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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第三章 函數(shù)
3.2 一次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì) ☆☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一次函數(shù)的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。對(duì)于這部分知識(shí)的復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟練掌握一次函數(shù)的表達(dá)式。在一次函數(shù)的應(yīng)用試題里，通常結(jié)合考查方程（組）、函數(shù)、不等式綜合知識(shí)，所以復(fù)習(xí)時(shí)要系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)好一次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。
考點(diǎn)2 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)3 一次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1.一次函數(shù)的定義
一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).
特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時(shí)， y叫做x的正比例函數(shù)．
2.一次函數(shù)的一般形式
一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b，其中k，b為常數(shù)，k≠0．
一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實(shí)數(shù).
注意：（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).
（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).
（3）判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
3. 一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)
（1）一次函數(shù)的圖象
一次函數(shù)的圖象 一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，b)和(-，0)的一條直線
圖象關(guān)系 一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度；b<0，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度
圖象確定 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，由兩點(diǎn)確定一條直線可知畫(huà)一次函數(shù)圖象時(shí)，只要取兩點(diǎn)即可。
（2）一次函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù) 字母取值 圖象 經(jīng)過(guò)的象限 函數(shù)性質(zhì)
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y隨x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y隨x的增大而減小
k<0，b<0 二、三、四
（3）k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．
①當(dāng)–>0時(shí)，即k，b異號(hào)時(shí)，直線與x軸交于正半軸．
②當(dāng)–=0，即b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
③當(dāng)–<0，即k，b同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于負(fù)半軸．
（4）兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：
①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行； ②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；
③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點(diǎn)； ④當(dāng)k1·k2=–1時(shí)，兩直線垂直．
4. 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
正比例函數(shù) 一次函數(shù)
區(qū)別 一般形式 y=kx（k是常數(shù)，且k≠0） y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）
圖象 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線 一條直線
k，b符號(hào)的作用 k的符號(hào)決定其增減性，同時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限 k的符號(hào)決定其增減性；b的符號(hào)決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；k，b的符號(hào)共同決定直線經(jīng)過(guò)的象限
求解析式的條件 只需要一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 需要兩對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)
聯(lián)系 比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)． ②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫(huà)法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線，但畫(huà)一次函數(shù)的圖象需取兩個(gè)不同的點(diǎn)，而畫(huà)正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可． ③一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行． ④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)： a．當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；b．當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．
【重點(diǎn)提醒】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
1．定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法．
2．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟
（1）設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0）．
（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系數(shù)k．
（4）將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式．
3．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟
（1）設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．
（2）把兩個(gè)已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一次方程組．
（3）解二元一次方程組，求出k，b．
（4）將求得的k，b的值代入解析式．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
1．一次函數(shù)與一元一次方程
任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．
從函數(shù)的角度來(lái)看，解這個(gè)方程就是尋求自變量為何值時(shí)函數(shù)值為0；從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
2．一次函數(shù)與一元一次不等式
任何一個(gè)一元一次不等式都能寫(xiě)成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．
從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件．
3．一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫(xiě)成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線．進(jìn)一步可知，一個(gè)二元一次方程組對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，因而也對(duì)應(yīng)兩條直線．
從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
4.一次函數(shù)圖象與圖形面積
解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，或兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長(zhǎng)，或者三角形的高．如果圍成的三角形沒(méi)有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補(bǔ)”的方法。
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
1．主要題型
（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實(shí)際問(wèn)題的最值等。
2．用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
（1）設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的自變量與因變量；
（2）通過(guò)列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；
（3）確定自變量的取值范圍；
（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題；
（5）檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義；
（6）答．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】方案最值問(wèn)題
對(duì)于求方案問(wèn)題，通常涉及兩個(gè)相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過(guò)列不等式，求解出某一個(gè)事物的取值范圍，再根據(jù)另一個(gè)事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．
求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
（1）可將所有求得的方案的值計(jì)算出來(lái)，再進(jìn)行比較；
（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
顯然，第（2）種方法更簡(jiǎn)單快捷．
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
【例題1】（2024甘肅臨夏）一次函數(shù)，若y隨x的增大而減小，則它的圖象不經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象當(dāng)k＜0時(shí)，一定經(jīng)過(guò)二、四象限且y隨x的增大而減小，結(jié)合b=-1即可得出結(jié)論．
∵一次函數(shù)，若y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
∴圖象一定過(guò)第二、四象限，
∵b=-1，
∴該一次函數(shù)一定過(guò)第二、三、四象限，不過(guò)第一象限，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
【變式練1】（2024黑龍江綏化一模）下列函數(shù)是一次函數(shù)的是(　　)
A．y＝－8x　　　　B．y＝－ C．y＝－8x2＋2 D．y＝－＋2
【答案】A
【解析】A.它是正比例函數(shù)，屬于特殊的一次函數(shù)，正確；B.自變量次數(shù)不為1，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤；C.自變量次數(shù)不為1，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤；D.自變量次數(shù)不為1，不是一次函數(shù)，錯(cuò)誤．故選A.
方法總結(jié)：一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k≠0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)b可以為任意實(shí)數(shù)．
【變式練2】（2024吉林長(zhǎng)春一模）已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
(1)當(dāng)m、n取何值時(shí)，y是x的一次函數(shù)？
(2)當(dāng)m、n取何值時(shí)，y是x的正比例函數(shù)？
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義，m－1≠0，2－|m|＝1，據(jù)此求解即可；(2)根據(jù)正比例函數(shù)的定義，m－1≠0，2－|m|＝1，n＋3＝0，據(jù)此求解即可．
解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m－1≠0即m≠1，∴當(dāng)m＝－1，n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)；
(2)根據(jù)正比例函數(shù)的定義得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.又∵m－1≠0即m≠1，∴當(dāng)m＝－1，n＝－3時(shí)，這個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)．
方法總結(jié)：一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx＋b的結(jié)構(gòu)特征：k≠0，自變量的次數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)b可以為任意實(shí)數(shù)．正比例函數(shù)y＝kx的解析式中，比例系數(shù)k是常數(shù)，k≠0，自變量的次數(shù)
為1.
【變式練3】（2024遼寧一模）已知一次函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)自變量x＝3時(shí)，函數(shù)值y＝5；當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－9.求k和b的值．
【答案】k=2,b=-1
【解析】解析：把兩組對(duì)應(yīng)值分別代入y＝kx＋b得到關(guān)于k、b的方程組，然后解方程組求出k和b.
∵當(dāng)自變量x＝3時(shí)，函數(shù)值y＝5，當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－9，
∴解得
方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題就是將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組解答即可．
【例題2】（2024海南）已知正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝x＋k的圖象大致是(　　)
　
【答案】B
【解析】∵正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＜0.∵一次函數(shù)y＝x＋k的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，常數(shù)項(xiàng)小于0，∴一次函數(shù)y＝x＋k的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，且與y軸的負(fù)半軸相交．故選B.
方法總結(jié)：一次函數(shù)y＝kx＋b(k、b為常數(shù)，k≠0)是一條直線．當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)．
【變式練1】（2024山西一模）已知函數(shù)y＝(2m－2)x＋m＋1，
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)？
(2)已知y隨x增大而增大，求m的取值范圍；
(3)函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方，求m的取值范圍；
(4)圖象過(guò)第一、二、四象限，求m的取值范圍．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根據(jù)y隨x增大而增大可知2m－2＞0，求出m的取值范圍即可；(3)由于函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方，故m＋1＞0，進(jìn)而可得出m的取值范圍；(4)根據(jù)圖象過(guò)第一、二、四象限列出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍．
解：(1)∵函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，∴m＋1＝0，即m＝－1；
(2)∵y隨x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1；
(3)∵函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴m＋1＞0，解得m＞－1；
(4)∵圖象過(guò)第一、二、四象限，∴解得－1＜m＜1.
