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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第一章 數與式
1.2 代數式與整式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 代數式 ☆☆ 數學中考中，有關代數式與整式部分，每年考查2~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。則5各考點在全國各省市真題試卷中都有體現，是必考內容，有的省市把規律探索作為選擇題或者填空題的壓軸題出現，因式分解是中考熱點問題，所以復習時要認真對待，打牢基礎，掌握解題方法。
考點2 整式及其運算 ☆☆☆
考點3 乘法公式 ☆☆
考點4 因式分解 ☆☆☆
考點5 規律探索題 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 代數式
1. 代數式概念
用基本的運算符號(運算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式.
（1）代數式中除了含有字母、數字、運算符號外還可以有括號。
（2）代數式中不含有=、<、>、≠ 等
（3）對于用字母表示的數，如果沒有特別說明，就應理解為它可以表示任何一個數。
2.代數式的分類
代數式分為有理式和無理式。有理式分為整式和分式，其中整式分為單項式和多項式。
3.列代數式方法
列代數式首先要確定數量與數量的運算關系，其次應抓住題中的一些關鍵詞語，如和、差、積、商、平方、倒數以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關鍵詞語，反復咀嚼，認真推敲，列好一般的代數式就不太難了.
【易錯點提示】列式（或者說列代數式）注意：
①數與字母、字母與字母相乘省略乘號；
②數與字母相乘時數字在前；
③式子中出現除法運算時，一般按分數形式來寫；
④帶分數與字母相乘時，把帶分數化成假分數；
⑤帶單位時，適當加括號.
4.代數式的值
（1）一般地，用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數式的值.
（2）求代數式的值分兩步：第一步，代數；第二步，計算.要充分利用“整體”思想求代數式的值。【方法總結】求代數式的一般方法
1.直接代入法:用數值代替代數式中的對應字母,然后計算結果
2.化簡求值法:先化簡代數式,再代入字母的值,然后進行計算
3. 整體代入法:當給出代數式中所含幾個字母之間的關系,不直接給出字母的值時,一般是把所要求的代數式通過恒等變形,轉化成為用已知關系表示的形式,再代入計算。
考點2 整式及其運算
1. 整式的有關概念
（1）整式：單項式和多項式統稱為整式．
（2）單項式：單項式是指由數字或字母的乘積組成的式子；單項式中的數字因數叫做單項式的系數；單項式中所有字母指數的和叫做單項式的次數．
【注意】單項式的系數包括它前面的符號
（3）多項式：幾個單項式的和叫做多項式；多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項；多項式中次數最高項的次數就是這個多項式的次數．
（4）同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.
2. 整式的運算
（一）冪的運算
（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.即. （m, n都是正整數）.
（2）冪的乘方：
1）冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。
2）法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘，即（m，n都是正整數）．
（3）積的乘方：
1）積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．
2）法則：積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘（n是正整數）．
（4）同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減.
(m,n都是正整數,且m>n);
(a≠0).
【方法技巧】
（1）冪的乘方：（m，n，p都是正整數）．
例如：．這一性質由乘方運算降為乘法運算（指數相乘）．
（2）注意逆用冪的乘方法則，例如：．
逆用積的乘方法則有，即指數相同的冪相乘，可將底數相乘，相同的指數作為共同的指數.
（二）整式的加減
幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。
（三）整式的乘法
（1）單項式乘單項式
運算性質：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；②注意按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質對于多個單項式相乘仍然成立．
（2）單項式乘多項式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：
①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．
（3）多項式乘多項式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多項式與多項式相乘的法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）運用法則時應注意以下兩點：
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．
（四）整式的除法
（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的冪分別相除，作為商的因式。對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式。
（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。
考點3 乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式：．
（2）完全平方公式有以下幾個特征：
①左邊是兩個數的和的平方；
②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍，其符號與左邊的運算符號相同．
（3）完全平方公式的幾何背景
①運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
②常見驗證完全平方公式的幾何圖形
．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）
【溫馨提醒】應用完全平方公式時，要注意：
①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；
②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；
③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式。
2．平方差公式
（1）平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差．即：
（2）平方差公式的幾何背景
①常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式）．
②運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾何解釋．
【溫馨提醒】應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便。
考點4 因式分解
1. 定義：把一個多項式化成幾個因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算。
2. 因式分解的基本方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
（2）公式法：；；。
（3）分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（4）十字相乘法：
3. 分解因式的一般步驟
（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式;
（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項時，考慮平方差公式；
為三項時，考慮完全平方公式（或者十字相乘法）；
為四項時，考慮利用分組的方法進行分解;
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
【說明】中考考查因式分解問題，經常考查提取公因式法和公式法。對于十字相乘法、分組法能夠熟練掌握學會這些額外方法對解決復雜問題大有益處。
考點5 規律探索題
1.解決規律探索型問題的策略是：
通過對所給的一組（或一串）數字或式子或圖形及結論，進行全面細致地觀察、分析、比較，從中發現其變化規律，并由此猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以應用.
