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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第三章 函數
3.4 二次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的圖象與性質 ☆☆☆ 數學中考中，有關二次函數的部分是每年全國各省市必考內容，也是中考數學難點，每年壓軸題之一必定有二次函數綜合題。每年考查1~3道題,分值為3~15分，通常以選擇題、 填空題、解答題的形式考查。對于二次函數的復習需要學生熟練掌握二次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與a,b,c之間的關系、二次函數與方程、不等式之間的關系。
考點2 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系 ☆☆☆
考點3 二次函數與方程、不等式之間的關系 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 二次函數的圖象與性質
1. 二次函數的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2. 二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
【注意】求二次函數解析式的一般方法：
（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三個點的坐標列出關于a, b, c的方程組，并求出a, b, c，就可以寫出二次函數的解析式.
（2）頂點式y=a(x-h)2+k.根據頂坐標點（h,k)，可設頂點式y=a(x-h)2+k,再將另一點的坐標代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數的解析式.
（3）交點式y=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與x軸的兩個交點為(x1,0)、(x2,0)時，可設y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數的解析式.
3. 二次函數的圖象及性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點 （–，）
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= 當x=–時，y最大值=
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大 當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小
4. 拋物線的平移
二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
【注意】二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
【提示】二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的常見結論
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
（1）二次函數與一元二次方程的關系
（2）二次函數與不等式的關系（拓展）
【易錯點提示】對二次函數與一元二次方程關系密切這句話的理解．
舉例說明：已知二次函數y =－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反過來，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函數 y = x2－4x+3 的值為0，求自變量x的值．
考點1. 二次函數的圖象與性質
【例題1】（2024福建省）已知二次函數的圖象經過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A. 可以找到一個實數，使得 B. 無論實數取什么值，都有
C. 可以找到一個實數，使得 D. 無論實數取什么值，都有
【答案】C
【解析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據題意得到二次函數開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，， 的大小情況，即可解題．
【詳解】二次函數解析式為，
二次函數開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，
當時，，
當時，，
，
當時，，
，
故A、B錯誤，不符合題意；
當時，，
由二次函數對稱性可知，，
當時，，由二次函數對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；
故選：C．
【變式練1】（2024北京一模）下列關于二次函數的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大 D．圖象的頂點坐標是
【答案】D
【解析】由二次函數解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標，與軸的交點個數，由此解答即可．
A、，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、 ，
，
即圖象與軸有兩個交點，
故此選項不符合題意；
C、拋物線開口向上，對稱軸為直線，
當時，隨增大而減小，
故此選項不符合題意；
D、 ，
圖象的頂點坐標是，
故此選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象性質，解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．
【變式練2】（2024哈爾濱一模）已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】根據對稱軸公式可判斷①；當時，，可判斷②；根據拋物線的增減性，分兩種情況計算可判斷③；利用對稱點的坐標得到，可以判斷④．
∵拋物線（a是常數，，
∴，
故①正確；
當時，，
∴點在拋物線上，
故②正確；
當時，，
當時，，
故③錯誤；
根據對稱點的坐標得到，
，
故④錯誤．故選B．
【點睛】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
【例題2】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，二次函數的圖象與軸交于，，其中．結合圖象給出下列結論：
①；②；
③當時，隨的增大而減小；
④關于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結論的個數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據二次函數的圖象與性質判斷結論①②③正誤；由二次函數與一元二次方程的關系判斷結論④；利用結論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯誤；
由圖得，圖象經過點，將代入可得，
，②正確；
該函數圖象與軸的另一個交點為，且，
對稱軸，
該圖象中，當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大，
當時，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關于一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個．故選：．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數的圖象與性質、拋物線與軸的交點問題、一元二次方程的根與系數的關系、二次函數與不等式的關系等知識，解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質．
【變式練1】（2024陜西一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱
軸為直線x＝﹣1，下列四個結論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．
其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解析】①∵二次函數圖象的開口向上，
∴a＞0，
∵二次函數圖象的頂點在第三象限，
∴，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函數圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故結論①正確；
②對于y＝ax2+bx+c，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c，
∴點（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函數的圖象上，