方法總結(jié)：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)第一、二、四象限．
【變式練2】（2024江西一模）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，5)和點(diǎn)B(－4，－9)．
(1)求此一次函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)C(m，2)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)將點(diǎn)A(3，5)和點(diǎn)B(－4，－9)分別代入一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，列出關(guān)于k、b的二元一次方程組，通過(guò)解方程組求得k、b的值；(2)將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入(1)中的一次函數(shù)解析式，即可求得m的值．
解：(1)設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b(k、b是常數(shù)，且k≠0)，則∴∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x－1；
(2)∵點(diǎn)C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，2)．
方法總結(jié)：答題時(shí)，要注意一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)k≠0這一條件，所以求出結(jié)果要注意檢驗(yàn)一下．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
【例題3】（2024江蘇揚(yáng)州）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若，，則關(guān)于x的方程的解為_(kāi)____．
【答案】
【解析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系，難度不大，認(rèn)真分析題意即可．
根據(jù)一次函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)可得出答案．
∵，
∴，
∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，
∴關(guān)于的方程的解是．
【變式練1】（2024云南一模）一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為(　　)
A．x＝－1　　B．x＝2 C．x＝0　　　D．x＝3
【答案】A
【解析】∵y＝kx＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)、(0，1)，
∴解得
∴一次函數(shù)解析式為y＝x＋1.
令x＋1＝0，解得x＝－1.故選A.
方法總結(jié)：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝kx＋b，確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
【變式練2】（2024新疆一模）如圖，函數(shù)y=kx+b與y=mx+n的圖象交于點(diǎn)P（1，2），那么關(guān)于x，y的方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，
所以方程組的解是．故選A．
【定睛】方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【例題4】（2024廣東） 已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當(dāng)函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象即可．
∵不等式的解集是，
∴當(dāng)時(shí)，，
觀察各個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．
【變式練1】（2024武漢一模）如圖，直線y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式kx+3＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】B
【解析】由一次函數(shù)圖象可知：關(guān)于x的不等式kx+3>0的解集是x<2；故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和一元一次不等式及其解法，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.
【變式練2】（2024山東濰坊一模）如圖，一次函數(shù)y1=x+b與一次函數(shù)y2=kx+4的圖象交于點(diǎn)P（1，3），則關(guān)于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【答案】C．
【解析】觀察圖象，兩圖象交點(diǎn)為P(1，3),當(dāng)x＞1時(shí)，y1在y2上方，據(jù)此解題即可.
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
【例題1】（2024河北省）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為、該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，若，則與關(guān)系的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查正比例函數(shù)的應(yīng)用，扇形的面積，設(shè)該扇面所在圓的半徑為，根據(jù)扇形的面積公式表示出，進(jìn)一步得出，再代入即可得出結(jié)論．掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】設(shè)該扇面所在圓的半徑為，
，
∴，
∵該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，
∴，
∴，
∴是的正比例函數(shù)，
∵，
∴它的圖像是過(guò)原點(diǎn)的一條射線．故選：C．
【變式練1】（2024黑龍江綏化一模）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購(gòu)買獎(jiǎng)品．已知購(gòu)買2個(gè)種獎(jiǎng)品和4個(gè)種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買5個(gè)種獎(jiǎng)品和2個(gè)種獎(jiǎng)品共需130元．學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品共20個(gè)，且種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于種獎(jiǎng)品數(shù)量的，則在購(gòu)買方案中最少費(fèi)用是_____元．
【答案】330
【解析】設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買2個(gè)A種獎(jiǎng)品和4個(gè)種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買5個(gè)A種獎(jiǎng)品和2個(gè)種獎(jiǎng)品共需130元”，即可得出關(guān)于A，B的二元一次方程組，在設(shè)購(gòu)買A種獎(jiǎng)品m個(gè)，則購(gòu)買B種獎(jiǎng)品(20-m)個(gè)，根據(jù)購(gòu)買A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，再結(jié)合費(fèi)用總量列出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果．
解：設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，
依題意，得：，
解得：
∴A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為15元．
設(shè)購(gòu)買A種獎(jiǎng)品m個(gè)，則購(gòu)買B種獎(jiǎng)品 個(gè)，根據(jù)題意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
設(shè)總費(fèi)用為W，根據(jù)題意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W隨m的減小而減小，
∴當(dāng)m=6時(shí)，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
則在購(gòu)買方案中最少費(fèi)用是330元．
故答案為：330．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式與一次函數(shù)．
【變式練2】（2024貴州一模）某中學(xué)計(jì)劃暑假期間安排2名老師帶領(lǐng)部分學(xué)生參加紅色旅游．甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報(bào)價(jià)都是每人1000元．經(jīng)協(xié)商，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：老師、學(xué)生都按八折收費(fèi)；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：兩位老師全額收費(fèi)，學(xué)生都按七五折收費(fèi)．
（1）設(shè)參加這次紅色旅游的老師學(xué)生共有x名，y甲，y乙（單位：元）分別表示選擇甲、乙兩家旅行社所需的費(fèi)用，求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）該校選擇哪家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少？
【答案】（1）y甲＝800x，y乙＝750x+500；
（2）當(dāng)老師學(xué)生數(shù)超10人時(shí)，選擇乙旅行社支付的旅游費(fèi)用較少；當(dāng)老師學(xué)生數(shù)為10人時(shí)，兩旅行社支付的旅游費(fèi)用相同；當(dāng)老師學(xué)生數(shù)少于10人時(shí)，選擇甲旅行社支付的旅游費(fèi)用較少．
【解析】（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，
y乙＝2×1000+0.75×1000×（x﹣2）＝750x+500；
（2）①y甲＜y乙，
800x＜750x+500，
解得x＜10，
②y甲＝y(tǒng)乙，
800x＝750x+500，
解得x＝10，
③y甲＞y乙，
800x＞750x+500，
解得x＞10，
答：當(dāng)老師學(xué)生數(shù)超10人時(shí)，選擇乙旅行社支付的旅游費(fèi)用較少；當(dāng)老師學(xué)生數(shù)為10人時(shí)，兩旅行社支付的旅游費(fèi)用相同；當(dāng)老師學(xué)生數(shù)少于10人時(shí)，選擇甲旅行社支付的旅游費(fèi)用較少．
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1. （2024湖南長(zhǎng)沙）對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 它的圖象與y軸交于點(diǎn) B. y隨x的增大而減小
C. 當(dāng)時(shí)， D. 它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
【答案】A
【解析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得到答案．
A.當(dāng)時(shí)，，即一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，說(shuō)法正確；
B.一次函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，原說(shuō)法錯(cuò)誤；
C.當(dāng)時(shí)，，原說(shuō)法錯(cuò)誤；
D.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，原說(shuō)法錯(cuò)誤；故選A．
2. （2024遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8，為點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性質(zhì)得到軸，最后由平移即可求解．
【詳解】過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)D，
∵頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)橫坐標(biāo)是8，
∴，即，
∴，
∵軸，
∴由勾股定理得：，
∵四邊形是菱形，
∴軸，
∴將點(diǎn)B向左平移10個(gè)單位得到點(diǎn)C，
∴點(diǎn)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)平移，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
3. （2024黑龍江大慶）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)且y的值隨x值增大而減小的函數(shù)的解析式 _____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】本題主要考查了函數(shù)的增減性，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．寫(xiě)出一個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)即可．
設(shè)滿足題意得的一次函數(shù)的關(guān)系式為，
代入得：，
，
∴滿足題意的一次函數(shù)的解析式為．
故答案為：（答案不唯一）．
4. （2024四川涼山）如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_____．
【答案】9
【解析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積．根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)及的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出的面積．
【詳解】將代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為．
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，
∴．
5. （2024甘肅威武）已知一次函數(shù)，當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)y的值可以是________（寫(xiě)出一個(gè)合理的值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】根據(jù)，選擇，此時(shí)，解答即可．本題考查了函數(shù)值的計(jì)算，正確選擇自變量進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，選擇，此時(shí)，
6. （2024上海市）某種商品的銷售量y（萬(wàn)元）與廣告投入x（萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬(wàn)元時(shí)銷售額1000萬(wàn)元，當(dāng)投入90萬(wàn)元時(shí)銷售量5000萬(wàn)元，則投入80萬(wàn)元時(shí)，銷售量為_(kāi)__________萬(wàn)元．
