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中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.2 分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式方程的解法 ☆☆ 數學中考中，有關分式方程的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。但三種形式只會出現一種。解答題基本以三種形式考查：一是給出分式方程，讓學生解這個方程；二是列方程求解；三是結合不等式、函數知識綜合考查。這類問題要注意解分式方程需要驗根，同時注意得出結果和實際問題相符合。
考點2 分式方程的應用 ☆☆
☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 分式方程的解法
1.分式方程定義：_____里含有未知數的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程轉化為_____方程，解這個整式方程，然后_____，從而確定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步驟：
①______：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；
②解_____方程：去括號、移項、合并同類項等；
③_____：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——換元法：
換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法．
4．增根：使分式方程的最簡公分母為的根．
（1）產生增根的原因：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，將其轉化為整式方程后沒有此條件限制了．
（2）分式方程的增根與無解的區別：分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．
考點2. 分式方程的應用
1.工程問題等量關系： 工作量=工作時間×______。靈活掌握它的兩個變式。
2.解決工程問題的基本思路
（1）題中有“單獨”字眼通?？芍ぷ餍剩?br/>（2）通常間接設元，如× ×單獨完成需 x（單位時間），則可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的數量關系.如本題中的“合作的工效=甲乙兩隊工作效率的和”.
（4）解題方法：可概括為“321”，即3指該類問題中三量關系，如工程問題有工作效率，工作時間，工作量；2指該類問題中的“兩個主人公”如甲隊和乙隊，或“甲單獨和兩隊合作”；1指該問題中的一個等量關系.如工程問題中等量關系是：兩個主人公工作總量之和=全部工作總量.
（5）各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關系．
3.行程問題等量關系： 路程=速度×_______ .靈活掌握它的兩個變式。
4.解決問題注意事項：
（1）注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區別；
（2）明確兩個“主人公”的行程問題中三個量用代數式表示出來；
（3）行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.
5.利潤問題等量關系： 批發成本=批發數量×______；批發數量=批發成本÷批發價；打折銷售價=定價×折數；銷售利潤=銷售收入一批發成本；每本銷售利潤=定價一批發價；每本打折銷售利潤=打折銷售價一批發價，利潤率=利潤÷進價。
6.數字問題： 在數字問題中要掌握十進制數的表示法；
7.濃度問題的基本關系是：=_______．
8. 順水逆水問題： v順＝v靜＋v水流 ， v逆＝v靜－v水流.
注意：列分式方程解應用題的一般步驟
(1)審清題意，并設未知數；
(2)找相等關系；
(3)列出方程；
(4)解這個分式方程；
(5)驗根（包括兩方面 :是否是分式方程的根； 是否符合題意）；
（6）寫答案.
【易錯點提示】
解分式方程過程中，易錯點主要體現在：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．具體情況表現在一下幾點：
1. 忘記驗根。
2. 檢驗方法不正確。
3.忽視分子為零。
4.考慮問題不全面。
5.沒有真正理解分式方程有“增根”的含義。
6.去分母時漏乘不含分母的項。
7.解分式方程錯符號。
考點1. 分式方程的解法
【例題1】（2024福建?。┙夥匠蹋海?br/>【對點變式練1】（2024哈爾濱一模）分式方程的解是（　?。?br/>A. B. C. D.