2.圖形固定累加規律：
(1)找關系：找后一個圖形所求元素個數與前一個圖形所求元素個數之間的關系，一般通過作差的形式進行觀察；
(2)找規律：若第一個圖形所求元素個數為a，第二個圖形所求元素個數比第一個圖形所求元素個數多b，且此后每一個圖形所求元素個數比前一個圖形所求元素個數多b，則第n個圖形所求元素個數為a＋b(n－1)；
(3)驗證：代入序號驗證所求代數式．
【易錯點提示】解決代數式與整式問題注意幾點
①仔細辨別詞義． 列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分．
②分清數量關系．要正確列代數式，只有分清數量之間的關系．
③注意運算順序．列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起來．
④規范書寫格式．列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．
⑤正確進行代換．列代數式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．
考點1 代數式
【例題1】（2024四川廣安） 代數式的意義可以是（ ）
A. 與x的和 B. 與x的差 C. 與x的積 D. 與x的商
【答案】C
【解析】本題考查了代數式的意義，用語言表達代數式的意義，一定要理清代數式中含有的各種運算及其順序．根據中的運算關系解答即可．
【詳解】代數式的意義可以是與x的積．故選C．
【對點變式練1】（2024湖南一模）某商店舉辦促銷活動．促銷的方法是將原價為x元的衣服以元出售，則下列關于代數式的含義的描述正確的是（ ）
A. 原價打8折后再減去7元 B．原價減去7元后再打8折
C．原價減去7元后再打2折 D．原價打2折后再減去7元
【答案】A
【解析】根據代數式的實際意義進行解答即可，準確理解代數式的意義是解題的關鍵．
將原價x元的衣服以元出售就是把原價打8折后再減去7元．故選：A．
【對點變式練2】（2024長沙一模）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（　　）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【答案】C
【解答】設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為：8（100﹣x）元．故選：C．
【例題2】（2024廣州）如圖，把，，三個電阻串聯起來，線路上的電流為，電壓為，則．當，，，時，的值為______．
【答案】220
【解析】本題考查了代數式求值，乘法運算律，掌握相關運算法則，正確計算是解題關鍵．根據，將數值代入計算即可．
，
當，，，時，
，
故答案為：220．
【對點變式練1】（2024沈陽一模）當a+b＝3時，代數式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為　 　．
【答案】2
【解析】先將原式去括號，然后合并同類項可得﹣a﹣b+5，再把前兩項提取﹣1，然后把a+b的值代入可得結果．
2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
當a+b＝3時，原式＝﹣3+5＝2．
此題主要是考查了整式的化簡求值，能夠熟練運用去括號法則，合并同類項法則化簡是解題的關鍵．
【對點變式練2】（2024吉林四平一模）當時，代數式的值為16，則當時，這個代數式的值是（　　）
A．0 B．-16 C．32 D．8
【答案】A
【解析】由當時，代數式的值為16，可得，再把代入代數式即可得到答案．
當時，代數式的值為16，
∴，
∴，
∴，
當時，
故選A．
【點撥】本題考查的是求解代數式的值，添括號的應用，掌握“利用整體代入法求解代數式的值”是解本題的關鍵．
考點2 整式及其運算
【例題3】（2024福建省）下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項，解題的關鍵是掌握同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項運算法則．
利用同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項計算后判斷正誤．
【詳解】，A選項錯誤；
，B選項正確；
，C選項錯誤；
，D選項錯誤；故選：B．
【對點變式練1】（2024湖北孝感一模）先化簡，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，
y＝－1．
【答案】，
【解析】根據整式的加減運算化簡，然后將字母的值代入即可求解．
原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
當x＝2，y＝－1時，
原式＝．
【點睛】本題考查了整式加減的化簡求值，正確的計算是解題的關鍵．
【對點變式練2】（2024日照一模）下列計算正確的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【答案】B
【解析】分別根據同底數冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項法則進行計算可得結果．
A．a2 a3＝a2+3＝a5，所以A運算錯誤；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B運算正確；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C運算錯誤；
D．2ab與3a2b不是同類項，所以不能合并計算，所以D運算錯誤．
故選：B．
此題主要是考查了同底數冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項法則，能夠熟練運用各種法則是解答此題的關鍵．
【對點變式練3】（2023畢節市一模）計算（2x2）3的結果，正確的是（　　）
A．8x5 B．6x5 C．6x6 D．8x6
【答案】D
【解析】（2x2）3＝8x6．故選：D．
【對點變式練4】（2024淮安一模）計算a2 a3的結果是（　　）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【答案】C
【解答】a2 a3＝a5．故選：C．
考點3 乘法公式
【例題4】（2024上海市）計算______．
【答案】
【解析】根據平方差公式進行計算即可．
，
故答案為：．
【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
【對點變式練1】（2024湖州一模）計算：（a+1）（a﹣1）＝　 　．
【答案】a2﹣1．
【解析】直接利用平方差公式進行計算即可．
（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案為：a2﹣1．
本題主要考查了平方差公式，解題的關鍵是熟記平方差公式．
【對點變式練2】（2024棗莊一模）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【答案】C
【解析】中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b﹣2b＝a﹣b，
則面積是（a﹣b）2．故選：C．
考點4 因式分解
【例題5】（2024甘肅臨夏）因式分解：______．
【答案】
【解析】本題考查因式分解，掌握公式法分解因式是解題關鍵．直接利用平方差公式分解因式即可．
．
故答案為：．
【對點變式練1】（2024廣西一模）分解因式：a2+5a＝　 　．
【答案】a（a+5）．
【解析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出結論．
∵a2+5a公有因式為a，
∴原式＝a（a+5），
故答案為：a（a+5）．
本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關鍵．
【對點變式練2】（2024遼寧一模）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
【答案】2（m+3）（m﹣3）．
【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案為：2（m+3）（m﹣3）．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
【對點變式練3】（2024濟寧一模）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【解析】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關知識．
A.（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項A錯誤，
B.a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項B錯誤，
C.5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項C正確，
D.a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項D錯誤．
故答案為：C．
本題考查因式分解，提公因式等相關知識．解題的關鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
考點5 規律探索題
【例題6】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為，點B的坐標為，點C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應點為，點C的對應點為，與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花朵”的花心的坐標為______．
【答案】
【解析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質，點的坐標規律探索．連接，求得，，，分別得到，， ，，推導得到，滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，由此得到滾動2024次后停止滾動，則，據此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滾動一次得到，滾動四次得到，滾動七次得到，
∴滾動2024次后停止滾動，則時，，
故答案為：．
【對點變式練1】（2024西藏一模）按一定規律排列的一組數據：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規律排列的第10個數是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】A
【解析】原數據可轉化為：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1×，
﹣＝（﹣1）2+1×，
＝（﹣1）3+1×，
..．
∴第n個數為：（﹣1）n+1，
∴第10個數為：（﹣1）10+1×＝﹣．
故選：A．
【對點變式練2】（2024廣州一模）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小木棒，則n的值為（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【解析】由題意知，第1個圖形需要6根小木棒，
第2個圖形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3個圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此規律，第n個圖形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
當8n﹣2＝2022時，
解得n＝253，故選：B．
【對點變式練3】（2024湖北孝感一模）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且按一定規律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動后點A1（0，2）變換到點A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點A2變換到點A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動后點A3變換到點A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點A4變換到點A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規律…，則第2020個等腰直角三角形的面積是_____．
【答案】22020
【解析】根據A1（0，2）確定第1個等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據A2（6，0）確定第1個等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規律可得結論．
∵點A1（0，2），∴第1個等腰直角三角形的面積==2，
∵A2（6，0），∴第2個等腰直角三角形的邊長為 =，
∴第2個等腰直角三角形的面積==4=，
∵A4（10，），∴第3個等腰直角三角形的邊長為10 6=4，
∴第3個等腰直角三角形的面積==8=，…
則第2020個等腰直角三角形的面積是；故答案為：．
【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化以及找規律，熟練掌握方法是關鍵.
