，
∴1＜＜2，
即1＜a＜3，
又∵2＜＜6，
∴2＜b＜3，
∴a＜c＜b．
3．已知，a介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先估算出的范圍，即可得出答案．
∵，∴，∴在3和4之間，即．故選：C．
【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小．能估算出的范圍是解題的關(guān)鍵．
4．設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ）
A．　　　 　 B． C．　　 　　 D．
【答案】A
【解析】易得，所以即（），
因此可得，
，
所以
考查實數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分的轉(zhuǎn)化，以及平方差公式的運算
5．比較大小：___
【答案】＜
【解析】利用分子有理化即可比較大小．
==
==
∵＞∴∴＜故答案為：＜．
【點睛】此題考查的是實數(shù)的比較大小，掌握利用分子有理化比較大小是解決此題的關(guān)鍵．
【例題4】先觀察下列等式，再回答下列問題．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，寫出的結(jié)果；
(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式(n為正整數(shù))．
【答案】見解析。
【解析】(1)從三個等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號右邊第一個加數(shù)都是1，第二個加數(shù)是個分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為n，第三個分?jǐn)?shù)的分母就是n＋1，結(jié)果是一個帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子也是1，分母是前項分?jǐn)?shù)的分母的積；(2)根據(jù)(1)找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子．
解：(1)＝1＋－＝1；
(2)＝1＋－＝1(n為正整數(shù))．
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第一章 數(shù)與式
1.4 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì) ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)二次根式的部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。二次根式的運算的考查多是體現(xiàn)在其他解答題里。二次根式的估值雖然不常見，但屬于能力亮點問題，估計會成為今后高頻考點。
考點2 二次根式的運算 ☆☆☆
考點3 二次根式的估值 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1.二次根式的概念
我們把形如的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做_______．注意：a可以是數(shù)，也可以是式.
2.二次根式有意義的條件
要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)_____，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應(yīng)同時考慮分母不為_____。
3. 最簡二次根式：_______所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
4. 同類二次根式： 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)______的幾個二次根式，叫做同類二次根式．
5．二次根式的性質(zhì)
（1）≥ 0（≥0）(二次根式雙重______)；
【解讀】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即為二次根式的雙重非負(fù)性。
1）正數(shù)和零叫做非負(fù)數(shù)．常見的非負(fù)數(shù)有|a|，a2，(a≥0)．
2）若幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個數(shù)都為零．
如：若a2+|b|+=0，則a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考經(jīng)常出現(xiàn)利用這個性質(zhì)來解決問題。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【方法總結(jié)】歸納總結(jié)二次根式問題考點類型及解題方法（十分重要）
【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
【類型2】 根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件：
(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
【類型3】 利用二次根式的非負(fù)性求解。二次根式和絕對值都具有非負(fù)性，幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0.
【類型4】和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來．
考點2. 二次根式的運算
1.二次根式的加減
（1）二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化為_____的二次根式，再將被開方數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。
（2）二次根式的混合運算
1)明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里；
2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用。
2.二次根式的乘除
乘法法則：；
除法法則：．
3.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用．
【補(bǔ)充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的______化去，叫做分母有理化。
2.常見類型：
常見類型一：．
常見類型二：．
其中，我們稱是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的關(guān)鍵是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個倍數(shù)。
4.熟記一些常見的有理化因式：
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是；
的有理化因式是。
5.分母有理化十法
分母有理化是一種極其重要的恒等變形，它廣泛應(yīng)用于根式的計算和化簡，除掌握基本方法外，需根據(jù)不同題的特點，靈活應(yīng)用解法，講求技巧，以達(dá)化難為易，化繁為簡的目的。
通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。
【二次根式加減乘除運算方法總結(jié)】
【類型1】被開方數(shù)相同的最簡二次根式。根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時，應(yīng)該根據(jù)同類二次根式的概念建立方程或方程組求解．
【類型2】 二次根式的加減運算。二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時系數(shù)相加減，根式不變．
【類型3】 二次根式的化簡求值。化簡求值時一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解．
【類型4】 二次根式加減運算在實際生活中的應(yīng)用。利用二次根式來解決生活中的問題，應(yīng)認(rèn)真分析題意，注意計算的正確性與結(jié)果的要求．
【二次根式的乘法類型題及解題方法總結(jié)】
【類型1】 二次根式的乘法法則成立的條件。運用二次根式的乘法法則：·＝(a≥0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件．
【類型2】 二次根式的乘法運算。在運算過程中要注意根號前的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，必須化成假分?jǐn)?shù)，如果被開方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡后再相乘．
【類型3】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對二次根式進(jìn)行化簡．
主要運用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)對二次根式進(jìn)行化簡．
【類型4】二次根式乘法的綜合應(yīng)用。把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．
【二次根式的除法問題類型及解題方法總結(jié)】
【類型1】 二次根式的除法運算。利用二次根式的除法法則進(jìn)行計算時，可以用“除以一個不為零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡．
【類型2】 二次根式的乘除混合運算。二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，在運算時要注意運算符號和運算順序，若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù)．
【類型3】 利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍。運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝(a＞0，b≥0)，必須注意被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件．
【類型4】 利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。被開方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開方數(shù)中的分母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式．
【類型5】最簡二次根式。解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
【類型6】二次根式除法的綜合運用。解決本題的關(guān)鍵是正確運用公式．用二次根式的除法進(jìn)行運算，解這類問題時要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一．
考點3. 二次根式的估值
1．比較二次根式的大小方法
比較兩個二次根式大小的方法：可_____為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采用平方法.