【對點變式練2】（2024蘇州一模）方程的解是_______．
【對點變式練3】 （2024山東威海一模）解方程：
【對點變式練4】（2024上海一模）在分式方程中，設，可得到關于y的整式方程為（ ）
A. B.
C. D.
【例題2】（2024黑龍江齊齊哈爾）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【對點變式練1】（2024湖北武漢一模）已知關于x的分式方程的解為非負數，則正整數m的所有個數
為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【對點變式練2】（2024黑龍江龍東一模）關于x的方程的解為非負數，則m的取值范圍是____________．
考點2. 分式方程的應用
【例題3】（2024甘肅臨夏）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的原價是元，所得方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【對點變式練1】（2024新疆一模）某鎮的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當地某電商用12000元購進這種“脆紅李”進行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應求，該電商又用11000元購進第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價比第一批每件便宜了5元，但數量比第一批多購進了40件，求購進的第一批“脆紅李”的單價．設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【對點變式練2】（2024云南一模）某校組織學生去郭永懷紀念館進行研學活動．紀念館距學校72千米，部分學生乘坐大型客車先行，出發12分鐘后，另一部分學生乘坐小型客車前往，結果同時到達．已知小型客車的速度是大型客車速度的倍，求大型客車的速度．
【對點變式練3】（2024山西一模）某公司不定期為員工購買某預制食品廠生產的雜醬面、牛肉面兩種食品．
（1）該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？
（2）由于公司員工人數和食品價格有所調整，現該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數比牛肉面的份數多，每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份？
考點1. 分式方程的解法
1. （2024四川瀘州）分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川遂寧）分式方程的解為正數，則的取值范圍（ ）
A. B. 且
C. D. 且
3. （2024武漢市）分式方程的解是______．
4. （2024湖南?。┓质椒匠?1的解是_______．
5. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
6. （2024四川達州）若關于的方程無解，則的值為______．
7. （2024重慶市A）若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．
8. （2024重慶市B）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解均為負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是________．
9. （2024廣州） 解方程：．
10. （2024陜西省）解方程：．
考點2. 分式方程的應用
1. （2024黑龍江綏化）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川達州）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024山東棗莊）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生
產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件
數為（ ）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
4. （2024云南?。┠陈眯猩缃M織游客從地到地的航天科技館參觀，已知地到地的路程為300千米，乘坐型車比乘坐型車少用2小時，型車的平均速度是型車的平均速度的3倍，求型車的平均速度．
5. （2024江蘇揚州）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等．B型機器每天處理多少噸垃圾？
6. （2024山東威海）某公司為節能環保，安裝了一批型節能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數量的型節能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節能燈每年的用電量比一盞型節能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節能燈每年的用電量．
7. （2024內蒙古赤峰）一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．
（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；
（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？
8. （2024廣西）綜合與實踐
在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．
【洗衣過程】
步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．
假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都殘留水．
濃度關系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）
【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
【動手操作】請按要求完成下列任務：
（1）如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？
（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
考點1. 分式方程的解法
1．把分式方程﹣＝1化為整式方程正確的是（　?。?br/>A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
2. 方程的解是：__________．
3. 解方程：．
4. 小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
5．解分式方程：
小明同學是這樣解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括號，得：x+4＝3x﹣6．
移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣10．
兩邊同時除以﹣2，得：x＝5．
經檢驗，x＝5是原方程的解．
小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
6．觀察下列算式：
＝＝，＝＝，＝＝﹣，……
（1）由此可推斷：＝　　 ；
（2）請用含字母m（m為正整數）的等式表示（1）中的一般規律　　 ；
（3）仿照以上方法解方程：+＝．
7．若關于x的分式方程有增根，則______．
8．若關于x的分式方程=2a無解，則a的值為_____．
9. 若關于的方程解為正數，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
10．若關于x的一元一次不等式組的解集為x≥5，且關于y的分式方程有非負整數解，則符合條件的所有整數a的和為（　 ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
11．“若關于x的方程無解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移項得：ax﹣3x＝12﹣9， 合并同類項得： （a﹣3）x＝3， ∵原方程無解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移項，合并同類項得： （a﹣3）x＝3，解得：x＝， ∵原方程無解， ∴x為增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴＝3，解得a＝4．
下列說法正確的是（　?。?br/>A．尖尖對，丹丹錯
B．尖尖錯，丹丹對
C．兩人都錯
D．兩人的答案合起來才對
考點2. 分式方程的應用
1．為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施．如圖，分別表示燃油汽車和燃氣汽車所需費用（單位：元）與行駛路程（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的3倍少0.1元，設燃氣汽車每千米所需的費用為元，則可列方程為（　?。?br/>
A． B． C． D．
2．在創建文明城市的進程中，某市為美化城市環境，計劃種植樹木50萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多30%，結果提前2天完成任務，設原計劃每天植樹x萬棵，由題意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
3. 為營造良好體育運動氛圍，某學校用元購買了一批足球，又用元加購了第二批足球，且所購數量是第一批購買數量的倍，但單價降了元，請問該學校兩批共購買了多少個足球
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.2 分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式方程的解法 ☆☆ 數學中考中，有關分式方程的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。但三種形式只會出現一種。解答題基本以三種形式考查：一是給出分式方程，讓學生解這個方程；二是列方程求解；三是結合不等式、函數知識綜合考查。這類問題要注意解分式方程需要驗根，同時注意得出結果和實際問題相符合。
考點2 分式方程的應用 ☆☆
☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示選考點。
考點1. 分式方程的解法
1.分式方程定義：分母里含有未知數的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程，然后驗根，從而確定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步驟：
①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；
②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等；
③檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．
3．分式方程的特殊解法——換元法：
換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法．
4．增根：使分式方程的最簡公分母為0的根．
（1）產生增根的原因：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，將其轉化為整式方程后沒有此條件限制了．
（2）分式方程的增根與無解的區別：分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．
考點2. 分式方程的應用
1.工程問題等量關系： 工作量=工作時間×工作效率。靈活掌握它的兩個變式。
2.解決工程問題的基本思路
（1）題中有“單獨”字眼通?？芍ぷ餍?；
（2）通常間接設元，如× ×單獨完成需 x（單位時間），則可表示出其工作效率；
（3）弄清基本的數量關系.如本題中的“合作的工效=甲乙兩隊工作效率的和”.
