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【名師導航】2025年中考數(shù)學一輪復習學案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.3 一元二次方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 數(shù)學中考中，有關一元二次方程的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、 解答題的形式考查。三種題型中一般只出現(xiàn)一種，但在考查其他綜合類問題時滲透考查一元二次方程的知識。所以一元二次方程知識是中考十分重要的內容，也是高中階段學習的重要基礎。一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系是屬于年年考知識點，必須熟練掌握。
考點2 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系 ☆☆☆
考點3 一元二次方程的應用 ☆☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 一元二次方程及其解法
1．定義：等號兩邊都是_____，只含有_____未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是______。
3. 一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____。
【溫馨提醒1】與一元二次方程的定義有關問題解題要領
抓住一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數(shù)．
【溫馨提醒2】與一元二次方程的根的定義有關問題解題要領：
緊扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。
4.一元二次方程的解法
有________法、______法、______法、________法等。
（1）直接開方法。
適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：
①化簡——把方程化為一般形式，并把二次項系數(shù)化為1；
②移項——把常數(shù)項移項到等號的右邊；
③配方——兩邊同時加上b2，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；
④開方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。
當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根可寫為：的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。
，
②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。
③b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根。
【溫馨提醒】公式法解方程的步驟
（1）變形: 化已知方程為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);;
（2）確定系數(shù):用a,b,c寫出各項系數(shù);
（3）計算: b2-4ac的值;
（4）判斷：若b2-4ac ≥0，則利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，則方程沒有實數(shù)根。
(4)因式分解法。當一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【提示】因式分解的方法解一元二次方程常用公式
1）ma+mb+mc=m(a+b+c)；
2）a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
3）a2 -b2=(a +b)(a -b)；
4）其他方法。
2.因式分解法的基本步驟
1）通過移項將方程的右邊=0；
2）將方程的左邊因式分解；
3）方程化為兩個一元一次方程；
4）解方程，寫出方程兩個解。
（5）換元法：在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．
【說明】換元法又稱變量替換法,是我們解題常用的方法之一。利用換元法,可以化繁為簡,化難為易,從而找到解題的捷徑。關鍵是構造元和設元,理論依據(jù)是______,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化,復雜問題簡單化,也體現(xiàn)了_____思想的運用.
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
1.一元二次方程根的判別式
我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用符號“Δ ”表示，即Δ=_____.
2.判斷一元二次方程根的情況的方法
利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時，要先把方程轉化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
當b2 - 4ac> 0時,方程有兩個______的實數(shù)根.
當b2 - 4ac= 0時,方程有兩個______的實數(shù)根.
當b2 - 4ac< 0時,方程_____實數(shù)根.
3.根與系數(shù)的關系（韋達定理）
（1）語言表達：也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.
（2）數(shù)學表達：對于一元二次方程，若，則。
若一元二次方程的兩個實數(shù)根是，當，則
注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0。
4. 一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）的應用
（1）驗根：不解方程，利用根與系數(shù)的關系可檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；
（2）已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；
（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于x1、x2的對稱式的值。
（4）已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；
（5）已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；
（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以進一步討論根的符號。
5. 解決一元二次方程的根與系數(shù)的關系問題需要熟練理解牢記如下代數(shù)式的一些重要變形：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
考點3. 一元二次方程的應用
一、實際問題與一元二次方程
類型1：傳播問題與一元二次方程
1.解決這類傳播問題的經(jīng)驗和方法
（1）審題，設元，列方程，解方程，檢驗，作答；
（2）可利用表格梳理數(shù)量關系；
（3）關注起始值、新增數(shù)量，找出變化規(guī)律.
2.運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟
3.傳播問題實例探索
數(shù)量關系：
第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）
第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2
類型2：平均變化率問題與一元二次方程
增長率等量關系
（1）增長率=增長量÷基礎量．
（2）設為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；
當為平均下降率時，則有．
類似地 這種增長率的問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”,降低取“－”).
a(1+x)2=b,其中a為增長前的量，x為增長率，2為增長次數(shù)，b為增長后的量.
a(1-x)2=b,其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調換.
類型3：幾何圖形面積問題與一元二次方程
1.幾何圖形面積問題說明：主要集中在幾何圖形的面積問題, 這類問題的面積公式是等量關系. 如果圖形不規(guī)則應割或補成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關系,再運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程.
