資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第七章 統計與概率
7.2 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 事件與概率 ☆☆ 數學中考中，有關概率的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的其中一種形式考查。難度不大，只要掌握概率的幾種計算方法就能獲得滿意的分數。但在解答里出現求概率問題，一般是結合統計圖綜合考查，所以各種統計圖的意義要理解，對數據分析要熟練。
考點2 概率的計算 ☆☆☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1 事件與概率
（一）確定事件和隨機事件
1. 確定事件：確定事件是一定會發生或一定不會發生的事件，包括：
（1）必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中_____會發生的事件．
（2）不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件．
2. 隨機事件：在一定條件下，可能____也可能不發生的事件，稱為隨機事件．
3. 隨機事件發生的可能性：一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能_____．
對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小．要評判一些游戲規則對參與游戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣．所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題．
（二）概率
1. 概率的概念：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的____，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A) ．
2. 頻率與概率的關系：當我們大量重復進行試驗時，某事件出現的頻率逐漸穩定到某一個數值，把這一頻率的_____作為該事件發生的概率的估計值．
3. 確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
（1）確定事件概率：
①當A是必然發生的事件時，P(A)=②當A是不可能發生的事件時，P(A)=（2）確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
4. 古典概型的定義：某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限____個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性_____．我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型．
5. 計算概率的公式
P（A）=，其中n為所有事件的_____，m為事件A發生的________．
【易錯點提示】幾何概型求法
一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計算公式為：P(A)＝，解這類題除了掌握概率的計算方法外，還應熟練掌握幾何圖形的面積計算．
考點2 概率的計算
1. 用直接列舉法求概率
（1）直接列舉法：. 即把事件可能出現的結果______列出.
（2）直接列舉法比較適合用于最多涉及_____個試驗因素或分兩步進行的試驗，且事件總結果的種數比較少的等可能性事件.
（3）隨機事件“同時”與“先后”的關系：“兩個相同的隨機事件同時發生”與“一個隨機事件先后兩次發生”的結果是一樣的.
2. 用列表法求概率
（1）列表法：當一次試驗要涉及____個因素，并且可能出現的結果數目______時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發生的概率．
（2）列表格方法
【注意】在何種情況下求解概率使用列表格法的歸納總結
當一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能結果，通常采用列表法。
3. 利用畫樹狀圖法求概率
（1）畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及____個或_____的因素時，按事件發生的次序，列出事件可能出現的結果. 通常采用畫樹狀圖來求事件發生的概率．
（2）樹狀圖的畫法
如一個試驗中涉及2個因數,第一個因數中有2種可能情況;第二個因數中有3種可能的情況.則其樹形圖如圖。
（3）畫樹狀圖法求概率的步驟、適用范圍、注意事項：
4. 利用頻率估計概率
（1）利用頻率估計概率。在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。
（2）在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。
（3）隨機數。在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。
【易錯點提示】概率與頻率的關系
概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值。
考點1 事件與概率
【例題1】（2024貴州省）小星同學通過大量重復的定點投籃練習，用頻率估計他投中的概率為0.4，下列說法正確的是（ ）
A. 小星定點投籃1次，不一定能投中 B. 小星定點投籃1次，一定可以投中
C. 小星定點投籃10次，一定投中4次 D. 小星定點投籃4次，一定投中1次
【對點變式練1】（2024湖北孝感一模）擲兩枚質地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（ ）
A. 點數的和為1 B. 點數的和為6
C. 點數的和大于12 D. 點數的和小于13
【對點變式練2】（2024遼寧一模）不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3個球都是黑球 B．3個球都是白球
C．三個球中有黑球 D．3個球中有白球
【例題2】 （2024深圳）二十四節氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現象發生的規律，二十四個節氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在夏季的概率為（ ）
A. B. C. D.
【對點變式練1】（2024上海一模）某校計劃組織研學活動，現有四個地點可供選擇：南麂島、百丈漈、楠溪江、雁蕩山．若從中隨機選擇一個地點，則選中“南麂島”或“百丈漈”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【對點變式練2】（2024天津一模）正方形ABCD的邊長為2，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，得到如圖所示陰影部分，若隨機向正方形ABCD內投一粒米，求米粒落在陰影部分的概率。
考點2 概率的計算
【例題3】（2024福建省）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想，我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質數2，3，5中，隨機選取兩個不同的數，其和是偶數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例題4】 （2024江蘇鹽城）在“重走建軍路，致敬新四軍”紅色研學活動中，學校建議間學們利用周末時間自主到以下三個基地開展研學活動．
A．新四軍紀念館（主館區）；
B．新四軍重建軍部舊址（泰山廟）：
C．新四軍重建軍部紀念塔（大銅馬），
小明和小麗各自隨機選擇一個基地作為本次研學活動的第一站．
（1）小明選擇基地A的概率為________：
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗選擇相同基地的概率．
【對點變式練1】 （2024山東濟寧一模）某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【對點變式練2】（2024云南一模）某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例題5】（2024江蘇揚州）某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數據如表：
累計拋擲次數 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
蓋面朝上次數 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
蓋面朝上頻率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近于__________（精確到0.01）．
【對點變式練1】（2024新疆一模）甲、乙兩位同學在一次用頻率去估計概率的實驗中統計了某一結果出現的頻率，繪出的統計圖如圖所示，則符合這一結果的實驗可能是（　　）
A．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率
B．一個袋子中有2個白球和1個紅球，從中任取一個球，則取到紅球的概率
C．拋一枚硬幣，出現正面的概率
D．任意寫一個整數，它能被2整除的概率
【對點變式練2】（2024寧夏一模）某批羽毛球的質量檢驗結果如下：
抽取的羽毛球數a 100 200 400 600 800 1000 1200
優等品的頻數b 93 192 380 561 752 941 1128
優等品的頻率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估計，從這批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是優等品的概率是0.94．下列說法中，正確的
是（ ）
A．如果繼續對這批羽毛球進行質量檢驗，優等品的頻率將在0.94附近擺動
B．從這批羽毛球中任意抽取一只，一定是優等品
C．從這批羽毛球中任意抽取50只，優等品有47只
D．從這批羽毛球中任意抽取1100只，優等品的頻率在0.940~0.941的范圍內
考點1. 事件與概率
1. （2024武漢市）小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（ ）