（4）解題方法：可概括為“321”，即3指該類問題中三量關系，如工程問題有工作效率，工作時間，工作量；2指該類問題中的“兩個主人公”如甲隊和乙隊，或“甲單獨和兩隊合作”；1指該問題中的一個等量關系.如工程問題中等量關系是：兩個主人公工作總量之和=全部工作總量.
（5）各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關系．
3.行程問題等量關系： 路程=速度×時間 .靈活掌握它的兩個變式。
4.解決問題注意事項：
（1）注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區別；
（2）明確兩個“主人公”的行程問題中三個量用代數式表示出來；
（3）行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.
5.利潤問題等量關系： 批發成本=批發數量×批發價；批發數量=批發成本÷批發價；打折銷售價=定價×折數；銷售利潤=銷售收入一批發成本；每本銷售利潤=定價一批發價；每本打折銷售利潤=打折銷售價一批發價，利潤率=利潤÷進價。
6.數字問題： 在數字問題中要掌握十進制數的表示法；
7.濃度問題的基本關系是：=濃度．
8. 順水逆水問題： v順＝v靜＋v水流 ， v逆＝v靜－v水流.
注意：列分式方程解應用題的一般步驟
(1)審清題意，并設未知數；
(2)找相等關系；
(3)列出方程；
(4)解這個分式方程；
(5)驗根（包括兩方面 :是否是分式方程的根； 是否符合題意）；
（6）寫答案.
【易錯點提示】
解分式方程過程中，易錯點主要體現在：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．具體情況表現在一下幾點：
1. 忘記驗根。
2. 檢驗方法不正確。
3.忽視分子為零。
4.考慮問題不全面。
5.沒有真正理解分式方程有“增根”的含義。
6.去分母時漏乘不含分母的項。
7.解分式方程錯符號。
考點1. 分式方程的解法
【例題1】（2024福建?。┙夥匠蹋海?br/>【答案】．
【解析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．
，
方程兩邊都乘，得．
去括號得：，
解得．
經檢驗，是原方程的根．
【對點變式練1】（2024哈爾濱一模）分式方程的解是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
由得：
，
，
，
經檢驗：是原分式方程的解，故選：．
【點睛】考查解分式方程，利用了轉化的思想，解題的關鍵是解分式方程注意要檢驗，避免出現增根．
【對點變式練2】（2024蘇州一模）方程的解是_______．
【答案】
【解析】根據分式方程的解法步驟解出即可．
左右同乘2(x+1)得: 2x=3解得x=．經檢驗x=是方程的跟．故答案為: ．
【點睛】本題考查解分式方程,關鍵在于熟練掌握分式方程的解法步驟．
【對點變式練3】 （2024山東威海一模）解方程：
【答案】x=3．
【解析】觀察可得方程最簡公分母為(x2-1)，去分母，轉化為整式方程求解，結果要檢驗．
去分母得， 解得，x=3，
經檢驗，x=3是原方程的根，所以，原方程的根為：x=3．
【點睛】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要檢驗．
【對點變式練4】（2024上海一模）在分式方程中，設，可得到關于y的整式方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設，則原方程可變形為，再化為整式方程即可得出答案.
