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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第一章 數(shù)與式
1.3 分式
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 分式的概念和性質(zhì) ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，分式部分，每年考查1—2道題,分值為3—6分，通常以選擇題、填空題、解答題其中一種題型考查。大多省市在解答題里考查分式的化簡(jiǎn)求值。 有的省市在選擇題或填空題考查分式有意義的條件，復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟練掌握分式的概念和性質(zhì)、分式的運(yùn)算規(guī)則，掌握解決分式問題基本要領(lǐng)。
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算 ☆☆☆
考點(diǎn)3 分式的化簡(jiǎn)求值 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。
考點(diǎn)1 分式的概念和性質(zhì)
1．分式的定義
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注意】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無(wú)意義；③若A=0且B≠0，則=0．
2．分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．
用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算
1．約分及約分法則
（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．
（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分．
【注意】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式．
2．最簡(jiǎn)分式
分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．
【注意】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．
3．通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．
（2）通分法則
把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：
①先求各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；
②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來(lái)各分母所得的商分別去乘原來(lái)分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；
③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分．
【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．
4．最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．
5．分式的運(yùn)算
（1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
用式子表示為：．
（2）分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．
（3）分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．
用式子表示為：．
（4）分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．
（5）分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
1.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．
2．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
考點(diǎn)3 分式的化簡(jiǎn)求值
將給出的分式通過(guò)通分約分，然后進(jìn)行加減乘除運(yùn)算化為最簡(jiǎn)的代數(shù)式，再將已知條件代入最簡(jiǎn)式子計(jì)算求值。
1．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．
2．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．
考點(diǎn)1 分式的概念和性質(zhì)
【例題1】（2024吉林省）當(dāng)分式的值為正數(shù)時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的x的值為______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】本題主要考查了根據(jù)分式的值的情況求參數(shù)，根據(jù)題意可得，則，據(jù)此可得答案．
∵分式的值為正數(shù)，
∴，
∴，
∴滿足題意的x的值可以為0．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024安徽一模）從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個(gè)構(gòu)成分式，共可以構(gòu)成____個(gè)分式．
【答案】6　
【解析】以a－1為分母，可構(gòu)成3個(gè)分式；以x2＋5為分母，可構(gòu)成3個(gè)分式，所以共可構(gòu)成6個(gè)分式．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024海南一模）下列各式與相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
【答案】C
【解析】 分式的基本性質(zhì)是一切分式運(yùn)算的基礎(chǔ),分子與分母只能同乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,而不能同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)整式.
根據(jù)分式的基本性質(zhì)易發(fā)現(xiàn)C成立.
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024湖南一模）如果分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. x≠－ 1 B. x＞－1 C. 全體實(shí)數(shù) D. x＝－1
【答案】A．
【解析】由分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，得x＋1≠0，所以x≠－1故選A．
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算
【例題2】（2024廣州）若，則下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了分式乘法，同底數(shù)冪乘法與除法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．通分后變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)相加，可判斷A 選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)分式乘法法則計(jì)算，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可判斷D 選項(xiàng)．
A、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，原計(jì)算正確，符合題意；
C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】(2024貴州貴陽(yáng)一模)計(jì)算的結(jié)果是（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】C
【解析】根據(jù)同分母的分式加減的法則計(jì)算，分母不變，分子相加減．
原式＝＝1．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024江西一模）計(jì)算的結(jié)果為（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．
原式＝＝＝1．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024大連一模）化簡(jiǎn)（1+） ．
【答案】
【解析】利用分式的運(yùn)算法則將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入已知數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
原式＝
＝
＝
【對(duì)點(diǎn)變式練4】（2024山東青島一模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是 .