考點1. 代數式
1. （2024山東煙臺）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為________．
【答案】##
【解析】本題考查代數式有意義，根據分式的分母不為0，二次根式的被開方數為非負數，進行求解即可．
由題意，得：，
解得：．
2. （2024四川廣安）若，則______．
【答案】7
【解析】本題考查了求代數式的值．對已知等式變形得到，再整體代入計算求解即可．
∵，
∴，
∴，
∴．
3. （2024廣州）若，則______．
【答案】11
【解析】本題考查了已知字母的值求代數式的值，得出條件的等價形式是解題關鍵．
由，得，根據對求值式子進行變形，再代入可得答案．
，
，
．
4. （2024廣西）如果，，那么的值為（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
【答案】D
【解析】本題考查因式分解，代數式求值，先將多項式進行因式分解，利用整體代入法，求值即可．
∵，，
∴
；故選D．
考點2. 整式及其運算
1. （2024貴州省）計算的結果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題主要考查合并同類項，根據合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變即可得．
，故選：A．
2. （2024四川德陽）若一個多項式加上，結果是，則這個多項式為______．
【答案】
【解析】本題考查整式的加減運算，根據題意“一個多項式加上，結果是”，進行列出式子：，再去括號合并同類項即可．
依題意這個多項式為
．
3. （2024甘肅臨夏）下列各式運算結果為的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查合并同類項，積的乘方，同底數冪的乘除法，掌握運算法則是解題的關鍵．根據相關運算法則對選項進行運算，并判斷，即可解題．
A、與不是同類項，不能合并，故不符合題意；
B、，符合題意；
C、，不符合題意；
D、，不符合題意；故選：B．
4. （2024河南省）計算的結果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查的是乘方的含義，冪的乘方運算的含義，先計算括號內的運算，再利用冪的乘方運算法則可得答案．
【詳解】，故選D
5. （2024湖北省）的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查單項式與單項式的乘法．運用單項式乘單項式運算法則求出結果即可判斷．
，故選：D．
6. （2024天津市）計算結果為______．
【答案】
【解析】本題考查同底數冪的除法，掌握同底數冪的除法，底數不變，指數相減是解題的關鍵．
．
7. （2024河北省）下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查整式的運算，根據合并同類項，單項式乘以單項式，積的乘方，同底數冪的除法依次對各選項逐一分析判斷即可．解題的關鍵是掌握整式運算的相關法則．
A．，不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；
B．，故此選項不符合題意；
C．，故此選項符合題意；
D．，故此選項不符合題意．故選：C．
8. （2024河北省）若a，b是正整數，且滿足，則a與b的關系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方的運算的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
由題意得：，利用同底數冪的乘法，冪的乘方化簡即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴，故選：A．
9. （2024吉林省）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】本題考查了整式的化簡求值，平方差公式，先利用平方差公式化簡，再進行合并同類項，最后代入求值即可．
原式
，
當時，
原式
．
10. （2024甘肅威武）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據平方差公式和完全平方公式去小括號，然后合并同類項，再根據多項式除以單項式的計算法則化簡，最后代值計算即可．
，
當，時，原式．
11. （2024福建省）已知實數滿足．
（1）求證：為非負數；
（2）若均為奇數，是否可以都為整數？說明你的理由．
【答案】（1）證明見解析； （2）不可能都為整數，理由見解析．
【解析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創新意識等，以及綜合應用所學知識分析、解決問題的能力．
（1）根據題意得出，進而計算，根據非負數的性質，即可求解；
（2）分情況討論，①都為奇數；②為整數，且其中至少有一個為偶數，根據奇偶數的性質結合已知條件分析即可．
【小問1詳解】
解：因為，
所以．
則
．
因為是實數，所以，
所以為非負數．
【小問2詳解】
不可能都為整數．
理由如下：若都為整數，其可能情況有：①都為奇數；②為整數，且其中至少有一個為偶數．
①當都為奇數時，則必為偶數．
又，所以．
因為為奇數，所以必為偶數，這與為奇數矛盾．
②當為整數，且其中至少有一個為偶數時，則必為偶數．
又因為，所以．
因為為奇數，所以必為偶數，這與為奇數矛盾．
綜上所述，不可能都為整數．
考點3. 乘法公式
1. （2024深圳）下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了合并同類項，積的乘方，單項式乘以單項式，完全平方公式．根據單項式乘以單項式，積的乘方，完全平方公式法則進行計算即可求解．
A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項符合題意；
C、，故該選項不符合題意；
D、，故該選項不符合題意；故選：B．
2. （2024四川成都市）下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了積的乘方運算，同類項的合并，完全平方公式以及平方差公式，根據積的乘方運算法則，同類項的合并法則以及完全平方公式以及平方差公式一一計算判斷即可．
A．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；
B．和不是同類項，不能合并，故該選項不符合題意；
C．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；
D．，原計算正確，故該選項符合題意；故選：D．
考點4. 因式分解
1. （2024吉林省）因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】直接把公因式a提出來即可．
a2﹣3a=a（a﹣3）．
2.（2024福建省）因式分解：x2+x=_____．
【答案】
【解析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
3. （2024甘肅威武）因式分解：________．
【答案】
【解析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關鍵．
．
4. （2024江蘇鹽城）分解因式：x2+2x+1=_______
【答案】##
【解析】本題中沒有公因式，總共三項，其中有兩項能化為兩個數的平方和，第三項正好為這兩個數的積的2倍，直接運用完全平方和公式進行因式分解．
x2+2x+1=（x+1）2
【點睛】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結構是解題的關鍵．（1）三項式；（2）其中兩項能化為兩個數（整式）平方和的形式；（3）另一項為這兩個數（整式）的積的2倍（或積的2倍的相反數）．
5. （2024江蘇揚州）分解因式：_____．
【答案】
【解析】先提取公因式2后繼續應用完全平方公式分解即可：
原式．
6.（2024山東威海） 因式分解：________．
【答案】
【解析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公式分解因式即可．
．
7. （2024四川達州）分解因式：3x2﹣18x+27=________．
【答案】3（x﹣3）2
【解析】先提取公因式3，再根據完全平方公式進行二次分解．
3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
8.（2024黑龍江齊齊哈爾）分解因式：
【答案】
【解析】先提公因式，進而根據平方差公式因式分解，即可求解．
原式
考點5. 規律探索題
1. （2024江蘇揚州）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1，1，2，3，5，……，這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和．則在這一列數的前2024個數中，奇數的個數為（ ）
A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350
【答案】D
【解析】將這一列數繼續寫下去，發現這列數的變化規律即可解答．
本題主要考查的是數字規律類問題，發現這列數的變化規律是解題的關鍵．
【詳解】這一列數為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發現每3個數為一組，每一組前2個數為奇數，第3個數為偶數．
由于，
即前2024個數共有674組，且余2個數，
∴奇數有個．故選：D
2. （2024山東煙臺）《周髀算經》是中國現存最早的數理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】本題考查了數字的變化規律，由題意可知每天減少的量一樣，由數的規律求和即可，讀懂題意，找出規律是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，