設，則原方程可變形為，
即；故選：D.
【點睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關鍵，注意最后要化為整式方程.
【例題2】（2024黑龍江齊齊哈爾）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】A
【解析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方程的解是負數得到，并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
【詳解】方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是負數，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，故選：．
【對點變式練1】（2024湖北武漢一模）已知關于x的分式方程的解為非負數，則正整數m的所有個數
為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根據解分式方程，可得分式方程的解，根據分式方程的解為負數，可得不等式，解不等式，即可解題．
去分母，得：m+2(x-1)=3，移項、合并，解得：x=，
∵分式方程的解為非負數，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，
∵m為正整數∴m=1，2，4，5，共4個，故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解．
【對點變式練2】（2024黑龍江龍東一模）關于x的方程的解為非負數，則m的取值范圍是____________．
【答案】且
【解析】解分式方程，可用表示，再根據題意得到關于的一元一次不等式即可解答．
解，可得，
的方程的解為非負數，
，
解得，
，
，
即，
的取值范圍是且．
【點睛】本題考查了根據分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關鍵．
考點2. 分式方程的應用
【例題3】（2024甘肅臨夏）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的原價是元，所得方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程．根據降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程．
【詳解】由題意可得，
，故選：C．
【對點變式練1】（2024新疆一模）某鎮的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮品，首批“脆紅李”成熟后，當地某電商用12000元購進這種“脆紅李”進行銷售，面市后，線上訂單猛增供不應求，該電商又用11000元購進第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價比第一批每件便宜了5元，但數量比第一批多購進了40件，求購進的第一批“脆紅李”的單價．設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，則購進第二批“脆紅李”的單價為元/件，根據購進的第二批這種“脆紅李”比第一批多購進了40件，列出方程即可．
【詳解】解：設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，則購進第二批“脆紅李”的單價為元/件，根據題意得：
，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找出題目中的等量關系式．
【對點變式練2】（2024云南一模）某校組織學生去郭永懷紀念館進行研學活動．紀念館距學校72千米，部分學生乘坐大型客車先行，出發12分鐘后，另一部分學生乘坐小型客車前往，結果同時到達．已知小型客車的速度是大型客車速度的倍，求大型客車的速度．
【答案】大型客車的速度為
【解析】設出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據所用時間差為12分鐘列方程解答.
【詳解】設慢車的速度為，則快車的速度為，
根據題意得
，
解得：，
經檢驗，是原方程的根.
故大型客車的速度為.
【點睛】此題考查了分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵，此題的等量關系是快車與慢車所用時間差為12分鐘.
【對點變式練3】（2024山西一模）某公司不定期為員工購買某預制食品廠生產的雜醬面、牛肉面兩種食品．
（1）該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為15元、20元，求購買兩種食品各多少份？
（2）由于公司員工人數和食品價格有所調整，現該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數比牛肉面的份數多，每份雜醬面比每份牛肉面的價格少6元，求購買牛肉面多少份？
【答案】（1）購買雜醬面80份，購買牛肉面90份 （2）購買牛肉面60份
【解析】【分析】（1）設購買雜醬面份，則購買牛肉面份，由題意知，，解方程可得的值，然后代入，計算求解，進而可得結果；
（2）設購買牛肉面份，則購買雜醬面份，由題意知，，計算求出滿足要求的解即可．
【小問1詳解】
解：設購買雜醬面份，則購買牛肉面份，
由題意知，，
解得，，
∴，
∴購買雜醬面80份，購買牛肉面90份；
【小問2詳解】
解：設購買牛肉面份，則購買雜醬面份，
由題意知，，
解得，
經檢驗，是分式方程的解，
∴購買牛肉面60份．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，分式方程的應用．解題的關鍵在于根據題意正確的列方程．
考點1. 分式方程的解法
1. （2024四川瀘州）分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查解分式方程，根據解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，檢驗）求解，即可解題．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
經檢驗是該方程的解，故選：D．
2. （2024四川遂寧）分式方程的解為正數，則的取值范圍（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．
方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵分式方程的解為正數，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范圍為且，故選：．
3. （2024武漢市）分式方程的解是______．
【答案】
【解析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關鍵．首先等號兩邊同時乘以完成去分母，再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解，檢驗即可獲得答案．
【詳解】，
等號兩邊同時乘以，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
經檢驗，是該分式方程的解，
所以，該分式方程的解為．
4. （2024湖南省）分式方程=1的解是_______．
【答案】x=1
【解析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗即可．
方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
