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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第三章 函數
3.3 反比例函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數的圖象與性質 ☆☆ 數學中考中，有關反比例函數的部分屬于中考必考內容，每年考查1~2道題,分值為3~12分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。對于這部分內容的復習需要學生熟練掌握考點分布的5個考點知識內容，掌握每個考點解題要領，形成解題規律，這樣在中考時才能快速高效解決問題。比如考點3：若在選擇題出現，一般3分，在解答題里出現則8—12分，考查知識綜合性強，要用到數形思想，所以要加強該類型題訓練。
考點2 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義） ☆☆☆
考點3 一次函數與反比例函數的綜合問題 ☆☆☆
考點4 反比例函數與幾何圖形結合 ☆☆☆
考點5 反比例函數的實際應用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 反比例函數的圖象與性質
1. 反比例函數定義
一般的，形如 (是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數。其它表示形式：或。
因為x≠0，k≠0，相應地y值也不能為0，所以反比例函數的圖象無限接近x軸和y軸，但與x軸.y軸永不相交 ．
2. 反比例函數的圖象及其性質
反比例函數y＝(k為常數，k≠0)的圖象總是關于原點成中心對稱的，它的位置和性質受k的符號的影響.
y＝ (k為常數，k≠0) k>0 k<0
圖　象
所在象限 一.三(x，y同號) 二.四(x，y異號)
性　質 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1. 求反比例函數的解析式方法
待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟
（1）設反比例函數解析式為（k≠0）；
（2）把反比例函數圖像上已知一點的一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數k的方程；
（3）解這個方程求出待定系數k；
（4）將所求得的待定系數k的值代回所設的函數解析式即可．
2. 反比例函數的k的幾何意義
由y＝(k≠0)的圖象上任意一點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形的面積為|k| .
如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.
【易錯點提示】已知相關面積，求反比例函數的表達式，注意若函數圖象在第二、四象限，則k＜0.
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
1. 反比例函數與一次函數的綜合問題基礎分析
（1）涉及自變量取值范圍型
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．
（2）求一次函數與反比例函數的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的符號來決定.
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的方程組的解的情況．
2. 反比例函數與一次函數的綜合問題命題思想分析
一次函數和反比例函數是全國各省市中考的熱點內容，也是中考的必考內容.每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。
（1）一次函數和反比例函數的圖象和性質是考查的基礎，也是高頻考點、必考點，所以對一次函數和反比例函數的圖象和性質必須理解熟記.
（2）這個考點多數省市在解答大題里出現，難度屬于中等偏上，分值8—10分左右。
（3）運用綜合知識解題，所以希望畢業班學生結合下面常出現考題類型復習相關知識點，各個擊破。
類型1.一次函數與反比例函數中由面積求點坐標
類型2.一次函數與反比例函數中求線段和的最小值問題
類型3.一次函數和反比例函數與不等式綜合問題
類型4.一次函數和反比例函數中求三角形面積問題
類型5.一次函數和反比例函數中求證問題
類型6.一次函數和反比例函數中求線段長問題
類型7.利用反比例函數的圖象和性質探究平移問題
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
解反比例函數與幾何圖形的綜合題，一般先設出幾何圖形中的未知數，然后結合函數的圖像用含未知數的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數解析式及幾何圖形的性質寫出含未知數及待求字母系數的解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數解析式中待定字母的值.
這類型的題目主要包括：
類型1. 反比例函數與三角形的綜合問題
類型2.反比例函數與平行四邊形的綜合問題
類型3.反比例函數與矩形的綜合問題
類型4.反比例函數與菱形的綜合問題
類型5.反比例函數與正方形形的綜合問題
類型6.反比例函數與圓的綜合問題
考點5. 反比例函數的實際應用
反比例函數在工程問題、運動問題、化學等領域都有廣泛應用。在物理學中也有重要應用。
解答反比例函數實際應用問題基本步驟：
（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；
（2設出函數表達式；
（3）依題意求解函數表達式；
（4）根據反比例函數的表達式或性質解決相關問題.
【易錯點提示】反比例函數的實際應用需要注意的地方
解決反比例函數的實際問題時，先確定函數解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍。實際問題中的兩個變量往往都只能取非負值；作實際問題中的函數圖像時，橫、縱坐標的單位長度不一定相同。
考點1. 反比例函數的圖象與性質
【例題1】（2024福建省）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據得出，設，則，結合完全平方公式的變形與應用得出
，結合，則，即可作答．
【詳解】如圖：連接
∵反比例函數的圖象與交于兩點，且
∴
設，則
∵
∴
則
∵點在第一象限
∴
把代入得
∴
經檢驗：都是原方程的解
∵
∴
故答案為：
【變式練1】（2023阜新一模）已知反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點（﹣2，4），那么該反比例函數圖象也一定經過點（　　）
A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
【答案】C
【解析】∵反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
A.∵4×2＝8≠﹣8，∴此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；
B.∵1×8＝8≠﹣8，∴此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；
C.﹣1×8＝﹣8，∴此點在反比例函數的圖象上，故本選項正確；
D.（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤．故選：C．
【變式練2】（2024陜西一模）已知反比例函數，下列說法不正確的是（　　）
A．圖象經過點（﹣3，2）
B．圖象分別位于第二、四象限內
C．在每個象限內y的值隨x的值增大而增大
D．x≥﹣1時，y≥6
【答案】D
【解析】因為（﹣3）×2＝﹣6，
所以A正確，不符合題意；
因為反比例函數，
所以圖象分別位于第二、四象限內；在每個象限內y的值隨x的值增大而增大；
所以B、C正確，不符合題意；
當x≥﹣1時，y≥6或y＜0，
所以D錯誤，符合題意，故選：D．
【變式練3】（2024內蒙古呼和浩特一模）點、在反比例函數的圖象上，若，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】反比例函數中k＞0，則同一象限內y隨x的增大而減小，由于，得到，從而得到的取值范圍．
∵在反比例函數y=中，k＞0，
∴在同一象限內y隨x增大而減小，
∵，
∴這兩個點在同一象限，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是熟悉反比例函數的增減性，當k＞0，在每一象限內y隨x的增大而減小；當k＜0，在每一象限內y隨x的增大而增大．
【變式練4】（2024西藏一模）反比例函數經過點，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．函數圖象分布在第一、三象限
C．當時，隨的增大而增大 D．當時，隨的增大而減小
【答案】C
【解析】將點（2,1）代入中求出k值，再根據反比例函數的性質對四個選項逐一分析即可．
將點（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此說法正確，不符合題意；