∴一共織布（尺），故選：．
3. （2024重慶市A）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】B
【解析】本題考查數字的變化類，根據圖形，可歸納出規律表達式的特點，再解答即可．
【詳解】解：由圖可得，
第1種如圖①有4個氫原子，即
第2種如圖②有6個氫原子，即
第3種如圖③有8個氫原子，即
，
第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是：；故選：B．
4. （2024重慶市B）用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中，菱形的個數是（　　）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
【答案】C
【解析】本題考查了圖形類的規律探索，解題的關鍵是找出規律．利用規律求解．通過觀察圖形找到相應的規律，進行求解即可．
【詳解】第①個圖案中有個菱形，
第②個圖案中有個菱形，
第③個圖案中有個菱形，
第④個圖案中有個菱形，
∴第個圖案中有個菱形，
∴第⑧個圖案中菱形的個數為，故選：C．
5. （2024青海省）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規律擺放，第（7）個圖案中有________個火柴棒．
【答案】15
【解析】本題考查圖形類規律探究．根據題意得到第（1）、（2）、（3）個圖形中火柴棒的數量，由此可得第（n）個圖形有根火柴棒，即可．
根據題意得：第（1）個圖形有根火柴棒，
第（2）個圖形有根火柴棒，
第（3）個圖形有根火柴棒，
……
第（n）個圖形有根火柴棒，
∴第（7）個圖案中有根火柴棒，故答案為：15
6. （2024四川德陽）將一組數，按以下方式進行排列：
則第八行左起第1個數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．求出第七行共有28個數，從而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得．
由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，
歸納類推得：第七行共有個數，
則第八行左起第1個數是，故選：C．
7. （2024四川德陽）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1．經過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b，你認為a可以是______（填上一個數字即可）．
【答案】1##8
【解析】本題考查了數字規律，理解題意是解題的關鍵．由于兩個中心圓圈有6根連線，數字1至8，共有8個數字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，否則不滿足任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1，故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8．
【詳解】 兩個中心圓圈分別有6根連線，數字1至8，共有8個數字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入．
位于兩個中心圓圈的數字a、b，只可能是1或者8．
8. （2024四川成都市）在綜合實踐活動中，數學興趣小組對這個自然數中，任取兩數之和大于的取法種數進行了探究．發現：當時，只有一種取法，即；當時，有和兩種取法，即；當時，可得；……．若，則的值為______；若，則的值為______．
【答案】 ①9 ②144
【解析】本題考查數字類規律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當n為偶數或奇數時的不同取法是解答的關鍵．先根據前幾個n值所對應k值，找到變化規律求解即可．
【詳解】當時，只有一種取法，則；
當時，有和兩種取法，則；
當時，有，，，四種取法，則；
故當時，有，，，，，六種取法，則；
當時，有，，，，，，，，九種取法，則；
依次類推，
當n為偶數時，，
故當時，
9. （2024江西省）觀察a，，，，…，根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為______．
【答案】
【解析】此題考查了單項式規律探究．分別找出系數和次數的規律，據此判斷出第n個式子是多少即可．
∵a，，，，…，
∴第n個單項式的系數是1；
∵第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數分別是1、2、3、4，…，
∴第n個式子是．
∴第100個式子是．
10. （2024云南省）按一定規律排列的代數式：，，，，，，第個代數式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了數列的規律變化，根據數列找到變化規律即可求解，仔細觀察和總結規律是解題的關鍵．
∵按一定規律排列的代數式：，，，，，，
∴第個代數式是，故選：．
11. （2024四川眉山）已知（且），，則的值為______．
【答案】
【解析】此題考查了分式的混合運算，利用分式的運算法則計算得到每三個為一個循環，分別為，，，進一步即可求出．
【詳解】，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三個為一個循環，
，
．
12. （2024重慶市B）已知整式，其中為自然數，為正整數，且．下列說法：
①滿足條件的整式中有5個單項式；
②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；
③滿足條件的整式共有16個．
其中正確的個數是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】本題考查的是整式的規律探究，分類討論思想的應用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．
∵為自然數，為正整數，且，
∴，
當時，則，
∴，，
滿足條件的整式有，
當時，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，，
當時，則，
∴，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當時，則，
∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，；
當時，，
滿足條件的整式有：；
∴滿足條件的單項式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；故②符合題意；
滿足條件的整式共有個．故③符合題意；故選D
13. （2024黑龍江大慶）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為______．
【答案】48
【解析】本題主要考查了圖形規律，直角三角形的性質、勾股定理、正方形的性質等知識．根據題意分別計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規律即可求解．
【詳解】解：圖①中，∵，
根據勾股定理得，，
∴圖①中所有正方形面積和為：，
圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，
圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，

∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為，
∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為
14. （2024黑龍江綏化）如圖，已知，，，，，，，…，依此規律，則點的坐標為______．
【答案】
【解析】本題考查了點坐標的規律探究．解題的關鍵在于根據題意推導出一般性規律．根據題意可知個點坐標的縱坐標為一個循環，的坐標為，據此可求得的坐標．
【詳解】∵，，，，，，，…，，
∴可知個點坐標的縱坐標為一個循環，的坐標為，
∵，
∴的坐標為．
∴的坐標為．
15. （2024武漢市）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數的圖象，發現它關于點中心對稱．若點，，，……，，都在函數圖象上，這個點的橫坐標從開始依次增加，則的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】本題是坐標規律題，求函數值，中心對稱的性質，根據題意得出，進而轉化為求，根據題意可得，，即可求解．
∵這個點的橫坐標從開始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
當時，，即，
∵關于點中心對稱的點為，
即當時，，
∴，故選：D．
16. （2024四川廣安）已知，直線與軸相交于點，以為邊作等邊三角形，點在第一象限內，過點作軸的平行線與直線交于點，與軸交于點，以為邊作等邊三角形（點在點的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點的橫坐標為______．
【答案】
【解析】
直線直線可知，點坐標為，可得，由于是等邊三角形，可得點，把代入直線解析式即可求得的橫坐標，可得，由于是等邊三角形，可得點；同理，，發現規律即可得解，準確發現坐標與字母的序號之間的規律是解題的關鍵．
【詳解】解：∵直線l：與x軸負半軸交于點，
∴點坐標為，
∴，
過，，作軸交x軸于點M，軸交于點D，交x軸于點N，
∵為等邊三角形，
∴ ∴，
∴ ∴，
當時，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的橫坐標為，
∴點的橫坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特殊圖形點的坐標的規律，掌握探究的方法是解本題的關鍵.
