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中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【名師導航】2025年中考數(shù)學一輪復(fù)習學案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.1 一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用 ☆☆ 數(shù)學中考中，有關(guān)一次方程（組）的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答 題的形式考察。若以解答題出現(xiàn)，考法基本上是兩種類型：一是根據(jù)題意列出一次方程（組），解方程求解，給出結(jié)論；二是根據(jù)題意列出一次方程，結(jié)合不等式，函數(shù)來確定作答思路。考查列方程解應(yīng)用題是每年全國各省市必考內(nèi)容，需要學生深入系統(tǒng)掌握列各種應(yīng)用題類型的等量關(guān)系，考查知識比較綜合。
考點2 二元一次方程(組)及其解法 ☆☆
考點3 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用 ☆☆☆
考點4 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1.等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個____或同一個_____，所得結(jié)果仍是等式。
性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個_____（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。
要點詮釋：（1）分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變。
（2）理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況:
①a≠0時，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解；
③a=0，b≠0時，方程無解。
2.解一元一次方程的一般步驟
（1）______。 在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。去分母時不要漏乘不含分母的項。當分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)。
（2）______。 括號前負號時，去掉括號時里面各項應(yīng)變號。
（3）_____。 把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。
（4）_______。 把若干能合并的式子的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡的作用。
（5）系數(shù)化為1，得出一元一次方程的解。
3.一元一次方程解的應(yīng)用
（1）使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的______叫做方程的解。
（2）根據(jù)一元一次方程的解可以求代數(shù)式的值；根據(jù)一元一次方程的解可以求字母的值；根據(jù)一元一次方程的解可以解決其他問題。
【易錯點提示】
在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．
考點2. 二元一次方程(組)及其解法
1. 二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的_______叫做二元一次。方程一般
形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成一個二元一次方程組。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的____叫做二元一次方程的
解。
4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的______叫做二元一次方程組的解。
一般形式為
【溫馨提醒】二元一次方程組滿足三個條件：
①方程組中的兩個方程都是整式方程．
②方程組中共含有兩個未知數(shù)．
③每個方程都是一次方程．
5．二元一次方程組的解法：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。
（1）_____消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，
進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
（2）_____消元法：當兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，
就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
1. 方程(組)的實際問題
（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數(shù)量．
（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題一（同地不同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題二（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
（9）飛機航行問題：順風速度=靜風速度+風速度；逆風速度=靜風速度-風速度．
（10）和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率
（11）數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.
（12）其他問題：探索尋找等量關(guān)系，構(gòu)造方程。
2. 解有關(guān)方程(組)的實際問題的一般步驟
第1步：_____。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。
第2步：______。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：______。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程(組)。
第4步：______。根據(jù)方程(組)的類型采用相應(yīng)的解法。
第5步：_______。檢驗所求解是否符合實際意義，并作答。
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1. 由實際問題列方程組：是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的____關(guān)系．
2. 所列方程必須滿足條件：
①方程兩邊表示的是___類量；
②同類量的____要統(tǒng)一；
③方程的等號兩邊的數(shù)值要_____．
3. 找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：
①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．
②將問題中給出的條件按意思分割成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系．
③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．
④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系．
【易錯點提示】
在列方程（組）實際問題時，設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
【例題1】（2023貴州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類項，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【對點變式練1】（2024廣州一模）運用等式性質(zhì)進行的變形，正確的是（　　）
A．如果a=b，則a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3
C．如果a=b，則= D．如果=，則a=b
【對點變式練2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【對點變式練3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x+a＝2解的取值范圍為（　　）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【例題2】（2024福建省）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【對點變式練1】（2024棗莊一模）《算學啟蒙》是我國較早的數(shù)學著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【對點變式練2】（2023 陜西）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元．已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價．
考點2. 二元一次方程(組)解法及解的應(yīng)用
【例題3】（2024廣西）解方程組：
【對點變式練1】（2024四川樂山一模）解二元一次方程組：．
【對點變式練2】（2024河南一模）方程組的解為　　 ．
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
【例題4】 （2024深圳）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【對點變式練1】（2024甘孜州一模）有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【對點變式練2】（2024張家界一模）為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
甲型客車 乙型客車
載客量（人/輛） 45 60
租金（元/輛） 200 300
（1）參加此次研學活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？
（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
【對點變式練3】（2024齊齊哈爾一模）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：
學校為了支持體育社團開展活動，鼓勵同學們加強鍛煉，準備增購一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根據(jù)圖中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價格；
（2）學校準備用5300元購買羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量為羽毛球拍數(shù)量的3倍，請問最多能購買多少支羽毛球拍？
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
【例題5】（2024江蘇連云港）我市將5月21日設(shè)立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優(yōu)惠方式如下表所示：
郵購數(shù)量 100以上（含100）
郵寄費用 總價的 免費郵寄
折扇價格 不優(yōu)惠 打九折
若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
【對點變式練1】（2024安徽一模） （數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù)．
【對點變式練2】（2024青海一模）（速度問題）在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1. （2024貴州省）小紅學習了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024貴州省）在元朝朱世杰所著的《算術(shù)啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是______．
3. （2024廣州）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
4. （2024廣西）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
考點2. 二元一次方程(組)及其解法
1. （2024江蘇蘇州） 解方程組：．
2. （2024眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
1. （2024黑龍江齊齊哈爾）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現(xiàn)突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（ ）
A. 5種 B. 4種 C. 3種 D. 2種
2. （2024湖北省）《九章算術(shù)》中記載這樣一個題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值金，每只羊值金，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024內(nèi)蒙古赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（　　）