A. 隨機事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 確定性事件
2. （2024湖北省）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A. 擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同學投籃球，一定投不中
C. 經過紅綠燈路口時，一定是紅燈 D. 畫一個三角形，其內角和為
3. （2024江蘇連云港）下列說法正確的是（ ）
A. 10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大
B. 從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，取得偶數的可能性較大
C. 小強一次擲出3顆質地均勻骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件
D. 拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續拋此硬幣2次必有1次正面朝上
4. （2024遼寧）一個不透明袋子中裝有4個白球，3個紅球，2個綠球，1個黑球，每個球除顏色外都相同．從中隨機摸出一個球，則下列事件發生的概率為的是（ ）
A. 摸出白球 B. 摸出紅球 C. 摸出綠球 D. 摸出黑球
5. （2024廣西）不透明袋子中裝有白球2個，紅球1個，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出1個球，取出白球的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
6. （2024湖北省）中國古代杰出的數學家祖沖之、劉徽、趙爽、秦九韶、楊輝，從中任選一個，恰好是趙爽的概率是______．
7. （2024四川成都市）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為______．
考點2. 概率的計算
1. （2024甘肅臨夏）物理變化和化學變化的區別在于是否有新物質的生成．某學習小組在延時課上制作了，，，四張卡片，四張卡片除圖片內容不同外，其他沒有區別，放置于暗箱中搖勻．
（1）小臨從四張卡片中隨機抽取一張，抽中卡片的概率是______；
（2）小夏從四張卡片中隨機抽取兩張，用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內容均為化學變化的概率．
2. （2024黑龍江大慶）“鐵人王進喜紀念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數字大慶中心”是大慶市四個有代表性的旅游景點．若小娜從這四個景點中隨機選擇兩個景點游覽，則這兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024河北省）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有，除正面的代數式不同外，其余均相同．
（1）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，當時，求取出的卡片上代數式的值為負數的概率；
（2）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機抽取一張．請在表格中補全兩次取出的卡片上代數式之和的所有可能結果（化為最簡），并求出和為單項式的概率．
4. （2024河南省）豫劇是國家級非物質文化遺產，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）六月份，在“陽光大課間”活動中，某校設計了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運動項目，且每名學生在一個大課間只能選擇參加一種運動項目，則甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024廣州）善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學們的提問水平，對，兩組同學進行問卷調查，并根據結果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：
組 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
組 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求組同學得分的中位數和眾數；
（2）現從、兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率．
7. （2024甘肅威武）在一只不透明的布袋中，裝有質地、大小均相同的四個小球，小球上分別標有數字1，2，3，4．甲乙兩人玩摸球游戲，規則為：兩人同時從袋中隨機各摸出1個小球，若兩球上的數字之和為奇數，則甲勝；若兩球上的數字之和為偶數，則乙勝．
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．
（2）這個游戲規則對甲乙雙方公平嗎？請說明理由．
8. （2024貴州省）根據《國家體質健康標準》規定，七年級男生、女生50米短跑時間分別不超過7.7秒、8.3秒為優秀等次．某校在七年級學生中挑選男生、女生各5人進行集訓，經多次測試得到10名學生的平均成績（單位：秒）記錄如下：
男生成績：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成績：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根據以上信息，解答下列問題：
（1）男生成績眾數為______，女生成績的中位數為______；
（2）判斷下列兩位同學的說法是否正確．
（3）教練從成績最好的3名男生（設為甲，乙，丙）中，隨機抽取2名學生代表學校參加比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求甲被抽中的概率．
9.（2024江蘇揚州） 2024年“五一”假期，揚州各旅游景區持續火熱．小明和小亮準備到東關街、瘦西湖、運河三灣風景區、個園、何園（分別記作A、B、C、D、E）參加公益講解活動．
（1）若小明在這5個景區中隨機選擇1個景區，則選中東關街的概率是______；
（2）小明和小亮在C、D、E三個景區中，各自隨機選擇1個景區，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小亮選到相同景區的概率．
10. （2024山東煙臺）“山海同行，艦回煙臺”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學校開展了“奮進萬億新征程，共筑強國強軍夢”的主題研學活動，為了解學生參與情況，隨機抽取部分學生對研學活動時長（用t表示，單位：h）進行調查．經過整理，將數據分成四組（A組：；B組：；C組：；D組：），并繪制了如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖．
（1）請補全條形統計圖；
（2）扇形統計圖中，a的值為_____，D組對應的扇形圓心角的度數為______；
（3）D組中有男、女生各兩人，現從這四人中隨機抽取兩人進行研學宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．
11. （2024黑龍江綏化）為了落實國家“雙減”政策，某中學在課后服務時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項社團活動．為了了解七年級學生對社團活動的喜愛情況，該校從七年級全體學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一項社團活動”的問卷調查，每人必須選擇一項社團活動（且只能選擇一項）．根據調查結果，繪制成如下兩幅統計圖．
請根據統計圖中的信息，解答下列問題：
（1）參加本次問卷調查的學生共有______人．
（2）在扇形統計圖中，A組所占的百分比是______，并補全條形統計圖．
（3）端午節前夕，學校計劃進行課后服務成果展示，準備從這4個社團中隨機抽取2個社團匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團恰好是B和C的概率．
考點1. 事件與概率
1. 一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是（ ）
A．至少有1個球是黑球
B．至少有1個球是白球
C．至少有2個球是黑球
D．至少有2個球是白球
2. 如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發光．下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（　　）
只閉合1個開關 B．只閉合2個開關
C．只閉合3個開關 D．閉合4個開關
3. 如圖，擲兩枚質地均勻、大小完全相同的骰子，則下列事件是必然事件的是（ ）
A．擲得的點數和為5 B．擲得的點數和為9
C．擲得的點數和大于15 D．擲得的點數和小于13
4. 某路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮72秒，綠燈亮25秒，黃燈亮3秒，當小明到達該路口時，遇到綠燈的概率是（ ）
A． B． C． D．
5. 在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中有5個紅球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為，則隨機摸出一個黃球的概率為（　　）
A． B． C． D．
考點2. 概率的計算
1. 從有理數中任選兩個數作為點的坐標，滿足點在直線上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2. 如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在灰色區域的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內任取一點，則點落在陰影部分的概率為（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，△ABC三邊的中點D，E，F組成△DEF，△DEF三邊的中點M，N，P組成△MNP，將△FPM與△ECD涂成陰影．假設可以隨意在△ABC中取點，那么這個點取在陰影部分的概率為 ．