2．面積問題
（1）類型1：如圖所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
（2）類型2：如圖所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
（3）類型3：如圖所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉化為．
類型4：市場銷售利潤問題與一元二次方程
利潤等量關系：
（1）利潤=售價－成本．
（2）利潤率=×100％．
類型5：比賽類問題與一元二次方程
等量關系
（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，
∴1支球隊需要比賽（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場
∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.
∴總共比賽場次為：m=
（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，
∴1支球隊需要比賽（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.
∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.
∴總共比賽場次為：m=
二、解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。
第2步：設未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關系設未知數(shù)。
第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關系列出方程。
第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應的解法。
第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。
第6步：答。
【易錯點提示】一元二次方程解法多，選擇解法容易混亂。
一元二次方程解法選擇的基本思路
（1）一般地，當一元二次方程一次項系數(shù)為0時（ax2+c=0），應選用直接開平方法；
（2）若常數(shù)項為0（ ax2+bx=0），應選用因式分解法；
（3）若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0 (ax2+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；
（4）不過當二次項系數(shù)是1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法也較簡單.
考點1. 一元二次方程及其解法
【例題1】 （2024四川涼山）若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
【對點變式練1】（2024深圳一模）下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
對點變式練2】（2024江蘇連云港一模）若關于的一元二次方程的一個解是，則的值是___．
【例題2】（2024貴州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【對點變式練1】（2024齊齊哈爾一模）用直接開平方法解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
點變式練2】（2024甘肅威武一模）用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（　　）
A. B. C. D.
【對點變式練3】（2024福建一模）用公式法解一元二次方程x2－＝2x,正確的解是( )
A.x1＝x2＝
B.x1＝x2＝
C.x1＝x2＝
D.x1＝x2＝
【對點變式練4】（2024湖南一模）如果二次三項式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，則方程x2+px+q＝0的兩個根為（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【對點變式練5】（2024湖北一模）已知 ，則m2+n2的值為（　　）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
【例題3】 （2024甘肅臨夏）若關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為______．
【對點變式練1】（2024天津一模）已知關于的方程，下列說法正確的是（ ）
A．當時，方程無解
B．當時，方程有一個實數(shù)解
C．當時，方程有兩個相等的實數(shù)解
D．當時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解
【對點變式練2】（2024安徽一模）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則________．
【例題4】（2024黑龍江綏化）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是( )
A. B.
C. D.
【對點變式練1】（2024四川樂山一模）關于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，則這兩根之積為（ ）
A. B. C. 1 D.
【對點變式練2】（2024安徽一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實根，則（x1+4）（x2+4）的值是　 　．
考點3. 一元二次方程的應用
【例題5】（2024河北省）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【對點變式練1】（2024陜西一模）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件40萬個，第二季度共生產(chǎn)零件162萬個．設該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（　　）
A．40（1+x）2＝162
B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162
C．40（1+2x）＝162
D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162
【對點變式練2】（2024哈爾濱一模）某種電腦病毒傳播速度非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有 100 臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，4 輪感染后，被感染的電腦會不會超過 7000 臺？
考點1. 一元二次方程及其解法
1. （2024吉林省）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024廣州）定義新運算：例如：，．若，則的值為______．
3. （2024深圳）已知一元二次方程一個根為1，則______．
4. （2024四川涼山）已知，則值為______．
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）解方程：x2﹣5x+6＝0
6. （2024安徽省）解方程：
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
1. （2024四川自貢）關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
2. （2024四川樂山）若關于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（ ）
A. B. C. D. 6
3. （2024四川瀘州）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是______．
4. （2024湖南省）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為________．
5. （2024河南省）若關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為___________．
6. （2024廣州）關于的方程有兩個不等的實數(shù)根．
求的取值范圍；
7. （2024山東煙臺）若一元二次方程兩根為m，n，則的值為________．
8. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為______．
9. （2024四川南充）已知，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求的取值范圍．
（2）若，且，，都是整數(shù)，求的值．
考點3. 一元二次方程的應用
1. （2024云南省）兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)
1千克甲種藥品的成本為60元．設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的
是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川眉山）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024重慶市A）隨著經(jīng)濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．
4. （2024重慶市B）重慶在低空經(jīng)濟領域實現(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為________．
考點1. 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知m為方程的根，那么的值為（ ）
A. B. 0 C. 2022 D. 4044
3．若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
4.已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是(　　)
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
5. 解方程：
6. 一元二次方程(x＋6)2＝16可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x＋6＝4，則另一個一元一次方程是(　　)
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
7. 用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可變形為（　　）
A．（x）2 B．（x）2
C．（x）2 D．
次方程化成（、為常數(shù)）的形式，則、的值分別是_______．
9. 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（　　）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
10.一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　 　．
11.已知一元二次方程x2－2x－＝0的某個根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
12. 用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
3. 用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．
4. 解方程：x2－2x－3＝0
15．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三邊BC的長為一元二次方程x2－6x＋8＝0的一個根，則該三角形為__________三角形．
16.用換元法解方程+=2時，若設=y，則原方程可化為關于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
17．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝_____．
18. 用換元法分解因式(x2－4x+1)(x2－4x+2)－12.