【答案】4500
【解析】本題考查求一次函數(shù)解析式及求函數(shù)值，設(shè)，根據(jù)題意找出點(diǎn)代入求出解析式，然后把代入求解即可．
【詳解】解：設(shè)，
把，代入，得，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
即投入80萬(wàn)元時(shí)，銷售量為4500萬(wàn)元
7. （2024江蘇蘇州）直線與x軸交于點(diǎn)A，將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是______．
【答案】
【解析】根據(jù)題意可求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A和點(diǎn)B，可得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到，則，求得，即得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．
【詳解】依題意畫(huà)出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象，如圖所示∶
設(shè)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B，
令，得；令，即，
∴， ，
∴，，
即
∵直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，
∴，，
∴，
則點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，則
，解得，
那么，直線的解析式為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、直線的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的直角邊長(zhǎng)．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
1. （2024黑龍江綏化）為了響應(yīng)國(guó)家提倡的“節(jié)能環(huán)保”號(hào)召，某共享電動(dòng)車公司準(zhǔn)備投入資金購(gòu)買、兩種電動(dòng)車．若購(gòu)買種電動(dòng)車輛、種電動(dòng)車輛，需投入資金萬(wàn)元；若購(gòu)買種電動(dòng)車輛、種電動(dòng)車輛，需投入資金萬(wàn)元．已知這兩種電動(dòng)車的單價(jià)不變．
（1）求、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別是多少元？
（2）為適應(yīng)共享電動(dòng)車出行市場(chǎng)需求，該公司計(jì)劃購(gòu)買、兩種電動(dòng)車輛，其中種電動(dòng)車的數(shù)量不多于種電動(dòng)車數(shù)量的一半．當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車多少輛時(shí)，所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少元？
（3）該公司將購(gòu)買的、兩種電動(dòng)車投放到出行市場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者支付費(fèi)用元與騎行時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖．其中種電動(dòng)車支付費(fèi)用對(duì)應(yīng)的函數(shù)為；種電動(dòng)車支付費(fèi)用是之內(nèi)，起步價(jià)元，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問(wèn)題．
①小劉每天早上需要騎行種電動(dòng)車或種電動(dòng)車去公司上班．已知兩種電動(dòng)車的平均行駛速度均為3（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計(jì)），小劉家到公司的距離為，那么小劉選擇______種電動(dòng)車更省錢（填寫(xiě)或）．
②直接寫(xiě)出兩種電動(dòng)車支付費(fèi)用相差元時(shí)，的值______．
【答案】（1）、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為元、元
（2）當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車輛時(shí)所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元
（3）① ②或
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）設(shè)、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為元、元，根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組，即可求解；
（2）設(shè)購(gòu)買種電動(dòng)車輛，則購(gòu)買種電動(dòng)車輛，根據(jù)題意得出的范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（3）①根據(jù)函數(shù)圖象，即可求解；
②分別求得的函數(shù)解析式，根據(jù)，解方程，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為元、元
由題意得，
解得
答：、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別為元、元
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)購(gòu)買種電動(dòng)車輛，則購(gòu)買種電動(dòng)車輛，
由題意得
解得：
設(shè)所需購(gòu)買總費(fèi)用為元，則
，隨著 的增大而減小，
取正整數(shù)
時(shí)，最少
元
答：當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車輛時(shí)所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元
【小問(wèn)3詳解】
解：①∵兩種電動(dòng)車的平均行駛速度均為3，小劉家到公司的距離為，
∴所用時(shí)間為分鐘，
根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，更省錢，
∴小劉選擇種電動(dòng)車更省錢，
故答案為：．
②設(shè)，將代入得，
解得：
∴；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，將，代入得，
解得：
∴
依題意，當(dāng)時(shí)，
即
解得：
當(dāng)時(shí)，
即
解得：（舍去）或
故答案為：或．
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
1. （2024湖北省）鐵的密度約為，鐵的質(zhì)量與體積成正比例．一個(gè)體積為的鐵塊，它的質(zhì)量為_(kāi)_____．
【答案】79
【解析】本題考查了正比例函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)鐵的質(zhì)量與體積成正比例，列式計(jì)算即可求解．
∵鐵的質(zhì)量與體積成正比例，
∴m關(guān)于V的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，
2. （2024陜西省）我國(guó)新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車從A市前往B市，他駕車從A市一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量與行駛路程之間的關(guān)系如圖所示．
（1）求y與x之間的關(guān)系式；
（2）已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．
【答案】（1）y與x之間的關(guān)系式為；
（2）該車的剩余電量占“滿電量”的．
【解析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得當(dāng)時(shí)，y的值，再計(jì)算即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)y與x之間的關(guān)系式為，
將，代入得，
解得，
∴y與x之間的關(guān)系式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
，
答：該車的剩余電量占“滿電量”的．
3. （2024深圳）
背景 【繽紛618，優(yōu)惠送大家】 今年618各大電商平臺(tái)促銷火熱，線下購(gòu)物中心也亮出大招，年中大促進(jìn)入“白熱化”．深圳各大購(gòu)物中心早在5月就開(kāi)始推出618活動(dòng)，進(jìn)入6月更是持續(xù)加碼，如圖，某商場(chǎng)為迎接即將到來(lái)的618優(yōu)惠節(jié)，采購(gòu)了若干輛購(gòu)物車．
素材 如圖為某商場(chǎng)疊放的購(gòu)物車，右圖為購(gòu)物車疊放在一起的示意圖，若一輛購(gòu)物車車身長(zhǎng)，每增加一輛購(gòu)物車，車身增加．
問(wèn)題解決
任務(wù)1 若某商場(chǎng)采購(gòu)了n輛購(gòu)物車，求車身總長(zhǎng)L與購(gòu)物車輛數(shù)n的表達(dá)式；
任務(wù)2 若該商場(chǎng)用直立電梯從一樓運(yùn)輸該批購(gòu)物車到二樓，已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為，且一次可以運(yùn)輸兩列購(gòu)物車，求直立電梯一次性最多可以運(yùn)輸多少輛購(gòu)物車？
任務(wù)3 若該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用電梯5次，求：共有多少種運(yùn)輸方案？
【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：一次性最多可以運(yùn)輸18臺(tái)購(gòu)物車；任務(wù)3：共有3種方案
【解析】本題考查了求函數(shù)表達(dá)式，一元一次不等式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)一輛購(gòu)物車車身長(zhǎng)，每增加一輛購(gòu)物車，車身增加，且采購(gòu)了n輛購(gòu)物車，L是車身總長(zhǎng)，即可作答．
任務(wù)2：結(jié)合“已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為，且一次可以運(yùn)輸兩列購(gòu)物車”，得出，再解不等式，即可作答．
任務(wù)3：根據(jù)“該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用電梯5次”，列式，再解不等式，即可作答．
【詳解】解：任務(wù)1：∵一輛購(gòu)物車車身長(zhǎng)，每增加一輛購(gòu)物車，車身增加
∴
任務(wù)2：依題意，∵已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為，且一次可以運(yùn)輸兩列購(gòu)物車，
令，
解得：
∴一次性最多可以運(yùn)輸18輛購(gòu)物車；
任務(wù)3：設(shè)x次扶手電梯，則次直梯，
由題意∵該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用電梯5次
可列方程為：，
解得：，
∵x為整數(shù)，
∴，
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三種方案.
4. （2024黑龍江齊齊哈爾）領(lǐng)航無(wú)人機(jī)表演團(tuán)隊(duì)進(jìn)行無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練，甲無(wú)人機(jī)以a米/秒的速度從地面起飛，乙無(wú)人機(jī)從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無(wú)人機(jī)同時(shí)勻速上升，6秒時(shí)甲無(wú)人機(jī)到達(dá)訓(xùn)練計(jì)劃指定的高度停止上升開(kāi)始表演，完成表演動(dòng)作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲、乙無(wú)人機(jī)按照訓(xùn)練計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)到達(dá)距離地面的高度為96米時(shí)，進(jìn)行了時(shí)長(zhǎng)為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時(shí)返回地面．甲、乙兩架無(wú)人機(jī)所在的位置距離地面的高度y(米)與無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間x(秒)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：
（1） ______米/秒， ______秒；
（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；
（3）兩架無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練到多少秒時(shí)，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫(xiě)出答案即可)
【答案】（1）8，20
（2）；
（3）2秒或10秒或16秒．
【解析】【分析】本題主要考查求一次函數(shù)應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形計(jì)算即可求解；
（2）先求得甲無(wú)人機(jī)單獨(dú)表演所用時(shí)間為秒，得到，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）利用待定系數(shù)法分別求得線段、線段、線段所在直線的函數(shù)解析式，再分三種情況討論，列式計(jì)算即可求解
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得甲無(wú)人機(jī)的速度為米/秒，
，
故答案為：8，20；
【小問(wèn)2詳解】
解：由圖象知，，
∵甲無(wú)人機(jī)的速度為8米/秒，
甲無(wú)人機(jī)勻速?gòu)?米到96米所用時(shí)間為秒，
甲無(wú)人機(jī)單獨(dú)表演所用時(shí)間為秒，
∴秒，
∴，
設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，
將，代入得，
解得，
∴線段所在直線的函數(shù)解析式為；
【小問(wèn)3詳解】
解：由題意，，
同理線段所在直線的函數(shù)解析式為，
線段所在直線的函數(shù)解析式為，
線段所在直線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得或（舍去），
綜上，兩架無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練到2秒或10秒或16秒時(shí)，它們距離地面的高度差為12米．
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1. 在下列各圖象中，表示函數(shù)y＝－kx(k＜0)的圖象的是(　　)
　
【答案】C
【解析】∵k＜0，∴－k＞0，∴函數(shù)y＝－kx(k＜0)的值隨自變量x的增大而增大，且函數(shù)為正比例函數(shù)．故選C.
