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中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.1 角 相交線與平行線
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 角與角平分線 ☆☆ 數學中考中，有關本專題的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題的形式考查，也有極少數省市在解答題出現。復習需要學生熟練掌握平行線判定和性質定理及其應用，這類問題比較容易，是深入學習幾何知識的基礎，通常結合角平分線概念，三角形內角和定理來解決。
考點2 相交線與平行線 ☆☆☆
考點3 平行線性質求角度 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 角與角平分線
1. 角的概念
有________-的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。
2.角的表示方法
(1)角通常用個字母及符號“∠”來表示，如圖中角可以表示為∠AOB或∠BOA，表示頂點的字母O必須放在中間，其他兩個字母A，B分別表示角的兩邊上的點.
(2)當頂點處只有一個角時，可用一個________表示角，這個字母應標在頂點上. 如圖的角可以表示為∠O.
(3)用一個數字表示一個角，如圖的角可以表示為∠1.
(4)用一個字母(希臘字母α、β、γ等)表示一個角，如圖的角可以表示為∠α.
注意：（3）（4）這兩種方法必須在圖上標注后才能使用，并且只能表示單獨的一個角
3. 角的單位及換算關系
把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，
如：∠α的度數是48度56分37秒，記作∠α=__________.
以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.此外，還有其它度量角的單位制.例如，我們以后將要學到的以弧度為基本度量單位的弧度制，在軍事上經常使用的角的密位制等.
4.角的分類及余角補角的定義
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360°
（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為________.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為________.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.
（3）余角和補角的性質: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角也相等.
注意：對余角、補角問題可以利用下面表格加深理解
名稱 概念 性質
互為余角 如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角. （1）90°-α是α的余角； （2）同角或等角的余角相等.
互為補角 如果兩個角的和等于180°，那么這兩個角互為補角。 （1）180°-α是α的補角； （2）同角或等角的補角相等.
5. 角的平分線.一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個_______的角的射線，叫做這個角的平分線.
OB是∠AOC的平分線
∵OB是∠AOC的角平分線，
∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
6．方位角.以______、________方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.
要點詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小.
北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
考點2. 相交線與平行線
（一）相交線的理論基礎
1．鄰補角
（1）定義：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
（2）鄰補角的性質：鄰補角______。
2．對頂角
（1）定義：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的________，像這樣的兩個角互為對頂角。
（2）對頂角的性質：對頂角_______。
3．垂線
（1）定義：兩條直線相交成_______時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
（2）垂線的性質：
性質1：過一點有且只有_______直線與已知直線垂直。
性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，_______最短。
4．同位角、內錯角、同旁內角
（1）同位角定義：∠1與∠5像這樣具有_________關系的一對角叫做同位角。
（2）內錯角定義：∠4與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
（3）同旁內角定義：∠3與∠6像這樣的一對角叫做同旁內角。
注意：對三線八角的認識
直線a，b被直線l所截，構成八個角（如圖）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內錯角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內角．
（二）平行線的理論基礎
1.平行線概念：在同一平面內，兩條_________的直線叫做平行線。記做a∥b
如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。
2.兩條直線的位置關系：_______和_______。
3.平行線公理及其推論
（1）公理：經過已知直線外一點，有且只有條直線與這條直線平行；
（2）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線________.
4.平行線的判定
判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，_______相等，兩直線平行；
判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，________相等，兩直線平行；
判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，_________互補，兩直線平行.
補充平行線的判定方法：
（1）平行于___一條直線的兩直線平行。
（2）垂直于___一條直線的兩直線平行。
5.平行線的性質
性質1：兩直線平行，_______相等。
性質2：兩直線平行，________相等。
性質3：兩直線平行，_______互補。
【易錯點提示】解決相交線與平行線難點問題添加輔助線要領
1.當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直.如圖，以下三種情況.
2.除了基本模型外，還經常會遇到一些平行線加折線模型，主要是下面兩類：
做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關系轉換成角的關系，如圖所示。
考點3. 平行線性質求角度
1.理解熟記平行線的性質（能靈活用數學語言表達文字語言至關重要）
2. （1）利用性質1求角度的思路
例如：如圖，直線，，，則______.
