資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.4 一元一次不等式（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1. 不等式的性質(zhì) ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一元一次不等式(組)的部分，食欲中考必考內(nèi)容。每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、 解答題的形式考查。在解答綜合題里，考查其他知識時還滲透不等式（組）知識點的考查。是高中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。所以學(xué)生復(fù)習(xí)時，要系統(tǒng)熟練學(xué)習(xí)不等式（組）的解法和應(yīng)用。
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示 ☆☆☆
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用 ☆☆☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1：若a＞b，則a±c＞b±c。不等式兩邊加(或減)同一個____(或式子)，不等號的方向不變。
性質(zhì)2：若a＞b，c＞0，則ac＞bc，＞。不等式兩邊乘(或除以)同一個____，不等號的方向不變。
性質(zhì)3：若a＞b，c＜0，則ac＜bc，＜。不等式兩邊乘(或除以)同一個____，不等號的方向改變。
【易錯點提示】利用性質(zhì)3時，需要特別注意不等式的不等號方向的改變。不注意會導(dǎo)致解題錯誤。
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
1. 不等式的定義：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的____，叫做不等式的解．
2.一元一次不等式的定義：含有_____個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是的不等式，叫做一元一次不等式．
【區(qū)別與聯(lián)系】一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．
另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等式屬于不等式．
3.一元一次不等式解法
根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：
①去______；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．
以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．
【注意】符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．
4.一元一次不等式組及解集：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的兩個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．兩個一元一次不等式的解集的_____部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集。
【注意】不等式組可能也有三個或者多個含同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的。初中階段只研究含同一個未知數(shù)的兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組。
5. 一元一次不等式組的解法
解一元一次不等式組時，一般先分別求出其中每一個不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．
【注意】求不等式組的解集的過程叫解不等式組．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到。
6. 幾種常見的不等式組的解集
不等式組 （其中） 數(shù)軸表示 解集 口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無解 大大、小小取不了
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用
1.不等式(組)與實際問題解題抓住技巧
（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．
（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“______”中挖掘其內(nèi)涵．
2.不等式(組)與實際問題
解有關(guān)不等式(組)實際問題的一般步驟：
第1步：______。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。
第2步：_______。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：________。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列不等式(組)。
第4步：_______，找出滿足題意的解(集)。
第5步：______。
【易錯點提示】
1.利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）：解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．
2.已知解集（整數(shù)解）求字母的取值：一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．
考點1. 不等式的性質(zhì)
【例題1】（2024廣州）若，則（ ）
A. B. C. D.
【對點變式練1】（2024廣東一模）根據(jù)不等式的性質(zhì)，下列變形正確的是(　　)
A．由a>b得ac2>bc2
B．由ac2>bc2得a>b
C．由－a>2得a<2
D．由2x＋1＞x得x＜－1
【對點變式練2】（2024深圳一模）用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，則a+3 b+3
（2）已知 a考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
【例題2】（2024甘肅威武）解不等式組：
【對點變式練1】（2024沈陽一模）解不等式：4x-1<5x+15
【對點變式練2】（2024貴州黔東南一模）不等式組的解集是 　　 ．
【對點變式練3】（2024福州一模）不等式2x﹣1≤3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【對點變式練4】（2024湖南懷化一模）不等式組的解集表示在數(shù)軸上正確的是（　　）
A． B．
C． D．
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用
【例題3】（2024吉林）某單位為響應(yīng)政府號召，需要購買分類垃圾桶6個，市場上有A型和B型兩種分類垃圾桶，A型分類垃圾桶500元/個，B型分類垃圾桶550元/個，總費用不超過3100元，則不同的購買方式有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【對點變式練1】（2024黑龍江黑河一模）如圖，“開心”農(nóng)場準備用50m的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設(shè)矩形花園的長為a（m），寬為b（m）．
（1）當a＝20時，求b的值；
（2）受場地條件的限制，a的取值范圍為18≤a≤26，求b的取值范圍．
考點1. 不等式的性質(zhì)
1. （2024吉林長春）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學(xué)的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（　　）
A. 若，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
2. （2024江蘇蘇州）若，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024上海市）如果，那么下列正確的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024安徽省）已知實數(shù)a，b滿足，，則下列判斷正確的是（ ）
A. B.
C. D.
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
1. （2024湖北省）不等式的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A. B.