又∵二次函數的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（1，0），
∴二次函數的圖象與x軸的另一個交點為（﹣3，0），
∴點（﹣2，4a﹣2b+c）在x軸下方的拋物線上，
∴4a﹣2b+c＜0，故結論②正確；
③∵二次函數的圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（1，0），（﹣3，0），
∴，消去b得：3a+c＝0，故結論③正確；
④∵二次函數圖象的開口向上，與x軸的兩個交點坐標分別為（1，0），（﹣3，0）
∴當﹣3＜x＜1時，二次函數圖象的在x軸的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故結論④正確．
綜上所述：結論①②③④正確．故選：D．
【變式練2】（2024貴州一模）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經過點A（2，1）；有以下結論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1時，y隨x的增大而減小；⑤對于任意實數t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
【答案】D
【解析】①由拋物線的開口方向向下，
則a＜0，故①正確；
②∵拋物線的頂點為P（1，m），
∴﹣＝1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②錯誤；
③∵拋物線經過點A（2，1），
∴1＝a 22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③錯誤；
④∵拋物線的頂點為P（1，m），且開口方向向下，
∴x＞1時，y隨x的增大而減小，即④正確；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，則⑤正確故選：D．
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
【例題3】（2024四川成都市）在平面直角坐標系中，，，是二次函數圖象上三點．若，，則______（填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】本題考查二次函數的性質、不等式的性質以及解不等式組，熟練掌握二次函數的性質是解答的關鍵．先求得二次函數的對稱軸，再根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且離對稱軸最遠，離對稱軸最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得．
【變式練1】（2024福州一模）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝　　．
【答案】9．
【解析】∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
【變式練2】（2024貴陽一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解析】∵y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關于y軸對稱，
∴直線y＝﹣kx+m與拋物線y＝ax2+c的交點A′、B′與點A、B也關于y軸對稱，
如圖所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），
根據函數圖象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故選：D．
【變式練3】（2024山東青島一模）二次函數y＝ax2+c的圖象與直線y＝kx+b（k＞0）交于點M（﹣2，m）、N（1，n）兩點（mn＜0），則關于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集為 　 　．
【答案】﹣1＜x＜2．
【解析】由題意，可大致畫出函數圖象如下，
則直線y＝kx+b關于y軸對稱的直線為y＝﹣kx+b，
根據圖形的對稱性，設點M、N關于y軸的對稱點分別為點C、D，
則點C、D的橫坐標分別為﹣1，2，
觀察函數圖象ax2+c＞﹣kx+b的解集為﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集為﹣1＜x＜2．
考點1. 二次函數的圖象與性質
1. （2024四川涼山）拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查二次函數圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據二次函數的圖象與性質可進行求解．
【詳解】由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，
該二次函數上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠，
∴；故選：D．
2. （2024四川瀘州）已知二次函數（x是自變量）的圖象經過第一、二、四象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了二次函數圖象與性質．利用二次函數的性質，拋物線與軸有2個交點，開口向上，而且與軸的交點不在負半軸上，然后解不等式組即可．
【詳解】二次函數圖象經過第一、二、四象限，
設拋物線與軸兩個交點的橫坐標分別為，由題意可得
解得．故選：A．
3. （2024廣州）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了二次函數以及反比例函數的圖象和性質，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；位于在一、三象限內，且均隨著的增大而減小，據此即可得到答案．
由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；
位于一、三象限內，且在每一象限內均隨著的增大而減小，
當時，，均隨著的增大而減小，故選：D．
4. （2024陜西省）已知一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（ 　　 ）
A. 圖象的開口向上 B. 當時，y的值隨x的值增大而增大
C. 圖象經過第二、三、四象限 D. 圖象的對稱軸是直線
【答案】D
【解析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質．先利用待定系數法求得二次函數解析式，再根據二次函數的性質逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；
當時，y值隨x的值增大而增大，當時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；
∵頂點坐標為且經過原點，圖象的開口向下，
∴圖象經過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；故選：D．
5. （2024江蘇蘇州）二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為______．
【答案】##
【解析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，把A、B、D的坐標代入，求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關系，即可求解．
【詳解】把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴．
6. （2024貴州省）如圖，二次函數的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）
A. 二次函數圖象的對稱軸是直線
B. 二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C. 當時，y隨x的增大而減小
D. 二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
【答案】D
【解析】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，利用二次函數的性質，對稱性，增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數法求出二次函數的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可判定選項D．
∵二次函數的頂點坐標為，
∴二次函數圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；
∵二次函數的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，對稱軸是直線，
∴二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；