思路：設∠1的同位角為為∠4，∠2的對頂角為∠5，根據平行的性質1得到∠1=∠4=100°，再根據三角形的外角和定理 即可求解．本題考查了平行線的性質1、三角形的外角和定理等知識，掌握平行線的性質1是解答本題的關鍵．
（2）利用性質2求角度的思路
例如：如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是 　 　．
思路：根據平行線的性質2得出∠B＝∠BCD＝26°，根據角平分線定義求出∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根據平行線的性質2即可得解．
本題考查了平行線的性質2、平分線定義、三角形的外角和定理等知識，掌握平行線的性質2是解答本題的關鍵．
（3）利用性質3求角度的思路
例如：如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點A，交l2于點B，過點B的直線l4交l1于點C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于___________．
思路：由題意得，∠2＝60°，由平角的定義可得∠5＝70°，再根據平行線的性質即可求解．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°（性質3）
∵∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，
∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠4＝∠5＝70°．
【易錯點提示】用下圖理清平行線的判定與性質之間關系的模糊認識
考點1. 角與角平分線
【例題1】（2024甘肅威武）若，則的補角為（　　）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024云南一模）下列關于角的說法正確的是( )
A.由兩條射線組成的圖形叫做角
B.角的邊畫得越長，角越大
C.在角一邊延長線上取一點
D.角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形
【變式練2】（2024江西一模）已知∠α是銳角，∠α與∠β互補，∠α與∠γ互余，則∠β-∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
【變式練3】（2024陜西一模）如圖，B處在A處的南偏西42°方向，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東72°方向，則∠ACB的度數是 ．
【變式練4】（2024福州一模）如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于（　　）
A．35° B．70° C．110° D．145°
考點2. 相交線與平行線
【例題2】 （2024廣西）已知與為對頂角，，則______°．
【變式練1】（2024上海一模）如圖所示，直線a，b被直線c所截，∠1與∠2是（　　）
A．同位角 B． 內錯角 C． 同旁內角 D． 鄰補角
【變式練2】（2024北京一模）如圖，AB和CD相交于點O，則下列結論正確的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【變式練3】（2024 金華一模）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b．理由是（　　）
A．連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短
B．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線
D．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
【變式練4】（2024哈爾濱一模）如圖，下列條件中能判定直線的是( )
A. B.
C. D.
考點3. 平行線性質求角度
【例題3】（2024福建省）在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024山東東營一模）如圖，AB∥CD，EF⊥CD于點F，若∠BEF＝150°，則∠ABE＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【變式練2】（2024廣西貴港一模）如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是 　 　．
考點1. 角與角平分線
1. （2024廣西）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024山東煙臺）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
3. （2024江蘇常州）如圖，在紙上畫有，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點P在的平分線上，則（ ）
A. 與一定相等 B. 與一定不相等
C. 與一定相等 D. 與一定不相等
4. （2024河南省） 如圖，乙地在甲地的北偏東方向上，則∠1的度數為（ ）
A. B. C. D.
考點2. 相交線與平行線
1. （2024內蒙古包頭）如圖，直線，點在直線上，射線交直線于點，則圖中與互補的角有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. （2024黑龍江大慶）如圖，在一次綜合實踐課上，為檢驗紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿折疊，量得；小鐵把紙帶②沿折疊，發現與重合，與重合．且點C，G，D在同一直線上，點E，H，F也在同一直線上．則下列判斷正確的是（ ）
A. 紙帶①、②的邊線都平行
B. 紙帶①、②的邊線都不平行
C. 紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行
D. 紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行
考點3. 平行線性質求角度
1. （2024深圳）如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角，則反射光線與平面鏡夾角的度數為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024湖北省）如圖，直線，已知，則（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江蘇蘇州）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川資陽）如圖，，過點作于點．若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
5. （2024黑龍江綏化）如圖，，，．則______．
6.（2024內蒙古赤峰） 將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
7. （2024廣州）如圖，直線分別與直線，相交，，若，則的度數為______．
考點1. 角與角平分線
1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于　 　°．
2.如圖，已知射線OC在∠AOB的內部，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度數;
(2)探究∠MON與∠AOB的數量關系.
3. （2022湖北宜昌）如圖，島在A島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，則的大小是_____．
考點2. 相交線與平行線
1.下列語句錯誤的有（ ）個.
（1）兩個角的兩邊分別在同一條直線上，這兩個角互為對頂角；
（2）有公共頂點并且相等的兩個角是對頂角；
（3）如果兩個角相等，那么這兩個角互補；
（4）如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列圖形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
A.(1)，(2) B.(3)，(4)
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(4)
3. 如圖，下列說法錯誤的是(　　)
A．∠A與∠B是同旁內角
B．∠3與∠1是同旁內角
C．∠2與∠3是內錯角
D．∠1與∠2是同位角
4．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點C到邊AB所在直線的距離是( )
A．線段CA的長度 B．線段CM的長度 C．線段CD的長度 D．線段CB的長度
5．如圖，兩直線交于點O，若∠1+∠2＝76°，則∠1＝　　度．
6. 如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，若，則______°.