【解】設x2－4x＝y(tǒng), 則原式＝(y+1)(y+2)－12＝y(tǒng)2+3y－10＝(y+5)(y－2)＝(x2－4x+5)(x2－4x－2). (1)請你用換元法對多項式(x2－3x+2)(x2－3x－5)－8進行因式分解
(2)憑你的數(shù)感,大膽嘗試解方程:(x2－2x+1)(x2－2x－3)＝0
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
1．對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則它根的情況為（　　）
A．沒有實數(shù)根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個不相等的實數(shù)根
2. 關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3．關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
4．若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為_______．
5. 已知關于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個實數(shù)根．
（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝5，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
6.關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數(shù)根x1，x2，滿足x1x2＝2，則（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
7.已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個實數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13，則k的
值為　 　．
8.已知x1，x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個不相等實數(shù)根，且滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，則k的值為　　．
9.已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根為x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
10. （2022四川涼山）閱讀材料：
材料1：若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0兩個實數(shù)根分別為m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）類比應用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
（3）思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
考點3. 一元二次方程的應用
1. 有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
2. 某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬個，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x．則所列方程為( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
3. （數(shù)字問題）小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌 赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
4．某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個，1月底因突然爆發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求．工廠決定從2月份起擴大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達到24200個．
（1）求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產(chǎn)量為多少？
5. 近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據(jù)統(tǒng)計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次．
（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；
（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？
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【名師導航】2025年中考數(shù)學一輪復習學案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.3 一元二次方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 數(shù)學中考中，有關一元二次方程的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、 解答題的形式考查。三種題型中一般只出現(xiàn)一種，但在考查其他綜合類問題時滲透考查一元二次方程的知識。所以一元二次方程知識是中考十分重要的內容，也是高中階段學習的重要基礎。一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系是屬于年年考知識點，必須熟練掌握。
考點2 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系 ☆☆☆
考點3 一元二次方程的應用 ☆☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 一元二次方程及其解法
1．定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。
3. 一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【溫馨提醒1】與一元二次方程的定義有關問題解題要領
抓住一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數(shù)．
【溫馨提醒2】與一元二次方程的根的定義有關問題解題要領：
緊扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。
4.一元二次方程的解法
有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法等。
（1）直接開方法。
適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：
①化簡——把方程化為一般形式，并把二次項系數(shù)化為1；
②移項——把常數(shù)項移項到等號的右邊；
③配方——兩邊同時加上b2，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；
④開方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。
當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根可寫為：的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。
，
②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。
③b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根。
【溫馨提醒】公式法解方程的步驟
（1）變形: 化已知方程為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);;
（2）確定系數(shù):用a,b,c寫出各項系數(shù);
（3）計算: b2-4ac的值;
（4）判斷：若b2-4ac ≥0，則利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，則方程沒有實數(shù)根。
(4)因式分解法。當一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【提示】因式分解的方法解一元二次方程常用公式
1）ma+mb+mc=m(a+b+c)；
2）a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
3）a2 -b2=(a +b)(a -b)；
4）其他方法。
2.因式分解法的基本步驟
1）通過移項將方程的右邊=0；
2）將方程的左邊因式分解；
3）方程化為兩個一元一次方程；
4）解方程，寫出方程兩個解。
（5）換元法：在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．
【說明】換元法又稱變量替換法,是我們解題常用的方法之一。利用換元法,可以化繁為簡,化難為易,從而找到解題的捷徑。關鍵是構造元和設元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化,復雜問題簡單化,也體現(xiàn)了轉化思想的運用.
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
1.一元二次方程根的判別式
我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用符號“Δ ”表示，即Δ=b2-4ac.
2.判斷一元二次方程根的情況的方法
利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時，要先把方程轉化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
當b2 - 4ac> 0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.
當b2 - 4ac= 0時,方程有兩個相等的實數(shù)根.