∵拋物線開口向下， 對稱軸是直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；
設二次函數解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當時，，
∴二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，故選D．
7. （2024內蒙古赤峰）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．
【詳解】如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，
四邊形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
點、的橫坐標分別為、，
，．
，，，
設，則，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
點、在軸的同側，且點在點的右側，
．
．
故選：B．
8. （2024山東煙臺）已知二次函數的與的部分對應值如下表：
下列結論：；關于的一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結論的序號為______．
【答案】
【解析】本題考查了二次函數的圖象和性質， 利用待定系數法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數的性質可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數圖形可判斷；掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正確；
∵，，，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，故正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線的頂點坐標為，
又∵，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當時，函數取最大值，
∵與時函數值相等，等于，
∴當時， 的取值范圍為，故錯誤；
∵，
∴點，關于對稱軸對稱，
∴，故正確；
由得，
即，
畫函數和圖象如下：
由，解得，，
∴，，
由圖形可得，當或時，，即，故錯誤；
綜上，正確的結論為．
9. （2024廣西）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數的最值問題展開探究．
【經典回顧】二次函數求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數的最小值．
①請你寫出對應的函數解析式；
②求當x取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值．記錄結果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*為②的計算結果．
【探究發現】老師：“請同學們結合學過函數知識，觀察表格，談談你的發現．”
甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y的最小值．”
乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請結合函數解析式，解釋甲同學的說法是否合理？
（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．
【答案】（1）①；②當時，有最小值為（2）見解析（3）正確，
【解析】【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵：
（1）①把代入解析式，寫出函數解析式即可；②將一般式轉化為頂點式，進行求解即可；
（2）將一般式轉化為頂點式，根據二次函數的性質進行解釋即可；
（3）將一般式轉化為頂點式，表示出的最大值，再利用二次函數求最值即可．
【詳解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴當時，有最小值為；
（2）∵，
∵拋物線的開口向上，
∴當時，有最小值；
∴甲的說法合理；
（3）正確；
∵，
∴當時，有最小值為，
即：，
∴當時，有最大值，為．
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
1. 拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了二次函數的性質，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為，依題意，，根據題意拋物線開口向下，當時，，即可判斷A選項，根據對稱軸即可判斷B選項，根據一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據此，即可求解．
【詳解】解：依題意，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為
依題意，
∵，拋物線開口向下，
∴當時，，即
∴，故A選項正確，符合題意；
若對稱軸為，即，
而，不能得出對稱軸為直線，
故B選項不正確，不符合題意；
∵拋物線與坐標軸有2個交點，
∴方程有兩個不等實數解，即，又
∴，故C選項錯誤，不符合題意；
無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．
2. （2024黑龍江綏化）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結論中：
① ②（m為任意實數） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結論有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數值最大，即可判斷②，根據時，，即可判斷③，根據對稱性可得即可判段④，即可求解．
【詳解】∵二次函數圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當時，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實數）
即，故②正確；
∵時，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個點，
∴關于對稱，
∴即故④不正確
正確的有②③ 故選：B
3. （2024武漢市）拋物線（a，b，c常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：
①；
②若，則；
③若，則關于x的一元二次方程 無實數解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是__________（填寫序號）．
【答案】②③④
【解析】本題考查了二次函數性質，根據題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據拋物線經過得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．
【詳解】解：∵（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．
∴對稱軸為直線， ，
∵，
∴，故①錯誤，
∵
∴，即，兩點之間距離大于
又∵
∴時，
∴若，則，故②正確；
③由①可得，
∴，即，
當時，拋物線解析式為
設頂點縱坐標為
∵拋物線（a，b，c是常數，）經過，
∴
∴
∴
∵，，對稱軸為直線，
∴當時，取得最大值為，而，
∴關于x的一元二次方程 無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上， ，，總有，
又，
∴點離較遠，
∴對稱軸
解得：，故④正確．
故答案為：②③④．
4. （2024湖北省）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了二次函數的性質以及二次函數圖像與系數的關系．根據二次函數的解析式結合二次函數的性質，畫出草圖，逐一分析即可得出結論．
【詳解】根據題意畫出函數的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點位于軸上方，
∴，，
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
∵拋物線的頂點為，
∴，
觀察四個選項，選項C符合題意，故選：C．
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
1. （2024福建省）如圖，已知二次函數的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．
（1）求二次函數的表達式；
（2）若是二次函數圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．
【答案】（1） （2）
【解析】本題考查二次函數表達式、二次函數的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等.