檢驗：當x=1時，x+1=2≠0．
所以原方程的解為x=1．
【點睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關鍵．
5. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
【答案】x=3
【解析】分式方程去分母轉化為整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，經檢驗x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．
6. （2024四川達州）若關于的方程無解，則的值為______．
【答案】或2
【解析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到，再根據分式方程無解得到或，解關于k的方程即可得到答案．
去分母得：，
解得：，
∵關于的方程無解，
∴當或時，分式方程無解，
解得：或（經檢驗是原方程的解），
即或，無解．
7. （2024重慶市A）若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．
【答案】16
【解析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組．先解不等式組，根據關于的一元一次不等式組至少有兩個整數解，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程的解為非負整數，確定的取值范圍且，進而得到且，根據范圍確定出的取值，相加即可得到答案．
【詳解】解：，
解①得：，
解②得：，
關于的一元一次不等式組至少有兩個整數解，
，
解得，
解方程，得，
關于的分式方程的解為非負整數，
且，是偶數，
解得且，是偶數，
且，是偶數，
則所有滿足條件的整數的值之和是
8. （2024重慶市B）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解均為負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是________．
【答案】
【解析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的兩個不等式，再根據不等式組的解集求出；解分式方程得到，再由關于的分式方程的解均為負整數，推出且且a是偶數，則且且a是偶數，據此確定符合題意的a的值，最后求和即可．
【詳解】
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式組的解集為，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵關于的分式方程的解均為負整數，
∴且是整數且，
∴且且a是偶數，
∴且且a是偶數，
∴滿足題意的a的值可以為4或8，
∴所有滿足條件的整數a的值之和是．
9. （2024廣州） 解方程：．
【答案】
【解析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關鍵，注意檢驗．依次去分母、去括號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案．
，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
該分式方程的解為．
10. （2024陜西?。┙夥匠蹋海?br/>【答案】
【解析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：，
檢驗：把代入得：，
∴是原方程的解．
考點2. 分式方程的應用
1. （2024黑龍江綏化）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速靜水速水速，逆水速靜水速水速，設未知數列出方程，解方程即可求出答案．
設江水的流速為，根據題意可得：
，
解得：，
經檢驗：是原方程的根，
答：江水的流速為．故選：D．
2. （2024四川達州）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，再根據時間工作總量工作效率結合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可．
【詳解】設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，
由題意得，故選：D．
3. （2024山東棗莊）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生
產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件
數為（ ）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
【答案】B
【解析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
設改造后每天生產的產品件數為，則改造前每天生產的產品件數為，根據“改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可．
【詳解】設改造后每天生產的產品件數為，則改造前每天生產的產品件數為，
根據題意，得：，
解得：，
經檢驗是分式方程的解，且符合題意，
答：改造后每天生產的產品件數．故選：B．
4. （2024云南?。┠陈眯猩缃M織游客從地到地的航天科技館參觀，已知地到地的路程為300千米，乘坐型車比乘坐型車少用2小時，型車的平均速度是型車的平均速度的3倍，求型車的平均速度．
【答案】型車的平均速度為
【解析】本題考查分式方程的應用，設型車的平均速度為，則型車的平均速度是，根據“乘坐型車比乘坐型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題．
【詳解】設型車的平均速度為，則型車的平均速度是，
根據題意可得，，
整理得，，
解得，
經檢驗是該方程的解，
答：型車的平均速度為．
5. （2024江蘇揚州）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等．B型機器每天處理多少噸垃圾？
【答案】B型機器每天處理60噸垃圾
【解析】考查分式方程的應用，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型．設型機器每天處理噸垃圾，則型機器每天處理噸垃圾，根據題意列出方程即可求出答案．
【詳解】設型機器每天處理噸垃圾，則型機器每天處理噸垃圾，
根據題意，得，
解得．
經檢驗，是所列方程的解．
答：B型機器每天處理60噸垃圾．
6. （2024山東威海）某公司為節能環保，安裝了一批型節能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數量的型節能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節能燈每年的用電量比一盞型節能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節能燈每年的用電量．
【答案】千瓦·時
【解析】本題考查分式方程的應用，根據題意列方程是關鍵，并注意檢驗．根據兩種節能燈數量相等列式分式方程求解即可．
【詳解】設一盞型節能燈每年用電量為千瓦·時，
則一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時
整理得
解得
經檢驗：是原分式方程的解．
答：一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時.