C. D.
2.（2024福建省）不等式的解集是______．
3. （2024廣西）不等式的解集為______．
4. （2024廣東） 關(guān)于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是______．
5. （2024山東煙臺）關(guān)于的不等式有正數(shù)解，的值可以是______（寫出一個即可）．
6. （2024吉林省）不等式組的解集為______．
7. （2024山東棗莊）寫出滿足不等式組的一個整數(shù)解________．
8. （2024貴州省）不等式的解集在數(shù)軸上的表示，正確的是（　　）
A. B. C. D.
9. （2024江蘇連云港）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
10. （2024內(nèi)蒙古赤峰）解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A. B.
C. D.
11. （2024黑龍江龍東）關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．
12. （2024甘肅臨夏）解不等式組：．
13. （2024武漢市）求不等式組的整數(shù)解．
14. （2024江蘇揚州）解不等式組，并求出它所有整數(shù)解的和．
15. （2024天津市）解不等式組
請結(jié)合題意填空，完成本題的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
（4）原不等式組的解集為______．
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用
1. （2024江蘇常州）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是________．
2. （2024山東棗莊）根據(jù)以下對話，
給出下列三個結(jié)論：
①1班學(xué)生的最高身高為；
②1班學(xué)生的最低身高小于；
③2班學(xué)生的最高身高大于或等于．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
3. （2024遼寧）甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為、工作期間需同時排水，乙池的排水速度是．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水幾小時？
4. （2024江西省）如圖，書架寬，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚，每本語文書厚．
（1）數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本；
（2）如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？
5. （2024貴州省）為增強學(xué)生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習(xí)慣和品質(zhì)，某校組織學(xué)生參加勞動實踐．經(jīng)學(xué)校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學(xué)生參加種植甲、乙兩種作物．如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學(xué)生．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學(xué)生？
（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學(xué)生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作物多少畝？
6. （2024河南省）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為，營養(yǎng)成分表如下．
（1）若要從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？
（2）運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？
考點1. 不等式的性質(zhì)
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
A．5x－2＞0 B．－3＜2＋
C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2
2．若a＞b，則下列等式一定成立的是（　　）
A．a(chǎn)＞b+2 B．a(chǎn)+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
3. 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可變形為 x＞1，那么a 必須滿足________.
4. 用三個不等式a＞b，ab＞0，中的兩個不等式作為題設(shè)，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，組成真命題的個數(shù)為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
1.不等式組的非負整數(shù)解有（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
2. 下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3.不等式組的所有非負整數(shù)解的和是（　　）
A．10 B．7 C．6 D．0
4．對于不等式組,下列說法正確的是（　　）
A．此不等式組無解
B．此不等式組有7個整數(shù)解
C．此不等式組的負整數(shù)解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式組的解集是﹣＜x≤2
5．不等式組的解集為 　 　．
6．若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（　　）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
7.x的不等式的整數(shù)解只有4個，則m的取值范圍是（　　）
A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2
8. 解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：
(1)2x－3＜； (2)－≤1.