5. 斯蒂芬·庫里是美國職業籃球運動員，司職控球后衛，效力于金州勇士隊，下表是庫里一段時間內在罰球線上訓練投籃的結果記錄：
罰球總數 400 1000 1600 2000 2887
命中次數 348 893 1432 1802 2617
罰球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
根據以上數據可以估計，庫里在罰球線上投籃一次，投中的概率為 （精確到0.1）
6. 五張不透明的卡片，正面分別寫有實數，，，，5.06006000600006……（相鄰兩個6之間0的個數依次加1）．這五張卡片除正面的數不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一張卡片，取到的卡片正面的數是無理數的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.在物理實驗課上，同學們用三個開關、兩個燈泡、一個電源、一個電阻及若干條導線連接如圖所示的電路圖，隨機閉合圖中的兩個開關，有一個燈泡發光的概率是 ．
8. 用數字0，1，2，3組成個位數字與十位數字不同的兩位數，其中是偶數的概率為__________．
9.周至縣歷史悠久，山川秀麗，風景名勝與文物古跡頗多，人文和自然景觀十分豐富，漢家離宮唐家園林，星羅棋布．小剛和小強兩人準備從．樓觀臺國家森林公園，．黑河國家森林公園，．沙河濕地公園，．終南山鼓樓觀景區中各自任意選擇一景點游玩．
樓觀臺國家森林公園 黑河國家森林公園沙河濕地公園 終南山鼓樓觀景區
(1)小剛選擇的景點是“沙河濕地公園”的概率為 ；
(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求兩人選擇的景點不同的概率．
10. 揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從，，三個景點中隨機選擇一個景點游覽．
（1）甲選擇景點的概率為________；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇景點的概率．
11. 元旦檔刷新歷史票房紀錄，春節檔有望繼續表現優秀．春節有4部影片在春節檔上映，分別是《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《 逆轉時空》《第二十條》．小亮和小麗兩名同學分別從《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《第二十條》三部電影中隨機選擇一部觀看，將《熱辣滾燙》表示為，《飛馳人生2》表示為，《第二十條》表示為．假設這兩名同學選擇觀看哪部電影不受任何因素影響，且每一部電影被選到的可能性相等．記小亮同學的選擇為，小麗同學的選擇為．
(1)請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求所有可能出現的結果總數；
(2)求小亮和小麗兩名同學恰好選擇觀看同一部電影的概率．
12. 豫劇，又叫河南梆子、河南謳、土梆子等，是發源于河南省的一個戲曲劇種．如圖，豫劇愛好者小華購買了《豫劇》特種郵票1套3枚，第1枚《花木蘭》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝陽溝》，并計劃把其中的兩枚送給好朋友樂樂和妙妙．小華將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），先讓樂樂從中隨機抽取一枚（不放回），再讓妙妙從中隨機抽取一枚，則妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的概率是（ ）
A． B． C． D．
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第七章 統計與概率
7.2 概率
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 事件與概率 ☆☆ 數學中考中，有關概率的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的其中一種形式考查。難度不大，只要掌握概率的幾種計算方法就能獲得滿意的分數。但在解答里出現求概率問題，一般是結合統計圖綜合考查，所以各種統計圖的意義要理解，對數據分析要熟練。
考點2 概率的計算 ☆☆☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1 事件與概率
（一）確定事件和隨機事件
1. 確定事件：確定事件是一定會發生或一定不會發生的事件，包括：
（1）必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件．
（2）不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件．
2. 隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件．
3. 隨機事件發生的可能性：一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同．
對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小．要評判一些游戲規則對參與游戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣．所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題．
（二）概率
1. 概率的概念：一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A) ．
2. 頻率與概率的關系：當我們大量重復進行試驗時，某事件出現的頻率逐漸穩定到某一個數值，把這一頻率的穩定值作為該事件發生的概率的估計值．
3. 確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
（1）確定事件概率：
①當A是必然發生的事件時，P(A)=1
②當A是不可能發生的事件時，P(A)=0
（2）確定事件和隨機事件的概率之間的關系：
4. 古典概型的定義：某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等．我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型．
5. 計算概率的公式
P（A）=，其中n為所有事件的總數，m為事件A發生的總次數．
【易錯點提示】幾何概型求法
一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計算公式為：P(A)＝，解這類題除了掌握概率的計算方法外，還應熟練掌握幾何圖形的面積計算．
考點2 概率的計算
1. 用直接列舉法求概率
（1）直接列舉法：. 即把事件可能出現的結果一 一列出.
（2）直接列舉法比較適合用于最多涉及兩個試驗因素或分兩步進行的試驗，且事件總結果的種數比較少的等可能性事件.
（3）隨機事件“同時”與“先后”的關系：“兩個相同的隨機事件同時發生”與“一個隨機事件先后兩次發生”的結果是一樣的.
2. 用列表法求概率
（1）列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，應不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發生的概率．
（2）列表格方法
【注意】在何種情況下求解概率使用列表格法的歸納總結
當一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能結果，通常采用列表法。
3. 利用畫樹狀圖法求概率
（1）畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，按事件發生的次序，列出事件可能出現的結果. 通常采用畫樹狀圖來求事件發生的概率．
（2）樹狀圖的畫法
如一個試驗中涉及2個因數,第一個因數中有2種可能情況;第二個因數中有3種可能的情況.則其樹形圖如圖。
（3）畫樹狀圖法求概率的步驟、適用范圍、注意事項：
4. 利用頻率估計概率
（1）利用頻率估計概率。在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。
（2）在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。
（3）隨機數。在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。
【易錯點提示】概率與頻率的關系
概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值。
考點1 事件與概率
【例題1】（2024貴州省）小星同學通過大量重復的定點投籃練習，用頻率估計他投中的概率為0.4，下列說法正確的是（ ）
A. 小星定點投籃1次，不一定能投中 B. 小星定點投籃1次，一定可以投中
C. 小星定點投籃10次，一定投中4次 D. 小星定點投籃4次，一定投中1次
【答案】A
【解析】本題主要考查了概率的意義，概率是反映事件發生機會的大小的概念，只是表示發生的機會的大小，機會大也不一定發生，據此求解即可．
小星同學通過大量重復的定點投籃練習，用頻率估計他投中的概率為0.4，則由概率的意義可知，小星定點投籃1次，不一定能投中，故選項A正確，選項B錯誤；
小星定點投籃10次，不一定投中4次，故選項C錯誤；
小星定點投籃4次，不一定投中1次，故選項D錯誤
故選；A．
【對點變式練1】（2024湖北孝感一模）擲兩枚質地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（ ）
A. 點數的和為1 B. 點數的和為6
C. 點數的和大于12 D. 點數的和小于13
【答案】B
【解析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．
A、點數和為1，是不可能事件，不符合題意；
B、點數和為6，是隨機事件，符合題意；
C、點數和大于12，是不可能事件，不符合題意；
D、點數的和小于13，是必然事件，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
【對點變式練2】（2024遼寧一模）不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3個球都是黑球 B．3個球都是白球
C．三個球中有黑球 D．3個球中有白球
【答案】B
【解析】根據袋子中球的個數以及每樣球的個數對摸出的3個球的顏色進行分析即可.