【答案】。
【解析】原式被除式括號(hào)中的第一項(xiàng)分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再利用乘法分配律將括號(hào)外邊的項(xiàng)乘到括號(hào)中的每一項(xiàng)，約分后，找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母，通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果：
。
【對(duì)點(diǎn)變式練5】（2024河北一模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　　）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【答案】A
【解析】先根據(jù)分式的乘方法則計(jì)算，再根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算．
x3（）2
＝x3
＝xy6，
故選：A．
本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法則、乘方法則是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3 分式的化簡(jiǎn)求值
【例題3】（2024深圳）先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中
【答案】，
【解析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值．
=
=
=，
當(dāng)時(shí)，原式=．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024云南一模）已知：（x、y、z均不為零），則＝_____．
【答案】3
【解析】根據(jù)已知條件可設(shè)，，，將其代入所求式子，計(jì)算即可．
（，，均不為零），
設(shè)，則，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，解此類題可根據(jù)分式的基本性質(zhì)先用未知數(shù)表示出，，，再代入計(jì)算．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】 （2024遼寧一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，再利用算術(shù)平方根、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算出a的值，代入計(jì)算即可求出值．
=，
當(dāng)時(shí)，
原式==．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．還考查了算術(shù)平方根、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．
考點(diǎn)1. 分式的概念和性質(zhì)
1. （2024江蘇鹽城）若分式有意義，則x的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義分母不等于零，得出，求出即可．
若分式有意義，
則，
∴．
考點(diǎn)2. 分式的運(yùn)算
2.（2024甘肅威武）計(jì)算：（　　）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了同分母分式減法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
．
3. （2024河北省）已知A為整式，若計(jì)算的結(jié)果為，則（ ）
A. x B. y C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
由題意得，對(duì)進(jìn)行通分化簡(jiǎn)即可．
∵的結(jié)果為，
∴，
∴，
∴，故選：A．
4. （2024黑龍江綏化）計(jì)算：_________．
【答案】
【解析】本題考查了分式的混合運(yùn)算．先算括號(hào)內(nèi)的減法，把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
．
5. （2024黑龍江大慶）已知，則的值是___________．
【答案】3
【解析】根據(jù)，通過(guò)平方變形可以求得所求式子的值．
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．
6. （2024江蘇連云港）下面是某同學(xué)計(jì)算的解題過(guò)程：
解：①
②
③
上述解題過(guò)程從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出完整的正確解題過(guò)程．
【答案】從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確過(guò)程見解析
【解析】本題考查異分母分式的加減運(yùn)算，先通分，然后分母不變，分子相減，最后將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式即可．掌握相應(yīng)的計(jì)算法則，是解題的關(guān)鍵．
從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．
正確的解題過(guò)程為：
原式．
考點(diǎn)3. 分式的化簡(jiǎn)求值
1.（2024山東濱州）歐拉是歷史上享譽(yù)全球的最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他不僅在高等數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域作出杰出貢獻(xiàn)，也在初等數(shù)學(xué)中留下了不凡的足跡．設(shè)a，b，c為兩兩不同的數(shù)，稱
為歐拉分式．
（1）寫出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式；
（2）化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，弄清歐拉公式的特點(diǎn)，利用分式的加減法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）將代入歐拉公式即可；
（2）將代入歐拉公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，
【小問2詳解】
．
2. （2024廣州）化簡(jiǎn)：（）
【答案】
【解析】∵，
∴
3. （2024甘肅臨夏）化簡(jiǎn)：．
【答案】
【解析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
，
．
4. （2024江蘇蘇州） 先化簡(jiǎn)，再求值：．其中．
【答案】，
【解析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用因式分解和除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．
原式
．
當(dāng)時(shí)，原式．
5. （2024四川達(dá)州）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)模?，1，2之中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．
【答案】，當(dāng)時(shí)，原式．
【解析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，接著根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，最后代值計(jì)算即可．
，
∵分式要有意義，
∴，
∴且且，
∴當(dāng)時(shí)，原式．
6. （2024江蘇鹽城）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】題目主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算分式的除法運(yùn)算，然后計(jì)算加減法，最后代入求值即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
，
當(dāng)時(shí)，原式．
7.（2024貴州省）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】先把分式的分子、分母分解因式，然后約分化為最簡(jiǎn)分式，最后代入數(shù)值解題即可．
；
當(dāng)時(shí)，原式．
8. （2024湖南省）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法，然后把代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果，即可求解．
，
當(dāng)時(shí)，原式．
9. （2024山東煙臺(tái)）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：，若是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡(jiǎn)：，再求值．
【答案】，．
【解析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對(duì)分式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)題意求出的值，把的值代入到化簡(jiǎn)后的結(jié)果中計(jì)算即可求解，正確化簡(jiǎn)分式和求出的值是解題的關(guān)鍵．
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴的平方根為，
∵，
∴，
又∵為的平方根，
∴，
∴原式．
考點(diǎn)1. 分式的概念和性質(zhì)
1．在，，，2m，，中，不是分式的式子有(　　)個(gè)．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C　
【解析】形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
，2m，不是分式．
2.下列分式的變形是否正確，為什么？
（1） （2）
【答案】見解析。
【解析】（1）∵已知分式中已隱含了，∴用分別乘以分式的分子、分母，分式的值不變，故（1）是正確的.