B．k=2﹥0,反比例函數圖象分布在第一、三象限，此說法正確，不符合題意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函數圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法錯誤，符合題意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函數圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法正確，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質，理解函數圖象上的點與解析式的關系是解答的關鍵．
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
【例題2】（2024深圳）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為菱形，，且點A落在反比例函數上，點B落在反比例函數上，則________．
【答案】8
【解析】本題主要考查反比例函數與幾何的綜合及三角函數；過點作軸的垂線，垂足分別為，然后根據特殊三角函數值結合勾股定理求得，，再求得點，利用待定系數法求解即可．
【詳解】過點作軸的垂線，垂足分別為，如圖，
∵，
∴，
∴設，則，
∴點，
∵點A在反比例函數上，
∴，
∴（負值已舍），則點，
∴，，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴點，
∵點B落在反比例函數上，
∴，
故答案為：8．
【變式練1】（2024福建一模）已知反比例函數的圖象經過點(2，﹣4)，那么這個反比例函數的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【解析】設解析式y=，代入點(2,-4)求出即可．
設反比例函數解析式為y=，將(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以這個反比例函數解析式為y=-．故選：D．
【點睛】本題主要考查待定系數法求反比例函數解析式，求反比例函數解析式只需要知道其圖像上一點的坐標即可．
【變式練2】（2024青島一模）反比例函數y＝的圖象經過點A（m，），則反比例函數的表達
式為　　 ．
【答案】y＝．
【解析】∵反比例函數y＝的圖象經過點A（m，），
∴＝m．
∴m＝8，
∴反比例函數解析式為：y＝．
【變式練3】（2024深圳一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象經過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F，連接EF，AF．若點E為AC的中點，△AEF的面積為1，則k的值為（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】首先設A（a，0），表示出D（a，），再根據D，E，F都在雙曲線上，依次表示出坐標，再由S△AEF＝1，轉化為S△ACF＝2，列出等式即可求得．
解：設A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E為AC的中點，
則E也為BD的中點，
∵點B在x軸上，
∴E的縱坐標為，
∴，
∵E為AC的中點，
∴點C（3a，），
∴點F（3a，），
∵△AEF的面積為1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
【變式練4】（2024大連一模）如圖，直線AB與反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，且AB＝BC，連接OA．已知△OAC的面積為12，則k的值為 　　．
【答案】8．
【解析】根據題意設B（，a），A（，2a），利用待定系數法表示出直線AB的解析式為y＝﹣x+3a，則C（，0），根據三角形面積公式得到××2a＝12，從而得到k的值．
解：設AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，
∵AM∥BN，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
設B（，a），A（，2a），
設直線AB的解析式為y＝mx+n，
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3a，
當y＝0時，﹣x+3a＝0，解得x＝，
∴C（，0），
∵△OAC的面積為12，
∴××2a＝12，
∴k＝8．
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
【例題3】（2024山東威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍______．
【答案】或
【解析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，根據圖象解答即可求解，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．
由圖象可得，當或時，，
∴滿足的的取值范圍為或．
【變式練1】（2024山東濱州一模）在同一平面直角坐標系中，函數與 （k為常數且）的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據題意中的函數解析式和函數圖象的特點，可以判斷哪個選項中的圖象是正確的．
根據函數可得，該函數圖象與y軸的交點在x軸上方，排除B、D選項，
當k＞0時，函數的圖象在第一、二、三象限，函數在第二、四象限，故選項A正確，故選：A．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
【變式練2】（2024湖南益陽一模）如圖，已知點A是一次函數y＝2x﹣4的圖象與x軸的交點，將點A向上平移2個單位后所得點B在某反比例函數圖象上．
（1）求點A的坐標；
（2）確定該反比例函數的表達式．
【答案】（1）（2，0）；（2）y＝．
【解析】（1）把y＝0代入一次函數y＝2x﹣4，求出x，即可得到點A的坐標；
（2）根據平移的性質求出點B的坐標，設所求反比例函數解析式為y＝，將B點坐標代入，即可求出該反比例函數的表達式．
解：（1）∵點A是一次函數y＝2x﹣4的圖象與x軸的交點，
∴當y＝0時，2x﹣4＝0，解得x＝2，
∴點A的坐標為（2，0）；
（2）將點A（2，0）向上平移2個單位后得點B（2，2）．
設過點B的反比例函數解析式為y＝，
則2＝，解得k＝4，
∴該反比例函數的表達式為y＝．
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
【例題4】（2024江蘇蘇州）如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，三角形相似的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（負值舍去），故選：A．
【變式練1】（2024黑龍江齊齊哈爾一模）如圖，點A是反比例函數圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點D，且點D為線段AB的中點．若點C為x軸上任意一點，且△ABC的面積為4，則k=_______．
【答案】
【解析】設點，利用即可求出k的值．
設點，
∵點D為線段AB的中點．AB⊥y軸
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查利用面積求反比例函數的k的值，解題的關鍵是找出．
【變式練2】（2024山西一模）如圖，平行四邊形的頂點在軸的正半軸上，點在對角線上，反比例函數的圖像經過、兩點．已知平行四邊形的面積是，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，分別過點D、B作DE⊥x軸于點E，DF⊥x軸于點F，延長BC交y軸于點H
∵四邊形是平行四邊形∴易得CH=AF
∵點在對角線上，反比例函數的圖像經過、兩點
∴ 即反比例函數解析式為∴設點C坐標為
∵ ∴ ∴ ∴∴
∴，點B坐標為
∵平行四邊形的面積是∴解得（舍去）
∴點B坐標為故應選：B
【點睛】本題是反比例函數與幾何圖形的綜合問題，涉及到相似三角形的的性質、反比例函數的性質，解答關鍵是根據題意構造方程求解．
考點5. 反比例函數的實際應用
【例題5】（2024河北省）節能環保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若x減小，則y也減小 D. 若x減小一半，則y增大一倍
【答案】C
【解析】本題考查的是反比例函數的實際應用，先確定反比例函數的解析式，再逐一分析判斷即可．
∵淇淇家計劃購買500度電，平均每天用電x度，能使用y天．
∴，
∴，
當時，，故A不符合題意；
當時，，故B不符合題意；
∵，，
∴當x減小，則y增大，故C符合題意；
若x減小一半，則y增大一倍，表述正確，故D不符合題意；故選：C．
【變式練1】（2024湖北宜昌一模）已知經過閉合電路的電流（單位：）與電路的電阻（單位：）是反比例函數關系．根據下表判斷和的大小關系為（ ）
5 … … … … … 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據電流與電路的電阻是反比例函數關系，由反比例函數圖像是雙曲線，在同一象限內x和y的變化規律是單調的，即可判斷
∵電流與電路的電阻是反比例函數關系
由表格：；
∴在第一象限內，I隨R的增大而減小
∵
∴
【點睛】本題考查雙曲線圖像的性質；解題關鍵是根據表格判斷出雙曲線在第一象限，單調遞減.