當b2 - 4ac< 0時,方程無實數(shù)根.
3.根與系數(shù)的關系（韋達定理）
（1）語言表達：也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.
（2）數(shù)學表達：對于一元二次方程，若，則。
若一元二次方程的兩個實數(shù)根是，當，則
注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0。
4. 一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）的應用
（1）驗根：不解方程，利用根與系數(shù)的關系可檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；
（2）已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；
（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于x1、x2的對稱式的值。
（4）已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；
（5）已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；
（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以進一步討論根的符號。
5. 解決一元二次方程的根與系數(shù)的關系問題需要熟練理解牢記如下代數(shù)式的一些重要變形：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
考點3. 一元二次方程的應用
一、實際問題與一元二次方程
類型1：傳播問題與一元二次方程
1.解決這類傳播問題的經(jīng)驗和方法
（1）審題，設元，列方程，解方程，檢驗，作答；
（2）可利用表格梳理數(shù)量關系；
（3）關注起始值、新增數(shù)量，找出變化規(guī)律.
2.運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟
3.傳播問題實例探索
數(shù)量關系：
第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）
第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2
類型2：平均變化率問題與一元二次方程
增長率等量關系
（1）增長率=增長量÷基礎量．
（2）設為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；
當為平均下降率時，則有．
類似地 這種增長率的問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”,降低取“－”).
a(1+x)2=b,其中a為增長前的量，x為增長率，2為增長次數(shù)，b為增長后的量.
a(1-x)2=b,其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調換.
類型3：幾何圖形面積問題與一元二次方程
1.幾何圖形面積問題說明：主要集中在幾何圖形的面積問題, 這類問題的面積公式是等量關系. 如果圖形不規(guī)則應割或補成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關系,再運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程.
2．面積問題
（1）類型1：如圖所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
（2）類型2：如圖所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
（3）類型3：如圖所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉化為．
類型4：市場銷售利潤問題與一元二次方程
利潤等量關系：
（1）利潤=售價－成本．
（2）利潤率=×100％．
類型5：比賽類問題與一元二次方程
等量關系
（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，
∴1支球隊需要比賽（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場
∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.
∴總共比賽場次為：m=
（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，
∴1支球隊需要比賽（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.
∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.
∴總共比賽場次為：m=
二、解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。
第2步：設未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關系設未知數(shù)。
第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關系列出方程。
第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應的解法。
第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。
第6步：答。
【易錯點提示】一元二次方程解法多，選擇解法容易混亂。
一元二次方程解法選擇的基本思路
（1）一般地，當一元二次方程一次項系數(shù)為0時（ax2+c=0），應選用直接開平方法；
（2）若常數(shù)項為0（ ax2+bx=0），應選用因式分解法；
（3）若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0 (ax2+bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；
（4）不過當二次項系數(shù)是1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法也較簡單.
考點1. 一元二次方程及其解法
【例題1】 （2024四川涼山）若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
【答案】A
【解析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【詳解】是關于的一元二次方程，
，即
由一個根，代入，
可得，解之得；
由得；故選A
【對點變式練1】（2024深圳一模）下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
【解析】考查一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
①ax2+bx+c＝0，當a＝0時，該方程不是一元二次方程；
②x24＝0屬于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定義；
④x2﹣2+x3＝0的最高次數(shù)是3，屬于一元三次方程；
綜上所述，其中一元二次方程的個數(shù)是1個．
【對點變式練2】（2024江蘇連云港一模）若關于的一元二次方程的一個解是，則的值是___．
【答案】1
【解析】根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到進行求解即可．
∵關于x的一元二次方程的一個解是，
∴，
∴．
【點睛】考查一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關鍵．
【例題2】（2024貴州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【詳解】 ，
∴，
∴或，
∴，，故選∶B．
【對點變式練1】（2024齊齊哈爾一模）用直接開平方法解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
【解析】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．
解：1﹣8x+16x2＝2﹣8x，
移項、合并同類項，得16x2＝1，
兩邊同時除以16，得x2，解得x＝±．
【對點變式練2】（2024甘肅威武一模）用配方法解方程x2-2x=2時，配方后正確的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．
【對點變式練3】（2024福建一模）用公式法解一元二次方程x2－＝2x,正確的解是( )
A.x1＝x2＝
B.x1＝x2＝
C.x1＝x2＝
D.x1＝x2＝
【答案】B
【解析】將方程整理,得x2－2x－＝0,
這里a＝1,b＝－2,c＝－
∴△＝(－2)2－4×1×＝4+1＝5,
x＝＝,
x1＝,x2＝.故選B
【對點變式練4】（2024湖南一模）如果二次三項式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，則方程x2+px+q＝0的兩個根為（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】根據(jù)已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．
∵二次三項式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的兩個根為x1＝﹣3，x2＝1
【對點變式練5】（2024湖北一模）已知 ，則m2+n2的值為（　　）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
【答案】D
【解析】先設y=m2+n2，則原方程變形為y2+2y-8=0，運用因式分解法解得y1=-4，y2=2，即可求得m2+n2的值.