2.用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍
用有理數(shù)估算二次根式的大致范圍時,一般采用“______”法,即用兩個相鄰數(shù)的平方與被開方數(shù)比較,若被開方數(shù)介于這兩個相鄰數(shù)的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數(shù)之間,估算的精確度可由相鄰數(shù)的精確度來確定.
3.二次根式估值一般步驟
（1）一般先對根式進(jìn)行平方，如；
（2）找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個完全平方數(shù)，如4<5<9；
（3）對以上兩個整數(shù)開方，如，；
（4）這個根式的值在這兩個相鄰整數(shù)之間，如．
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
【例題1】（2024黑龍江綏化）若式子有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【對點變式練1】（2024內(nèi)蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)； (2)； (3)；(4)； (5)；
(6)(x≤3)；(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．
【對點變式練2】（2024哈爾濱一模）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點變式練3】（2024吉林長春一模）若，則(a+b)2025= ．
考點2. 二次根式的運算
【例題2】 （2024甘肅威武）計算：．
【對點變式練1】（2024哈爾濱二模）計算﹣2的結(jié)果是 　 　．
【對點變式練2】（2024沈陽一模）計算·的結(jié)果是________．
【對點變式練3】（2024湖南一模）化簡：
(a＞0，b＞0，c＞0)．
考點3. 二次根式的估值
【例題3】 （2024河北省）已知a，b，n均為正整數(shù)．
（1）若，則______；
（2）若，則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少______個．
【對點變式練1】（2024遼寧一模）估計的值在（　　）
A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間
【對點變式練2】（2024廣州一模）下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（ ）
A． B． C．3.1 D．
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1. （2024四川德陽）化簡：＝__________．
2. （2024江蘇連云港）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
3. （2024上海市）已知，則___________．
考點2. 二次根式的運算
1. （2024湖南省）計算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. 14 D.
2. （2024四川樂山）已知，化簡的結(jié)果為（ ）
A. B. 1 C. D.
3. （2024山東威海）計算：________．
4. （2024貴州省）計算的結(jié)果是________．
5. （2024天津市）計算的結(jié)果為___．
6. （2024河南省）計算：；
7. （2024上海市）計算：．
考點3. 二次根式的估值
1. （2024重慶市A）已知，則實數(shù)的范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川資陽）若，則整數(shù)m的值為（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. （2024重慶市B）估計的值應(yīng)在（　　）
A. 8和9之間 B. 9和10之間 C. 10和11之間 D. 11和12之間
4. （2024江蘇鹽城）矩形相鄰兩邊長分別為、，設(shè)其面積為，則S在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
5. （2024內(nèi)蒙古赤峰）請寫出一個比小的整數(shù)_____________
6. （2024深圳）如圖所示，四邊形，，均為正方形，且，，則正方形的邊長可以是________．（寫出一個答案即可）
考點1. 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
1. 若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是_______．
2.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　　．
考點2. 二次根式的運算
1．下列各式是最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.把下列式子的分母有理化：
3．已知a＝，b＝，求a2－ab＋b2的值．
4. 若實數(shù)m，n滿足，則_______．
5. 計算的結(jié)果是_________．
6. 若，則（ ）
A． B． C． D．
7.(1)已知a、b滿足＋|b－|＝0，解關(guān)于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是實數(shù)，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
8. 計算：．
9．下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
10. 從，﹣，﹣這三個實數(shù)中任選兩數(shù)相乘，所有積中小于2的有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
11. 已知x為實數(shù)時，化簡＋.
12.計算：
(1)9÷3×；
(2)a2··b÷.
13. 計算：．
考點3. 二次根式的估值
1．估計的值在（ ）
A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間
2．若a＝，b＝，c＝2，b，c的大小關(guān)系為（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c
3．已知，a介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（ ）
A．　　　 　 B． C．　　 　　 D．
5．比較大小：___
【例題4】先觀察下列等式，再回答下列問題．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，寫出的結(jié)果；
(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式(n為正整數(shù))．
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