【變式練2】 （2024山西一模）根據物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數，其函數圖象如圖所示，當時，該物體承受的壓強p的值為_________ Pa．
【答案】400
【解析】先根據待定系數法求出反比例函數解析式，再把S=0.25代入，問題得解．
設反比例函數的解析式為，
由圖象得反比例函數經過點（0.1,1000），
∴，
∴反比例函數的解析式為，
當S=0.25時，．
【點睛】考查反比例函數的應用，理解題意，利用待定系數法求出反比例函數解析式是解題關鍵．
考點1. 反比例函數的圖象與性質
1. （2024廣西）已知點，在反比例函數的圖象上，若，則
有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了反比例函數的圖象，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．根據點，在反比例函數圖象上，則滿足關系式，橫縱坐標的積等于2，結合即可得出答案．
【詳解】 點，在反比例函數的圖象上，
，，
，
，，
．故選：A．
2.（2024廣州） 如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結論有______．（填寫所有正確結論的序號）
【答案】①②④
【解析】由，可得，故①符合題意；如圖，連接，，，與的交點為，利用的幾何意義可得的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，證明四邊形為矩形，可得當最小，則最小，設，可得的最小值為，故③不符合題意；如圖，設平移距離為，可得，證明，可得，再進一步可得答案．
【詳解】∵，，四邊形是矩形；
∴，
∴，故①符合題意；
如圖，連接，，，與的交點為，
∵，
∴，
∴，
∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；
如圖，連接，
∵軸，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴當最小，則最小，
設，
∴，
∴，
∴的最小值為，故③不符合題意；
如圖，設平移距離為，
∴，
∵反比例函數為，四邊形為矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合題意；
故答案為：①②④
【點睛】本題考查的是反比例函數的圖象與性質，平移的性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
3. （2024貴州省）已知點在反比例函數的圖象上．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）點，，都在反比例函數的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．
【答案】（1）
（2），理由見解析
【解析】本題主要考查了反比例函數的性質，以及函數圖象上點的坐標特點，待定系數法求反比例函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式．
（1）把點代入可得k的值，進而可得函數的解析式；
（2）根據反比例函數表達式可得函數圖象位于第一、三象限，再根據點A、點B和點C的橫坐標即可比較大小．
【小問1詳解】
解：把代入，得，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
【小問2詳解】
解：∵，
∴函數圖象位于第一、三象限，
∵點，，都在反比例函數的圖象上，，
∴，
∴．
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1. （2024湖南省）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即（k為常數．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．
【答案】180
【解析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，把，代入求解即可．
【詳解】把，代入，得，
解得，
故答案為：180．
2. （2024江蘇連云港）杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關于動力臂的函數表達式為__________．
【答案】
【解析】本題考查了根據實際問題列反比例函數關系式，根據題意可得，進而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關鍵．
由題意可得，，
∴，即，
故答案為：．
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數的值為______．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數，根據的縱坐標相同以及點在反比例函數上得到的坐標，進而用代數式表達的長度，然后根據列出一元一次方程求解即可．
【詳解】是平行四邊形
縱坐標相同
的縱坐標是
在反比例函數圖象上
將代入函數中，得到
的縱坐標為
即：
解得：
4. （2024江蘇揚州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在反比例函數的圖像上，軸于點C，，將沿翻折，若點C的對應點D落在該反比例函數的圖像上，則k的值為_____．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數的幾何意義，掌握求解的方法是解題的關鍵．
如圖，過點作軸于點．根據，，設，則，由對稱可知，，即可得，，解得，根據點B的對應點D落在該反比例函數的圖像上，即可列方程求解；
【詳解】解：如圖，過點作軸于點．
∵點A的坐標為，
∴，
∵，軸，
設，則，
由對稱可知，，
∴，
∴，，
∴，
∵點B的對應點D落在該反比例函數的圖像上，
∴，
解得：，
∵反比例函數圖象在第一象限，
∴
5. （2024黑龍江綏化）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數的圖象相交于點，且，則______．
【答案】
【解析】本題考查了反比例函數與平行四邊形綜合，相似三角形的性質與判定，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，根據平行四邊形的性質得出，證明得出，，進而可得，即可求解．
【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點，，，
∴，
∴，即，則，
∵軸，軸，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案為：．
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
1. （2024黑龍江大慶）在同一平面直角坐標系中，函數與的大致圖象
為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了反比例函數與一次函數圖象，根據一次函數與反比例函數的性質，逐項分析判斷，即可求解．
∵
當時，一次函數經過第一、二、三象限，
當時，一次函數經過第一、三、四象限
A.一次函數中，則當時，函數圖象在第四象限，不合題意，
B.一次函數經過第二、三、四象限，不合題意，
一次函數中，則當時，函數圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，故選：C．
2. （2024山東棗莊）列表法、表達式法、圖像法是三種表示函數的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數值之間的對應關系．下表是函數與部分自變量與函數值的對應關系：
1
1 ________
________ ________ 7
（1）求、的值，并補全表格；
（2）結合表格，當的圖像在的圖像上方時，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1），補全表格見解析
（2）的取值范圍為或；
【解析】
【小問1詳解】
解：當時，，即，
當時，，即，
∴，
解得：，
∴一次函數為，
當時，，
∵當時，，即，
∴反比例函數為：，
當時，，
當時，，
當時，，
補全表格如下：
1
1
7
【小問2詳解】
由表格信息可得：兩個函數的交點坐標分別為，，
∴當的圖像在的圖像上方時，的取值范圍為或；
3. （2024湖北省）一次函數經過點，交反比例函數于點．
（1）求；
（2）點在反比例函數第一象限的圖象上，若，直接寫出的橫坐標的取值范圍．
【答案】（1），，； （2）．
【解析】
小問1詳解】
解：∵一次函數經過點，點，
∴，
解得，
∴點，
∵反比例函數經過點，
∴；
【小問2詳解】
解：∵點，點，
∴，
∴，，
由題意得，