【詳解】袋中一共6個球，有4個黑球和2個白球，從中一次摸出3個球，可能3個都是黑球，也可能2個黑球1個白球，也可能2個白球1個黑球，不可能3個都是白球，
故選項A、C、D都是可能事件，不符合題意，選項B是不可能事件，符合題意，
故選：B.
【點睛】本題考查了確定事件及隨機事件，把握相關概念，正確進行分析是解題的關鍵.
【例題2】 （2024深圳）二十四節氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現象發生的規律，二十四個節氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節氣中選一個節氣，則抽到的節氣在夏季的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了概率公式．根據概率公式直接得出答案．
二十四個節氣中選一個節氣，抽到的節氣在夏季的有六個，
則抽到的節氣在夏季的概率為，故選：D．
【對點變式練1】（2024上海一模）某校計劃組織研學活動，現有四個地點可供選擇：南麂島、百丈漈、楠溪江、雁蕩山．若從中隨機選擇一個地點，則選中“南麂島”或“百丈漈”的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據概率公式可直接求解．
∵有四個地點可供選擇：南麂島、百丈漈、楠溪江、雁蕩山，
∴若從中隨機選擇一個地點，則選中“南麂島”或“百丈漈”的概率為；
故選：C．
【點睛】本題考查了根據概率公式求簡單事件的概率，正確理解題意是關鍵．
【對點變式練2】（2024天津一模）正方形ABCD的邊長為2，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，得到如圖所示陰影部分，若隨機向正方形ABCD內投一粒米，求米粒落在陰影部分的概率。
【答案】
【解析】求得陰影部分的面積后除以正方形的面積即可求得概率．
如圖，連接PA、PB、OP；
則S半圓O==，S△ABP=×2×1=1，
由題意得：圖中陰影部分的面積=4（S半圓O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在陰影部分的概率為=
考點2 概率的計算
【例題3】（2024福建省）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想，我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質數2，3，5中，隨機選取兩個不同的數，其和是偶數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計算即可．
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數的共有2種情況，故和是偶數的概率是
，故選：B
【例題4】 （2024江蘇鹽城）在“重走建軍路，致敬新四軍”紅色研學活動中，學校建議間學們利用周末時間自主到以下三個基地開展研學活動．
A．新四軍紀念館（主館區）；
B．新四軍重建軍部舊址（泰山廟）：
C．新四軍重建軍部紀念塔（大銅馬），
小明和小麗各自隨機選擇一個基地作為本次研學活動的第一站．
（1）小明選擇基地A的概率為________：
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗選擇相同基地的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結果數以及小明和小麗選擇相同基地的結果數，再利用概率公式可得出答案．
【小問1詳解】
解：由題意得，小明選擇基地A的概率為；
故答案為：
【小問2詳解】
解：列表如下：
A B C
A
B
C
共有9種等可能的結果，其中小明和小麗選擇到相同基地的結果有3種，
∴小明和小麗選擇相同基地的概率為．
【對點變式練1】 （2024山東濟寧一模）某校在勞動課上，設置了植樹、種花、除草三個勞動項目．九年一班和九年二班都通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一個項目，則這兩個班級恰好都抽到種花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據列表法求概率即可求解．
設分別表示植樹、種花、除草三個勞動項目，列表如下，
共有9種等可能結果，符合題意得出有1種，
∴這兩個班級恰好都抽到種花的概率是，
故選：D．
【點睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握求概率的方法是解題的關鍵．
【對點變式練2】（2024云南一模）某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目分別為，畫出樹狀圖，找到所有情況數和滿足要求的情況數，利用概率公式求解即可．
【詳解】設“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目分別為，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有12種等可能情況，他選擇“100米”與“400米”兩個項目即選擇C和D的情況數共有2種，
∴選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率為，
故選：C
【點睛】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，正確畫出樹狀圖或列表，找到所有等可能情況數和滿足要求情況數是解題的關鍵．
【例題5】（2024江蘇揚州）某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數據如表：
累計拋擲次數 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
蓋面朝上次數 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
蓋面朝上頻率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近于__________（精確到0.01）．
【答案】0.53
【解析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是能夠仔細觀察表格并了解：現隨著實驗次數的增多，頻率逐漸穩定到某個常數附近，可用這個常數表示概率．根據圖表中數據解答本題即可．
【詳解】解：由表中數據可得：隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，
故答案：0.53
【對點變式練1】（2024新疆一模）甲、乙兩位同學在一次用頻率去估計概率的實驗中統計了某一結果出現的頻率，繪出的統計圖如圖所示，則符合這一結果的實驗可能是（　　）
A．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率
B．一個袋子中有2個白球和1個紅球，從中任取一個球，則取到紅球的概率
C．拋一枚硬幣，出現正面的概率
D．任意寫一個整數，它能被2整除的概率
【答案】B
【解析】根據統計圖可知，試驗結果在0.33附近波動，即其概率P≈0.33，計算四個選項的概率，約為0.33者即為正確答案．
A. 擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率為，故此選項不符合題意；
B.一個袋子中有2個白球和1個紅球，從中任取一個球，則取到紅球的概率≈0.33，故此選項符合題意；
C.擲一枚硬幣，出現正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；
D.任意寫出一個整數，能被2整除的概率為，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率=所求情況數與總情況數之比．同時此題在解答中要用到概率公式．
【對點變式練2】（2024寧夏一模）某批羽毛球的質量檢驗結果如下：
抽取的羽毛球數a 100 200 400 600 800 1000 1200
優等品的頻數b 93 192 380 561 752 941 1128
優等品的頻率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估計，從這批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是優等品的概率是0.94．下列說法中，正確的
是（ ）
A．如果繼續對這批羽毛球進行質量檢驗，優等品的頻率將在0.94附近擺動
B．從這批羽毛球中任意抽取一只，一定是優等品
C．從這批羽毛球中任意抽取50只，優等品有47只