A. B. C. D.
4. （2024四川成都市）中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個題目：今有共買琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價各幾何？其大意是：今有人合伙買琎石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價各是多少？設(shè)人數(shù)為，琎價為，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
5.（2024江蘇鹽城） 中國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為________尺．
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1. （2024安徽省）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地．采用新技術(shù)種植兩種農(nóng)作物．種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：
農(nóng)作物品種 每公頃所需人數(shù) 每公頃所需投入資金（萬元）
已知農(nóng)作物種植人員共位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共萬元．問這兩種農(nóng)作物的種植面積各多少公頃？
2. （2024湖南省）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．
（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；
（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的個數(shù)是（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（ ）
A.±1 B.1 C.－1 D.0或1
3.關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，則其解為　 　．
4.解一元一次方程時，去分母正確的是（ ）
A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x
5. 解方程：+＝4．
6．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)x分鐘時，甲、乙相遇，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為　　 ．
8．對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．
考點2. 二元一次方程(組)及其解法
1. 已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為　 　．
2．解方程組．
3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，給出下列結(jié)論中正確的是（　　）
①當這個方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，a＝﹣2；
②當a＝1時，方程組的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③無論a取什么實數(shù)，x+2y的值始終不變；
④若用x表示y，則y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
1．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（　　）
A． B．
C． D．
2.某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1.某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？
2.亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學生志愿者參與服務(wù)工作．某大學計劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位．
（1）計劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學共有多少名志愿者？
（2）若同時調(diào)配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？
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【名師導航】2025年中考數(shù)學一輪復(fù)習學案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.1 一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用 ☆☆ 數(shù)學中考中，有關(guān)一次方程（組）的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答 題的形式考察。若以解答題出現(xiàn)，考法基本上是兩種類型：一是根據(jù)題意列出一次方程（組），解方程求解，給出結(jié)論；二是根據(jù)題意列出一次方程，結(jié)合不等式，函數(shù)來確定作答思路。考查列方程解應(yīng)用題是每年全國各省市必考內(nèi)容，需要學生深入系統(tǒng)掌握列各種應(yīng)用題類型的等量關(guān)系，考查知識比較綜合。
考點2 二元一次方程(組)及其解法 ☆☆
考點3 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用 ☆☆☆
考點4 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1.等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。
性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。
要點詮釋：（1）分數(shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變。
（2）理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況:
①a≠0時，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解；
③a=0，b≠0時，方程無解。
2.解一元一次方程的一般步驟
（1）去分母。 在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。去分母時不要漏乘不含分母的項。當分母中含有小數(shù)時，先將小數(shù)化成整數(shù)。
（2）去括號。 括號前負號時，去掉括號時里面各項應(yīng)變號。
（3）移項。 把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。
（4）合并同類項。 把若干能合并的式子的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡的作用。
（5）系數(shù)化為1，得出一元一次方程的解。
3.一元一次方程解的應(yīng)用
（1）使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
（2）根據(jù)一元一次方程的解可以求代數(shù)式的值；根據(jù)一元一次方程的解可以求字母的值；根據(jù)一元一次方程的解可以解決其他問題。
【易錯點提示】
在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數(shù)時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．
考點2. 二元一次方程(組)及其解法
1. 二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次。方程一般
形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成一個二元一次方程組。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的
解。
4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解。
一般形式為
【溫馨提醒】二元一次方程組滿足三個條件：
①方程組中的兩個方程都是整式方程．
②方程組中共含有兩個未知數(shù)．
③每個方程都是一次方程．
5．二元一次方程組的解法：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。
（1）代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，
進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
（2）加減消元法：當兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，
就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
1. 方程(組)的實際問題
（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數(shù)量．
（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題一（同地不同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題二（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
（9）飛機航行問題：順風速度=靜風速度+風速度；逆風速度=靜風速度-風速度．
（10）和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率
（11）數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.