方法總結(jié)：要知道正比例函數(shù)的圖象是過(guò)原點(diǎn)的直線，且當(dāng)k＞0時(shí)，圖象過(guò)第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象過(guò)第二、四象限．
2. 關(guān)于函數(shù)y＝x，下列結(jié)論中，正確的是(　　)
A．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，3)
B．不論x為何值，總有y＞0
C．y隨x的增大而減小
D．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限
【答案】D
【解析】A.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.只有當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.∵k＝＞0，∴y隨x的增大而增大，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.∵k＝＞0，∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，故D選項(xiàng)正確．故選D.
方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是了解正比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號(hào)與正比例函數(shù)的關(guān)系及其增減性．
3.已知函數(shù)y=(m-1)x+1-m2
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)
【答案】（1）m≠1（2）m=-1（4）是一次函數(shù)，（1）是正比例函數(shù).
【解析】利用定義求一次函數(shù)解析式時(shí)，必須保證： k ≠ 0；自變量x的指數(shù)是“1”
（1）由題意可得
m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù).
（2）由題意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù).
4. 下列函數(shù)關(guān)系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝；（4）y＝x2，其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】解：（1）y＝﹣x是正比例函數(shù)，是特殊的一次函數(shù)，故正確；
（2）y＝x﹣1符合一次函數(shù)的定義，故正確；（3）y＝屬于反比例函數(shù)，故錯(cuò)誤；
（4）y＝x2屬于二次函數(shù)，故錯(cuò)誤．綜上所述，一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的定義．本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y=kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．
5.已知函數(shù) y = kx的圖象在二、四象限，那么函數(shù)y = kx-k的圖象可能是（ ）
【答案】B
【解析】由函數(shù) y = kx的圖象在二、四象限，可知k<0，所以-k>0，所以數(shù)y = kx-k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故選B.
6. 寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)且y隨x增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式____________．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）
【解析】根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，k＜0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，然后解答即可．
∵函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，
∴設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+b，
把點(diǎn)（0，1）代入得，b=1，
∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+1．
故答案為：y=-x+1（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，在直線y=kx+b中，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．
7. 若一次函數(shù)（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則b的值可以是___________（寫(xiě)出一個(gè)即可）．
【答案】1（答案不唯一，滿足即可）
【解析】根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，可得，進(jìn)而即可求解．
∵一次函數(shù)（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，
∴
故答案為：1答案不唯一，滿足即可）
【點(diǎn)睛】本題考查了已知一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限求參數(shù)的值，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8. 點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是_______．
【答案】a＜2
【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，建立不等式計(jì)算即可．
∵當(dāng)時(shí)，，
∴a-2＜0，
∴a＜2，
故答案為：a＜2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，那么該圖象不經(jīng)過(guò)的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，先描出點(diǎn)A、B，再過(guò)點(diǎn)A、B作直線，如圖所示：
觀察函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限 故選：D．
10．已知：將直線y=x﹣1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線y=kx+b，則下列關(guān)于直線y=kx+b的說(shuō)法正確的是（　　）
A．經(jīng)過(guò)第一、二、四象限 B．與x軸交于（1，0）
C．與y軸交于（0，1） D．y隨x的增大而減小
【答案】C
【解析】將直線y=x﹣1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線y=x﹣1+2=x+1，
A、直線y=x+1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，錯(cuò)誤；B、直線y=x+1與x軸交于（﹣1，0），錯(cuò)誤；
C、直線y=x+1與y軸交于（0，1），正確；D、直線y=x+1，y隨x的增大而增大，錯(cuò)誤，故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，正確把握變換規(guī)律以及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11. 在同一平面直角坐標(biāo)中，作出下列函數(shù)的圖象．
(1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；(3)y＝－2x; (4)y＝5x.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】分別求出滿足各直線的兩個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)作直線即可．(1)一次函數(shù)y＝2x－1圖象過(guò)(1，1)，(0，－1)；(2)一次函數(shù)y＝x＋3的圖象過(guò)(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函數(shù)y＝－2x的圖象過(guò)(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函數(shù)y＝5x的圖象過(guò)(0，0)，(1，5)．
解：如圖所示．
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，將直線l1：y＝－2x－2平移后，得到直線l2：y＝－2x＋4，則下列平移作法正確的是(　　)
A．將l1向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度
B．將l1向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度
C．將l1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
D．將l1向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】A
【解析】∵將直線l1：y＝－2x－2平移后，得到直線l2：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2＝－2x＋4，解得a＝－3，故將l1向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度．故選A.
方法總結(jié)：求直線平移后的解析式時(shí)要注意平移時(shí)k的值不變，只有b發(fā)生變化．解析式變化的規(guī)律是：左加右減，上加下減．
13. 已知直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若△PAB為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【答案】C
【解析】先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件，進(jìn)行分類討論分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；
故A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，1），
∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)且△PAB為等腰直角三角形，
①當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
③當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
1．如圖，直線y=ax+b(a≠0)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（-3，0），則方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=
【答案】A
【解析】方程ax+b=0的解，即為函數(shù)y=ax+b圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵直線y=ax+b過(guò)B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0 （a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
2. （2022浙江杭州）已知一次函數(shù)y=3x-1與y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），則方程組的解是_________．
【答案】
【解析】根據(jù)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可確定以兩個(gè)一次函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解．
∵一次函數(shù)y=3x-1與y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），
∴聯(lián)立y=3x-1與y=kx的方程組的解為：，
即的解為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，直線y1=k1x與直線y2=k2x+b交于點(diǎn)A(1，2)．當(dāng)y1【答案】
【解析】據(jù)函數(shù)圖象，寫(xiě)出直線y1=k1x在直線y2=k2x+b2的下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
如圖，已知直線y1=k1x與直線y2=k2x+b2相交于點(diǎn)A（1，2），則當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍為 x＜1．
故答案是：x＜1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
4．如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點(diǎn)P（a，2），則關(guān)于x的不等式x+1≤mx+n的解集為_(kāi)_____．
【答案】x≤1．
【解析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
根據(jù)圖象可以知道當(dāng)x≤1時(shí)，y=x+1的函數(shù)值不小于y=mx+n相應(yīng)的函數(shù)值．
因而不等式x+1≤mx+n的解集是：x≤1．故答案為：x≤1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式（組）的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)、原點(diǎn)等），做到數(shù)形結(jié)合．
5．如圖，直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)k≠0）與直線y＝2交于點(diǎn)A（4，2），則關(guān)于x的不等式kx+b＜2的解集為_(kāi)____．
【答案】x＜4
【解析】∵直線y＝kx+b與直線y＝2交于點(diǎn)A（4，2），∴x＜4時(shí)，y＜2，
∴關(guān)于x的不等式kx+b＜2的解集為：x＜4．故答案為：x＜4．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用函數(shù)圖像解不等式，理解函數(shù)圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小對(duì)圖像的影響是解題的關(guān)鍵．
6．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法．如圖，直線y＝2x﹣1與直線y＝kx+b（k≠0）相交于點(diǎn)P（2，3）．根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是_____
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【答案】x＞2
【解析】以兩函數(shù)圖象交點(diǎn)為分界，直線y＝kx+b（k≠0）在直線y＝2x﹣1的下方時(shí)，x＞2．
根據(jù)圖象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集為：x＞2．
7. 已知函數(shù)y=（2m+1）x+m﹣3；
(1)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求m的值；
(2)若函數(shù)的圖象平行直線y=3x﹣3，求m的值；
(3)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
(4)若這個(gè)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，4），求這個(gè)函數(shù)的解析式.