9．不等式組的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
10.解不等式組：．
11．解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
12．解不等式組請按下列步驟完成解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；
（4）原不等式組的解集是 　　．
考點3. 一元一次不等式(組)的實際應(yīng)用
1．某出租汽車公司計劃購買型和型兩種節(jié)能汽車，若購買型汽車輛，型汽車輛，共需萬元；若購買型汽車輛，型汽車輛，共需萬元．
(1)型和型汽車每輛的價格分別是多少萬元？
(2)該公司計劃購買型和型兩種汽車共輛，費用不超過萬元，且型汽車的數(shù)量少于型汽車的數(shù)量，請你給出費用最省的方案，并求出該方案所需費用．
2．某市為了提升菜籃子工程質(zhì)量，計劃用大、中型車輛共輛調(diào)撥不超過噸蔬菜和噸肉制品補充當?shù)厥袌觯阎惠v大型車可運蔬菜噸和肉制品噸；一輛中型車可運蔬菜噸和肉制品噸．
（1）符合題意的運輸方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來；（2）若一輛大型車的運費是元，一輛中型車的運費為元，試說明中哪種運輸方案費用最低？最低費用是多少元？
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第二章 方程與不等式
2.4 一元一次不等式（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1. 不等式的性質(zhì) ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一元一次不等式(組)的部分，食欲中考必考內(nèi)容。每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、 解答題的形式考查。在解答綜合題里，考查其他知識時還滲透不等式（組）知識點的考查。是高中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。所以學(xué)生復(fù)習(xí)時，要系統(tǒng)熟練學(xué)習(xí)不等式（組）的解法和應(yīng)用。
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示 ☆☆☆
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用 ☆☆☆
☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1：若a＞b，則a±c＞b±c。不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。
性質(zhì)2：若a＞b，c＞0，則ac＞bc，＞。不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。
性質(zhì)3：若a＞b，c＜0，則ac＜bc，＜。不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。
【易錯點提示】利用性質(zhì)3時，需要特別注意不等式的不等號方向的改變。不注意會導(dǎo)致解題錯誤。
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
1. 不等式的定義：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．
2.一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【區(qū)別與聯(lián)系】一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．
另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等式屬于不等式．
3.一元一次不等式解法
根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：
①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．
以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．
【注意】符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．
4.一元一次不等式組及解集：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的兩個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．兩個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集。
【注意】不等式組可能也有三個或者多個含同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的。初中階段只研究含同一個未知數(shù)的兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組。
5. 一元一次不等式組的解法
解一元一次不等式組時，一般先分別求出其中每一個不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．
【注意】求不等式組的解集的過程叫解不等式組．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到。
6. 幾種常見的不等式組的解集
不等式組 （其中） 數(shù)軸表示 解集 口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無解 大大、小小取不了
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用
1.不等式(組)與實際問題解題抓住技巧
（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．
（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．
2.不等式(組)與實際問題
解有關(guān)不等式(組)實際問題的一般步驟：
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關(guān)系。
第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：列不等式(組)。根據(jù)題中各個量的關(guān)系列不等式(組)。
第4步：解不等式(組)，找出滿足題意的解(集)。
第5步：答。
【易錯點提示】
1.利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）：解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．
2.已知解集（整數(shù)解）求字母的取值：一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．
考點1. 不等式的性質(zhì)
【例題1】（2024廣州）若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了不等式基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項判斷即可得．
A．∵，
∴，則此項錯誤，不符題意；
B．∵，
∴，則此項錯誤，不符題意；
C．∵，
∴，則此項錯誤，不符合題意；
D．∵，
∴，則此項正確，符合題意；故選：D．
【對點變式練1】（2024廣東一模）根據(jù)不等式的性質(zhì)，下列變形正確的是(　　)
A．由a>b得ac2>bc2
B．由ac2>bc2得a>b
C．由－a>2得a<2
D．由2x＋1＞x得x＜－1
【答案】見解析
【解析】A中a>b，c＝0時，ac2＝bc2，故A錯誤；B中不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的符號不改變，故B正確；C中不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變，右邊也應(yīng)乘以－2，故C錯誤；D中不等式的兩邊都加或減同一個整式，不等號的方向不變，故D錯誤．故選B.
方法總結(jié)：本題考查不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
【對點變式練2】（2024深圳一模）用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，則a+3 b+3
（2）已知 a【答案】（1）> （2）<
【解析】（1）因為 a>b，兩邊都加上3，
由不等式基本性質(zhì)1，得 a+3 > b+3；
（2）因為 a由不等式基本性質(zhì)1，得
a-5 < b-5 .