（1）根據待定系數法求解即可；
（2）設，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標．
【小問1詳解】
解：將代入，
得，
解得，
所以，二次函數的表達式為．
【小問2詳解】
設，因為點在第二象限，所以．
依題意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以點坐標為．
2. （2024湖北省）如圖1，二次函數交軸于和，交軸于．
（1）求的值．
（2）為函數圖象上一點，滿足，求點的橫坐標．
（3）如圖2，將二次函數沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點，記，記頂點橫坐標為．
①求與的函數解析式．
②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計邊界）記為，若隨增加而增加，且內恰有2個橫坐標與縱坐標均為整數的點，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）①；②的取值范圍為或．
【解析】【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先求得，，作軸于點，設，分當點在軸上方和點在軸下方時，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質，列式求解即可；
（3）①利用平移的性質得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點的坐標，據此列式計算即可求解；
②先求得或，中含，，三個整數點（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．
【小問1詳解】
解：∵二次函數交軸于，
∴，
解得；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
令，則，
解得或，
令，則，
∴，，，
作軸于點，
設，
當點在軸上方時，如圖，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
當點在軸下方時，如圖，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
∴或；
【小問3詳解】
解：①∵將二次函數沿水平方向平移，
∴縱坐標不變是4，
∴圖象的解析式為，
∴，
∴，
由題意知：C、D不重合，則，
∴；
②由①得，
則函數圖象如圖，
∵隨增加而增加，
∴或，中含，，三個整數點（不含邊界），
當內恰有2個整數點，時，
當時，，當時，，
∴，
∴，或，
∴；
∵或，
∴；
當內恰有2個整數點，時，
當時，，當時，，
∴，
∴或，，
∴；
∵或，
∴；
當內恰有2個整數點，時，
此情況不存在，舍去，
綜上，的取值范圍為或．
【點睛】主要考查了用待定系數法求二次函數的表達式及二次函數與線段的交點問題，也考查了二次函數與不等式，相似三角形的判定和性質．熟練掌握二次函數圖象的性質及數形結合法是解題的關鍵．
考點1. 二次函數的圖象與性質
1.關于二次函數，下列說法正確的是（　　）
A．圖象的對稱軸在y軸的右側
B．圖象與y軸的交點坐標為
C．圖象與x軸的交點坐標為和
D．y的最小值為
【答案】D
【解析】把二次函數的解析式化成頂點式和交點式，再利用二次函數的性質就可以判斷各個選項中的結論是否正確，從而可以解答本題．
∵二次函數，
∴該函數的對稱軸是直線，在y軸的左側，故選項A錯誤；
當時，，即該函數與y軸交于點，故選項B錯誤；
當時，或，即圖象與x軸的交點坐標為和，故選項C錯誤；
當時，該函數取得最小值，故選項D正確．故選：D
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，把二次函數解析式化為頂點式和交點式是解題的關鍵．
2. 已知拋物線過點，其中，以下結論正確的
是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【解析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線，從而可得點B為頂點，由拋物線開口向上可判斷A，B選項，由點到對稱軸的距離與函數值的關系可判斷C，D；
∵，
∴拋物線對稱軸為直線，頂點為，
∵，
∴為拋物線頂點，，
當時，拋物線開口向上，為函數最小值，
∴選項A，B錯誤．
若，則拋物線開口向下，距離對稱軸越近的點的縱坐標越大，
∴選項C錯誤，選項D正確．
故選：D．
【點睛】本題考察二次函數的圖象與性質，開口向下時，圖象上的點離頂點越遠，即橫坐標到對稱軸的距離越大時，點的縱坐標就越小
3. 若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】觀察拋物線和拋物線可以發現，它們通過平移得到，故點通過相同的平移落在拋物線上，從而得到結論．
∵拋物線是拋物線（）向左平移1個單位長度得到
∴拋物線上點向左平移1個單位長度后，會在拋物線上
∴點在拋物線上
故選：D
【點睛】本題考查函數圖象與點的平移，通過函數解析式得到平移方式是解題的關鍵．
4. 在平面直角坐標系中，將拋物線先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是 ．
【答案】
【解析】先把拋物線配方為頂點式，求出定點坐標，求出旋轉后的拋物線，再根據“上加下減，左加右減”的法則進行解答即可．
∵，
∴拋物線的頂點為（-1，-2），
將拋物線先繞原點旋轉180°拋物線頂點為（1，2），
旋轉后的拋物線為，
再向下平移5個單位，即．
∴新拋物線的頂點（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【點睛】本題考查的是拋物線的圖象與幾何變換，熟知函數圖象旋轉與平移的法則是解答此題的關鍵．
5. 點，在拋物線上，存在正數，使得且時，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】根據函數解析式求出對稱軸，根據關于拋物線的軸對稱性質求出，取值范圍，再根據不等關系列不等式求解即可得到答案；
由題意可得，
拋物線對稱軸為直線，
根據二次函數對稱性可得，當時，
當，，
即，
∵存在正數m，使得且時，都有，
∴或，
解得：或，
故選C．