【答案】見(jiàn)解析
【分析】(1)由函數(shù)是正比例函數(shù)得m-3=0且2m+1≠0；(2)由兩直線平行得2m+1=3；(3)一次函數(shù)中y隨著x的增大而減小，即2m+1＜0；(4)代入該點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.
解：(1)∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴m﹣3=0，且2m+1≠0，
解得m=3.
(2)∵函數(shù)的圖象平行于直線y=3x﹣3，∴2m+1=3，
解得m=1.
(3)∵y隨著x的增大而減小，∴2m+1＜0，解得m＜-1/2 ．
(4)∵該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1,4），代入得2m+1+m-3=4,
解得m=2，∴該函數(shù)的解析式為y=5x-1.
8. 對(duì)照?qǐng)D象，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＝－x＋1
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＞－x＋1
(3)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＜－x＋1
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)直線y＝2x－5與直線y＝－x＋1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即為方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直線y＝2x－5在直線y＝－x＋1上方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍即為不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直線y＝2x－5在直線y＝－x＋1下方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍即為不等式2x－5＜－x＋1的解集．
解：(1)由圖象可知，直線y＝2x－5與直線y＝－x＋1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，所以當(dāng)x取2時(shí)，2x－5＝－x＋1；
(2)由圖象可知，當(dāng)x＞2時(shí)，直線y＝2x－5落在直線y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；
(3)由圖象可知，當(dāng)x＜2時(shí)，直線y＝2x－5落在直線y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.
方法總結(jié)：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx＋b在x軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
9. 直角坐標(biāo)系中有兩條直線：y＝x＋，y＝－x＋6，它們的交點(diǎn)為P，第一條直線交x軸于點(diǎn)A，第二條直線交x軸于點(diǎn)B.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)用圖象法解方程組
(3)求△PAB的面積．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)分別令y＝0，求出x的值即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)建立平面直角坐標(biāo)系，然后作出兩直線，交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解；(3)求出AB的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
解：(1)令y＝0，則x＋＝0，解得x＝－3，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，0)．令－x＋6＝0，解得x＝4，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)；
(2)如圖所示，方程組的解是
(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝×7×3＝.
方法總結(jié)：本題考查了二元一次方程(組)與一次函數(shù)的關(guān)系：兩個(gè)方程的解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在兩條直線上，所以作出兩個(gè)二元一次方程所對(duì)應(yīng)的兩條直線，求出交點(diǎn)，則交點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，即為方程組的解．
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
1. 某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電．有A，B兩個(gè)焚燒爐，每個(gè)焚燒爐每天焚燒垃圾均為100噸，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A，B焚燒爐每天共發(fā)電55000度．
（1）求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發(fā)電多少度？
（2）若經(jīng)過(guò)改進(jìn)工藝，與改進(jìn)工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加a%和2a%，則A，B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加（5+a）%，求a的最小值．
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）設(shè)焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電m度，B焚燒爐發(fā)電n度，根據(jù)“每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A，B焚燒爐每天共發(fā)電55000度”列方程組解答即可；
（2）根據(jù)題意可得改進(jìn)工藝后每焚燒一噸垃圾A焚燒爐發(fā)電300（1+a%）度，則B焚燒爐發(fā)電250（1+2a%）度，根據(jù)A，B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加（5+a）%一元一次不等式即可求解．
解：（1）設(shè)焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電m度，B焚燒爐發(fā)電n度，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電300度，B發(fā)焚燒爐發(fā)電250度；
（2）改進(jìn)工藝后每焚燒一噸垃圾A焚燒爐發(fā)電300（1+a%）度，則B焚燒爐發(fā)電250（1+2a%）度，依題意有
100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000[1+（5+a）%]，
整理得5a≥55，
解得a≥11，
∴a的最小值為11．
2. 為倡導(dǎo)低碳生活，綠色出行，某自行車俱樂(lè)部利用周末組織“遠(yuǎn)游騎行”活動(dòng)．自行車隊(duì)從甲地出發(fā)，途經(jīng)乙地短暫休息完成補(bǔ)給后，繼續(xù)騎行至目的地丙地，自行車隊(duì)出發(fā)1h后，恰有一輛郵政車從甲地出發(fā)，沿自行車隊(duì)行進(jìn)路線前往丙地，在丙地完成2h裝卸工作后按原路返回甲地，自行車隊(duì)與郵政車行駛速度均保持不變，并且郵政車行駛速度是自行車隊(duì)行駛速度的2.5倍，如圖表示自行車隊(duì)、郵政車離甲地的路程y(km)與自行車隊(duì)離開(kāi)甲地的時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息解答下列各題：
(1)自行車隊(duì)行駛的速度是________km/h；
(2)郵政車出發(fā)多久與自行車隊(duì)首次相遇？
(3)郵政車在返程途中與自行車隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地多遠(yuǎn)？
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)由“速度＝路程÷時(shí)間”就可以求出結(jié)論；(2)由自行車的速度就可以求出郵政車的速度，再由追及問(wèn)題設(shè)郵政車出發(fā)ah與自行車隊(duì)首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由郵政車的速度可以求出B的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)，由自行車的速度就可以求出D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出BC，ED的解析式就可以求出結(jié)論．
解：(1)由題意得自行車隊(duì)行駛的速度為72÷3＝24(km/h)．
(2)由題意得郵政車的速度為24×2.5＝60(km/h)．設(shè)郵政車出發(fā)ah與自行車隊(duì)首次相遇，由題意得24(a＋1)＝60a，解得a＝.
答：郵政車出發(fā)h與自行車隊(duì)首次相遇；
(3)由題意得郵政車到達(dá)丙地的時(shí)間為135÷60＝(h)，∴郵政車從丙地出發(fā)返回甲地前共用時(shí)為＋2＋1＝(h)，∴B(，135)，C(7.5，0)．自行車隊(duì)到達(dá)丙地的時(shí)間為135÷24＋0.5＝＋0.5＝(h)，∴D(，135)．設(shè)直線BC的解析式為y1＝k1＋b1，由題意得解得∴y1＝－60x＋450.設(shè)ED的解析式為y2＝k2x＋b2，由題意得解得∴y2＝24x－12.當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，－60x＋450＝24x－12，解得x＝5.5.y1＝－60×5.5＋450＝120.
答：郵政車在返程途中與自行車隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地120km.
方法總結(jié)：本題考查了行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
3. 如圖①，底面積為30cm2的空?qǐng)A柱形容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過(guò)程中，水面高度h(cm)與注水時(shí)間t(s)之間的關(guān)系如圖②所示．
　　
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)圓柱形容器的高為多少？勻速注水的水流速度(單位：cm3/s)為多少？
(2)若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2，求“幾何體”上方圓柱的高和底面積．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)根據(jù)圖象，分三個(gè)部分：注滿“幾何體”下方圓柱需18s；注滿“幾何體”上方圓柱需24－18＝6(s)，注滿“幾何體”上面的空?qǐng)A柱形容器需42－24＝18(s)．再設(shè)勻速注水的水流速度為xcm3/s，根據(jù)圓柱的體積公式列方程，再解方程；(2)由圖②知幾何體下方圓柱的高為acm，根據(jù)圓柱的體積公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“幾何體”上方圓柱的高為5cm，設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據(jù)圓柱的體積公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．
解：(1)根據(jù)函數(shù)圖象得到圓柱形容器的高為14cm，兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”的高度為11cm，水從剛滿過(guò)由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”到注滿用了42－24＝18(s)，這段高度為14－11＝3(cm)．設(shè)勻速注水的水流速度為xcm3/s，則18·x＝30×3，解得x＝5，即勻速注水的水流速度為5cm3/s；
(2)由圖②知“幾何體”下方圓柱的高為acm，則a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“幾何體”上方圓柱的高為11－6＝5(cm)．設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據(jù)題意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“幾何體”上方圓柱的底面積為24cm2.