（12）其他問題：探索尋找等量關(guān)系，構(gòu)造方程。
2. 解有關(guān)方程(組)的實際問題的一般步驟
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。
第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：列方程(組)。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列出方程(組)。
第4步：解方程(組)。根據(jù)方程(組)的類型采用相應(yīng)的解法。
第5步：檢驗作答。檢驗所求解是否符合實際意義，并作答。
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1. 由實際問題列方程組：是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．
2. 所列方程必須滿足條件：
①方程兩邊表示的是同類量；
②同類量的單位要統(tǒng)一；
③方程的等號兩邊的數(shù)值要相符．
3. 找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：
①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．
②將問題中給出的條件按意思分割成兩個方面，有“；”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系．
③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．
④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系．
【易錯點提示】
在列方程（組）實際問題時，設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
【例題1】（2023貴州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類項，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】對題目的解題過程逐步分析，即可找出出錯的步驟．
方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出錯的步驟為：①，故選：A．
本題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于能準確觀察出出錯的步驟．
【對點變式練1】（2024廣州一模）運用等式性質(zhì)進行的變形，正確的是（　　）
A．如果a=b，則a+c=b﹣c B．如果a2=3a，那么a=3
C．如果a=b，則= D．如果=，則a=b
【答案】D
【解析】A．根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊都加c，得到a+c=b+c，故A不正確；
B．因為根據(jù)等式性質(zhì)2，a≠0，所以不正確；
C．因為c必需不為0，所以不正確；
D．根據(jù)等式性質(zhì)2，兩邊都乘以c，得到a=b，所以D成立。
【對點變式練2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【解析】方程移項合并，即可求出解．
移項得：3x﹣2x＝7，
合并同類項得：x＝7．故選：C．
此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
【對點變式練3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x+a＝2解的取值范圍為（　　）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
【答案】A
【解析】x+a＝2，
x＝﹣a+2，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣3≤﹣a＜3，
∴﹣1≤﹣a+2＜5，
∴﹣1≤x＜5，故選：A．
【例題2】（2024福建省）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．
將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：
，故選：A．
【對點變式練1】（2024棗莊一模）《算學啟蒙》是我國較早的數(shù)學著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解析】利用路程＝速度×時間，結(jié)合x天快馬比慢馬多走的路程為慢馬12天走的路程，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
依題意得：240x﹣150x＝150×12．故選：D．
本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【對點變式練2】（2023 陜西）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元．已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價．
【答案】8元
【解析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價是x元，根據(jù)買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價是x元，則小筆記本的單價是（x﹣3）元，
∵買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：該文具店中這種大筆記本的單價為8元．
本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問題．
考點2. 二元一次方程(組)解法及解的應(yīng)用
【例題3】（2024廣西）解方程組：
【答案】
【解析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可．
【詳解】，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程組的解為：.
【對點變式練1】（2024四川樂山一模）解二元一次方程組：．
【答案】．
【解答】解：，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程組的解為：．
【對點變式練2】（2024河南一模）方程組的解為　　 ．
【答案】．
【解析】利用加減消元法求解或代入消元法求解都比較簡便．
，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程組的解為．
故答案為：．
本題主要考查了解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
【例題4】 （2024深圳）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組．設(shè)該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．
【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：
，故選：A．
【對點變式練1】（2024甘孜州一模）有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)“5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組．
由題意得：，故選：A．
本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【對點變式練2】（2024張家界一模）為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
甲型客車 乙型客車
載客量（人/輛） 45 60
租金（元/輛） 200 300
（1）參加此次研學活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？
（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
【答案】（1）參加此次研學活動的師生人數(shù)是600人，原計劃租用13輛45座客車；
（2）租用14輛45座客車更合算．
【解答】（1）設(shè)參加此次研學活動的師生人數(shù)是x人，原計劃租用y輛45座客車．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：參加此次研學活動的師生人數(shù)是600人，原計劃租用13輛45座客車；
（2）租45座客車：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），
租60座客車：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14輛45座客車更合算．
【對點變式練3】（2024齊齊哈爾一模）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：
學校為了支持體育社團開展活動，鼓勵同學們加強鍛煉，準備增購一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根據(jù)圖中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價格；
（2）學校準備用5300元購買羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量為羽毛球拍數(shù)量的3倍，請問最多能購買多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍的價格為80元，每支乒乓球拍的價格為60元；
（2）最多能購買20支羽毛球拍．
【解答】（1）設(shè)每支羽毛球拍的價格為x元，每支乒乓球拍的價格為y元，
依題意得：，
解得：．
答：每支羽毛球拍的價格為80元，每支乒乓球拍的價格為60元．
（2）設(shè)購買m支羽毛球拍，則購買3m支乒乓球拍，
依題意得：80m+60×3m≤5300，
解得：m≤．
又∵m為整數(shù)，
∴m的最大值為20．
答：最多能購買20支羽毛球拍．
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