∴，
∴，
∴的橫坐標的取值范圍為．
4. （2024四川巴中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
（1）求的值及點的坐標．
（2）點是線段上一點，點在直線上運動，當時，求的最小值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）先求解A的坐標，再求解反比例函數解析式，再聯立兩個解析式可得B的坐標；
（2）由，證明，可得，求解,證明，如圖，當時，最短；再進一步利用勾股定理與等面積法求解即可；
【小問1詳解】
解：∵直線與反比例函數的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函數為：；
∴，
解得：，，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如圖，當時，最短；
∴；
【點睛】本題考查是一次函數與反比例函數的綜合，求解函數解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的應用，等腰三角形的性質，理解題意是解本題的關鍵.
5.（2024甘肅威武） 如圖，在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數的圖象，與反比例函數的圖象交于點．過點作x軸的平行線分別交與的圖象于C，D兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）連接，求的面積．
【答案】（1）一次函數的解析式為；反比例函數的解析式為；
（2）
【解析】【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合：
（1）先根據一次函數圖象的平移規律，再把點A的坐標分別代入對應的一次函數解析式和反比例函數解析式中，利用待定系數法求解即可；
（2）先分別求出C、D的坐標，進而求出的長，再根據三角形面積計算公式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵將函數的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數的圖象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函數的解析式為；
把代入中得：，解得，
∴反比例函數的解析式為；
【小問2詳解】
解：∵軸，，
∴點C和點D的縱坐標都為2，
在中，當時，，即；
在中，當時，，即；
∴，
∵，
∴．
6. （2024江蘇連云港）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標為2．
（1）求的值；
（2）利用圖像直接寫出時的取值范圍；
（3）如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1） （2）或 （3）8
【解析】【分析】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用：
（1）先求出點坐標，再將點代入一次函數的解析式中求出的值即可；
（2）圖像法求不等式的解集即可；
（3）根據平移的性質，得到陰影部分的面積即為的面積，進行求解即可．
【小問1詳解】
點在的圖像上，
當時，．
∴，
將點代入，得．
【小問2詳解】
由（1）知：，
聯立，解得：或，
∴；
由圖像可得：時的取值范圍為：或．
【小問3詳解】
∵，
∴當時，，
∴，
∵將直線沿軸向下平移4個單位，
∴，直線的解析式為：，設直線與軸交于點H
∴當時，，當時，，
∴，，
∴，
∴，
如圖，過點作，垂足為，
∴．
又，，
．
連接，
∵平移，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴陰影部分面積等于的面積，即．
7.（2024甘肅臨夏）如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點坐標為．
（1）求，的值；
（2）將直線向上平移個單位長度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，若，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小問1詳解】
解：∵點A在反比例函數圖象上，
∴，解得，
將代入，
；
【小問2詳解】
解：如圖，過點C作軸于點F，
，
，，
，
，
，，
∵直線向上平移m個單位長度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
雙曲線過點C，
，
解得或（舍去），
．
【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了一次函數與反比例函數的交點問題，全等三角形的判定和性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的解析式，正確表示點C的坐標是解題的關鍵．
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
1. （2024四川宜賓）如圖，等腰三角形中，，反比例函數的圖象經過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作過作的垂線垂足為，與軸交于點，如圖，
在等腰三角形ABC中，，是中點，
設，，
由中點為，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中點為M，
∴，即，
由在反比例函數上得，
∴，
解得：，
由題可知，，
∴．
故選：B．
2. （2024江西省）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．
（1）點B的坐標為______；
（2）求所在直線的解析式．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】題目主要考查一次函數與反比例函數綜合問題，等腰三角形的性質，熟練掌握一次函數與反比例函數的相應性質是解題關鍵．
（1）過點B作軸，根據等腰直角三角形的性質得出，即可確定點B的坐標；
（2）根據點確定反比例函數解析式，然后即可得出，再由待定系數法確定一次函數解析式即可．
【小問1詳解】
解：過點B作軸于D，如圖所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
由（1）得，代入，
得，
∴，
∵過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，
∴當時，，
∴，
設直線的解析式為，將點B、C代入得：
，解得，
∴直線的解析式為．
3. （2024江蘇蘇州） 如圖，中，，，，，反比例函數的圖象與交于點，與交于點E．
（1）求m，k的值；
（2）點P為反比例函數圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
【答案】（1），
（2）最大值是，此時
【解析】【分析】本題考查了二次函數，反比例函數，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：
（1）先求出B的坐標，然后利用待定系數法求出直線的函數表達式，把D的坐標代入直線的函數表達式求出m，再把D的坐標代入反比例函數表達式求出k即可；
（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質可得出，設點P的坐標為，，則可求出，然后利用二次函數的性質求解即可．
【小問1詳解】
解： ，，
．
又，
．
，
點．
設直線的函數表達式為，
將，代入，得，
解得，
∴直線的函數表達式為．
將點代入，得．
．
將代入，得．
【小問2詳解】
解：延長交y軸于點Q，交于點L．
，，
．
軸，
，．
，
，
，
．
設點P的坐標為，，則，．
．
．
當時，有最大值，此時．
4. （2024山東煙臺）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于點，將正比例函數圖象向下平移個單位后，與反比例函數圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求n的值及的面積．
【答案】（1） （2），
【解析】【分析】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用：
（1）先求出的值，進而求出反比例函數的解析式即可；
（2）根據平移規則，得到平移后的解析式，聯立兩個解析式，表示出的坐標，過點，作軸的平行線交軸于點,根據，進而求出的值，進而根據對稱性得出，勾股定理求得，進而求得的長，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵正比例函數與反比例函數的圖象交于點，
∴，
∴，
∴；
∴；
【小問2詳解】