方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：把分段函數(shù)圖象中自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，然后運(yùn)用方程的思想解決實(shí)際問(wèn)題．
4. 北京某廠和上海某廠同時(shí)制成電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，北京廠可支援外地10臺(tái)，上海廠可支援外地4臺(tái)，現(xiàn)在決定給重慶8臺(tái)，漢口6臺(tái)。如果從北京運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是4百元/臺(tái)、8百元/臺(tái)，從上海運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是3百元/臺(tái)、5百元/臺(tái)。求：(1)若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海運(yùn)往漢口應(yīng)是多少臺(tái)
(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)8200元，共有幾種調(diào)運(yùn)方案
(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低總運(yùn)費(fèi)是多少元
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】設(shè)上海廠運(yùn)往漢口x臺(tái)，那么上海運(yùn)往重慶有(4-x)臺(tái)，北京廠運(yùn)往漢口(6-x)臺(tái)，北京廠運(yùn)往重慶(4+x)臺(tái)，則總運(yùn)費(fèi)W關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式：
W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。
(1) 當(dāng)W=84(百元)時(shí)，則有76+2x=84,解得x=4。
若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海廠應(yīng)運(yùn)往漢口4臺(tái)。
(2) 當(dāng)W≤82(元)，則
解得0≤x≤3，因?yàn)閤只能取整數(shù)，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。
答：若要求總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)8200元，共有4種調(diào)運(yùn)方案。
(3) 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)W=76+2x隨著x的增大而增大，又因?yàn)?≤x≤3，所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運(yùn)費(fèi)是7600元。
此時(shí)的調(diào)運(yùn)方案是：上海廠的4臺(tái)全部運(yùn)往重慶；北京廠運(yùn)往漢口6臺(tái)，運(yùn)往重慶4臺(tái)。
本題運(yùn)用了函數(shù)思想得出了總運(yùn)費(fèi)W與變量x的一般關(guān)系，再根據(jù)要求運(yùn)用方程思想、不等式等知識(shí)解決了調(diào)運(yùn)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題。并求出了最低運(yùn)費(fèi)價(jià)。
5.某災(zāi)情發(fā)生后，某市組織20輛汽車裝運(yùn)食品、藥品、生活用品三種救災(zāi)物資共100噸到災(zāi)民安置點(diǎn)．按計(jì)劃20輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種救災(zāi)物資且必須裝滿．根據(jù)表中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
物資種類 食品 藥品 生活用品
每輛汽車運(yùn)載量(噸) 6 5 4
每噸所需運(yùn)費(fèi)(元/噸) 120 160 100
(1)設(shè)裝運(yùn)食品的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)為y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果裝運(yùn)食品的車輛數(shù)不少于5輛，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)不少于4輛，那么車輛的安排有幾種方案？并寫(xiě)出每種安排方案；
(3)在(2)的條件下，若要求總運(yùn)費(fèi)最少，應(yīng)采用哪種安排方案？并求出最少總運(yùn)費(fèi)．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)裝運(yùn)生活用品的車輛為(20－x－y)輛，根據(jù)三種救災(zāi)物資共100噸列出關(guān)系式；(2)根據(jù)題意求出x的取值范圍并取整數(shù)值從而確定方案；(3)分別表示裝運(yùn)三種物資的費(fèi)用，求出表示總運(yùn)費(fèi)的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答．
解：(1)根據(jù)題意，裝運(yùn)食品的車輛為x輛，裝運(yùn)藥品的車輛為y輛，那么裝運(yùn)生活用品的車輛數(shù)為(20－x－y)輛，則有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，整理得，y＝－2x＋20；
(2)由(1)知，裝運(yùn)食品，藥品，生活用品三種物資的車輛數(shù)分別為x，20－2x，x，
由題意得解得5≤x≤8.
因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的值為5，6，7，8.所以安排方案有4種：
方案一：裝運(yùn)食品5輛、藥品10輛，生活用品5輛；
方案二：裝運(yùn)食品6輛、藥品8輛，生活用品6輛；
方案三：裝運(yùn)食品7輛、藥品6輛，生活用品7輛；
方案四：裝運(yùn)食品8輛、藥品4輛，生活用品8輛；
(3)設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W(元)，則W＝6x×120＋5(20－2x)×160＋4x×100＝16000－480x.因?yàn)閗＝－480＜0，所以W的值隨x的增大而減小．要使總運(yùn)費(fèi)最少，需x最大，則x＝8.故選方案四，W最小＝16000－480×8＝12160(元)．
答：選方案四，最少總運(yùn)費(fèi)為12160元．
方法總結(jié)：解答此類問(wèn)題往往通過(guò)解不等式(組)求出自變量的取值范圍，然后求出自變量取值范圍內(nèi)的非負(fù)整數(shù)，進(jìn)而得出每種方案，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出最佳方案．
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第三章 函數(shù)
3.2 一次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì) ☆☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一次函數(shù)的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。對(duì)于這部分知識(shí)的復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟練掌握一次函數(shù)的表達(dá)式。在一次函數(shù)的應(yīng)用試題里，通常結(jié)合考查方程（組）、函數(shù)、不等式綜合知識(shí)，所以復(fù)習(xí)時(shí)要系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)好一次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。
考點(diǎn)2 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)3 一次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1.一次函數(shù)的定義
一般地，形如________(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).
特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時(shí)， y叫做x的______函數(shù)．
2.一次函數(shù)的一般形式
一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b，其中k，b為常數(shù)，k≠0．
一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實(shí)數(shù).
注意：（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)_______是正比例函數(shù).
（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).
（3）判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
3. 一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)
（1）一次函數(shù)的圖象
一次函數(shù)的圖象 一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)_______和(-，0)的一條直線
圖象關(guān)系 一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象____得到；b>0，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度；b<0，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度
圖象確定 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條_____，由兩點(diǎn)確定一條直線可知畫(huà)一次函數(shù)圖象時(shí)，只要取兩點(diǎn)即可。
（2）一次函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù) 字母取值 圖象 經(jīng)過(guò)的象限 函數(shù)性質(zhì)
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y隨x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y隨x的增大而減小
k<0，b<0 二、三、四
（3）k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．
①當(dāng)–>0時(shí)，即k，b異號(hào)時(shí)，直線與x軸交于正半軸．
②當(dāng)–=0，即b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
③當(dāng)–<0，即k，b同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于負(fù)半軸．
（4）兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：
①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行； ②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；
③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點(diǎn)； ④當(dāng)k1·k2=–1時(shí)，兩直線垂直．
4. 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
正比例函數(shù) 一次函數(shù)
區(qū)別 一般形式 y=kx（k是常數(shù)，且k≠0） y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）
圖象 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線 一條直線
k，b符號(hào)的作用 k的符號(hào)決定其增減性，同時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限 k的符號(hào)決定其增減性；b的符號(hào)決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；k，b的符號(hào)共同決定直線經(jīng)過(guò)的象限
求解析式的條件 只需要一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 需要兩對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)
聯(lián)系 比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)． ②正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫(huà)法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)直線，但畫(huà)一次函數(shù)的圖象需取兩個(gè)不同的點(diǎn)，而畫(huà)正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可． ③一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行． ④一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)： a．當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；b．當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．
【重點(diǎn)提醒】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
1．定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法．
2．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟
（1）設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0）．
（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系數(shù)k．
（4）將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式．