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
【例題2】（2024甘肅威武）解不等式組：
【答案】
【解析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為．
【對點變式練1】（2024沈陽一模）解不等式：4x-1<5x+15
【答案】x>-16
【解析】移項，得
4x-5x<15+1
合并同類項，得
-x<16
系數(shù)化為1，得
x>-16
【對點變式練2】（2024貴州黔東南一模）不等式組的解集是 　　 ．
【答案】﹣＜x≤4．
【解析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
解不等式5x+2＞3（x﹣1），得：x＞﹣，
解不等式，得：x≤4，
則不等式組的解集為﹣＜x≤4．
【對點變式練3】（2024福州一模）不等式2x﹣1≤3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．
移項得，2x≤3+1，
合并同類項得，2x≤4，
x的系數(shù)化為1得，x≤2．
在數(shù)軸上表示為：
．
【對點變式練4】（2024湖南懷化一模）不等式組的解集表示在數(shù)軸上正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣2，
解不等式﹣x＞﹣1，得：x＜2，
則不等式組的解集為﹣2≤x＜2．
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用
【例題3】（2024吉林）某單位為響應(yīng)政府號召，需要購買分類垃圾桶6個，市場上有A型和B型兩種分類垃圾桶，A型分類垃圾桶500元/個，B型分類垃圾桶550元/個，總費用不超過3100元，則不同的購買方式有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【答案】B
【解析】設(shè)購買A 型分類垃圾桶x個，則購買B型垃圾桶（6-x），然后根據(jù)題意列出不等式組，確定不等式組整數(shù)解的個數(shù)即可．
設(shè)購買A 型分類垃圾桶x個，則購買B型垃圾桶（6-x）個
由題意得：，解得4≤x≤6
則x可取4、5、6，即有三種不同的購買方式．故答案為B．
【對點變式練1】（2024黑龍江黑河一模）如圖，“開心”農(nóng)場準備用50m的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設(shè)矩形花園的長為a（m），寬為b（m）．
（1）當a＝20時，求b的值；
（2）受場地條件的限制，a的取值范圍為18≤a≤26，求b的取值范圍．
【答案】見解析。
【分析】（1）由護欄的總長度為50m，可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）由a的取值范圍結(jié)合a＝50﹣2b，即可得出關(guān)于b的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．
【解析】（1）依題意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范圍為12≤b≤16．
考點1. 不等式的性質(zhì)
1. （2024吉林長春）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學(xué)的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（　　）
A. 若，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
【答案】A
【解析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答．
由作圖可知：，由右圖可知：，即A選項符合題意．故選：A．
2. （2024江蘇蘇州）若，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向改變．
直接利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：，
A、，故錯誤，該選項不合題意；
B、，故錯誤，該選項不合題意；
C、無法得出，故錯誤，該選項不合題意；
D、，故正確，該選項符合題意；故選：D．
3. （2024上海市）如果，那么下列正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
A．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；
B．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；
C．兩邊同時乘上大于零的數(shù)，不等號的方向不改變，故正確，符合題意；
D．兩邊同時乘上小于零的數(shù)，不等號的方向改變，故錯誤，不符合題意；故選：C．
4. （2024安徽省）已知實數(shù)a，b滿足，，則下列判斷正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】題目主要考查不等式的性質(zhì)和解一元一次不等式組，根據(jù)等量代換及不等式的性質(zhì)依次判斷即可得出結(jié)果，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，選項B錯誤，不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，選項A錯誤，不符合題意；
∵，，
∴，，
∴，選項C正確，符合題意；
∵，，
∴，，
∴，選項D錯誤，不符合題意故選：C
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
1. （2024湖北省）不等式的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了一元一次不等式的解法及在數(shù)軸上表示不等式的解集．根據(jù)一元一次不等式的性質(zhì)解出未知數(shù)的取值范圍，在數(shù)軸上表示即可求出答案．
【詳解】解：，
．
在數(shù)軸上表示如圖所示：
故選：A．
2.（2024福建省）不等式的解集是______．
【答案】
【解析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數(shù)系數(shù)化為1，求解即可解．
，
，
，
故答案為：．
3. （2024廣西）不等式的解集為______．
【答案】
【解析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的步驟解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：移項得，，
合并同類項得，，
系數(shù)化為得，，
故答案為：．
4. （2024廣東） 關(guān)于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是______．
【答案】##
【解析】本題主要考查了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
由數(shù)軸可知，兩個不等式的解集分別為，，
∴不等式組的解集為，
故答案為：．
5. （2024山東煙臺）關(guān)于的不等式有正數(shù)解，的值可以是______（寫出一個即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】本題考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根據(jù)不等式有正數(shù)解可得關(guān)于的一元一次不等式，即可求出的取值范圍，進而可得的值，求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：不等式移項合并同類項得，，
系數(shù)化為得，，
∵不等式有正數(shù)解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案為：．
6. （2024吉林省）不等式組的解集為______．
【答案】##
【解析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為，
故答案為：．
7. （2024山東棗莊）寫出滿足不等式組的一個整數(shù)解________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】本題考查一元一次不等式組解法，解題的關(guān)鍵是正確掌握解一元一次不等式組的步驟．先解出一元一次不等式組的解集為，然后即可得出整數(shù)解．
【詳解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式組的解集為：，
∴不等式組的一個整數(shù)解為：；
故答案為：（答案不唯一）.