設y=m2+n2，
原方程變形為y（y+2）-8=0，
整理得，y2+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y1=-4，y2=2，
∵m2+n2≥0，
所以m2+n2的值為2。
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
【例題3】 （2024甘肅臨夏）若關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為______．
【答案】-1
【解析】根據(jù)關于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有兩個相等的實數(shù)根可知△=0，求出m的取值即可．
由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案為-1.
【點睛】本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．
【對點變式練1】（2024天津一模）已知關于的方程，下列說法正確的是（ ）
A．當時，方程無解
B．當時，方程有一個實數(shù)解
C．當時，方程有兩個相等的實數(shù)解
D．當時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解
【答案】C
【解析】當時，方程為一元一次方程有唯一解．
當時，方程為一元二次方程的情況由根的判別式確定：
∵，
∴當時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當且時，方程有兩個不相等的實數(shù)解．綜上所述，說法C正確．故選C．
【對點變式練2】（2024安徽一模）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則________．
【答案】2
【解析】由方程有兩個相等的實數(shù)根可知，利用根的判別式等于0即可求m的值，
由題意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式求參數(shù)：方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；方程有兩個相等的實數(shù)根時，；方程無實數(shù)根時，等知識．會運用根的判別式和準確的計算是解決本題的關鍵．
【例題4】（2024黑龍江綏化）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根據(jù)題意得出原方程中，，逐項分析判斷，即可求解．
∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是和；
∴，
又∵小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是和．
∴
A. 中，，，故該選項不符合題意；
B. 中，，，故該選項符合題意；
C. 中，，，故該選項不符合題意；
D. 中，，，故該選項不符合題意；故選：B．
【對點變式練1】（2024四川樂山一模）關于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，則這兩根之積為（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求解．
關于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，
設另一根為，則，
，
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
【對點變式練2】（2024安徽一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實根，則（x1+4）（x2+4）的值是　 　．
【答案】16
【解析】考查一元二次方程根與系數(shù)的關系
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16
考點3. 一元二次方程的應用
【例題5】（2024河北省）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】本題考查了一元二次方程的應用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
由題意得方程，利用公式法求解即可．
由題意得：，
解得：或（舍） 故選：C．
【對點變式練1】（2024陜西一模）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件40萬個，第二季度共生產(chǎn)零件162萬個．設該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（　　）
A．40（1+x）2＝162
B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162
C．40（1+2x）＝162
D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162
【答案】B
【解析】主要考查增長率問題，一般增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示五、六月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意可得出方程．
解：依題意得五、六月份的產(chǎn)量為40（1+x）、40（1+x）2，
∴40+40（1+x）+40（1+x）2＝162．
【對點變式練2】（2024哈爾濱一模）某種電腦病毒傳播速度非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有 100 臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，4 輪感染后，被感染的電腦會不會超過 7000 臺？
【答案】每輪感染中平均每一臺電腦會感染 9 臺電腦，4 輪感染后，被感染的電腦會超過 7000 臺．
【解析】設每輪感染中平均一臺電腦會感染 x 臺電腦，
則 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.
解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.
4輪感染后，被感染的電腦數(shù)為(1＋x)4＝104>7000
答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染 9 臺電腦，4 輪感染后，被感染的電腦會超過 7000 臺．
考點1. 一元二次方程及其解法
1. （2024吉林省）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關鍵．
分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷．
【詳解】A、，故該方程無實數(shù)解，故本選項不符合題意；
B、，解得：，故本選項符合題意；
C、，，解得，故本選項不符合題意；
D、，，解得，故本選項不符合題意．故選：B．
2. （2024廣州）定義新運算：例如：，．若，則的值為______．
【答案】或
【解析】本題考查了一元二次方程應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據(jù)新定義運算法則列出方程求解即可．
∵，
而，
∴①當時，則有，
解得，；
②當時，，
解得，
綜上所述，x的值是或．
3. （2024深圳）已知一元二次方程一個根為1，則______．
【答案】
【解析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關于的方程，然后解方程即可．
【詳解】關于的一元二次方程的一個根為，
滿足一元二次方程，
，
解得，．
4. （2024四川涼山）已知，則值為______．
【答案】
【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
將代入，轉化為解一元二次方程，，要進行舍解．
【詳解】∵，
∴，
將代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案為：3．
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【解析】利用因式分解的方法解出方程即可.