3．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟
（1）設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．
（2）把兩個(gè)已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一次方程組．
（3）解二元一次方程組，求出k，b．
（4）將求得的k，b的值代入解析式．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
1．一次函數(shù)與一元一次方程
任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．
從函數(shù)的角度來(lái)看，解這個(gè)方程就是尋求_______為何值時(shí)函數(shù)值為0；從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的_____坐標(biāo)．
2．一次函數(shù)與一元一次不等式
任何一個(gè)一元一次不等式都能寫(xiě)成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．
從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的________；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的點(diǎn)的_______滿足的條件．
3．一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫(xiě)成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線．進(jìn)一步可知，一個(gè)二元一次方程組對(duì)應(yīng)兩個(gè)______，因而也對(duì)應(yīng)兩條直線．
從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的______坐標(biāo)，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
4.一次函數(shù)圖象與圖形面積
解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，或兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長(zhǎng)，或者三角形的高．如果圍成的三角形沒(méi)有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補(bǔ)”的方法。
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
1．主要題型
（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實(shí)際問(wèn)題的最值等。
2．用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
（1）設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的______與_______；
（2）通過(guò)列方程(組)與待定系數(shù)法求_______關(guān)系式；
（3）確定_______的取值范圍；
（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題；
（5）檢驗(yàn)所求解是否符合_______；
（6）答．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】方案最值問(wèn)題
對(duì)于求方案問(wèn)題，通常涉及兩個(gè)相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過(guò)列不等式，求解出某一個(gè)事物的取值范圍，再根據(jù)另一個(gè)事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．
求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：
（1）可將所有求得的方案的值計(jì)算出來(lái)，再進(jìn)行比較；
（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
顯然，第（2）種方法更簡(jiǎn)單快捷．
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
【例題1】（2024甘肅臨夏）一次函數(shù)，若y隨x的增大而減小，則它的圖象不經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【變式練1】（2024黑龍江綏化一模）下列函數(shù)是一次函數(shù)的是(　　)
A．y＝－8x　　　　B．y＝－ C．y＝－8x2＋2 D．y＝－＋2
【變式練2】（2024吉林長(zhǎng)春一模）已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
(1)當(dāng)m、n取何值時(shí)，y是x的一次函數(shù)？
(2)當(dāng)m、n取何值時(shí)，y是x的正比例函數(shù)？
【變式練3】（2024遼寧一模）已知一次函數(shù)y＝kx＋b中，當(dāng)自變量x＝3時(shí)，函數(shù)值y＝5；當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－9.求k和b的值．
【例題2】（2024海南）已知正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝x＋k的圖象大致是(　　)
　
【變式練1】（2024山西一模）已知函數(shù)y＝(2m－2)x＋m＋1，
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)？
(2)已知y隨x增大而增大，求m的取值范圍；
(3)函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方，求m的取值范圍；
(4)圖象過(guò)第一、二、四象限，求m的取值范圍．
【變式練2】（2024江西一模）已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，5)和點(diǎn)B(－4，－9)．
(1)求此一次函數(shù)的解析式；
(2)若點(diǎn)C(m，2)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo)．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
【例題3】（2024江蘇揚(yáng)州）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若，，則關(guān)于x的方程的解為_(kāi)____．
【變式練1】（2024云南一模）一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為(　　)
A．x＝－1　　B．x＝2 C．x＝0　　　D．x＝3
【變式練2】（2024新疆一模）如圖，函數(shù)y=kx+b與y=mx+n的圖象交于點(diǎn)P（1，2），那么關(guān)于x，y的方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【例題4】（2024廣東） 已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024武漢一模）如圖，直線y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式kx+3＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【變式練2】（2024山東濰坊一模）如圖，一次函數(shù)y1=x+b與一次函數(shù)y2=kx+4的圖象交于點(diǎn)P（1，3），則關(guān)于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
【例題1】（2024河北省）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，某折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為、該折扇張開(kāi)的角度為時(shí)，扇面面積為，若，則與關(guān)系的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024黑龍江綏化一模）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購(gòu)買獎(jiǎng)品．已知購(gòu)買2個(gè)種獎(jiǎng)品和4個(gè)種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買5個(gè)種獎(jiǎng)品和2個(gè)種獎(jiǎng)品共需130元．學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買兩種獎(jiǎng)品共20個(gè)，且種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于種獎(jiǎng)品數(shù)量的，則在購(gòu)買方案中最少費(fèi)用是_____元．
【變式練2】（2024貴州一模）某中學(xué)計(jì)劃暑假期間安排2名老師帶領(lǐng)部分學(xué)生參加紅色旅游．甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報(bào)價(jià)都是每人1000元．經(jīng)協(xié)商，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：老師、學(xué)生都按八折收費(fèi)；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：兩位老師全額收費(fèi)，學(xué)生都按七五折收費(fèi)．
（1）設(shè)參加這次紅色旅游的老師學(xué)生共有x名，y甲，y乙（單位：元）分別表示選擇甲、乙兩家旅行社所需的費(fèi)用，求y甲，y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）該校選擇哪家旅行社支付的旅游費(fèi)用較少？
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1. （2024湖南長(zhǎng)沙）對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 它的圖象與y軸交于點(diǎn) B. y隨x的增大而減小
C. 當(dāng)時(shí)， D. 它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
2. （2024遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8，為點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
3. （2024黑龍江大慶）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)且y的值隨x值增大而減小的函數(shù)的解析式 _____．
4. （2024四川涼山）如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_____．
5. （2024甘肅威武）已知一次函數(shù)，當(dāng)自變量時(shí)，函數(shù)y的值可以是________（寫(xiě)出一個(gè)合理的值即可）．
6. （2024上海市）某種商品的銷售量y（萬(wàn)元）與廣告投入x（萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬(wàn)元時(shí)銷售額1000萬(wàn)元，當(dāng)投入90萬(wàn)元時(shí)銷售量5000萬(wàn)元，則投入80萬(wàn)元時(shí)，銷售量為_(kāi)__________萬(wàn)元．
7. （2024江蘇蘇州）直線與x軸交于點(diǎn)A，將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是______．
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
1. （2024黑龍江綏化）為了響應(yīng)國(guó)家提倡的“節(jié)能環(huán)保”號(hào)召，某共享電動(dòng)車公司準(zhǔn)備投入資金購(gòu)買、兩種電動(dòng)車．若購(gòu)買種電動(dòng)車輛、種電動(dòng)車輛，需投入資金萬(wàn)元；若購(gòu)買種電動(dòng)車輛、種電動(dòng)車輛，需投入資金萬(wàn)元．已知這兩種電動(dòng)車的單價(jià)不變．
（1）求、兩種電動(dòng)車的單價(jià)分別是多少元？
（2）為適應(yīng)共享電動(dòng)車出行市場(chǎng)需求，該公司計(jì)劃購(gòu)買、兩種電動(dòng)車輛，其中種電動(dòng)車的數(shù)量不多于種電動(dòng)車數(shù)量的一半．當(dāng)購(gòu)買種電動(dòng)車多少輛時(shí)，所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少元？
（3）該公司將購(gòu)買的、兩種電動(dòng)車投放到出行市場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者支付費(fèi)用元與騎行時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖．其中種電動(dòng)車支付費(fèi)用對(duì)應(yīng)的函數(shù)為；種電動(dòng)車支付費(fèi)用是之內(nèi)，起步價(jià)元，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問(wèn)題．
①小劉每天早上需要騎行種電動(dòng)車或種電動(dòng)車去公司上班．已知兩種電動(dòng)車的平均行駛速度均為3（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計(jì)），小劉家到公司的距離為，那么小劉選擇______種電動(dòng)車更省錢（填寫(xiě)或）．
②直接寫(xiě)出兩種電動(dòng)車支付費(fèi)用相差元時(shí)，的值______．
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
1. （2024湖北省）鐵的密度約為，鐵的質(zhì)量與體積成正比例．一個(gè)體積為的鐵塊，它的質(zhì)量為_(kāi)_____．
2. （2024陜西省）我國(guó)新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車從A市前往B市，他駕車從A市一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量與行駛路程之間的關(guān)系如圖所示．
（1）求y與x之間的關(guān)系式；