8. （2024貴州省）不等式的解集在數(shù)軸上的表示，正確的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)小于向左，無等號為空心圓圈，即可得出答案．
本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解題的關(guān)鍵．
【詳解】不等式的解集在數(shù)軸上的表示如下：
．
故選：C．
9. （2024江蘇連云港）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
【答案】，圖見解析
【解析】本題主要考查解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，根據(jù)去分母，去括號，移項，合并同類項可得不等式的解集，然后再在數(shù)軸上表示出它的解集即可.
【詳解】，
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
解得．
這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：
10. （2024內(nèi)蒙古赤峰）解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式組的解集為：，
在數(shù)軸上表示為：
故選：C．
11. （2024黑龍江龍東）關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．
【詳解】由，得：，
由，得：，
不等式組恰有3個整數(shù)解，
這3個整數(shù)解是0，1，2，
，
解得，
故答案為：．
12. （2024甘肅臨夏）解不等式組：．
【答案】
【解析】分別求出不等式組中兩不等式解集，找出兩解集的方法部分即可．
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式組的解集是
【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
13. （2024武漢市）求不等式組的整數(shù)解．
【答案】整數(shù)解為：
【解析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，進而求得整數(shù)解．
【詳解】
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：，
∴整數(shù)解為：
14. （2024江蘇揚州）解不等式組，并求出它所有整數(shù)解的和．
【答案】，整數(shù)和為6
【解析】本題主要考查解不等式組的整數(shù)解，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組的取值方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)不等式的性質(zhì)分別求出不等式①，②的解，再根據(jù)不等式組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解”即可求解，結(jié)合解集取整數(shù)，再求和即可．
【詳解】，
由①得，，
解得，；
由②得，，
移項得，，
解得，，
∴原不等式組的解為：，
∴所有整數(shù)解為：，
∴所有整數(shù)解的和為：．
15. （2024天津市）解不等式組
請結(jié)合題意填空，完成本題的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
（4）原不等式組的解集為______．
【答案】（1）
（2）
（3）見解析 （4）
【解析】
【小問1詳解】
解：解不等式①得，
故答案：；
【小問2詳解】
解：解不等式②得，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：在數(shù)軸上表示如下：
【小問4詳解】
解：由數(shù)軸可得原不等式組的解集為，
故答案為：．
考點3. 一元一次不等式的應(yīng)用
1. （2024江蘇常州）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設(shè)定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是________．
【答案】
【解析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
利用路程速度時間，結(jié)合小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出車速的取值范圍．
【詳解】 ．
根據(jù)題意得：，
解得：，
車速的取值范圍是．
故答案為：．
2. （2024山東棗莊）根據(jù)以下對話，
給出下列三個結(jié)論：
①1班學(xué)生的最高身高為；
②1班學(xué)生的最低身高小于；
③2班學(xué)生的最高身高大于或等于．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】本題考查了二元一次方程、不等式的應(yīng)用，設(shè)1班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，2班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，根據(jù)1班班長的對話，得，，然后利用不等式性質(zhì)可求出，即可判斷①，③；根據(jù)2班班長的對話，得，，然后利用不等式性質(zhì)可求出，即可判斷②．
【詳解】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，2班同學(xué)的最高身高為，最低身高為，
根據(jù)1班班長的對話，得，，
∴
∴，
解得，
故①錯誤，③正確；
根據(jù)2班班長的對話，得，，
∴，
∴，
∴，
故②正確，故選：C．
3. （2024遼寧）甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為、工作期間需同時排水，乙池的排水速度是．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水幾小時？
【答案】（1） （2）4小時
【解析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)甲池的排水速度為，由題意得，，解方程即可；
（2）設(shè)排水a(chǎn)小時，則，再解不等式即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲池的排水速度為，
由題意得，，
解得：，
答：甲池的排水速度為；
【小問2詳解】
解：設(shè)排水a(chǎn)小時，
則，
解得：，
答：最多可以排4小時．
4. （2024江西省）如圖，書架寬，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚，每本語文書厚．
（1）數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本；
（2）如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？