∵
∴
∴
∴
∵將正比例函數圖象向下平移個單位，
∴平移后的解析式為：，
如圖所示，過點，作軸的平行線交軸于點，則，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
設，則
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（負值舍去）
∴，
∴的解析式為，
當時，，則，
∴，，則
∵直線與關于直線成軸對稱，軸，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
5. （2024江蘇鹽城）小明在草稿紙上畫了某反比例函數在第二象限內的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．
請根據圖中信息，求：
（1）反比例函數表達式；
（2）點C坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本題考查反比例函數、銳角三角函數：
（1）設反比例函數表達式為，將點A的坐標代入表達式求出k值即可；
（2）設點C的坐標為，則，，根據平行線的性質得，進而根據求出m的值即可．
小問1詳解】
解：由圖可知點A的坐標為，
設反比例函數表達式為，
將代入，得：，解得，
因此反比例函數表達式為；
【小問2詳解】
解：如圖，作軸于點E，軸于點D，
由圖可得，，
設點C的坐標為，則，，
，
矩形直尺對邊平行，
，
，
，即，
解得或，
點C在第二象限，
，，
點C坐標為．
考點5. 反比例函數的實際應用
1. （2024吉林省）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．
（2）當電阻R為時，求此時的電流I．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用：
（1）直接利用待定系數法求解即可；
（2）根據（1）所求求出當時I的值即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設這個反比例函數的解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴這個反比例函數的解析式為；
【小問2詳解】
解：在中，當時，，
∴此時的電流I為．
考點1. 反比例函數的圖象與性質
1．已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【解析】∵，k＜0，
∴函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限內，且在每一個象限內y隨x的增大而增大，
又∵點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴點A，B在第二象限內，點C在第四象限內，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．故選：C．
2.若點A（1，1）、B（2，2）是雙曲線上的點，則1 　　 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】＞
【解析】∵比例函數中=3＞0，∴此函數圖象在一、三象限，且在每一象限內隨的增大而減小，∵點A（1，1）、B（2，2）是此雙曲線上的點，2＞1＞0，∴A、B兩點在第一象限，由2＞1，得1＞。
3.若點，在反比例函數的圖象上，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】∵反比例函數，∴圖象經過第二、四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大，
①若點A、點B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式無解；
②若點A在第二象限且點B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知點A在第四象限且點B在第二象限這種情況不可能．
綜上，的取值范圍是．故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵，注意要分情況討論，不要遺漏．
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1．如圖，矩形OABC的面積是4，點B在反比例函數的圖象上．則此反比例函數的解析式為　　．
【答案】y＝．
【解析】設BC＝a，AB＝b，則B點坐標為（﹣a，﹣b），AB BC＝ab＝4，
將點B（﹣a，﹣b）代入y＝中，得k＝xy＝（﹣a）×（﹣b）＝ab＝4，
∴y＝．
2. 如圖，點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，若△OAB的面積為3，則k＝_______．
【答案】6
【解析】設點的坐標為，則，先利用三角形的面積公式可得，再將點代入反比例函數的解析式即可得．
由題意，設點的坐標為，
軸于點，
，
的面積為3，
，
解得，
將點代入得：
【點睛】本題考查了反比例函數的比例系數與幾何面積，熟練掌握反比例函數的幾何應用是解題關鍵．
3. 如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】【分析】設，則，，，根據坐標求得，，推得，即可求得．
【詳解】設，則，，
∵點A在的圖象上
則，
同理∵B，D兩點在的圖象上，
則
故，
又∵，
即，
故，∴，故選：C．
【點睛】考查了反比例函數的性質，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
4. 如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數的圖象經過點C和的中點E，若，則k的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】由正方形的性質得，可設，，根據可求出的值．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∵
∵點為的中點，
∴
設點C的坐標為，則,
∴，
∵點C，E在反比例函數的圖象上，
∴，
解得，，故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數（k為常數，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．
5．已知反比例函數的圖象經過點(2，﹣4)，那么這個反比例函數的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【解析】設解析式y=，代入點(2,-4)求出即可．
設反比例函數解析式為y=，將(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以這個反比例函數解析式為y=-．故選：D．
【點睛】本題主要考查待定系數法求反比例函數解析式，求反比例函數解析式只需要知道其圖像上一點的坐標即可．
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
1. 一次函數與反比例函數在同一坐標系中的大致圖象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】一次函數與y軸交點為（0，1），A選項中一次函數與y軸交于負半軸，故錯誤；
B選項中，根據一次函數y隨x增大而減小可判斷a<0，反比例函數過一、三象限，則-a>0，即a<0，兩者一致，故B選項正確；
C選項中，根據一次函數y隨x增大而增大可判斷a>0，反比例函數過一、三象限，則-a>0，即a<0，兩者矛盾，故C選項錯誤；
D選項中，根據一次函數y隨x增大而減小可判斷a<0，反比例函數過二、四象限，則-a<0，即a>0，兩者矛盾，故D選項錯誤；故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數、反比例函數圖象共存問題，解決此類題目要熟練掌握一次函數、反比例函數圖象與系數的關系．
2. 如圖，函數與函數的圖象相交于點．若，則x的取值范圍
是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】根據圖象可知函數與函數的圖象相交于點M、N，若，即觀察直線圖象在反比例函數圖象之上的x的取值范圍．
如圖所示，直線圖象在反比例函數圖象之上的x的取值范圍為或，
故本題答案為：或．故選：D
【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，能利用數形結合求出不等式的解集是解答此題的關鍵．
3. 如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，將直線y＝x沿y軸向上平移b個單位長度，交y軸于點B，交反比例函數圖象于點C．若OA＝2BC，則b的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解析式聯立，解方程求得的橫坐標，根據定義求得的橫坐標，把橫坐標代入反比例函數的解析式求得的坐標，代入即可求得的值．