利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
則x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【點睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.
6. （2024安徽省）解方程：
【答案】，
【解析】先移項，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
∵，
∴，
∴，
∴，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法進行解題．
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
1. （2024四川自貢）關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
【答案】A
【解析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程中，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．
【詳解】△，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．
2. （2024四川樂山）若關于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：若方程的兩實數(shù)根為，則．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到，然后通分，，從而得到關于p的方程，解方程即可．
【詳解】解：，
，
而，
，
，故選：A．
3. （2024四川瀘州）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是______．
【答案】
【解析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形求值．對于一元二次方程，若該方程的兩個實數(shù)根為，，則，．先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，，再根據(jù)完全平方公式的變形，求出，由此即可得到答案．
【詳解】，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
，，
，
，
．
故答案為：．
4. （2024湖南省）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為________．
【答案】2
【解析】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；有兩個相等的實數(shù)根，則；沒有實數(shù)根，則．據(jù)此即可求解．
【詳解】由題意得：，
解得：
5. （2024河南省）若關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為___________．
【答案】##
【解析】本題考查一元二次方程根與判別式的關系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，該方程沒有實數(shù)根是解題關鍵．根據(jù)一元二次方程根與其判別式的關系可得：，再求解即可．
【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
∴．
6. （2024廣州）關于的方程有兩個不等的實數(shù)根．
求的取值范圍；
【答案】
【解析】根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；
∵關于的方程有兩個不等的實數(shù)根．
∴，
解得：
7. （2024山東煙臺）若一元二次方程兩根為m，n，則的值為________．
【答案】6
【解析】本題考查了根與系數(shù)的關系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的兩根時，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題關鍵．
根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，
∴，
∴
．
8. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為______．
【答案】7
【解析】本題考查了根與系數(shù)的關系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出，，從而得到，再將原式利用完全平方公式展開，利用替換項，整理后得到，再將代入即可．
【詳解】∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
則
∴
9. （2024四川南充）已知，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求的取值范圍．
（2）若，且，，都是整數(shù)，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵．
（1）根據(jù)“，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根”，則，得出關于的不等式求解即可；
（2）根據(jù)，結合（1）所求的取值范圍，得出整數(shù)的值有，，，分別計算討論整數(shù)的不同取值時，方程的兩個實數(shù)根，是否符合都是整數(shù)，選擇符合情況的整數(shù)的值即可．
【小問1詳解】
解：∵，是關于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
∴，
解得：；
【小問2詳解】
解：∵，由（1）得，
∴，
∴整數(shù)的值有，，，
當時，方程為，
解得：，（都是整數(shù)，此情況符合題意）；
當時，方程為，
解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
當時，方程，
解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
綜上所述，的值為．
考點3. 一元二次方程的應用
1. （2024云南省）兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)
1千克甲種藥品的成本為60元．設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)甲種藥品成本的年平均下降率為，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本年（平均下降率），即可得出關于的一元二次方程．
【詳解】甲種藥品成本的年平均下降率為，
根據(jù)題意可得，故選：B．
2. （2024四川眉山）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵．
設該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．
根據(jù)題意得：．故選：B．
3. （2024重慶市A）隨著經(jīng)濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．
【答案】
【解析】本題主要考查一元二次方程的應用．設平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進行求解．
設平均增長率為x，由題意得：
，
解得：，（不符合題意，舍去）．
4. （2024重慶市B）重慶在低空經(jīng)濟領域實現(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為________．
【答案】
【解析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，則第二季度低空飛行航線安全運行了架次，第三季度低空飛行航線安全運行了架次，據(jù)此列出方程即可．
【詳解】設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，
由題意得，．
考點1. 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一元二次方程的二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)-4，常數(shù)項-5．
2. 已知m為方程的根，那么的值為（ ）
A. B. 0 C. 2022 D. 4044
【答案】B
【解析】根據(jù)題意有，即有，據(jù)此即可作答．
∵m為的根據(jù)，
∴，且m≠0，
∴，
則有原式=
【點睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為得到是解答本題的關鍵．
3．若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是關于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
4.已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是(　　)
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
【答案】A
【解析】將原來方程化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)不能等于0.