【答案】（1）書架上有數(shù)學(xué)書60本，語文書30本．
（2）數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本
【解析】【分析】本題主要考查了一元一次方程及不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．
（1）首先設(shè)這層書架上數(shù)學(xué)書有本，則語文書有本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：本數(shù)學(xué)書的厚度本語文書的厚度，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可；
（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，根據(jù)題意列出不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有本，由題意得：
，
解得：，
．
∴書架上有數(shù)學(xué)書60本，語文書30本．
【小問2詳解】
設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本．
5. （2024貴州省）為增強學(xué)生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習(xí)慣和品質(zhì)，某校組織學(xué)生參加勞動實踐．經(jīng)學(xué)校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學(xué)生參加種植甲、乙兩種作物．如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學(xué)生．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學(xué)生？
（2）種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學(xué)生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作物多少畝？
【答案】（1）種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學(xué)生
（2）至少種植甲作物5畝
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，
（1）設(shè)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學(xué)生，根據(jù)“種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27名學(xué)生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名”列方程組求解即可；
（2）設(shè)種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，根據(jù)“所需學(xué)生人數(shù)不超過55人”列不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學(xué)生，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學(xué)生；
【小問2詳解】
解：設(shè)種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，
根據(jù)題意，得：，
解得，
答：至少種植甲作物5畝．
6. （2024河南省）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為，營養(yǎng)成分表如下．
（1）若要從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？
（2）運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？
【答案】（1）選用A種食品4包，B種食品2包
（2）選用A種食品3包，B種食品4包
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，根據(jù)“從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質(zhì)”列方程組求解即可；
（2）設(shè)選用A種食品包，則選用B種食品包，根據(jù)“每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于”列不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，
根據(jù)題意，得
解方程組，得
答：選用A種食品4包，B種食品2包．
【小問2詳解】
解：設(shè)選用A種食品包，則選用B種食品包，
根據(jù)題意，得．
∴．
設(shè)總熱量為，則．
∵，
∴w隨a的增大而減小．
∴當時，w最小．
∴．
答：選用A種食品3包，B種食品4包．
考點1. 不等式的性質(zhì)
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
A．5x－2＞0 B．－3＜2＋
C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2
【答案】A
【解析】選項A是一元一次不等式，選項B中含未知數(shù)的項不是整式，選項C中含有兩個未知數(shù)，選項D中未知數(shù)的次數(shù)是2，故選項B，C，D都不是一元一次不等式．故選A.
方法總結(jié)：如果一個不等式是一元一次不等式，必須滿足三個條件：①含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為1；③不等式的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．
2．若a＞b，則下列等式一定成立的是（　　）
A．a(chǎn)＞b+2 B．a(chǎn)+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【答案】B
【解析】A.由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本選項不合題意；
B.若a＞b，則a+1＞b+1，故本選項符合題意；
C.若a＞b，則﹣a＜﹣b，故本選項不合題意；
D.由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本選項不合題意．故選：B．
【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
3. 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可變形為 x＞1，那么a 必須滿足________.
【答案】a＜－1.
【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判斷，a＋1為負數(shù)，即a＋1＜0，可得 a＜－1.