【點睛】本題考查拋物線的軸對稱性及對稱軸公式，解題的關鍵是根據拋物線的對稱性，利用數形結合思想解題．
6. 對于二次函數，已知，當時，有下列說法：
①若y的最大值為，則；
②若y的最小值為，則；
③若，則y的最大值為．
則上達說法（　　）
A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確
【答案】C
【解析】二次函數圖象的對稱軸為直線，
∵，
∴拋物線開口向下，
因為，所以當時，函數單調遞增，
若y的最大值為，則，解得或（舍去），故①錯誤；
若y的最小值為，則，解得或，此時不存在m，故②錯誤；
若，則，所以y的最大值為，故③正確，
故選C．
【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質、二次函數最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
7. 已知二次函數的圖象經過點（-1，-5），（0，-4）和（1，1），則這二次函數的表達式為（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【解析】設所求函數的解析式為y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分別代入，
得：解得
所求的函數的解析式為y=2x2+3x-4．
8. 一個二次函數的圖象的頂點坐標為，與軸的交點，這個二次函數的解析式
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于已知頂點坐標，則可設頂點式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到拋物線解析式．
設拋物線解析式為y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a （﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
9．求經過A(1，4)，B(﹣2，1)兩點，對稱軸為x=﹣1的拋物線的解析式______．
【答案】
【解析】此題考查了待定系數法求二次函數解析式，在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
根據對稱軸解析式，設拋物線頂點式解析式，然后把點A、B的坐標代入解析式，利用待定系數法求函數解析式求解即可．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+k，
∵拋物線經過A（1，4），B（-2，1）兩點，
∴
解得
∴這個拋物線的解析式為y=（x+1）2，即y=x2+2x+1．
10. 已知函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關于x的方程ax2+bx+c+3/2=0的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．有兩個相等實數根
C．有兩個異號實數根 D．有兩個同號不等實數根
【答案】D
【解析】利用函數圖象平移即可求解．
函數y＝ax2+bx+c向上平移3/2個單位得到y′＝ax2+bx+c+3/2，
而y′頂點的縱坐標為﹣2+3/2=-1/2，
故y′＝ax2+bx+c+3/2與x軸有兩個交點，且兩個交點在x軸的右側，
故ax2+bx+c+3/2=0有兩個同號不相等的實數根．
【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，用平移的方法求解是此類題目的基本解法．
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
1. 已知拋物線（a，b，c是常數，）經過點，有下列結論：
①；
②當時，y隨x的增大而增大；
③關于x的方程有兩個不相等的實數根．
其中，正確結論的個數是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由題意可知：，，，
，
，即，得出，故①正確；
，
對稱軸，
，
時，隨的增大而減小，時，隨的增大而增大，故②不正確；
，
關于x的方程有兩個不相等的實數根，故③正確．
【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質及一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質并能應用求解．
2. 如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1．給出下列結論：
①ac＜0； ②b2﹣4ac＞0； ③2a﹣b＝0； ④a﹣b+c＝0．
其中，正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】根據拋物線的開口方向、對稱軸、與x軸、y軸的交點，綜合進行判斷即可．
拋物線開口向下，a＜0，對稱軸為x1，因此b＞0，與y軸交于正半軸，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正確；
由x1，得2a+b＝0，因此③不正確，
拋物線與x軸有兩個不同交點，因此b2﹣4ac＞0，②正確，
由對稱軸x＝1，拋物線與x 軸的一個交點為（3，0），對稱性可知另一個交點為（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正確，
綜上所述，正確的結論有①②④。
3．如圖，現要在拋物線y＝x（4﹣x）上找點P（a，b），針對b的不同取值，所找點P的個數，三人的說法如下，
甲：若b＝5，則點P的個數為0；
乙：若b＝4，則點P的個數為1；
丙：若b＝3，則點P的個數為1．
下列判斷正確的是（　　）
A．乙錯，丙對 B．甲和乙都錯 C．乙對，丙錯 D．甲錯，丙對
【答案】C
【解析】求出拋物線的頂點坐標為（2，4），由二次函數的性質對甲、乙、丙三人的說法分別進行判斷，即可得出結論．
y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴拋物線的頂點坐標為（2，4），
∴在拋物線上的點P的縱坐標最大為4，
∴甲、乙的說法正確；
若b＝3，則拋物線上縱坐標為3的點有2個，
∴丙的說法不正確.