【例題5】（2024江蘇連云港）我市將5月21日設(shè)立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優(yōu)惠方式如下表所示：
郵購數(shù)量 100以上（含100）
郵寄費用 總價的 免費郵寄
折扇價格 不優(yōu)惠 打九折
若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
【答案】兩次郵購的折扇分別是40把和160把
【解析】【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，首先判斷出兩次購買數(shù)量的范圍，再設(shè)設(shè)一次郵購折扇把，則另一次郵 折扇把，根據(jù)“兩次郵購折扇共花費1504元”列出一元一次方程，求解即可
【詳解】解：若每次購買都是100把，則．
一次購買少于100把，另一次購買多于100把．
設(shè)一次郵購折扇把，則另一次郵購折扇把．
由題意得：，
解得．
．
答：兩次郵購的折扇分別是40把和160把．
【對點變式練1】（2024安徽一模） （數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù)．
【答案】14
【解析】設(shè)這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個位上的數(shù)為y，則
解方程組，得，
因此，所求的兩位數(shù)是14．
【對點變式練2】（2024青海一模）（速度問題）在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？
【答案】巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時．
【解析】設(shè)巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，則
，整理，得，解得，
因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時．
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1. （2024貴州省）小紅學習了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式，，然后化簡代入即可解題．
【詳解】設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，
由甲圖可得，即，
由乙圖可得，即，
∴，故選C．
2. （2024貴州省）在元朝朱世杰所著的《算術(shù)啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是______．
【答案】20
【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)快馬追上慢馬需要x天，根據(jù)快馬走的路程等于慢馬走的總路程，列方程求解即可．
【詳解】設(shè)快馬追上慢馬需要x天，
根據(jù)題意，得，
解得．
3. （2024廣州）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)“今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)該車企去年5月交付新車輛，
根據(jù)題意得：，故選：A．
4. （2024廣西）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢”列方程即可．
根據(jù)題意，得，故選：B．
考點2. 二元一次方程(組)及其解法
1. （2024江蘇蘇州） 解方程組：．
【答案】
【解析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求解．根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．
得，，解得，．
將代入①得．
方程組的解是
2. （2024眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】把方程組的兩個方程相減得到2x﹣2y＝2m+6，結(jié)合x﹣y＝4，得到m的值．
∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．故選：B．
本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是把方程組的兩個方程相減得到m的方程，此題難度不大．
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
1. （2024黑龍江齊齊哈爾）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現(xiàn)突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（ ）
A. 5種 B. 4種 C. 3種 D. 2種
【答案】B
【解析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，設(shè)單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)，即可求解．
【詳解】設(shè)單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，
依題意，
∴
∵，為正整數(shù)，
∴當時，，
當時，
當時，
當時，
∴購買方案有4種，故選：B．
2. （2024湖北省）《九章算術(shù)》中記載這樣一個題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值金，每只羊值金，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)未知數(shù)，將今有牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，兩個等量關(guān)系具體化，聯(lián)立即可．
【詳解】解：設(shè)每頭牛值x金，每頭羊值y金，
∵牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，
∴，故選：A．
3. （2024內(nèi)蒙古赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，再利用現(xiàn)需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板分別得出方程組即可．
【詳解】設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，
由題意得：，故選：C．
4. （2024四川成都市）中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個題目：今有共買琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．問人數(shù)，琎價各幾何？其大意是：今有人合伙買琎石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差了3錢．問人數(shù)，琎價各是多少？設(shè)人數(shù)為，琎價為，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可．
設(shè)人數(shù)為，琎價為，
根據(jù)每人出錢，會多出4錢可得出，
每人出錢，又差了3錢．可得出，
則方程組為：，故選：B．
5.（2024江蘇鹽城） 中國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為________尺．
【答案】15
【解析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題關(guān)鍵．
設(shè)繩索長 尺，竿長 尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出關(guān)于 的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】設(shè)繩索長 尺，竿長 尺，
根據(jù)題意得： ．
解得：
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1. （2024安徽省）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一些田地．采用新技術(shù)種植兩種農(nóng)作物．種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：
農(nóng)作物品種 每公頃所需人數(shù) 每公頃所需投入資金（萬元）
已知農(nóng)作物種植人員共位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共萬元．問這兩種農(nóng)作物的種植面積各多少公頃？
【答案】農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃．
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃，
由題意可得，，
解得，
答：設(shè)農(nóng)作物的種植面積為公頃，農(nóng)作物的種植面積為公頃．
2. （2024湖南省）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．
（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；
（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？
【答案】（1）50元、30元 （2）400棵
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為x元/棵，y元/棵，根據(jù)“購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元”列方程組求解即可；
（2）購買臍橙樹苗a棵，根據(jù)“總費用不超過38000元”列不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為x元/棵，y元/棵，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為50元/棵，30元/棵；