(m－3)x2＋m x＝1+2mx2
化為一般形式(m+3)x2-m x+1＝0
所以(m+3) ≠0
m ≠-3
5. 解方程：
【答案】，
【解析】直接開方可得或，然后計算求解即可．
∵
∴或
解得，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關鍵在于靈活選取適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>6. 一元二次方程(x＋6)2＝16可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x＋6＝4，則另一個一元一次方程是(　　)
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【解析】 將方程(x＋6)2＝16兩邊直接開平方，得x＋6＝±4，
則x＋6＝4或x＋6＝－4.
7. 用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可變形為（　　）
A．（x）2 B．（x）2
C．（x）2 D．
【答案】D
【解析】先把常數(shù)項移到方程右側，再把二次項系數(shù)化為1，然后把方程兩邊加上即可．
∵2x2﹣7x＝﹣3，
x2x，
x2x，
∴（x）2．
8. 將一元二次方程化成（、為常數(shù)）的形式，則、的值分別是_______．
【答案】-4，21．
【解析】解：∵x2-8x-5=0，
∴x2-8x=5，
則x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
∴a=-4，b=21
9. 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正確的是（　　）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
【答案】D
【解析】∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴
10.一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　 　．
【答案】x1＝，x2＝．
【解析】直接利用公式法解方程得出答案．
3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
則b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
11.已知一元二次方程x2－2x－＝0的某個根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
【答案】k的值為或－7.
【解析】對于方程x2－2x－＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－)＝9>0，
∴x＝，∴x1＝，x2＝－.
把x1＝代入x2－(k＋2)x＋＝0， 解得k＝；
把x2＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0，解得k＝－7.
即k的值為或－7.
12. 用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
【解析】利用因式分解法求解即可．
∵x（5x+4）﹣（4+5x）＝0，
∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
則5x+4＝0或x﹣1＝0，
則．
13. 用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．
【解析】根據(jù)平方差公式可以解答此方程．
4x2﹣（x﹣1）2＝0
（2x﹣x+1）（2x+x﹣1）＝0
（x+1）（3x﹣1）＝0
∴x+1＝0，或3x﹣1＝0，
解得，．
14. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
，
，
或，
或，
故方程的解為．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關鍵．
15．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三邊BC的長為一元二次方程x2－6x＋8＝0的一個根，則該三角形為__________三角形．
【答案】直角
【解析】解一元二次方程x2-6x+8=0，
得，x=2或4，
∵AB=3，AC=5，
∴2＜BC＜8，
∵第三邊BC的長為一元二次方程x2－6x＋8＝0的一個根，
∴BC=4，
當BC=4時，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形.
16.用換元法解方程+=2時，若設=y，則原方程可化為關于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【解析】把=y代入原方程得：y+=2，轉化為整式方程為y2﹣2y+1=0．
17．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝_____．
【答案】2
【解析】設a+b＝t，根據(jù)一元二次方程即可求出答案．
設a+b＝t，
原方程化為：t（t﹣4）＝﹣4，
解得：t＝2，
即a+b＝2
18. 用換元法分解因式(x2－4x+1)(x2－4x+2)－12.
【解】設x2－4x＝y(tǒng), 則原式＝(y+1)(y+2)－12＝y(tǒng)2+3y－10＝(y+5)(y－2)＝(x2－4x+5)(x2－4x－2). (1)請你用換元法對多項式(x2－3x+2)(x2－3x－5)－8進行因式分解
(2)憑你的數(shù)感,大膽嘗試解方程:(x2－2x+1)(x2－2x－3)＝0
【答案】見解析。
【解析】 (1)設x2－3x＝y(tǒng).原式(y+2)(y－5)－8＝y(tǒng)2－3y－18＝(x2－3x－6)( x2－3x+3)
(2)設x2－2x＝t,則原方程化為(t+1)(t－3)＝0,解得t＝－1或t＝3
當t＝－1時,x2－2x＝－1,即(x－1)2＝0,解得x1＝x2＝1
當t＝3時,x2－2x＝3,即(x－3)(x+1)＝0,解得x3＝3,x4＝－1.