D．從這批羽毛球中任意抽取1100只，優等品的頻率在0.940~0.941的范圍內
【答案】A
【解析】根據頻數和頻率的關系進行判斷即可
A. 如果繼續對這批羽毛球進行質量檢驗，優等品的頻率將在0.94附近擺動，故此選項正確；
B. 從這批羽毛球中任意抽取一只，不一定是優等品，故此選項錯誤；
C. 從這批羽毛球中任意抽取50只，優等品有不一定為47只，故此選項錯誤；
D. 從這批羽毛球中任意抽取1100只，優等品的頻率不一定在0.940~0.941的范圍內，故此選項錯誤．
故選：A．
【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率的知識，熟練掌握利用頻率估計概率的知識是解題的關鍵．
考點1. 事件與概率
1. （2024武漢市）小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（ ）
A. 隨機事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 確定性事件
【答案】A
【解析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．根據事件發生的可能性大小判斷即可．
兩人同時出相同的手勢，，這個事件是隨機事件，故選：A．
2. （2024湖北省）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A. 擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同學投籃球，一定投不中
C. 經過紅綠燈路口時，一定是紅燈 D. 畫一個三角形，其內角和為
【答案】D
【解析】本題考查了隨機事件和必然事件，解題的關鍵是掌握一定會發生的是必然事件，有可能發生，也有可能不發生的是隨機事件，據此逐個判斷即可．
【詳解】A、擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3，是隨機事件，不符合題意；
B、某同學投籃球，一定投不中，是隨機事件，不符合題意；
C、經過紅綠燈路口時，一定是紅燈，是隨機事件，不符合題意；
D、畫一個三角形，其內角和為，是必然事件，符合題意；故選：D．
3. （2024江蘇連云港）下列說法正確的是（ ）
A. 10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大
B. 從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，取得偶數的可能性較大
C. 小強一次擲出3顆質地均勻骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件
D. 拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【答案】C
【解析】本題考查事件發生的可能性與概率．由題意根據事件的可能性以及事件發生的概率對各選項進行依次判斷即可．
A、“10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率一樣”，故該選項錯誤，不符合題意；
B、從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，奇數有3個，偶數有2個，取得奇數的可能性較大，故該選項錯誤，不符合題意；
C、 “小強一次擲出3顆質地均勻的骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件”，故該選項正確，符合題意；
D、拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續拋此硬幣2次有可能有1次正面朝上，故該選項錯誤，不符合題意；故選：C．
4. （2024遼寧）一個不透明袋子中裝有4個白球，3個紅球，2個綠球，1個黑球，每個球除顏色外都相同．從中隨機摸出一個球，則下列事件發生的概率為的是（ ）
A. 摸出白球 B. 摸出紅球 C. 摸出綠球 D. 摸出黑球
【答案】B
【解析】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題關鍵．分別求出摸出四種顏色球的概率，即可得到答案．
A、摸出白球的概率為，不符合題意；
B、摸出紅球，符合題意；
C、摸出綠球，不符合題意；
D、摸出黑球，不符合題意；
故選：B．
5. （2024廣西）不透明袋子中裝有白球2個，紅球1個，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出1個球，取出白球的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查求概率，直接利用概率公式進行計算即可．
【詳解】從袋子中隨機取出1個球，有種等可能的結果，其中取出白球的情況有2種，
∴；故選D．
6. （2024湖北省）中國古代杰出的數學家祖沖之、劉徽、趙爽、秦九韶、楊輝，從中任選一個，恰好是趙爽的概率是______．
【答案】
【解析】本題主要考查運用概率公式求概率，根據概率公式即可得出答案．
共有5位數學家，趙爽是其中一位，
所以，從中任選一個，恰好是趙爽概率是
7. （2024四川成都市）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為______．
【答案】
【解析】本題考查簡單的概率計算、比例性質，根據隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，進而利用比例性質求解即可．
∵隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，
∴，則
考點2. 概率的計算
1. （2024甘肅臨夏）物理變化和化學變化的區別在于是否有新物質的生成．某學習小組在延時課上制作了，，，四張卡片，四張卡片除圖片內容不同外，其他沒有區別，放置于暗箱中搖勻．
（1）小臨從四張卡片中隨機抽取一張，抽中卡片的概率是______；
（2）小夏從四張卡片中隨機抽取兩張，用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內容均為化學變化的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】本題考查簡單的概率計算，列表法或畫樹狀圖法求概率，掌握概率公式和正確的列出表格或畫出樹狀圖是解題關鍵．
（1）直接利用概率公式計算即可；
（2）根據題意列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的結果，再找出抽取兩張卡片內容均為化學變化的結果，最后根據概率公式計算即可．
【小問1詳解】
解：小臨從四張卡片中隨機抽取一張，抽中卡片的概率是．
故答案為：；
【小問2詳解】
解：根據題意可列表格如下，
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
根據表格可知共有12種等可能的結果，其中抽取兩張卡片內容均為化學變化的結果有2種，
∴抽取兩張卡片內容均為化學變化的概率為．
2. （2024黑龍江大慶）“鐵人王進喜紀念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數字大慶中心”是大慶市四個有代表性的旅游景點．若小娜從這四個景點中隨機選擇兩個景點游覽，則這兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結果數，再找到選擇兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．
設鐵人王進喜紀念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數字大慶中心”四個景點分別用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12種等可能性的結果數，其中選擇“鐵人王進喜紀念館”的結果數有種，
∴這兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的概率為，故選：D．
3. （2024河北省）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有，除正面的代數式不同外，其余均相同．
（1）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，當時，求取出的卡片上代數式的值為負數的概率；
（2）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機抽取一張．請在表格中補全兩次取出的卡片上代數式之和的所有可能結果（化為最簡），并求出和為單項式的概率．