4. 如圖，是二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正確的命題是　 　．（只要求填寫正確命題的序號）
【答案】①③．
【解析】由圖象可知過（1，0），代入得到a+b+c=0；根據﹣=﹣1，推出b=2a；根據圖象關于對稱軸對稱，得出與X軸的交點是（﹣3，0），（1，0）；由a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，根據結論判斷即可．
由圖象可知：過（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正確；
﹣=﹣1，
∴b=2a，∴②錯誤；
根據圖象關于對稱軸對稱，
與X軸的交點是（﹣3，0），（1，0），∴③正確；
∵a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，∴④錯誤．
故答案為：①③．
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
1. 一元二次方程根的情況是（ ）
A. 有一個正根，一個負根 B. 有兩個正根，且有一根大于9小于12
C. 有兩個正根，且都小于12 D. 有兩個正根，且有一根大于12
【答案】D
【解析】將方程轉化為一次函數與二次函數的交點問題求解．畫出函數圖象，找準圖象與坐標軸的交點，結合圖象可選出答案．如圖，
由題意二次函數y=，與y交與點（0，12）與x軸交于（-4，0）（12，0），一次函數y=，與y交與點（0，15）與x軸交于（9，0）
因此，兩函數圖象交點一個在第一象限，一個在第四象限，所以兩根都大于0，且有一根大于12
故選：D．
【點睛】本題考查了拋物線與x軸交點，利用數形結合的思想，畫圖象時找準關鍵點，與坐標軸的交點，由圖象得結果．
2. 數形結合是一種重要的數學思想方法，我們可以借助函數的圖象求某些較為復雜不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2/x的解集，可以先構造兩個函數y1＝x﹣1和y2=2/x，再在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象（如圖1所示），通過觀察所畫函數的圖象可知：它們交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）兩點，當﹣1＜x＜0或x＞2時，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2/x的解集為﹣1＜x＜0或x＞2．
根據上述說明，解答下列問題：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先構造出函數y1＝x2+3x和函數y2＝　 　；
（2）圖2中已作出了函數y1＝x2+3x的圖象，請在其中作出函數y2的圖象；
（3）觀察所作函數的圖象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【答案】見解析
【解析】（1）根據題意可得y2＝x+3；
（2）作出函數y2的圖象如下：
（3）∵由圖可知：函數y1和y2的圖象交于（1，4）和（﹣3，0）兩點，當x＜﹣3或x＞1時，y1＞y2，
∴不等式x2+3x＞x+3的解集為x＜﹣3或x＞1．
【點評】考查了一次函數、二次函數與不等式，數形結合并明確函數與不等式的關系是解題的關鍵．
3．已知二次函數y＝﹣x2+4x+3．
（1）在所給的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象，并求該函數圖象的頂點坐標；
（2）當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍．
【答案】（1）作圖見解析，頂點坐標為（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7．
【解析】（1）由題意，列表格如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 6 7 6 3
描點、連線，作圖象如下：
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴頂點坐標為（2，7）；
（2）由題意知，對稱軸為直線x＝2，
∵﹣1≤x≤3，
∴當x＝﹣1時，，
當x＝2時，ymax＝7，
∴當﹣1≤x≤3時，y的取值范圍為﹣2≤y≤7．
4．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表，下列結論正確的是（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
A．拋物線的開口向上
B．拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0）
C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0
D．a＝b
【答案】C
【解析】把（﹣2，0），（﹣1，4），（0，6）分別代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+6．
∵a＝﹣1，
∴拋物線開口向下，所以A選項錯誤，不符合題意．
當y＝0時，﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
∴拋物線與x軸的交點坐標為（﹣2，0），（3，0），所以B錯誤，不符合題意．
又當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝4；當x＝2時，y＝4a+2b+c＝4，
∴（a﹣b+c）（4a+2b+c）＝16＞0，故C正確，符合題意．
∵y＝﹣x2+x+6，
∴a＝﹣1≠b＝1．
∴D選項錯誤，不符合題意．故選：C．
5．已知拋物線y＝ax2+bx+1經過點（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是拋物線上不同的兩點，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【答案】見試題解答內容
【解析】（1）把點（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函數解析式為y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且對稱軸為直線x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
6．如圖，一次函數y1＝kx+n（k≠0）與二次函數y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點，則關于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集為 　 　．
【答案】﹣1＜x＜6．
【解析】∵一次函數y1＝kx+n（k≠0）與二次函數y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點，
根據圖象可得關于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集是：﹣1＜x＜6．
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第三章 函數
3.4 二次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數的圖象與性質 ☆☆☆ 數學中考中，有關二次函數的部分是每年全國各省市必考內容，也是中考數學難點，每年壓軸題之一必定有二次函數綜合題。每年考查1~3道題,分值為3~15分，通常以選擇題、 填空題、解答題的形式考查。對于二次函數的復習需要學生熟練掌握二次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與a,b,c之間的關系、二次函數與方程、不等式之間的關系。
考點2 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系 ☆☆☆
考點3 二次函數與方程、不等式之間的關系 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 二次函數的圖象與性質
1. 二次函數的概念：一般地，形如__________（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2. 二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：__________（a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式：___________（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式：___________，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
【注意】求二次函數解析式的一般方法：
（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三個點的坐標列出關于a, b, c的方程組，并求出a, b, c，就可以寫出二次函數的解析式.