（2）因?yàn)橐阎质街校瑳]限制，可以取任意數(shù)，當(dāng)然也包括了，當(dāng)分式的分子、分母都乘以時(shí)，分式?jīng)]意義，故（2）是錯(cuò)誤的.
考點(diǎn)2. 分式的運(yùn)算
1.已知分式的值為0，求a的值及b的取值范圍．
【答案】a＝1且b≠±1.
【解析】因?yàn)榉质降闹禐?，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.
2. 已知非零實(shí)數(shù)x，y滿足y＝，則的值等于　 　．
【答案】4
【解析】由y＝得：x﹣y＝xy，整體代入到代數(shù)式中求值即可．
由y＝得：xy+y＝x，
∴x﹣y＝xy，
∴原式＝
＝
＝4．
本題考查了求分式的值，對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整體，代入到代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．
3. 計(jì)算，正確的結(jié)果是（ ）
A．1 B． C．a(chǎn) D．
【答案】A．
【解析】∵＝＝＝1，∴選A．
4．化簡(jiǎn)的結(jié)果是________.
【答案】
【解析】.
5．計(jì)算的結(jié)果是___________．
【答案】
【解析】原式＝ ＝ ＝ ＝ ．
6.計(jì)算：（m﹣） ．
【答案】m+1．
【解析】利用分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
原式＝
＝
＝m+1．
7. 化簡(jiǎn)： ＝____________．
【答案】
【解析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的順序，依次計(jì)算即可．
=
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3. 分式的化簡(jiǎn)求值
1. 先化簡(jiǎn),再求值,其中
【答案】
【解析】按照分式的加減乘除混合運(yùn)算順序，先算乘除，再算加減，分子分母能夠因式分解的要因式分解，能夠約分的要約分，將結(jié)果化為最簡(jiǎn)，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計(jì)算．
＝
＝
=
=-a+1；
當(dāng)a=3時(shí)，原式=-3+1=-2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】，0
【解析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)求出a，最后代入計(jì)算．
；
∵，
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，銳角三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m為滿足－1＜m＜4的整數(shù)．
【答案】，當(dāng)時(shí)，式子的值為；當(dāng)時(shí)，式子的值為．
【解析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式加法，再計(jì)算分式的乘法，然后根據(jù)分式有意義的條件確定的值，代入計(jì)算即可得．
原式
，
，
，
又為滿足的整數(shù)，
或，
當(dāng)時(shí)，原式，
當(dāng)時(shí)，原式，
綜上，當(dāng)時(shí)，式子的值為；當(dāng)時(shí)，式子的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
4. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再將a的值代入化簡(jiǎn)之后的式子即可求出答案．
原式
．
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第一章 數(shù)與式
1.3 分式
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 分式的概念和性質(zhì) ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，分式部分，每年考查1—2道題,分值為3—6分，通常以選擇題、填空題、解答題其中一種題型考查。大多省市在解答題里考查分式的化簡(jiǎn)求值。 有的省市在選擇題或填空題考查分式有意義的條件，復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟練掌握分式的概念和性質(zhì)、分式的運(yùn)算規(guī)則，掌握解決分式問題基本要領(lǐng)。
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算 ☆☆☆
考點(diǎn)3 分式的化簡(jiǎn)求值 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。
考點(diǎn)1 分式的概念和性質(zhì)
1．分式的定義
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．
（2）分式中，A叫做_____-，B叫做_____．
【注意】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無(wú)意義；③若A=0且B≠0，則=0．
2．分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)_______的整式，分式的值不變．
用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算
1．約分及約分法則
（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的________約去，這種變形稱為分式的約分．
（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先________，然后約分．
【注意】約分的根據(jù)是_________．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的_______．
2．最簡(jiǎn)分式
分子、分母沒有_______的分式叫做最簡(jiǎn)分式．
【注意】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．
3．通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式____的同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．
（2）通分法則
把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：
①先求各個(gè)分式的______（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；
②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來(lái)各分母所得的商分別去乘原來(lái)分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值______，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；
③若分母是多項(xiàng)式，則先_______，再通分．
【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．
4．最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的_____與所有字母因式的______的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．
5．分式的運(yùn)算
（1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母______，分子_____．用式子表示為：．
②異分母的分式相加減法則：先______，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
用式子表示為：．
（2）分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的______，分母的積作為積的_____．用式子表示為：．