【答案】（1） （2）填表見解析，
【解析】【分析】（1）先分別求解三個代數式當時的值，再利用概率公式計算即可；
（2）先把表格補充完整，結合所有可能的結果數與符合條件的結果數，利用概率公式計算即可．
【小問1詳解】
解：當時，
，，，
∴取出的卡片上代數式的值為負數的概率為：；
【小問2詳解】
解：補全表格如下：
∴所有等可能的結果數有種，和為單項式的結果數有種，
∴和為單項式的概率為．
【點睛】本題考查的是代數式的值，正負數的含義，多項式與單項式的概念，利用列表法求解簡單隨機事件的概率，掌握基礎知識是解本題的關鍵．
4. （2024河南省）豫劇是國家級非物質文化遺產，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖得到所有的等可能的結果數．根據題意，利用樹狀圖法將所有結果都列舉出來，然后根據概率公式計算解決即可．
【詳解】把3張卡片分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，其中兩次抽取的卡片正面相同的結果有3種，
∴兩次抽取的卡片圖案相同的概率為．故選∶D．
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）六月份，在“陽光大課間”活動中，某校設計了“籃球、足球、排球、羽毛球”四種球類運動項目，且每名學生在一個大課間只能選擇參加一種運動項目，則甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，根據題意畫樹狀圖求解即可．
【詳解】分別用A、B、C、D表示籃球、足球、排球、羽毛球，
列樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有種等可能情況，其中甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的情況有種，
即甲、乙兩名學生在一個大課間參加同種球類運動項目的概率是，故選：C．
6. （2024廣州）善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學們的提問水平，對，兩組同學進行問卷調查，并根據結果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：
組 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
組 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求組同學得分的中位數和眾數；
（2）現從、兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率．
【答案】（1）組同學得分的中位數為分，眾數為分； （2）
【解析】【分析】本題考查了中位數與眾數，列表法或樹狀圖法求概率，掌握相關知識點是解題關鍵．
（1）根據中位數和眾數的定義求解即可；
（2）由題意可知，、兩組得分超過90分的同學各有2名，畫樹狀圖法求出概率即可．
【小問1詳解】解：由題意可知，每組學生人數為10人，
中位數為第5、6名同學得分的平均數，
組同學得分的中位數為分，
分出現了兩次，次數最多，
眾數為分；
【小問2詳解】解：由題意可知，、兩組得分超過90分的同學各有2名，
令組的2名同學為、，組的2名同學為、，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，其中這2名同學恰好來自同一組的情況有4種，
這2名同學恰好來自同一組的概率．
7. （2024甘肅威武）在一只不透明的布袋中，裝有質地、大小均相同的四個小球，小球上分別標有數字1，2，3，4．甲乙兩人玩摸球游戲，規則為：兩人同時從袋中隨機各摸出1個小球，若兩球上的數字之和為奇數，則甲勝；若兩球上的數字之和為偶數，則乙勝．
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．
（2）這個游戲規則對甲乙雙方公平嗎？請說明理由．
【答案】（1）
（2）這個游戲規則對甲乙雙方不公平，理由見解析
【解析】【小問1詳解】
解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結果數，其中兩球上的數字之和為奇數的結果數有8種，
∴甲獲勝的概率為；
【小問2詳解】
解：這個游戲規則對甲乙雙方不公平，理由如下：
由（1）中的樹狀圖可知，兩球上的數字之和為偶數的結果數有4種，
∴乙獲勝的概率為，
∵，
∴甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，
∴這個游戲規則對甲乙雙方不公平．
8. （2024貴州省）根據《國家體質健康標準》規定，七年級男生、女生50米短跑時間分別不超過7.7秒、8.3秒為優秀等次．某校在七年級學生中挑選男生、女生各5人進行集訓，經多次測試得到10名學生的平均成績（單位：秒）記錄如下：
男生成績：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成績：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根據以上信息，解答下列問題：
（1）男生成績眾數為______，女生成績的中位數為______；
（2）判斷下列兩位同學的說法是否正確．
（3）教練從成績最好的3名男生（設為甲，乙，丙）中，隨機抽取2名學生代表學校參加比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求甲被抽中的概率．
【答案】（1）7.38，8.26 （2）小星的說法正確，小紅的說法錯誤 （3）
【解析】【小問1詳解】
解：男生成績7.38出現的次數最多，即眾數為7.38，
女生成績排列為：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中間的數為8.26，故中位數為8.26，
故答案為：7.38，8.26；
【小問2詳解】
解：∵用時越少，成績越好，
∴7.38是男生中成績最好的，故小星的說法正確；
∵女生8.3秒為優秀成績，，
∴有一人成績達不到優秀，故小紅的說法錯誤；
【小問3詳解】
列表為：
甲 乙 丙
甲
甲，乙 甲，丙
乙 乙，甲
乙，丙
丙 丙，甲 丙，乙
由表格可知共有6種等可能結果，其中抽中甲的有4種，
故甲被抽中的概率為．
9.（2024江蘇揚州） 2024年“五一”假期，揚州各旅游景區持續火熱．小明和小亮準備到東關街、瘦西湖、運河三灣風景區、個園、何園（分別記作A、B、C、D、E）參加公益講解活動．
（1）若小明在這5個景區中隨機選擇1個景區，則選中東關街的概率是______；
（2）小明和小亮在C、D、E三個景區中，各自隨機選擇1個景區，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小亮選到相同景區的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本題考查了等可能情形下的概率計算，對于結果數較少的采用列舉法，而對于兩次抽取問題采用列表或樹狀圖；能理解“放回與不放回的區別”是解題的關鍵．
（1）直接利用概率公式進行計算即可；
（2）畫樹狀圖法或列表法，可得所有的結果，再利用概率公式進行計算即可；
【小問1詳解】
解：由題意得從這些景區隨機選擇1個景區，選中東關街的有1種可能，
∴選中東關街的概率是，
故案 為：；
【小問2詳解】
列表如下：
小亮 小明 C D E
C
D
E
共有9種等可能結果，其中小明和小亮選到相同景區的結果有3種，
∴小明和小亮選到相同景區的概率：；
答：小明和小亮選到相同景區的概率．
10. （2024山東煙臺）“山海同行，艦回煙臺”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學校開展了“奮進萬億新征程，共筑強國強軍夢”的主題研學活動，為了解學生參與情況，隨機抽取部分學生對研學活動時長（用t表示，單位：h）進行調查．經過整理，將數據分成四組（A組：；B組：；C組：；D組：），并繪制了如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖．
（1）請補全條形統計圖；
（2）扇形統計圖中，a的值為_____，D組對應的扇形圓心角的度數為______；
（3）D組中有男、女生各兩人，現從這四人中隨機抽取兩人進行研學宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）圖見解析 （2） （3）
【解析】【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應用，列表法或樹狀圖法求概率：