考點1. 代數式
1．下列說法中，不能表示代數式“”意義的是（ ）
A．的5倍 B．5個相乘 C．5個相加 D．5的倍
【答案】B
【解析】本題考查了代數式的意義，代數式“”意義是5與x相乘，根據乘法的意義即可判斷．
代數式“”意義是5與x相乘，故選項A、C、D正確，
而5個相乘表示，故選項B不能表示代數式“”的意義．故選：B．
2. 數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進行推理，獲得結論．初中數學里的一些代數恒等式，很多都可以借助幾何圖形進行直觀推導和解釋．請結合相關知識，解答下列問題：

(1)如圖1是由4個大小相同，長為a、寬為b的長方形圍成的邊長為的正方形，用含字母a，b的代數式表示出陰影部分的面積．
①通過計算陰影部分正方形的邊長，求陰影部分的面積，可列代數式：________；
②通過用較大正方形的面積減去4個小長方形的面積，求陰影部分的面積，可列代數式：_________；
(2)根據圖1中的陰影部分的面積關系寫出一個代數恒等式：_____________；
(3)若，，求圖2中陰影部分的面積．
【答案】(1)①；②；；(2)；(3)．
【分析】（1）①根據題意，求得陰影部分正方形的邊長，即可求解；②求得大正方形的面積和四個小長方形的面積，即可求解；
（2）由（1）即可得出恒等式；
（3）利用正方形的面積減去三個直角三角形的面積得到陰影部分的面積，將，代入，即可求解．
解：①由題意可得，陰影部分正方形的邊長為，則面積為，
故答案為：
②大正方形的面積為，
四個長方形的面積為：，
則陰影部分的面積為；
故答案為：；
（2）由（1）可得：，
故答案為：
（3）陰影部分的面積為：
將，代入可得：
原式
．
【點撥】此題考查了列代數式，代數式求值，解題的關鍵是通過不同方式求解出陰影部分的面積．
3. 已知是八次單項式，求代數式3a+3b-12的值．
【答案】24
【解析】根據八次單項式的定義得到a+b﹣4=8，則a+b=12，將其整體代入所求的代數式進行求值．
由題意得：a+b﹣4=8，則a+b=12，
所以3a+3b﹣12=3（a+b）﹣12=24．
4. 若，則代數式的值為（　　）
A．7 B．1 C． D．13
【答案】A
【解析】本題主要考查了求代數式的值．根據題意可得，整體代入即可求解．
，故選A．
5. 閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代數式6a﹣2b﹣1的值．”可以這樣解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根據閱讀材料，解決問題：若x＝2是關于x的一元一次方程ax+b＝3的解，則代數式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是　　 ．
【答案】14
【解析】∵x＝2是關于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14
6. 若多項式是關于x、y的三次三項式；單項式與單項式的次數相同，求代數式的值．
【答案】100
【解析】根據單項式和多項式的次數的定義可知2a+2=1，b-1=2，求出a和b的值，將代數式化簡后代入a和b的值計算即可．
∵是關于x、y的三次三項式，
∴2a+2=1，解得：a=，
∵與的次數相同，
∴b-1=2，解得：b=3，
=100．
【點撥】本題主要考查了單項式和多項式的次數的定義，代數式的值，掌握“單項的次數是每個字母的指數和，多項式的次數是次數最高項的次數”是解題的關鍵．
考點2 整式及其運算
1．設有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】用長乘寬，列出算式，根據多項式乘多項式的運算法則展開，然后根據A、B、C類卡片的形狀可得答案．
∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數為8張．
故選：C．
本題考查了多項式乘多項式在幾何圖形問題中的應用，數形結合并明確多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．
考點3 乘法公式
1．已知a+b＝4，a﹣b＝2，則a2﹣b2的值為 　　．
【答案】8
【解析】∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8， 故答案為：8．
考點4 因式分解
1．下列因式分解正確的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【答案】A
【解析】利用提公因式法、公式法逐個分解得結論．
A選項，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故該選項符合題意；
B選項，a2+ab+a＝a（a+b+1），故該選項不符合題意；
C選項，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故該選項不符合題意；
D選項，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故該選項不符合題意．
故選：A．
本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關鍵．
2．分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
【答案】A
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故選：A．
此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式分解因式是解題關鍵．
3. 把多項式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分組分解法分解因式，正確的分組方法應該是（　　）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【答案】B
【解析】把第一、三項為一組，利用平方差公式分解因式，二四項為一組，整理后再利用提公因式法分解因式即可．
原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y
=（4x2﹣y2）﹣（2x+y）
=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）
=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
4. 分解因式：___．
【答案】
【解析】直接提取公因式即可
．
故答案為: .