【小問2詳解】
解：設(shè)購買臍橙樹苗a棵，則購買黃金貢柚樹苗棵，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．
考點1. 一元一次方程的解法及解的應(yīng)用
1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的個數(shù)是（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】B
【解析】含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程是一元一次方程，滿足要求的有②③⑤。
2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（ ）
A.±1 B.1 C.－1 D.0或1
【答案】B
【解析】方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m+1≠0，|m|=1，所以m=1.
3.關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，則其解為　 　．
【解答】∵關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程為x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案為：x＝2或x＝﹣2．
4.解一元一次方程時，去分母正確的是（ ）
A．3(x+1)=1-2x B．2(x+1)=1-3x C．2(x+1)=6-3x D．3(x+1)=6-2x
【答案】D
【解析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．
方程兩邊都乘以6，得：3(x+1)=6-2x．
【點評】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．
5. 解方程：+＝4．
【答案】x＝7．
【解答】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
6．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)x分鐘時，甲、乙相遇，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】∵甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘，
∴甲的速度是，乙的速度是，
由題意得．故選：A．
7．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為　　 ．
【答案】5x+45＝7x+3．
【解析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價錢不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程即可．
設(shè)合伙人數(shù)為x人，
依題意，得：5x+45＝7x+3．
故答案為：5x+45＝7x+3．
本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
8．對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．
【答案】邊的寬為4cm，天頭長為24cm．
【解析】設(shè)天頭長為6x cm，地頭長為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，根據(jù)題意得列方程即可得到結(jié)論．
設(shè)天頭長為6x cm，地頭長為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，
根據(jù)題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：邊的寬為4cm，天頭長為24cm．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確地理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
考點2. 二元一次方程(組)及其解法
1. 已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為　 　．
【答案】2
【解析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，結(jié)合x﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．
，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，根據(jù)二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，找出關(guān)于a的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．解方程組．
【答案】．
【解析】利用加減消元法解方程組即可．
，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
將x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程組的解為：．
考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．
3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，給出下列結(jié)論中正確的是（　　）
①當這個方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，a＝﹣2；
②當a＝1時，方程組的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③無論a取什么實數(shù)，x+2y的值始終不變；
④若用x表示y，則y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解答】關(guān)于x，y的二元一次方程組，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①當方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時，即x+y＝0時，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正確，
（2）②原方程組的解滿足x+y＝2+a，
當a＝1時，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解滿足x+y＝6，
因此②不正確，
（3）方程組，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正確的，
（4）方程組，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正確的，
故選：D．
考點3. 二元一次方程(組)的實際應(yīng)用
1．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)“甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等；兩袋互相
交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
∵甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等，
∴9x＝11y；
∵兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根據(jù)題意可列方程組．
故選：C．
本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
2.某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少噸？
【答案】甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．
【解析】設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則
，整理，得，解得，
因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．
考點4. 列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析
1.某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？
【答案】3375,18.
【解析】設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得
，解得.
2.亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學生志愿者參與服務(wù)工作．某大學計劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位．
（1）計劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學共有多少名志愿者？
（2）若同時調(diào)配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？
【答案】見解析。
【解析】（1）設(shè)計劃調(diào)配36座新能源客車x輛，該大學共有y名志愿者，則需調(diào)配22座新能源客車（x+4）輛，
依題意，得：，
解得：．
答：計劃調(diào)配36座新能源客車6輛，該大學共有218名志愿者．
（2）設(shè)需調(diào)配36座客車m輛，22座客車n輛，
依題意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴．
答：需調(diào)配36座客車3輛，22座客車5輛．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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