直線與反比例函數的圖象交于點，
解求得，的橫坐標為2，如圖，過C點、A點作y軸垂線，
OA//BC，∴，∴，
，∴，∴，解得=1，的橫坐標為1，
把代入得，，，
將直線沿軸向上平移個單位長度，得到直線，
把的坐標代入得，求得，故選：．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合問題，涉及函數的交點、一次函數平移、待定系數法求函數解析式等知識，求得交點坐標是解題的關鍵．
4. 如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點．
（1）求k與m的值；
（2）為x軸上的一動點，當△APB的面積為時，求a的值．
【答案】（1）k的值為，的值為6 （2）或
【解析】
【小問1詳解】
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值為，的值為6．
【小問2詳解】
當時，．
∴．
∵為x軸上的一動點，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解反比例函數與一次函數的解析式，坐標與圖形面積，利用數形結合的思想，建立方程都是解本題的關鍵．
5. 如圖，反比例函數的圖像經過點和點，點在點的下方，平分，交軸于點．
（1）求反比例函數的表達式．
（2）請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點，連接．求證：．
【答案】（1） （2）圖見解析部分 （3）證明見解析
【解析】（1）∵反比例函數的圖像經過點，
∴當時，，
∴，
∴反比例函數的表達式為：；
（2）如圖，直線即為所作；
（3）證明：如圖，
∵直線是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了作圖—基本作圖，用待定系數法求反比例函數的解析式，垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，角平分線的定義等知識． 解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
1．如圖是反比例函數y＝的圖象，點A（x，y）是反比例函數圖象上任意一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，則△AOB的面積是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A為反比例函數y＝圖象上一點，
∴xy＝1，
∴S△ABO＝AB OB＝xy＝1＝，故選：B
2．如圖，正比例函數y＝x的圖象與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，a）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點C坐標為（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直線的解析式．
【答案】見解析。
【解析】(1)先求得A的坐標，然后根據待定系數法即可求得k的值；
（2）作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,通過證得△BCE≌△CAD，求得B(﹣3,3),然后根據待定系數法即可求得直線AB的解析式．
解：（1）∵正比例函數y＝x的圖象經過點A（1，a），
∴a＝1,
∴A(1,1),
∵點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，
∴k＝1×1＝1；
(2)作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,
∵A(1,1),C(﹣2,0),
∴AD＝1,CD＝3,
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°,
∵∠ACD+∠CAD＝90°,
∴∠BCE＝∠CAD,
在△BCE和△CAD中，
,
∴△BCE≌△CAD(AAS),
∴CE＝AD＝1,BE＝CD＝3,
∴B(﹣3,3),
設直線AB的解析式為y＝mx+n,
∴,解得,
∴直線AB的解析式為y＝﹣+．
考點5. 反比例函數的實際應用
1．公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，即：阻力×阻力臂=動力×動力臂. 小偉欲用撬根撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，則動力（單位：）關于動力臂l（單位：）的函數解析式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據所給公式列式，整理即可得答案.
∵阻力×阻力臂=動力×動力臂．小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，∴動力(單位：)關于動力臂(單位：)的函數解析式為：
，則．
【點睛】本題考查了反比例函數的應用，弄清題意，正確分析各量間的關系是解題的關鍵.
2. 密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積是反比例函數關系，它的圖像如圖所示．
（1）求密度關于體積的函數解析式；
（2）當時，求該氣體的密度．
【答案】（1） （2）1
【解析】【分析】（1）用待定系數法即可完成；
（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得該氣體的密度．
【小問1詳解】
設密度關于體積的函數解析式為，
把點A的坐標代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
【小問2詳解】
當時，（）．
即此時該氣體的密度為1．
【點睛】本題是反比例函數的應用問題，考查了求反比例函數的解析式及求反比例函數的函數值等知識，由圖像求得反比例函數解析式是關鍵．
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第三章 函數
3.3 反比例函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數的圖象與性質 ☆☆ 數學中考中，有關反比例函數的部分屬于中考必考內容，每年考查1~2道題,分值為3~12分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。對于這部分內容的復習需要學生熟練掌握考點分布的5個考點知識內容，掌握每個考點解題要領，形成解題規律，這樣在中考時才能快速高效解決問題。比如考點3：若在選擇題出現，一般3分，在解答題里出現則8—12分，考查知識綜合性強，要用到數形思想，所以要加強該類型題訓練。
考點2 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義） ☆☆☆
考點3 一次函數與反比例函數的綜合問題 ☆☆☆
考點4 反比例函數與幾何圖形結合 ☆☆☆
考點5 反比例函數的實際應用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 反比例函數的圖象與性質
1. 反比例函數定義
一般的，形如______(是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數。其它表示形式：或。
因為x≠0，k≠0，相應地y值也不能為0，所以反比例函數的圖象無限接近x軸和y軸，但與x軸.y軸永不相交 ．
2. 反比例函數的圖象及其性質
反比例函數y＝(k為常數，k≠0)的圖象總是關于原點成_______的，它的位置和性質受k的符號的影響.
y＝ (k為常數，k≠0) k>0 k<0
圖　象
所在象限 一.三(x，y同號) 二.四(x，y異號)
性　質 在每個象限內，y隨x的增大而減小 在每個象限內，y隨x的增大而增大
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1. 求反比例函數的解析式方法
待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟
（1）設反比例函數解析式為（k≠0）；
（2）把反比例函數圖像上已知一點的一對x，y的值代入_______，得到一個關于待定系數k的方程；
（3）解這個方程求出_______；
（4）將所求得的待定系數k的______代回所設的函數解析式即可．
2. 反比例函數的k的幾何意義
由y＝(k≠0)的圖象上任意一點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形的面積為______.