方法總結(jié)：只有當不等式的兩邊都乘(或除以)一個負數(shù)時，不等號的方向才改變．
4. 用三個不等式a＞b，ab＞0，中的兩個不等式作為題設(shè)，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，組成真命題的個數(shù)為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由題意得出3個命題，由不等式的性質(zhì)再判斷真假即可．
①若a＞b，ab＞0，則；真命題：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴a＞b＞0，
∴；
②若ab＞0，，則a＞b，真命題；
理由：∵ab＞0，
∴a、b同號，
∵，
∴a＞b；
③若a＞b，，則ab＞0，真命題；
理由：∵a＞b，，
∴a、b同號，
∴ab＞0
∴組成真命題的個數(shù)為3個．
考點2. 一元一次不等式(組)的解法及解集表示
1.不等式組的非負整數(shù)解有（ ）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【答案】
【解析】分別求出每一個不等式的解集，即可確定不等式組的解集，繼而可得知不等式組的非負整數(shù)解．
，
解不等式①得：x＞-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式組的解集為：-2.5＜x≤4，
∴不等式組的所有非負整數(shù)解是：0，1，2，3，4，共5個．
【點評】本題主要考查解一元一次不等式組的基本技能，準確求出每個不等式的解集是解題的根本，確定不等式組的解集及其非負整數(shù)解是關(guān)鍵．
2. 下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】先分別求每個不等式的解集，取其解集的公共部分作為不等式組的解集，然后再確定其整數(shù)解．
解：，
解不等式①，得：x＞﹣，
解不等式②，得：x≤1，
∴不等式組的解集為：﹣＜x≤1，
∴不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1．
3.不等式組的所有非負整數(shù)解的和是（　　）
A．10 B．7 C．6 D．0
【答案】A
【解析】不等式組的非負整數(shù)解。分別求出每一個不等式的解集，即可確定不等式組的解集，繼而可得知不等式組的非負整數(shù)解．
，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式組的解集為：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式組的所有非負整數(shù)解是：0，1，2，3，4，
∴不等式組的所有非負整數(shù)解的和是0+1+2+3+4＝10
4．對于不等式組,下列說法正確的是（　　）
A．此不等式組無解
B．此不等式組有7個整數(shù)解
C．此不等式組的負整數(shù)解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式組的解集是﹣＜x≤2
【答案】B．
【解析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解：利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．
分別解兩個不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中間可確定不等式組的解集，再寫出不等式組的整數(shù)解，然后對各選項進行判斷．
，
解①得x≤4，
解②得x＞﹣2.5，
所以不等式組的解集為﹣2.5＜x≤4，
所以不等式組的整數(shù)解為﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
5．不等式組的解集為 　 　．
【答案】1≤x＜7．
【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
解不等式x﹣3＜4，得：x＜2，
解不等式≥1，
則不等式組的解集為1≤x＜7．
6．若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（　　）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】先解不等式得出x，根據(jù)不等式只有2個正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2，據(jù)此得出23，解之可得答案．
∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
則x，
∵不等式只有2個正整數(shù)解，
∴不等式的正整數(shù)解為1、2，
則23，
解得：﹣7＜a≤﹣4
7．關(guān)于x的不等式的整數(shù)解只有4個，則m的取值范圍是（　　）
A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2
【答案】C
【解析】先求出每個不等式的解集，根據(jù)已知不等式組的整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，求出不等式組的解集即可．
不等式組整理得：，
解集為m＜x＜3，
由不等式組的整數(shù)解只有4個，得到整數(shù)解為2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤m＜﹣1
8. 解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來：
(1)2x－3＜； (2)－≤1.
【答案】1
【解析】先去分母，再去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1，求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來即可．
(1)去分母，得3(2x－3)＜x＋1，
去括號，得6x－9＜x＋1，
移項，合并同類項，得5x＜10，
系數(shù)化為1，得x＜2.
不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：
(2)去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6，
去括號，得4x－2－9x－2≤6，
移項，得4x－9x≤6＋2＋2，
合并同類項，得－5x≤10，
系數(shù)化為1，得x≥－2.