7. （2024內蒙古赤峰）一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等．
（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；
（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？
【答案】（1）甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；
（2）15天的工期，兩隊最多能修復公路千米．
【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用．
（1）設甲隊平均每天修復公路千米，則乙隊平均每天修復公路千米，根據“甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等”列分式方程求解即可；
（2）設甲隊的工作時間為天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復公路千米，求得關于的一次函數，再利用“甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求得的范圍，利用一次函數的性質求解即可．
【小問1詳解】
解：設甲隊平均每天修復公路千米，則乙隊平均每天修復公路千米，
由題意得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；
小問2詳解】
解：設甲隊的工作時間為天，則乙隊的工作時間為天，15天的工期，兩隊能修復公路千米，
由題意得，
，
解得，
∵，
∴隨的增加而減少，
∴當時，有最大值，最大值為，
答：15天的工期，兩隊最多能修復公路千米．
8. （2024廣西）綜合與實踐
在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．
【洗衣過程】
步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．
假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都殘留水．
濃度關系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）
【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
【動手操作】請按要求完成下列任務：
（1）如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？
（2）如果把清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？
（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
【答案】（1）只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．
（2）進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；
（3）兩次漂洗的方法值得推廣學習
【解析】
【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數式的值，理解題意是關鍵；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；
（3）根據（1）（2）的結果得出結論即可．
【小問1詳解】
解：把，代入
得，
解得．經檢驗符合題意；
∴只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．
【小問2詳解】
解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；
【小問3詳解】
解：由（1）（2）的計算結果發現：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節約用水，
∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習．
考點1. 分式方程的解法
1．把分式方程﹣＝1化為整式方程正確的是（　　）
A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【答案】D
【解答】方程變形得：+＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故選：D．
2. 方程的解是：__________．
【答案】
【解析】首先方程兩邊乘以最簡公分母去分母，然后去括號，移項，合并同類項，把的系數化為1，最后一定要檢驗．
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
檢驗：把代入最簡公分母中：，
∴原分式方程的解為：
【點睛】此題主要考查了分式方程的解法，做題過程中關鍵是不要忘記檢驗，很多同學忘記檢驗，導致錯誤．
3. 解方程：．
【答案】
【解析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．
原方程可化為．
方程兩邊同乘，得．
解得．
檢驗：當時，．
∴原方程的解是．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵．
4. 小丁和小迪分別解方程過程如下：
小?。?解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
【答案】都錯誤，見解析
【解析】根據解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．
小丁和小迪的解法都錯誤；
解：去分母，得，
去括號，得，
解得，，
經檢驗：是方程的解．
【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
5．解分式方程：
小明同學是這樣解答的：
解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．
去括號，得：x+4＝3x﹣6．
移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣10．
兩邊同時除以﹣2，得：x＝5．
經檢驗，x＝5是原方程的解．
小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