（1）組人數除以所占的比例，求出總人數，進而求出組人數，補全條形圖即可；
（2）用組人數除以總數，求出的值，組人數所占的比例乘以360度求出圓心角的度數；
（3）列出表格，再利用概率公式進行計算即可．
【小問1詳解】
解：，
∴組人數為：；
補全條形圖如圖：
【小問2詳解】
，
∴，
D組對應扇形圓心角的度數為；
故答案為：；
【小問3詳解】
列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1
男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2
女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
共有12種等可能的結果，其中一男一女的結果有8種，
∴．
11. （2024黑龍江綏化）為了落實國家“雙減”政策，某中學在課后服務時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項社團活動．為了了解七年級學生對社團活動的喜愛情況，該校從七年級全體學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一項社團活動”的問卷調查，每人必須選擇一項社團活動（且只能選擇一項）．根據調查結果，繪制成如下兩幅統計圖．
請根據統計圖中的信息，解答下列問題：
（1）參加本次問卷調查的學生共有______人．
（2）在扇形統計圖中，A組所占的百分比是______，并補全條形統計圖．
（3）端午節前夕，學校計劃進行課后服務成果展示，準備從這4個社團中隨機抽取2個社團匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團恰好是B和C的概率．
【答案】（1） （2），作圖見解析 （3）
【解析】【分析】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖信息關聯，列表法或畫樹狀圖法求概率；
（1）根據組的人數除以占比得出總人數；
（2）根據總人數求得組的人數，進而求得占比，以及補全統計圖；
（3）根據列表法或畫樹狀圖法求概率，即可求解．
【小問1詳解】
解：參加本次問卷調查的學生共有（人）；
【小問2詳解】
解：A組人數為人
A組所占的百分比為：
補全統計圖如圖所示，
【小問3詳解】
畫樹狀圖法如下圖
列表法如下圖
A B C D
A
B
C
D
由樹狀圖法或列表法可以看出共有12種結果，它們出現的可能性相等，選中的2個社團恰好是B和C的情況有兩種．
∴P（選中的2個社團恰好是B和C）．
考點1. 事件與概率
1. 一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是（ ）
A．至少有1個球是黑球
B．至少有1個球是白球
C．至少有2個球是黑球
D．至少有2個球是白球
【答案】A
【解析】一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出3個球，至少有1個球是黑球是必然事件；至少有1個球是白球、至少有2個球是黑球和至少有2個球是白球都是隨機事件．故選A．
2. 如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發光．下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是（　　）
只閉合1個開關 B．只閉合2個開關
C．只閉合3個開關 D．閉合4個開關
【答案】B
【分析】本題考查了事件的分類，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．根據必然事件指在一定條件下，一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，對每一項進行分析即可．
【詳解】解：A、只閉合1個開關，小燈泡不會發光，屬于不可能事件，不符合題意；
B、只閉合2個開關，小燈泡可能發光也可能不發光，是隨機事件，符合題意；
C、只閉合3個開關，小燈泡一定會發光，是必然事件，不符合題意；
D、閉合4個開關，小燈泡一定會發光，是必然事件，不符合題意；故選：B．
3. 如圖，擲兩枚質地均勻、大小完全相同的骰子，則下列事件是必然事件的是（ ）
A．擲得的點數和為5 B．擲得的點數和為9
C．擲得的點數和大于15 D．擲得的點數和小于13
【答案】D
【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
根據事件發生的可能性大小判斷即可．
【詳解】解：A、擲得的點數和為5是隨機事件，故此選項不符合題意；
B、擲得的點數和為9是隨機事件，故此選項不符合題意；
C、擲得的點數和大于15是不可能事件，故此選項不符合題意；
D、擲得的點數和小于13是必然事件，故此選項符合題意；故選：D．
4. 某路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮72秒，綠燈亮25秒，黃燈亮3秒，當小明到達該路口時，遇到綠燈的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數，依此列式計算即可求解．
∵每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，
∴當小明到達該路口時，遇到綠燈的概率P=，故選：B．
【點睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
5. 在一個不透明的口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中有5個紅球，4個藍球．若隨機摸出一個藍球的概率為，則隨機摸出一個黃球的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設黃球有x個，根據摸出一個球是藍球的概率是，得出黃球的個數，再根據概率公式即可得出隨機摸出一個黃球的概率．
設袋子中黃球有x個，
根據題意，得：，
解得：x=3，
即袋中黃球有3個，
所以隨機摸出一個黃球的概率為，故選A．
【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．得到所求的情況數是解決本題的關鍵．
考點2. 概率的計算
1. 從有理數中任選兩個數作為點的坐標，滿足點在直線上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先列出數中任取兩個數作為點的坐標所有情況，再判斷是否在直線上，最后再利用概率公式的求法得出．
數中任取兩個數作為點的坐標可以為 共12種等可能的情況，
依次代入知在直線上，
故概率為．
故選：D．
【點睛】此題主要考查一次函數與概率的結合，依次列出各坐標點是解題的關鍵．
2. 如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在灰色區域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據灰色區域與整個面積的比即可求解．
∵轉盤中四個扇形的面積都相等，設整個圓的面積為1，
∴灰色區域的面積為,
∴當轉盤停止轉動時，指針落在灰色區域的概率是，故選：C．
【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
3. 如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內任取一點，則點落在陰影部分的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設小正方形的邊長為1，則大正方形的邊長為，根據題意，分別求得陰影部分面積和總面積，根據概率公式即可求解．
【詳解】設小正方形的邊長為1，則大正方形的邊長為，
∴總面積為，
陰影部分的面積為，
∴點落在陰影部分的概率為，故選：B．
【點睛】本題考查了幾何概率，分別求得陰影部分的面積是解題的關鍵．
4. 如圖，△ABC三邊的中點D，E，F組成△DEF，△DEF三邊的中點M，N，P組成△MNP，將△FPM與△ECD涂成陰影．假設可以隨意在△ABC中取點，那么這個點取在陰影部分的概率為 ．
【答案】
【解析】由三角形中位線定理易求得設陰影部分的面積與△CBA的面積的比值，再根據幾何概率的求法即可得出答案．
∵D、E分別是BC、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴ED∥AB，且DE＝AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴S△CDE＝S△CBA．