不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：
方法總結(jié)：在數(shù)軸上表示不等式的解集時，一要把點找準確，二要找準方向，三要區(qū)別實心圓點與空心圓圈．
9．不等式組的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解兩個一元一次不等式，再在數(shù)軸上畫出兩個不等式的解集．
解：，
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≥1，
如圖，在數(shù)軸上表示不等式①、②的解集，可知所求不等式組的解集是：1≤x＜3．
故選：B．
10.解不等式組：．
【答案】1＜x＜2．
【解析】有分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式，得：x＜2，
則不等式組的解集為1＜x＜2．
11．解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
【答案】見解析。
【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，
則不等式組的解集為﹣2≤x＜3，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
12．解不等式組請按下列步驟完成解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；
（4）原不等式組的解集是 　　．
【答案】見解析。
【解析】先解出兩個不等式，然后在數(shù)軸上表示出它們的解集，即可寫出不等式組的解集．
解：
（1）解不等式①，得x≥﹣1；
（2）解不等式②，得x＞﹣5；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；
（4）原不等式組的解集是x≥﹣1．
考點3. 一元一次不等式(組)的實際應(yīng)用
1．某出租汽車公司計劃購買型和型兩種節(jié)能汽車，若購買型汽車輛，型汽車輛，共需萬元；若購買型汽車輛，型汽車輛，共需萬元．
(1)型和型汽車每輛的價格分別是多少萬元？
(2)該公司計劃購買型和型兩種汽車共輛，費用不超過萬元，且型汽車的數(shù)量少于型汽車的數(shù)量，請你給出費用最省的方案，并求出該方案所需費用．
【答案】(1)型汽車每輛的價格為萬元，型汽車每輛的價格為萬元；(2)費用最省的方案是購買型汽車輛，型汽車輛，該方案所需費用為萬元.
【分析】(1)設(shè)型汽車每輛的價格為萬元，型汽車每輛的價格為萬元，根據(jù)購買型汽車輛，型汽車輛，共需萬元；購買型汽車輛，型汽車輛，共需萬元，列方程組進行求解即可；
(2)設(shè)購買型汽車輛，則購買型汽車輛，根據(jù)總費用不超過萬元，且型汽車的數(shù)量少于型汽車的數(shù)量，列不等式組進行求解得出購買方案，然后再討論即可得.
【解析】 (1)設(shè)型汽車每輛的價格為萬元，型汽車每輛的價格為萬元，
由題意得:，解得，
答：型汽車每輛的價格為萬元，型汽車每輛的價格為萬元；
(2)設(shè)購買型汽車輛，則購買型汽車輛，
由題意得：，解得：，因為是整數(shù)，所以或，
當時，該方案所需費用為：萬元；
當時，該方案所需費用為：萬元，
答：費用最省的方案是購買型汽車輛，型汽車輛，該方案所需費用為萬元.
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，弄清題意，找準題中的等量關(guān)系、不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
2．某市為了提升菜籃子工程質(zhì)量，計劃用大、中型車輛共輛調(diào)撥不超過噸蔬菜和噸肉制品補充當?shù)厥袌觯阎惠v大型車可運蔬菜噸和肉制品噸；一輛中型車可運蔬菜噸和肉制品噸．
（1）符合題意的運輸方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來；（2）若一輛大型車的運費是元，一輛中型車的運費為元，試說明中哪種運輸方案費用最低？最低費用是多少元？
【答案】（1）符合題意的運輸方案有種，方案：安排輛大型車，輛中型車；方案：安排輛大型車，輛中型車；方案：安排輛大型車，輛中型車；（2）方案1安排輛大型車，輛中型車所需費用最低，最低費用是元．
【分析】設(shè)安排輛大型車，則安排輛中型車，根據(jù)輛車調(diào)撥不超過噸蔬菜和噸肉制品補充當?shù)厥袌觯纯傻贸鲫P(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)即可得出各運輸方案；根據(jù)總運費＝單輛車所需費用租車輛車可分別求出三種租車方案所需費用，比較后即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)安排輛大型車，則安排輛中型車，
依題意，得：解得：．為整數(shù)，．
符合題意的運輸方案有種，方案：安排輛大型車，輛中型車；方案：安排輛大型車，輛中型車；方案：安排輛大型車，輛中型車．
方案1所需費用為：（元），
方案2所需費用為：（元），
方案3所需費用為：（元）．
，方案1安排輛大型車，輛中型車所需費用最低，最低費用是元．
答：（1）符合題意的運輸方案有種，方案：安排輛大型車，輛中型車；方案：安排輛大型車，輛中型車；方案：安排輛大型車，輛中型車；（2）方案1安排輛大型車，輛中型車所需費用最低，最低費用是元．
【點睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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