（2）已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時(shí)，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．
3. （2024深圳）
背景 【繽紛618，優(yōu)惠送大家】 今年618各大電商平臺(tái)促銷火熱，線下購(gòu)物中心也亮出大招，年中大促進(jìn)入“白熱化”．深圳各大購(gòu)物中心早在5月就開(kāi)始推出618活動(dòng)，進(jìn)入6月更是持續(xù)加碼，如圖，某商場(chǎng)為迎接即將到來(lái)的618優(yōu)惠節(jié)，采購(gòu)了若干輛購(gòu)物車．
素材 如圖為某商場(chǎng)疊放的購(gòu)物車，右圖為購(gòu)物車疊放在一起的示意圖，若一輛購(gòu)物車車身長(zhǎng)，每增加一輛購(gòu)物車，車身增加．
問(wèn)題解決
任務(wù)1 若某商場(chǎng)采購(gòu)了n輛購(gòu)物車，求車身總長(zhǎng)L與購(gòu)物車輛數(shù)n的表達(dá)式；
任務(wù)2 若該商場(chǎng)用直立電梯從一樓運(yùn)輸該批購(gòu)物車到二樓，已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為，且一次可以運(yùn)輸兩列購(gòu)物車，求直立電梯一次性最多可以運(yùn)輸多少輛購(gòu)物車？
任務(wù)3 若該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用電梯5次，求：共有多少種運(yùn)輸方案？
4. （2024黑龍江齊齊哈爾）領(lǐng)航無(wú)人機(jī)表演團(tuán)隊(duì)進(jìn)行無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練，甲無(wú)人機(jī)以a米/秒的速度從地面起飛，乙無(wú)人機(jī)從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無(wú)人機(jī)同時(shí)勻速上升，6秒時(shí)甲無(wú)人機(jī)到達(dá)訓(xùn)練計(jì)劃指定的高度停止上升開(kāi)始表演，完成表演動(dòng)作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲、乙無(wú)人機(jī)按照訓(xùn)練計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)到達(dá)距離地面的高度為96米時(shí)，進(jìn)行了時(shí)長(zhǎng)為t秒的聯(lián)合表演，表演完成后以相同的速度大小同時(shí)返回地面．甲、乙兩架無(wú)人機(jī)所在的位置距離地面的高度y(米)與無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間x(秒)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：
（1） ______米/秒， ______秒；
（2）求線段所在直線的函數(shù)解析式；
（3）兩架無(wú)人機(jī)表演訓(xùn)練到多少秒時(shí)，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫(xiě)出答案即可)
考點(diǎn)1. 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1. 在下列各圖象中，表示函數(shù)y＝－kx(k＜0)的圖象的是(　　)
　
2. 關(guān)于函數(shù)y＝x，下列結(jié)論中，正確的是(　　)
A．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，3)
B．不論x為何值，總有y＞0
C．y隨x的增大而減小
D．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限
3.已知函數(shù)y=(m-1)x+1-m2
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)
4. 下列函數(shù)關(guān)系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝；（4）y＝x2，其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知函數(shù) y = kx的圖象在二、四象限，那么函數(shù)y = kx-k的圖象可能是（ ）
6. 寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)且y隨x增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式____________．
7. 若一次函數(shù)（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則b的值可以是___________（寫(xiě)出一個(gè)即可）．
8. 點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是_______．
9．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，那么該圖象不經(jīng)過(guò)的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知：將直線y=x﹣1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線y=kx+b，則下列關(guān)于直線y=kx+b的說(shuō)法正確的是（　　）
A．經(jīng)過(guò)第一、二、四象限 B．與x軸交于（1，0）
C．與y軸交于（0，1） D．y隨x的增大而減小
11. 在同一平面直角坐標(biāo)中，作出下列函數(shù)的圖象．
(1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；(3)y＝－2x; (4)y＝5x.
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，將直線l1：y＝－2x－2平移后，得到直線l2：y＝－2x＋4，則下列平移作法正確的是(　　)
A．將l1向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度
B．將l1向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度
C．將l1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
D．將l1向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度
13. 已知直線y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若△PAB為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
考點(diǎn)2. 一次函數(shù)與一次方程(組)、一元一次不等式的關(guān)系
1．如圖，直線y=ax+b(a≠0)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（-3，0），則方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=
2. （2022浙江杭州）已知一次函數(shù)y=3x-1與y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），則方程組的解是_________．
3. 如圖，直線y1=k1x與直線y2=k2x+b交于點(diǎn)A(1，2)．當(dāng)y14．如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點(diǎn)P（a，2），則關(guān)于x的不等式x+1≤mx+n的解集為_(kāi)_____．
5．如圖，直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)k≠0）與直線y＝2交于點(diǎn)A（4，2），則關(guān)于x的不等式kx+b＜2的解集為_(kāi)____．
6．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法．如圖，直線y＝2x﹣1與直線y＝kx+b（k≠0）相交于點(diǎn)P（2，3）．根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是_____
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
x＞27. 已知函數(shù)y=（2m+1）x+m﹣3；
(1)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求m的值；
(2)若函數(shù)的圖象平行直線y=3x﹣3，求m的值；
(3)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；
(4)若這個(gè)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，4），求這個(gè)函數(shù)的解析式.
8. 對(duì)照?qǐng)D象，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＝－x＋1
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＞－x＋1
(3)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＜－x＋1
9. 直角坐標(biāo)系中有兩條直線：y＝x＋，y＝－x＋6，它們的交點(diǎn)為P，第一條直線交x軸于點(diǎn)A，第二條直線交x軸于點(diǎn)B.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)用圖象法解方程組
(3)求△PAB的面積．
考點(diǎn)3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
1. 某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電．有A，B兩個(gè)焚燒爐，每個(gè)焚燒爐每天焚燒垃圾均為100噸，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比B焚燒爐多發(fā)電50度，A，B焚燒爐每天共發(fā)電55000度．
（1）求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐各發(fā)電多少度？
（2）若經(jīng)過(guò)改進(jìn)工藝，與改進(jìn)工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加a%和2a%，則A，B焚燒爐每天共發(fā)電至少增加（5+a）%，求a的最小值．
2. 為倡導(dǎo)低碳生活，綠色出行，某自行車俱樂(lè)部利用周末組織“遠(yuǎn)游騎行”活動(dòng)．自行車隊(duì)從甲地出發(fā)，途經(jīng)乙地短暫休息完成補(bǔ)給后，繼續(xù)騎行至目的地丙地，自行車隊(duì)出發(fā)1h后，恰有一輛郵政車從甲地出發(fā)，沿自行車隊(duì)行進(jìn)路線前往丙地，在丙地完成2h裝卸工作后按原路返回甲地，自行車隊(duì)與郵政車行駛速度均保持不變，并且郵政車行駛速度是自行車隊(duì)行駛速度的2.5倍，如圖表示自行車隊(duì)、郵政車離甲地的路程y(km)與自行車隊(duì)離開(kāi)甲地的時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息解答下列各題：
(1)自行車隊(duì)行駛的速度是________km/h；
(2)郵政車出發(fā)多久與自行車隊(duì)首次相遇？
(3)郵政車在返程途中與自行車隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地多遠(yuǎn)？
3. 如圖①，底面積為30cm2的空?qǐng)A柱形容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過(guò)程中，水面高度h(cm)與注水時(shí)間t(s)之間的關(guān)系如圖②所示．
　　
請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)圓柱形容器的高為多少？勻速注水的水流速度(單位：cm3/s)為多少？
(2)若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2，求“幾何體”上方圓柱的高和底面積．
4. 北京某廠和上海某廠同時(shí)制成電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，北京廠可支援外地10臺(tái)，上海廠可支援外地4臺(tái)，現(xiàn)在決定給重慶8臺(tái)，漢口6臺(tái)。如果從北京運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是4百元/臺(tái)、8百元/臺(tái)，從上海運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是3百元/臺(tái)、5百元/臺(tái)。求：(1)若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海運(yùn)往漢口應(yīng)是多少臺(tái)
(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)8200元，共有幾種調(diào)運(yùn)方案
(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低總運(yùn)費(fèi)是多少元
5.某災(zāi)情發(fā)生后，某市組織20輛汽車裝運(yùn)食品、藥品、生活用品三種救災(zāi)物資共100噸到災(zāi)民安置點(diǎn)．按計(jì)劃20輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種救災(zāi)物資且必須裝滿．根據(jù)表中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
物資種類 食品 藥品 生活用品
每輛汽車運(yùn)載量(噸) 6 5 4
每噸所需運(yùn)費(fèi)(元/噸) 120 160 100
(1)設(shè)裝運(yùn)食品的車輛數(shù)為x，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)為y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果裝運(yùn)食品的車輛數(shù)不少于5輛，裝運(yùn)藥品的車輛數(shù)不少于4輛，那么車輛的安排有幾種方案？并寫(xiě)出每種安排方案；
(3)在(2)的條件下，若要求總運(yùn)費(fèi)最少，應(yīng)采用哪種安排方案？并求出最少總運(yùn)費(fèi)．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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