（2）頂點式y=a(x-h)2+k.根據頂坐標點（h,k)，可設頂點式y=a(x-h)2+k,再將另一點的坐標代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數的解析式.
（3）交點式y=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與x軸的兩個交點為(x1,0)、(x2,0)時，可設y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數的解析式.
3. 二次函數的圖象及性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點 （–，）
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= 當x=–時，y最大值=
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大 當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小
4. 拋物線的平移
二次函數平移遵循“______，______”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作____間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
【注意】二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
【提示】二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的常見結論
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
（1）二次函數與一元二次方程的關系
（2）二次函數與不等式的關系（拓展）
【易錯點提示】對二次函數與一元二次方程關系密切這句話的理解．
舉例說明：已知二次函數y =－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反過來，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函數 y = x2－4x+3 的值為0，求自變量x的值．
考點1. 二次函數的圖象與性質
【例題1】（2024福建省）已知二次函數的圖象經過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A. 可以找到一個實數，使得 B. 無論實數取什么值，都有
C. 可以找到一個實數，使得 D. 無論實數取什么值，都有
【變式練1】（2024北京一模）下列關于二次函數的說法正確的是( )
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與軸沒有交點
C．當時，隨增大而增大 D．圖象的頂點坐標是
【變式練2】（2024哈爾濱一模）已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
【例題2】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，二次函數的圖象與軸交于，，其中．結合圖象給出下列結論：
①；②；
③當時，隨的增大而減小；
④關于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結論的個數是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024陜西一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱
軸為直線x＝﹣1，下列四個結論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．
其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式練2】（2024貴州一模）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經過點A（2，1）；有以下結論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1時，y隨x的增大而減小；⑤對于任意實數t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
【例題3】（2024四川成都市）在平面直角坐標系中，，，是二次函數圖象上三點．若，，則______（填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是______．
【變式練1】（2024福州一模）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝　　．
【變式練2】（2024貴陽一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點，則關于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【變式練3】（2024山東青島一模）二次函數y＝ax2+c的圖象與直線y＝kx+b（k＞0）交于點M（﹣2，m）、N（1，n）兩點（mn＜0），則關于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集為 　 　．
考點1. 二次函數的圖象與性質
1. （2024四川涼山）拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川瀘州）已知二次函數（x是自變量）的圖象經過第一、二、四象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024廣州）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A. B. C. D.