如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.
【易錯點提示】已知相關面積，求反比例函數的表達式，注意若函數圖象在第二、四象限，則k＜0.
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
1. 反比例函數與一次函數的綜合問題基礎分析
（1）涉及自變量取值范圍型
當一次函數與反比例函數相交時，聯立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐．針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數的圖象高于反比例函數圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．
（2）求一次函數與反比例函數的交點坐標
1）從圖象上看，一次函數與反比例函數的交點由k值的_____來決定.
①k值同號，兩個函數必有兩個交點；②k值異號，兩個函數可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；
2）從計算上看，一次函數與反比例函數的交點主要取決于兩函數所組成的______的解的情況．
2. 反比例函數與一次函數的綜合問題命題思想分析
一次函數和反比例函數是全國各省市中考的熱點內容，也是中考的必考內容.每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。
（1）一次函數和反比例函數的圖象和性質是考查的基礎，也是高頻考點、必考點，所以對一次函數和反比例函數的圖象和性質必須理解熟記.
（2）這個考點多數省市在解答大題里出現，難度屬于中等偏上，分值8—10分左右。
（3）運用綜合知識解題，所以希望畢業班學生結合下面常出現考題類型復習相關知識點，各個擊破。
類型1.一次函數與反比例函數中由面積求點坐標
類型2.一次函數與反比例函數中求線段和的最小值問題
類型3.一次函數和反比例函數與不等式綜合問題
類型4.一次函數和反比例函數中求三角形面積問題
類型5.一次函數和反比例函數中求證問題
類型6.一次函數和反比例函數中求線段長問題
類型7.利用反比例函數的圖象和性質探究平移問題
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
解反比例函數與幾何圖形的綜合題，一般先設出幾何圖形中的未知數，然后結合函數的圖像用含未知數的式子表示出幾何圖形與圖像的交點坐標，再由函數解析式及幾何圖形的性質寫出含未知數及待求字母系數的解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數解析式中待定字母的值.
這類型的題目主要包括：
類型1. 反比例函數與三角形的綜合問題
類型2.反比例函數與平行四邊形的綜合問題
類型3.反比例函數與矩形的綜合問題
類型4.反比例函數與菱形的綜合問題
類型5.反比例函數與正方形形的綜合問題
類型6.反比例函數與圓的綜合問題
考點5. 反比例函數的實際應用
反比例函數在工程問題、運動問題、化學等領域都有廣泛應用。在物理學中也有重要應用。
解答反比例函數實際應用問題基本步驟：
（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；
（2設出函數表達式；
（3）依題意求解函數表達式；
（4）根據反比例函數的表達式或性質解決相關問題.
【易錯點提示】反比例函數的實際應用需要注意的地方
解決反比例函數的實際問題時，先確定______，再利用_________找出解決問題的方案，特別注意______的取值范圍。實際問題中的兩個變量往往都只能取_____值；作實際問題中的函數圖像時，橫、縱坐標的單位長度______相同。
考點1. 反比例函數的圖象與性質
【例題1】（2024福建省）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．
【變式練1】（2023阜新一模）已知反比例函數y＝（k≠0）的圖象經過點（﹣2，4），那么該反比例函數圖象也一定經過點（　　）
A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
【變式練2】（2024陜西一模）已知反比例函數，下列說法不正確的是（　　）
A．圖象經過點（﹣3，2）
B．圖象分別位于第二、四象限內
C．在每個象限內y的值隨x的值增大而增大
D．x≥﹣1時，y≥6
【變式練3】（2024內蒙古呼和浩特一模）點、在反比例函數的圖象上，若，則的取值范圍是______．
【變式練4】（2024西藏一模）反比例函數經過點，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．函數圖象分布在第一、三象限
C．當時，隨的增大而增大 D．當時，隨的增大而減小
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
【例題2】（2024深圳）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為菱形，，且點A落在反比例函數上，點B落在反比例函數上，則________．
【變式練1】（2024福建一模）已知反比例函數的圖象經過點(2，﹣4)，那么這個反比例函數的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【變式練2】（2024青島一模）反比例函數y＝的圖象經過點A（m，），則反比例函數的表達
式為　　 ．
【變式練3】（2024深圳一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象經過頂點D，分別與對角線AC，邊BC交于點E，F，連接EF，AF．若點E為AC的中點，△AEF的面積為1，則k的值為（　　）
A． B． C．2 D．3
【變式練4】（2024大連一模）如圖，直線AB與反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，且AB＝BC，連接OA．已知△OAC的面積為12，則k的值為 　　．
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
【例題3】（2024山東威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍______．
【變式練1】（2024山東濱州一模）在同一平面直角坐標系中，函數與 （k為常數且）的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【變式練2】（2024湖南益陽一模）如圖，已知點A是一次函數y＝2x﹣4的圖象與x軸的交點，將點A向上平移2個單位后所得點B在某反比例函數圖象上．
（1）求點A的坐標；
（2）確定該反比例函數的表達式．
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
【例題4】（2024江蘇蘇州）如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024黑龍江齊齊哈爾一模）如圖，點A是反比例函數圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點D，且點D為線段AB的中點．若點C為x軸上任意一點，且△ABC的面積為4，則k=_______．
【變式練2】（2024山西一模）如圖，平行四邊形的頂點在軸的正半軸上，點在對角線上，反比例函數的圖像經過、兩點．已知平行四邊形的面積是，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
考點5. 反比例函數的實際應用
【例題5】（2024河北省）節能環保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若x減小，則y也減小 D. 若x減小一半，則y增大一倍