（3）分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式______．
用式子表示為：．
（4）分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別_____．用式子表示為：為正整數(shù)，．
（5）分式的混合運(yùn)算
含有分式的______、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
1.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．
2．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
考點(diǎn)3 分式的化簡(jiǎn)求值
將給出的分式通過(guò)通分約分，然后進(jìn)行加減乘除運(yùn)算化為最簡(jiǎn)的代數(shù)式，再將已知條件代入最簡(jiǎn)式子計(jì)算求值。
1．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)_______．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．
2．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．
考點(diǎn)1 分式的概念和性質(zhì)
【例題1】（2024吉林省）當(dāng)分式的值為正數(shù)時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的x的值為______．
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024安徽一模）從a－1，3＋π，2，x2＋5中任選2個(gè)構(gòu)成分式，共可以構(gòu)成____個(gè)分式．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024海南一模）下列各式與相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024湖南一模）如果分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. x≠－ 1 B. x＞－1 C. 全體實(shí)數(shù) D. x＝－1
考點(diǎn)2 分式的運(yùn)算
【例題2】（2024廣州）若，則下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【對(duì)點(diǎn)變式練1】(2024貴州貴陽(yáng)一模)計(jì)算的結(jié)果是（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024江西一模）計(jì)算的結(jié)果為（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024大連一模）化簡(jiǎn)（1+） ．
【對(duì)點(diǎn)變式練4】（2024山東青島一模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是 .
【對(duì)點(diǎn)變式練5】（2024河北一模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　　）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
考點(diǎn)3 分式的化簡(jiǎn)求值
【例題3】（2024深圳）先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中
【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024云南一模）已知：（x、y、z均不為零），則＝_____．
【對(duì)點(diǎn)變式練2】 （2024遼寧一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
考點(diǎn)1. 分式的概念和性質(zhì)
1. （2024江蘇鹽城）若分式有意義，則x的取值范圍是_________．
考點(diǎn)2. 分式的運(yùn)算
2.（2024甘肅威武）計(jì)算：（　　）
A. 2 B. C. D.
3. （2024河北省）已知A為整式，若計(jì)算的結(jié)果為，則（ ）
A. x B. y C. D.
4. （2024黑龍江綏化）計(jì)算：_________．
5. （2024黑龍江大慶）已知，則的值是___________．
6. （2024江蘇連云港）下面是某同學(xué)計(jì)算的解題過(guò)程：
解：①
②
③
上述解題過(guò)程從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出完整的正確解題過(guò)程．
考點(diǎn)3. 分式的化簡(jiǎn)求值
1.（2024山東濱州）歐拉是歷史上享譽(yù)全球的最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他不僅在高等數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域作出杰出貢獻(xiàn)，也在初等數(shù)學(xué)中留下了不凡的足跡．設(shè)a，b，c為兩兩不同的數(shù)，稱
為歐拉分式．
（1）寫出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式；
（2）化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式．
2. （2024廣州）化簡(jiǎn)：（）
3. （2024甘肅臨夏）化簡(jiǎn)：．
4. （2024江蘇蘇州） 先化簡(jiǎn)，再求值：．其中．
5. （2024四川達(dá)州）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)模?，1，2之中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．
6. （2024江蘇鹽城）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
7.（2024貴州省）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
8. （2024湖南省）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
9. （2024山東煙臺(tái)）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：，若是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡(jiǎn)：，再求值．
考點(diǎn)1. 分式的概念和性質(zhì)
1．在，，，2m，，中，不是分式的式子有(　　)個(gè)．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.下列分式的變形是否正確，為什么？
（1） （2）
考點(diǎn)2. 分式的運(yùn)算
1.已知分式的值為0，求a的值及b的取值范圍．
2. 已知非零實(shí)數(shù)x，y滿足y＝，則的值等于　 　．
3. 計(jì)算，正確的結(jié)果是（ ）
A．1 B． C．a(chǎn) D．
4．化簡(jiǎn)的結(jié)果是________.
5．計(jì)算的結(jié)果是___________．
6.計(jì)算：（m﹣） ．
7. 化簡(jiǎn)： ＝____________．
考點(diǎn)3. 分式的化簡(jiǎn)求值
1. 先化簡(jiǎn),再求值,其中
2. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
3. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m為滿足－1＜m＜4的整數(shù)．
4. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
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