5．分解因式：x2﹣9y2＝　 ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【解析】原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案為：（x﹣3y）（x+3y）
6．把多項式m2n+6mn+9n分解因式的結果是　 　．
【答案】n（m+3）2．
【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
7.分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝　 　
【答案】y（x﹣y）2
【解析】∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．
故答案為：y（x﹣y）2．
8.先閱讀以下材料，然后解答問題．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法稱為分組分解法．請用分組分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
【答案】見解析。
【解析】a3﹣b3+a2b﹣ab2
=（a3+a2b）﹣（b3+ab2）
=a2（a+b）﹣b2（b+a）
=（a+b）（a2﹣b2）
=（a+b）2（a﹣b）．
9．x5﹣1＝　 　．
【答案】(x﹣1)( x4+ x3+ x2+ x+1)
【解析】利用填項、分組、提出公因式法分解因式得出答案．
x5﹣1
＝x5﹣x4+x4﹣1
＝（x5﹣x4）+（x4﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x2﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）[x4+（x2+1）（x+1）]
=（x﹣1）[x4+（x3+ x2+x+1）]
=（x﹣1）(x4+x3+ x2+x+1）
10. 八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將因式分解．
【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
（1）請用分組分解法將因式分解；
【挑戰】
（2）請用分組分解法將因式分解；
【應用】
（3）“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將因式分解，再求值．
【答案】（1）
（2）
（3），9
【解析】【分析】（1）直接將前兩項和后兩項組合，利用平方差公式再提取公因式，進而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
，
∴根據題意得，，
∴原式．
【點睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應用，正確分組再運用公式法分解因式是解題關鍵．
考點5 規律探索
1．相傳古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過、、、、、……，由于這些數可以用圖中所示的三角點陣表示，他們就將每個三角點陣中所有的點數和稱為三角數．若三角數為，則的值為 ．
【答案】100
【分析】本題考查了一元二次方程的應用及數字規律，總結數字規律是解題的關鍵．根據第個三角點數和為，第個三角點數和為，第個三角點數和為，第個三角點數和為，第個三角點數和為，總結得到第個三角形數和為，從而列出一元二次方程求解即可．
【詳解】解：第個三角點數和為，
第個三角點數和為，
第個三角點數和為，
第個三角點數和為，
第個三角點數和為，
∴第個三角形數和為，
，
解得或（舍去），
故答案為．
2．如圖，某鏈條每節長為2.8cm，每兩節鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，50節鏈條總長度為 　 　cm．
【答案】91
【解析】由題意得：
1節鏈條的長度＝2.8cm，
2節鏈條的總長度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3節鏈條的總長度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50節鏈條總長度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案為：91．
3．1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，（a+b）7展開的多項式中各項系數之和為　　．
【答案】128
【解析】根據圖示可得出一般規律，利用規律計算即可．
∵（a+b）0＝1，系數之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系數之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系數之和是22；
……
（a+b）n，展開各項系數之和是2n．
∴（a+b）7展開各項的系數之和為27＝128．
故答案為：128．
本題考查了完全平方公式的延伸應用，屬于規律性探究題型，從特殊到一般規律的推出是數學探究的常用方法．
4．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角錢OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3……以此類推，則正方形OB2020B2021C2021的頂點B2021的坐標是________．
【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐標，找出這些坐標之間的規律，然后根據規律計算出點B2021的坐標．
【詳解】∵正方形OA1B1C1的邊長為2，∴OB1=2，點B1的坐標為（2，2）
∴OB2=2×=4 ∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由規律可以發現，點B1在第一象限角平分線上、B2在y軸正半軸上、B3在第二象限角平分線上、B4在x軸負半軸上、B5在第三象限角平分線上、B6在y軸負半軸上、B7在第四象限角平分線上、B8在x軸正半軸上、B9在第一象限角平分線上、B10在y軸正半軸上，每經過8次作圖后，點的坐標符號與第一次坐標的符號相同，每次正方形的邊長變為原來的倍，∵2021÷8=252 5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分線上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴點B2021到x軸和y軸的距離都為21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）故答案為：（-21011，-21011）．
【點睛】此題考查的是一個循環規律歸納的題目，解答此題的關鍵是確定幾個點坐標為一個循環，再確定規律即可．
5．如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么點A2020的坐標為________________．
【答案】(1010,0)
【解析】根據圖形分別求出n=1、2、3時對應的點An的坐標，然后根據變化規律寫出即可．
觀察圖形，除A1、A2、A3外，每隔4次則循環出現在正方形的四個頂點處，故：
且(2020-3)÷4=504余1，故A2020位于正方形的左下角處。
由圖可知，點A4（2，0），點A8（4，0），點A12（6，1），…故A4n的坐標為(2n，0).
所以，點A2020的坐標為 (1010，0)，故答案為：(1010,0).
【點睛】本題考查了找規律中的周期問題，周期問題中余1則和周期中的第1個數相同，余2則和周期中的第2個數相同，……，整除則和周期中的最后一個數相同.
6．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是　 　．
【答案】（2023，）．
【解析】根據正三角形的性質以及三角形的排列規律可得點A1橫坐標為1，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…因此點A2023橫坐標為2023，再根據這些正三角形的排列規律得出點A2023在第一象限，求出點A2023的縱坐標為，得出答案．
如圖，過點A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分別作x軸的垂線，
∵△A1A2O是邊長為2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴點A1橫坐標為1，
由題意可得，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…
因此點A2023橫坐標為2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶數，
∴點A2023在第一象限，
∴點A2023的縱坐標為，
即點A2023（2023，），
故答案為：（2023，）．
考查正三角形的性質以及點的坐標的規律性，掌握正三角形的性質和點的坐標的變化規律是解題的關鍵．
7. 如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環．當時，點的坐標是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題得點的位置每4個一循環，經計算得出在第三象限，與，，，…符合同一規律，探究出，，，...的規律即可．
由圖得，，…
點C的位置每4個一循環，
，
∴在第三象限，與，，，…
符合規律，
∴坐標為．
故選：A．
【點睛】本題考查了點的坐標的規律的探究，理解題意求出坐標是解題關鍵．
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第一章 數與式
1.2 代數式與整式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 代數式 ☆☆ 數學中考中，有關代數式與整式部分，每年考查2~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。則5各考點在全國各省市真題試卷中都有體現，是必考內容，有的省市把規律探索作為選擇題或者填空題的壓軸題出現，因式分解是中考熱點問題，所以復習時要認真對待，打牢基礎，掌握解題方法。
考點2 整式及其運算 ☆☆☆
考點3 乘法公式 ☆☆
考點4 因式分解 ☆☆☆
考點5 規律探索題 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 代數式
1. 代數式概念
用基本的運算符號(運算包括加、減、乘、除、乘方與開方)把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式。單獨的一個____或一個_____也是代數式.
（1）代數式中除了含有字母、數字、運算符號外還可以有_______。
（2）代數式中不含有=、<、>、≠ 等
（3）對于用字母表示的數，如果沒有特別說明，就應理解為它可以表示任何一個數。
2.代數式的分類
代數式分為_____和_______。有理式分為整式和_____，其中整式分為單項式和_______。
3.列代數式方法
列代數式首先要確定數量與數量的_____關系，其次應抓住題中的一些_____詞語，如和、差、積、商、平方、倒數以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關鍵詞語，反復咀嚼，認真推敲，列好一般的代數式就不太難了.
【易錯點提示】列式（或者說列代數式）注意：
①數與字母、字母與字母相乘省略乘號；
②數與字母相乘時數字在前；
③式子中出現除法運算時，一般按分數形式來寫；
④帶分數與字母相乘時，把帶分數化成假分數；
⑤帶單位時，適當加括號.
4.代數式的值
（1）一般地，用數值_____代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數式的值.