同理，S△FPM＝S△FDE＝S△CBA．
∴S△FPM+S△CDE＝S△CBA．
則＝．
故答案是：．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理與幾何概率的求法，關鍵是利用中位線定理求出陰影部分面積與整個三角形面積的比值．
5. 斯蒂芬·庫里是美國職業籃球運動員，司職控球后衛，效力于金州勇士隊，下表是庫里一段時間內在罰球線上訓練投籃的結果記錄：
罰球總數 400 1000 1600 2000 2887
命中次數 348 893 1432 1802 2617
罰球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
根據以上數據可以估計，庫里在罰球線上投籃一次，投中的概率為 （精確到0.1）
【答案】0.9
【解析】本題考查利用頻率估計概率．根據大量重復試驗，某事件發生的頻率穩定在一個數值附近，這個數值即為該事件發生的概率，解答本題的關鍵是熟練掌握概率的求法和正確分析表中數據．根據大量重復試驗，某事件發生的頻率穩定在一個數值附近，這個數值即為該事件發生的概率，結合表格，即可得出結果．
由頻率分布表可知，隨著投籃次數越來越大時，頻率逐漸穩定到常數之間附近，且精確到0.1，
∴這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為0.9
6. 五張不透明的卡片，正面分別寫有實數，，，，5.06006000600006……（相鄰兩個6之間0的個數依次加1）．這五張卡片除正面的數不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一張卡片，取到的卡片正面的數是無理數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】通過有理數和無理數概念判斷，然后利用概率計算公式計算即可．
【詳解】有理數有：，，；
無理數有：，5.06006000600006……；
則取到的卡片正面的數是無理數的概率是．
【點睛】本題主要考查了有理數、無理數的概念和簡單概率計算，先判斷后計算概率即可．
7.在物理實驗課上，同學們用三個開關、兩個燈泡、一個電源、一個電阻及若干條導線連接如圖所示的電路圖，隨機閉合圖中的兩個開關，有一個燈泡發光的概率是 ．
【答案】
【分析】先確定總的結果數，再確定該事件包含的結果數，最后利用概率公式求解即可．
【詳解】解：如圖，由題意得：隨機閉合圖中的兩個開關，一共有 3 種情況，分別是；其中能夠讓一個燈泡發光的情況有 共2 種，
∴隨機閉合圖中的兩個開關，有一個燈泡發光的概率為；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了列舉法求解概率，正確理題意列舉出所有的可能性的結果數是解題的關鍵．
8. 用數字0，1，2，3組成個位數字與十位數字不同的兩位數，其中是偶數的概率為__________．
【答案】
【解析】先列表得出所有的情況，再找到符合題意的情況，利用概率公式計算即可．
0不能在最高位，而且個位數字與十位數字不同，
列表如下：
1 2 3
0 10 20 30
1 21 31
2 12 32
3 13 23
一共有可以組成9個數字，偶數有10、12、20、30、32，
∴是偶數的概率為．
【點睛】本題考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．
9.周至縣歷史悠久，山川秀麗，風景名勝與文物古跡頗多，人文和自然景觀十分豐富，漢家離宮唐家園林，星羅棋布．小剛和小強兩人準備從．樓觀臺國家森林公園，．黑河國家森林公園，．沙河濕地公園，．終南山鼓樓觀景區中各自任意選擇一景點游玩．
樓觀臺國家森林公園 黑河國家森林公園沙河濕地公園 終南山鼓樓觀景區
(1)小剛選擇的景點是“沙河濕地公園”的概率為 ；
(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求兩人選擇的景點不同的概率．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（）利用概率公式直接計算即可求解；
（）列表求出總的結果數和兩人選擇的景點不同的結果數，再利用概率公式計算即可求解；
本題考查了利用樹狀圖法或列表法求概率，掌握概率的計算公式是解題的關鍵．
【詳解】（1）∵共有．樓觀臺國家森林公園，．黑河國家森林公園，．河濕地公園，．終南山鼓樓觀景區四個景區，
∴小剛選擇的景點是“沙河濕地公園”的概率，
（2）解：根據題意列表如下：
由表可得，一共有種等可能的結果，其中兩人選擇的景點不同的有種結果，
∴兩人選擇的景點不同的概率．
10. 揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從，，三個景點中隨機選擇一個景點游覽．
（1）甲選擇景點的概率為________；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇景點的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）利用概率計算公式求解即可；
（2）利用樹狀圖或列表的方法，分析甲、乙至少一人選擇的基本事件的個數，除以總的基本事件個數即可．
【詳解】
（1）共有個景點可供選擇，且選擇每種景點是隨機的，
甲選擇景點的概率為．
（2）根據題意，列表如下：
由表格可知，共有種等可能的結果，其中甲、乙至少有一人選擇景點共有種等可能的結果，
甲、乙至少有一人選擇景點的概率為．
【點睛】考查簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟練掌握相關計算方法是解題的關鍵．
11. 元旦檔刷新歷史票房紀錄，春節檔有望繼續表現優秀．春節有4部影片在春節檔上映，分別是《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《 逆轉時空》《第二十條》．小亮和小麗兩名同學分別從《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《第二十條》三部電影中隨機選擇一部觀看，將《熱辣滾燙》表示為，《飛馳人生2》表示為，《第二十條》表示為．假設這兩名同學選擇觀看哪部電影不受任何因素影響，且每一部電影被選到的可能性相等．記小亮同學的選擇為，小麗同學的選擇為．
(1)請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求所有可能出現的結果總數；
(2)求小亮和小麗兩名同學恰好選擇觀看同一部電影的概率．
【答案】(1)9種(2)
【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．
（1）列表得出所有等可能的情況數即可；
（2）根據表格列出恰好選擇觀看同一部電影的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．
【詳解】（1）方法一：由題意可列表如下，
A B C
A
B
C
由表可知，可能出現的結果為： ，它們出現的可能性相等，一共有9種．
答：所有可能出現的結果共有9種．
方法二，畫樹狀圖如下：
可能出現的結果為：，它們出現的可能性相等，一共有9種．
答：所有可能出現的結果共有9種．
（2）由表（或圖）可以看出，小亮、小麗兩名同學選擇觀看同一電影的情況有3種，
即．
小亮、小麗兩名同學恰好選擇觀看同一部電影．
答：小亮、小麗兩名同學恰好選擇觀看同一部電影的概率為．
12. 豫劇，又叫河南梆子、河南謳、土梆子等，是發源于河南省的一個戲曲劇種．如圖，豫劇愛好者小華購買了《豫劇》特種郵票1套3枚，第1枚《花木蘭》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝陽溝》，并計劃把其中的兩枚送給好朋友樂樂和妙妙．小華將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），先讓樂樂從中隨機抽取一枚（不放回），再讓妙妙從中隨機抽取一枚，則妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．
列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．
將三枚郵票分別記作、、，根據題意列表如下：
由表可知，共有6種等可能結果，其中妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的有2種結果，
所以妙妙抽到第三枚《朝陽溝》的概率為，故選：D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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