綜上所述,原方程的解為x1＝x2＝1,x3＝3,x4＝－1
考點2. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系
1．對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則它根的情況為（　　）
A．沒有實數(shù)根 B．兩根之和是3
C．兩根之積是﹣2 D．有兩個不相等的實數(shù)根
【答案】A
【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，進而可得出該方程沒有實數(shù)根（若方程有實數(shù)根，再利用根與系數(shù)的關系去驗證B，C兩個選項）．
∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0沒有實數(shù)根．
2. 關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式△＝b2 4ac＝0，據(jù)此可列出關于k的等量關系式，即可求得k的值．
原方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△＝b2 4ac＝4 4×（ k）＝0，且k≠0；
解得．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．
3．關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
【答案】D
【解析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0兩種情況，利用根的判別式求解可得．
當k﹣1≠0，即k≠1時，此方程為一元二次方程．
∵關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
當k﹣1＝0，即k＝1時，方程為3x+1＝0，顯然有解；
綜上，k的取值范圍是k≥.
4．若關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為_______．
【答案】或0.25
【解析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，可得，計算即可．
關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
解得．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；有兩個相等的實數(shù)根時，；沒有實數(shù)根時，；熟練掌握知識點是解題的關鍵．
5. 已知關于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個實數(shù)根．
（1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝5，另兩邊b，c的長度恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【答案】見解析。
【解析】本題考查了根的判別式、三角形三邊關系、等腰三角形的性質以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）題需要分類討論，以防漏解．
（1）證明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）∵△ABC為等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一個為5．
①當b＝c時，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程為x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能構成三角形．
該三角形的周長為4+4+5＝13．
②當b或c中的一個為5時，將x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程為x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能組成三角形，
∴該三角形的周長為4+5+5＝14．
綜上所述，該三角形的周長是13或14．
6.關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數(shù)根x1，x2，滿足x1x2＝2，則（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
【答案】C
【解析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，進而求得m＝2或m＝﹣1，從而求得x1+x2＝﹣4或2，把原式變形，代入計算即可．
關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數(shù)根x1，x2，滿足x1x2＝2，
則x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣4或2，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
當x1+x2＝﹣4時，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
當x1+x2＝2時，原式＝22+2×22﹣4×2+4＝8．
7.已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個實數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13，則k的
值為　 　．
【答案】-2
【解析】根據(jù)“x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個實數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，結合根與系數(shù)的關系，列出關于k的一元一次方程，解之即可．
根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）＝13
8.已知x1，x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個不相等實數(shù)根，且滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，則k的值為　　．
【答案】1
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關系結合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出關于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△＞0，可得出關于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，進而即可確定k值，此題得解．
∵x1，x2是關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵關于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個不相等實數(shù)根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
9.已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根為x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【答案】見解析。
【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△≥0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；由根與系數(shù)的關系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，結合|x1﹣x2|＝4可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實數(shù)根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的兩個實數(shù)根為x1.x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
10. （2022四川涼山）閱讀材料：
材料1：若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0兩個實數(shù)根分別為m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）類比應用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
（3）思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1）； （2）（3）或
【解析】（1）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個根為x1，x2，
∴，．
故答案為：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，
∴，，
∴
（3）∵實數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個根，
∴，，
∵
∴或，
當時，，
當時，，
綜上分析可知，的值為或．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形計算，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出或，是解答本題的關鍵．
考點3. 一元二次方程的應用
1. 有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】患流行性感冒的人傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）＝144，解方程即可求解．
解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去）．
2. 某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬個，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x．則所列方程為( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到，從而可以判斷哪個選項是符合題意的．
由題意可得，
．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是明確題意，列出相應的方程，這是一道典型的增長率問題．
3. （數(shù)字問題）小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌 赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【答案】C
【解析】設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，根據(jù)“十位恰小個位三，個位平方與壽同”知10×十位數(shù)字+個位數(shù)字＝個位數(shù)字的平方，據(jù)此列出方程可得答案．
假設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為10x+（x+3）＝（x+3）2。
4．某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個，1月底因突然爆發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增，為滿足市場需求．工廠決定從2月份起擴大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達到24200個．
（1）求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產(chǎn)量為多少？
【答案】見解析。
【解析】（1）設口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（個）．
答：預計4月份平均日產(chǎn)量為26620個．
5. 近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據(jù)統(tǒng)計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次．
（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；
（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？
【答案】見解析。
【解析】設增長率為x，根據(jù)“第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2.42萬人次”可列方程求解；用2.42×（1+增長率），計算即可求解．
（1）設增長率為x，根據(jù)題意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增長率為10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（萬人）．
答：第四批公益課受益學生將達到2.662萬人次．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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