【答案】見解答．
【解答】有錯誤．
去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），
去括號，得：x﹣4＝3x﹣6，
移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣2，
兩邊同時除以﹣2，得：x＝1．
經檢驗，x＝1是原方程的解．
6．觀察下列算式：
＝＝，＝＝，＝＝﹣，……
（1）由此可推斷：＝　　 ；
（2）請用含字母m（m為正整數）的等式表示（1）中的一般規律　　 ；
（3）仿照以上方法解方程：+＝．
【答案】見解析
【解析】（1）根據題意得：＝＝﹣；
（2）根據題意得：＝﹣；
（3）方程整理得：﹣+﹣＝，
即＝，
去分母得：x＝2x﹣4，
解得：x＝4，
經檢驗x＝4是分式方程的解．
故答案為：（1）﹣；（2）＝﹣
7．若關于x的分式方程有增根，則______．
【答案】．
【解析】先把分式方程去分母轉化為整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到轉化以后的整式方程中計算即可求出的值．
去分母得：，整理得：，
∵關于的分式方程有增根，即，∴，
把代入到中得：，解得：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最簡公分母為零的未知數的值；解決此類問題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關字母的值．
8．若關于x的分式方程=2a無解，則a的值為_____．
【答案】1或
【解析】直接解分式方程，再利用當1-2a=0時，當1-2a≠0時，分別得出答案．
去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，當1-2a=0時，方程無解，故a=；
當1-2a≠0時，x==3時，分式方程無解，則a=1，
故關于x的分式方程=2a無解，則a的值為：1或．故答案為1或．
點睛：此題主要考查了分式方程的解，正確分類討論是解題關鍵．
9. 若關于的方程解為正數，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】將分式方程化為整式方程解得，根據方程的解是正數，可得，即可求出的取值范圍．
∵方程的解為正數，且分母不等于0
∴，
∴，且 故選：D．
【點睛】此題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵．
10．若關于x的一元一次不等式組的解集為x≥5，且關于y的分式方程有非負整數解，則符合條件的所有整數a的和為（　 ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】B
【解析】首先由不等式組的解集為x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非負整數解，得a≥-2且a≠2的偶數，即可得解.
由題意，得，即，即∴，即
，解得有非負整數解，即
∴a≥-2且a≠2∴且∴符合條件的所有整數a的數有：-2，-1,0,1
又∵為非負整數解， ∴符合條件的所有整數a的數有：-2,0∴其和為故選：B.
【點睛】主要考查根據不等式組的解集和分式方程的解求參數的值，熟練掌握，即可解題.
11．“若關于x的方程無解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移項得：ax﹣3x＝12﹣9， 合并同類項得： （a﹣3）x＝3， ∵原方程無解， ∴a﹣3＝0， ∴a＝3． 丹丹： 去分母得：ax＝12+3x﹣9， 移項，合并同類項得： （a﹣3）x＝3，解得：x＝， ∵原方程無解， ∴x為增根， ∴3x﹣9＝0，解得x＝3， ∴＝3，解得a＝4．
下列說法正確的是（　?。?br/>A．尖尖對，丹丹錯
B．尖尖錯，丹丹對
C．兩人都錯
D．兩人的答案合起來才對
【答案】D
【解答】去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移項，合并同類項得：
（a﹣3）x＝3，
∵原方程無解，
∴x為增根或a﹣3＝0，
當3x﹣9＝0，解得x＝3，此時＝3，解得a＝4；
當a﹣3＝0，解得a＝3；
綜上所述：a的值為3或4，故選：D．
考點2. 分式方程的應用
1．為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施．如圖，分別表示燃油汽車和燃氣汽車所需費用（單位：元）與行駛路程（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的3倍少0.1元，設燃氣汽車每千米所需的費用為元，則可列方程為（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出燃油汽車每千米所需的費用為元，再根據函數圖象可得燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，據此列出方程即可得．
由題意得：燃油汽車每千米所需的費用為元，
由函數圖象可知，燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，
則可列方程為，故選：D．
【點睛】本題考查了列分式方程、函數圖象，讀懂函數圖象，正確獲取信息是解題關鍵．
2．在創建文明城市的進程中，某市為美化城市環境，計劃種植樹木50萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多30%，結果提前2天完成任務，設原計劃每天植樹x萬棵，由題意得到的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】由題意可得，
＝2，故選：A．
3. 為營造良好體育運動氛圍，某學校用元購買了一批足球，又用元加購了第二批足球，且所購數量是第一批購買數量的倍，但單價降了元，請問該學校兩批共購買了多少個足球
【答案】．
【解析】【分析】設第一批足球單價為元，則第二批足球單價為元，再根據題意列出分式方程即可．
【詳解】設第一批足球單價為元，則第二批足球單價為元，
由題意得：，
解得：，
經檢驗：是原分式方程的解，且符合題意，
則第二批足球單價為：，
∴該學校兩批共購買了，
答：該學校兩批共購買了個．
【點睛】此題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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