【變式練1】（2024湖北宜昌一模）已知經過閉合電路的電流（單位：）與電路的電阻（單位：）是反比例函數關系．根據下表判斷和的大小關系為（ ）
5 … … … … … 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
A. B. C. D.
【變式練2】 （2024山西一模）根據物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數，其函數圖象如圖所示，當時，該物體承受的壓強p的值為_________ Pa．
考點1. 反比例函數的圖象與性質
1. （2024廣西）已知點，在反比例函數的圖象上，若，則
有（ ）
A. B. C. D.
2.（2024廣州） 如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：
①；
②的面積等于四邊形的面積；
③的最小值是；
④．
其中正確的結論有______．（填寫所有正確結論的序號）
3. （2024貴州省）已知點在反比例函數的圖象上．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）點，，都在反比例函數的圖象上，比較a，b，c的大小，并說明理由．
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1. （2024湖南省）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即（k為常數．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．
2. （2024江蘇連云港）杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動力為，動力臂為．則動力關于動力臂的函數表達式為__________．
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，反比例函數的圖象經過平行四邊形的頂點，在軸上，若點，，則實數的值為______．
4. （2024江蘇揚州）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在反比例函數的圖像上，軸于點C，，將沿翻折，若點C的對應點D落在該反比例函數的圖像上，則k的值為_____．
5. （2024黑龍江綏化）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數的圖象相交于點，且，則______．
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
1. （2024黑龍江大慶）在同一平面直角坐標系中，函數與的大致圖象
為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024山東棗莊）列表法、表達式法、圖像法是三種表示函數的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數值之間的對應關系．下表是函數與部分自變量與函數值的對應關系：
1
1 ________
________ ________ 7
（1）求、的值，并補全表格；
（2）結合表格，當的圖像在的圖像上方時，直接寫出的取值范圍．
3. （2024湖北省）一次函數經過點，交反比例函數于點．
（1）求；
（2）點在反比例函數第一象限的圖象上，若，直接寫出的橫坐標的取值范圍．
4. （2024四川巴中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點，點的橫坐標為1．
（1）求的值及點的坐標．
（2）點是線段上一點，點在直線上運動，當時，求的最小值．
5.（2024甘肅威武） 如圖，在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移3個單位長度，得到一次函數的圖象，與反比例函數的圖象交于點．過點作x軸的平行線分別交與的圖象于C，D兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）連接，求的面積．
6. （2024江蘇連云港）如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標為2．
（1）求的值；
（2）利用圖像直接寫出時的取值范圍；
（3）如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．
7.（2024甘肅臨夏）如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點坐標為．
（1）求，的值；
（2）將直線向上平移個單位長度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，若，求的值．
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
1. （2024四川宜賓）如圖，等腰三角形中，，反比例函數的圖象經過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江西省）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．
（1）點B的坐標為______；
（2）求所在直線的解析式．
3. （2024江蘇蘇州） 如圖，中，，，，，反比例函數的圖象與交于點，與交于點E．
（1）求m，k的值；
（2）點P為反比例函數圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
4. （2024山東煙臺）如圖，正比例函數與反比例函數的圖象交于點，將正比例函數圖象向下平移個單位后，與反比例函數圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求n的值及的面積．
5. （2024江蘇鹽城）小明在草稿紙上畫了某反比例函數在第二象限內的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．
請根據圖中信息，求：
（1）反比例函數表達式；
（2）點C坐標．
考點5. 反比例函數的實際應用
1. （2024吉林省）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．
（2）當電阻R為時，求此時的電流I．
考點1. 反比例函數的圖象與性質
1．已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
2.若點A（1，1）、B（2，2）是雙曲線上的點，則1 　　 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
3.若點，在反比例函數的圖象上，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
考點2. 反比例函數解析式的確定（含k的幾何意義）
1．如圖，矩形OABC的面積是4，點B在反比例函數的圖象上．則此反比例函數的解析式為　　．
2. 如圖，點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，若△OAB的面積為3，則k＝_______．
3. 如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數的圖象經過點C和的中點E，若，則k的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5．已知反比例函數的圖象經過點(2，﹣4)，那么這個反比例函數的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
考點3. 一次函數與反比例函數的綜合問題
1. 一次函數與反比例函數在同一坐標系中的大致圖象是（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖，函數與函數的圖象相交于點．若，則x的取值范圍是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3. 如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，將直線y＝x沿y軸向上平移b個單位長度，交y軸于點B，交反比例函數圖象于點C．若OA＝2BC，則b的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點．
（1）求k與m的值；
（2）為x軸上的一動點，當△APB的面積為時，求a的值．
5. 如圖，反比例函數的圖像經過點和點，點在點的下方，平分，交軸于點．
（1）求反比例函數的表達式．
（2）請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點，連接．求證：．
考點4. 反比例函數與幾何圖形結合
1．如圖是反比例函數y＝的圖象，點A（x，y）是反比例函數圖象上任意一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，則△AOB的面積是（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．如圖，正比例函數y＝x的圖象與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，a）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點C坐標為（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直線的解析式．
考點5. 反比例函數的實際應用
1．公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，即：阻力×阻力臂=動力×動力臂. 小偉欲用撬根撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，則動力（單位：）關于動力臂l（單位：）的函數解析式正確的是（ ）
A． B． C． D．
2. 密閉容器內有一定質量的氣體，當容器的體積（單位：）變化時，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積是反比例函數關系，它的圖像如圖所示．
（1）求密度關于體積的函數解析式；
（2）當時，求該氣體的密度．
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