（2）求代數式的值分兩步：第一步，_____；第二步，_____.要充分利用“______”思想求代數式的值。【方法總結】求代數式的一般方法
1.直接代入法:用數值代替代數式中的對應字母,然后計算結果
2.化簡求值法:先化簡代數式,再代入字母的值,然后進行計算
3. 整體代入法:當給出代數式中所含幾個字母之間的關系,不直接給出字母的值時,一般是把所要求的代數式通過恒等變形,轉化成為用已知關系表示的形式,再代入計算。
考點2 整式及其運算
1. 整式的有關概念
（1）整式：_______和_______統稱為整式．
（2）單項式：單項式是指由數字或字母的_______組成的式子；單項式中的數字因數叫做單項式的系數；單項式中所有字母指數的______叫做單項式的次數．
【注意】單項式的系數包括它前面的符號
（3）多項式：幾個單項式的______叫做多項式；多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項；多項式中次數最高項的次數就是這個多項式的次數．
（4）同類項：多項式中所含______相同并且相同字母的_____也相同的項叫做同類項.
2. 整式的運算
（一）冪的運算
（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數______，指數_____.即. （m, n都是正整數）.
（2）冪的乘方：
1）冪的乘方是指幾個相同的冪______。
2）法則：冪的乘方，底數不變，指數_______，即（m，n都是正整數）．
（3）積的乘方：
1）積的乘方是指底數是______形式的乘方．
2）法則：積的乘方等于把積的_______分別乘方，再把所得的冪相乘（n是正整數）．
（4）同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數_______，指數________.
(m,n都是正整數,且m>n);
(a≠0).
【方法技巧】
（1）冪的乘方：（m，n，p都是正整數）．
例如：．這一性質由乘方運算降為乘法運算（指數相乘）．
（2）注意逆用冪的乘方法則，例如：．
逆用積的乘方法則有，即指數相同的冪相乘，可將底數相乘，相同的指數作為共同的指數.
（二）整式的加減
幾個整式相加減，如有括號就先去______，然后再合并________。
（三）整式的乘法
（1）單項式乘單項式
運算性質：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．
注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數等于各因式系數的積；②注意按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質對于多個單項式相乘仍然成立．
（2）單項式乘多項式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：
①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．
（3）多項式乘多項式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多項式與多項式相乘的法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．
（2）運用法則時應注意以下兩點：
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．
（四）整式的除法
（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的冪分別相除，作為商的因式。對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式。
（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。
考點3 乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式：____________
（2）完全平方公式有以下幾個特征：
①左邊是兩個數的和的平方；
②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍，其符號與左邊的運算符號相同．
（3）完全平方公式的幾何背景
①運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
②常見驗證完全平方公式的幾何圖形
．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）
【溫馨提醒】應用完全平方公式時，要注意：
①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；
②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；
③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式。
2．平方差公式
（1）平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差．即：________
（2）平方差公式的幾何背景
①常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式）．
②運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾何解釋．
【溫馨提醒】應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便。
考點4 因式分解
1. 定義：把一個_____化成幾個因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法是_____運算。
2. 因式分解的基本方法
（1）_______法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
（2）______法：；；。
（3）______法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（4）_______法：
3. 分解因式的一般步驟
（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式;
（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項時，考慮平方差公式；
為三項時，考慮完全平方公式（或者十字相乘法）；
為四項時，考慮利用分組的方法進行分解;
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
【說明】中考考查因式分解問題，經常考查提取公因式法和公式法。對于十字相乘法、分組法能夠熟練掌握學會這些額外方法對解決復雜問題大有益處。
考點5 規律探索題
1.解決規律探索型問題的策略是：
通過對所給的一組（或一串）數字或式子或圖形及結論，進行全面細致地_____、分析、比較，從中發現其變化規律，并由此猜想出______的結論，然后再給出合理的證明或加以應用.
2.圖形固定累加規律：
(1)找關系：找后一個圖形所求元素個數與前一個圖形所求元素個數之間的關系，一般通過作差的形式進行觀察；
(2)找規律：若第一個圖形所求元素個數為a，第二個圖形所求元素個數比第一個圖形所求元素個數多b，且此后每一個圖形所求元素個數比前一個圖形所求元素個數多b，則第n個圖形所求元素個數為a＋b(n－1)；
(3)驗證：代入序號驗證所求代數式．
【易錯點提示】解決代數式與整式問題注意幾點
①仔細辨別詞義． 列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分．
②分清數量關系．要正確列代數式，只有分清數量之間的關系．
③注意運算順序．列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起來．
④規范書寫格式．列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．
⑤正確進行代換．列代數式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．
考點1 代數式
【例題1】（2024四川廣安） 代數式的意義可以是（ ）
A. 與x的和 B. 與x的差 C. 與x的積 D. 與x的商
【對點變式練1】（2024湖南一模）某商店舉辦促銷活動．促銷的方法是將原價為x元的衣服以元出售，則下列關于代數式的含義的描述正確的是（ ）
A. 原價打8折后再減去7元 B．原價減去7元后再打8折
C．原價減去7元后再打2折 D．原價打2折后再減去7元
【對點變式練2】（2024長沙一模）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（　　）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【例題2】（2024廣州）如圖，把，，三個電阻串聯起來，線路上的電流為，電壓為，則．當，，，時，的值為______．
【對點變式練1】（2024沈陽一模）當a+b＝3時，代數式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為　 　．
【對點變式練2】（2024吉林四平一模）當時，代數式的值為16，則當時，這個代數式的值是（　　）
A．0 B．-16 C．32 D．8
考點2 整式及其運算
【例題3】（2024福建省）下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【對點變式練1】（2024湖北孝感一模）先化簡，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，
y＝－1．
【對點變式練2】（2024日照一模）下列計算正確的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【對點變式練3】（2023畢節市一模）計算（2x2）3的結果，正確的是（　　）
A．8x5 B．6x5 C．6x6 D．8x6
【對點變式練4】（2024淮安一模）計算a2 a3的結果是（　　）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
考點3 乘法公式
【例題4】（2024上海市）計算______．
【對點變式練1】（2024湖州一模）計算：（a+1）（a﹣1）＝　 　．
【對點變式練2】（2024棗莊一模）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
考點4 因式分解
【例題5】（2024甘肅臨夏）因式分解：______．
【對點變式練1】（2024廣西一模）分解因式：a2+5a＝　 　．
【對點變式練2】（2024遼寧一模）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
【對點變式練3】（2024濟寧一模）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
考點5 規律探索題
【例題6】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為，點B的坐標為，點C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后，點O的對應點為，點C的對應點為，與的交點為，稱點為第一個“花朵”的花心，點為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花朵”的花心的坐標為______．
【對點變式練1】（2024西藏一模）按一定規律排列的一組數據：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規律排列的第10個數是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【對點變式練2】（2024廣州一模）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小木棒，則n的值為（　　）
A．252 B．253 C．336 D．337
【對點變式練3】（2024湖北孝感一模）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且按一定規律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動后點A1（0，2）變換到點A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點A2變換到點A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動后點A3變換到點A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點A4變換到點A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規律…，則第2020個等腰直角三角形的面積是_____．
考點1. 代數式
1. （2024山東煙臺）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為________．
2. （2024四川廣安）若，則______．
3. （2024廣州）若，則______．
4. （2024廣西）如果，，那么的值為（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
考點2. 整式及其運算
1. （2024貴州省）計算的結果正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川德陽）若一個多項式加上，結果是，則這個多項式為______．
3. （2024甘肅臨夏）下列各式運算結果為的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024河南省）計算的結果是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024湖北省）的值是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024天津市）計算結果為______．