4. （2024陜西省）已知一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（ 　　 ）
A. 圖象的開口向上 B. 當時，y的值隨x的值增大而增大
C. 圖象經過第二、三、四象限 D. 圖象的對稱軸是直線
5. （2024江蘇蘇州）二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為______．
6. （2024貴州省）如圖，二次函數的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）
A. 二次函數圖象的對稱軸是直線
B. 二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C. 當時，y隨x的增大而減小
D. 二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
7. （2024內蒙古赤峰）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（　　）
A. B. C. D.
8. （2024山東煙臺）已知二次函數的與的部分對應值如下表：
下列結論：；關于的一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結論的序號為______．
9. （2024廣西）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數的最值問題展開探究．
【經典回顧】二次函數求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數的最小值．
①請你寫出對應的函數解析式；
②求當x取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值．記錄結果，并整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*為②的計算結果．
【探究發現】老師：“請同學們結合學過函數知識，觀察表格，談談你的發現．”
甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y的最小值．”
乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請結合函數解析式，解釋甲同學的說法是否合理？
（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
1. 拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龍江綏化）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結論中：
① ②（m為任意實數） ③
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結論有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
3. （2024武漢市）拋物線（a，b，c常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：
①；
②若，則；
③若，則關于x的一元二次方程 無實數解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是__________（填寫序號）．
4. （2024湖北省）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
1. （2024福建省）如圖，已知二次函數的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．
（1）求二次函數的表達式；
（2）若是二次函數圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．
2. （2024湖北省）如圖1，二次函數交軸于和，交軸于．
（1）求的值．
（2）為函數圖象上一點，滿足，求點的橫坐標．
（3）如圖2，將二次函數沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點，記，記頂點橫坐標為．
①求與的函數解析式．
②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計邊界）記為，若隨增加而增加，且內恰有2個橫坐標與縱坐標均為整數的點，直接寫出的取值范圍．
考點1. 二次函數的圖象與性質
1.關于二次函數，下列說法正確的是（　　）
A．圖象的對稱軸在y軸的右側
B．圖象與y軸的交點坐標為
C．圖象與x軸的交點坐標為和
D．y的最小值為
2. 已知拋物線過點，其中，以下結論正確的
是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
3. 若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
4. 在平面直角坐標系中，將拋物線先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是 ．
5. 點，在拋物線上，存在正數，使得且時，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6. 對于二次函數，已知，當時，有下列說法：
①若y的最大值為，則；
②若y的最小值為，則；
③若，則y的最大值為．
則上達說法（　　）
A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確
7. 已知二次函數的圖象經過點（-1，-5），（0，-4）和（1，1），則這二次函數的表達式為（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
8. 一個二次函數的圖象的頂點坐標為，與軸的交點，這個二次函數的解析式
是（ ）
A． B．
C． D．
9．求經過A(1，4)，B(﹣2，1)兩點，對稱軸為x=﹣1的拋物線的解析式______．
10. 已知函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關于x的方程ax2+bx+c+3/2=0的根的情況是（　　）
A．無實數根 B．有兩個相等實數根
C．有兩個異號實數根 D．有兩個同號不等實數根
考點2. 二次函數的圖象與a,b,c之間的關系
1. 已知拋物線（a，b，c是常數，）經過點，有下列結論：
①；
②當時，y隨x的增大而增大；
③關于x的方程有兩個不相等的實數根．
其中，正確結論的個數是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1．給出下列結論：
①ac＜0； ②b2﹣4ac＞0； ③2a﹣b＝0； ④a﹣b+c＝0．
其中，正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．如圖，現要在拋物線y＝x（4﹣x）上找點P（a，b），針對b的不同取值，所找點P的個數，三人的說法如下，
甲：若b＝5，則點P的個數為0；
乙：若b＝4，則點P的個數為1；
丙：若b＝3，則點P的個數為1．
下列判斷正確的是（　　）
A．乙錯，丙對 B．甲和乙都錯 C．乙對，丙錯 D．甲錯，丙對
4. 如圖，是二次函數 y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正確的命題是　 　．（只要求填寫正確命題的序號）
考點3. 二次函數與方程、不等式之間的關系
1. 一元二次方程根的情況是（ ）
A. 有一個正根，一個負根 B. 有兩個正根，且有一根大于9小于12
C. 有兩個正根，且都小于12 D. 有兩個正根，且有一根大于12
2. 數形結合是一種重要的數學思想方法，我們可以借助函數的圖象求某些較為復雜不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2/x的解集，可以先構造兩個函數y1＝x﹣1和y2=2/x，再在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象（如圖1所示），通過觀察所畫函數的圖象可知：它們交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）兩點，當﹣1＜x＜0或x＞2時，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2/x的解集為﹣1＜x＜0或x＞2．
根據上述說明，解答下列問題：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先構造出函數y1＝x2+3x和函數y2＝　 　；
（2）圖2中已作出了函數y1＝x2+3x的圖象，請在其中作出函數y2的圖象；
（3）觀察所作函數的圖象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
3．已知二次函數y＝﹣x2+4x+3．
（1）在所給的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象，并求該函數圖象的頂點坐標；
（2）當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍．
4．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表，下列結論正確的是（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
A．拋物線的開口向上
B．拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0）
C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0
D．a＝b
5．已知拋物線y＝ax2+bx+1經過點（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是拋物線上不同的兩點，且y2＝12﹣y1，求m的值．
6．如圖，一次函數y1＝kx+n（k≠0）與二次函數y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點，則關于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集為 　 　．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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