7. （2024河北省）下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
8. （2024河北省）若a，b是正整數，且滿足，則a與b的關系正確的是（ ）
A. B. C. D.
9. （2024吉林省）先化簡，再求值：，其中．
10. （2024甘肅威武）先化簡，再求值：，其中，．
11. （2024福建省）已知實數滿足．
（1）求證：為非負數；
（2）若均為奇數，是否可以都為整數？說明你的理由．
考點3. 乘法公式
1. （2024深圳）下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川成都市）下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
考點4. 因式分解
1. （2024吉林省）因式分解：a2﹣3a=_______．
2.（2024福建省）因式分解：x2+x=_____．
3. （2024甘肅威武）因式分解：________．
4. （2024江蘇鹽城）分解因式：x2+2x+1=_______
5. （2024江蘇揚州）分解因式：_____．
6.（2024山東威海） 因式分解：________．
7. （2024四川達州）分解因式：3x2﹣18x+27=________．
8.（2024黑龍江齊齊哈爾）分解因式：
考點5. 規律探索題
1. （2024江蘇揚州）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1，1，2，3，5，……，這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和．則在這一列數的前2024個數中，奇數的個數為（ ）
A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350
2. （2024山東煙臺）《周髀算經》是中國現存最早的數理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
3. （2024重慶市A）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
4. （2024重慶市B）用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中，菱形的個數是（　　）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
5. （2024青海省）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規律擺放，第（7）個圖案中有________個火柴棒．
6. （2024四川德陽）將一組數，按以下方式進行排列：
則第八行左起第1個數是（ ）
A. B. C. D.
7. （2024四川德陽）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1．經過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b，你認為a可以是______（填上一個數字即可）．
8. （2024四川成都市）在綜合實踐活動中，數學興趣小組對這個自然數中，任取兩數之和大于的取法種數進行了探究．發現：當時，只有一種取法，即；當時，有和兩種取法，即；當時，可得；……．若，則的值為______；若，則的值為______．
9. （2024江西省）觀察a，，，，…，根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為______．
10. （2024云南省）按一定規律排列的代數式：，，，，，，第個代數式是（ ）
A. B. C. D.
11. （2024四川眉山）已知（且），，則的值為______．
12. （2024重慶市B）已知整式，其中為自然數，為正整數，且．下列說法：
①滿足條件的整式中有5個單項式；
②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；
③滿足條件的整式共有16個．
其中正確的個數是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
13. （2024黑龍江大慶）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為______．
14. （2024黑龍江綏化）如圖，已知，，，，，，，…，依此規律，則點的坐標為______．
15. （2024武漢市）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數的圖象，發現它關于點中心對稱．若點，，，……，，都在函數圖象上，這個點的橫坐標從開始依次增加，則的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
16. （2024四川廣安）已知，直線與軸相交于點，以為邊作等邊三角形，點在第一象限內，過點作軸的平行線與直線交于點，與軸交于點，以為邊作等邊三角形（點在點的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點的橫坐標為______．
考點1. 代數式
1．下列說法中，不能表示代數式“”意義的是（ ）
A．的5倍 B．5個相乘 C．5個相加 D．5的倍
2. 數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進行推理，獲得結論．初中數學里的一些代數恒等式，很多都可以借助幾何圖形進行直觀推導和解釋．請結合相關知識，解答下列問題：

(1)如圖1是由4個大小相同，長為a、寬為b的長方形圍成的邊長為的正方形，用含字母a，b的代數式表示出陰影部分的面積．
①通過計算陰影部分正方形的邊長，求陰影部分的面積，可列代數式：________；
②通過用較大正方形的面積減去4個小長方形的面積，求陰影部分的面積，可列代數式：_________；
(2)根據圖1中的陰影部分的面積關系寫出一個代數恒等式：_____________；
(3)若，，求圖2中陰影部分的面積．
3. 已知是八次單項式，求代數式3a+3b-12的值．
4. 若，則代數式的值為（　　）
A．7 B．1 C． D．13
5. 閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代數式6a﹣2b﹣1的值．”可以這樣解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根據閱讀材料，解決問題：若x＝2是關于x的一元一次方程ax+b＝3的解，則代數式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是　　 ．
6. 若多項式是關于x、y的三次三項式；單項式與單項式的次數相同，求代數式的值．
考點2 整式及其運算
1．設有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
考點3 乘法公式
1．已知a+b＝4，a﹣b＝2，則a2﹣b2的值為 　　．
考點4 因式分解
1．下列因式分解正確的是（　　）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
2．分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
3. 把多項式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分組分解法分解因式，正確的分組方法應該是（　　）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
4. 分解因式：___．
5．分解因式：x2﹣9y2＝　 ．
6．把多項式m2n+6mn+9n分解因式的結果是　 　．
7.分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝　 　
8.先閱讀以下材料，然后解答問題．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法稱為分組分解法．請用分組分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
9．x5﹣1＝　 　．
10. 八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將因式分解．
【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
（1）請用分組分解法將因式分解；
【挑戰】
（2）請用分組分解法將因式分解；
【應用】
（3）“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將因式分解，再求值．
考點5 規律探索
1．相傳古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過、、、、、……，由于這些數可以用圖中所示的三角點陣表示，他們就將每個三角點陣中所有的點數和稱為三角數．若三角數為，則的值為 ．
2．如圖，某鏈條每節長為2.8cm，每兩節鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，50節鏈條總長度為 　 　cm．
3．1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，（a+b）7展開的多項式中各項系數之和為　　．
4．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角錢OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3……以此類推，則正方形OB2020B2021C2021的頂點B2021的坐標是________．
5．如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么點A2020的坐標為________________．
6．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是　 　．
7. 如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環．當時，點的坐標是( )

A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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