7. 如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點
8.如圖，直線AB、CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數。
考點3. 平行線性質求角度
1．如圖，直線AB∥CD，∠3＝70°，則∠1＝（　　）
A．70° B．100° C．110° D．120°
2．如圖，直線DE∥BF，Rt△ABC的頂點B在BF上，若∠CBF＝20°，則∠ADE＝（　　）
A．70° B．60° C．75° D．80°
3．如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．180° B．360° C．270° D．540°
4．如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，則∠EGD的大小是（　　）
A．132° B．128° C．122° D．112°
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第四章 三角形及四邊形
4.1 角 相交線與平行線
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 角與角平分線 ☆☆ 數學中考中，有關本專題的部分，每年考查1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題的形式考查，也有極少數省市在解答題出現。復習需要學生熟練掌握平行線判定和性質定理及其應用，這類問題比較容易，是深入學習幾何知識的基礎，通常結合角平分線概念，三角形內角和定理來解決。
考點2 相交線與平行線 ☆☆☆
考點3 平行線性質求角度 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 角與角平分線
1. 角的概念
有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。
2.角的表示方法
(1)角通常用三個字母及符號“∠”來表示，如圖中角可以表示為∠AOB或∠BOA，表示頂點的字母O必須放在中間，其他兩個字母A，B分別表示角的兩邊上的點.
(2)當頂點處只有一個角時，可用一個大寫字母表示角，這個字母應標在頂點上. 如圖的角可以表示為∠O.
(3)用一個數字表示一個角，如圖的角可以表示為∠1.
(4)用一個字母(希臘字母α、β、γ等)表示一個角，如圖的角可以表示為∠α.
注意：（3）（4）這兩種方法必須在圖上標注后才能使用，并且只能表示單獨的一個角
3. 角的單位及換算關系
把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，
如：∠α的度數是48度56分37秒，記作∠α=48°56′37″.
以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.此外，還有其它度量角的單位制.例如，我們以后將要學到的以弧度為基本度量單位的弧度制，在軍事上經常使用的角的密位制等.
4.角的分類及余角補角的定義
∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角
范圍 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360°
（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.
（3）余角和補角的性質: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角也相等.
注意：對余角、補角問題可以利用下面表格加深理解
名稱 概念 性質
互為余角 如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角. （1）90°-α是α的余角； （2）同角或等角的余角相等.
互為補角 如果兩個角的和等于180°，那么這兩個角互為補角。 （1）180°-α是α的補角； （2）同角或等角的補角相等.
5. 角的平分線.一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.
OB是∠AOC的平分線
∵OB是∠AOC的角平分線，
∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
6．方位角.以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.
要點詮釋：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西，三要確定旋轉角度的大小.
北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
考點2. 相交線與平行線
（一）相交線的理論基礎
1．鄰補角
（1）定義：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
（2）鄰補角的性質：鄰補角互補。
2．對頂角
（1）定義：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
（2）對頂角的性質：對頂角相等。
3．垂線
（1）定義：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
（2）垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
4．同位角、內錯角、同旁內角
（1）同位角定義：∠1與∠5像這樣具有相同位置關系的一對角叫做同位角。
（2）內錯角定義：∠4與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
（3）同旁內角定義：∠3與∠6像這樣的一對角叫做同旁內角。
注意：對三線八角的認識
直線a，b被直線l所截，構成八個角（如圖）．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內錯角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內角．
（二）平行線的理論基礎
1.平行線概念：在同一平面內，兩條不相交的直線叫做平行線。記做a∥b
如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。
2.兩條直線的位置關系：平行和相交。
3.平行線公理及其推論
（1）公理：經過已知直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；
（2）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行.
4.平行線的判定
判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，兩直線平行；
判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等，兩直線平行；
判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，兩直線平行.
補充平行線的判定方法：
（1）平行于同一條直線的兩直線平行。
（2）垂直于同一條直線的兩直線平行。
5.平行線的性質
性質1：兩直線平行，同位角相等。
性質2：兩直線平行，內錯角相等。
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
【易錯點提示】解決相交線與平行線難點問題添加輔助線要領
1.當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直.如圖，以下三種情況.
2.除了基本模型外，還經常會遇到一些平行線加折線模型，主要是下面兩類：
做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關系轉換成角的關系，如圖所示。
考點3. 平行線性質求角度
1.理解熟記平行線的性質（能靈活用數學語言表達文字語言至關重要）
2. （1）利用性質1求角度的思路
例如：如圖，直線，，，則______.
思路：設∠1的同位角為為∠4，∠2的對頂角為∠5，根據平行的性質1得到∠1=∠4=100°，再根據三角形的外角和定理 即可求解．本題考查了平行線的性質1、三角形的外角和定理等知識，掌握平行線的性質1是解答本題的關鍵．
（2）利用性質2求角度的思路
例如：如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是 　 　．
思路：根據平行線的性質2得出∠B＝∠BCD＝26°，根據角平分線定義求出∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根據平行線的性質2即可得解．
本題考查了平行線的性質2、平分線定義、三角形的外角和定理等知識，掌握平行線的性質2是解答本題的關鍵．
（3）利用性質3求角度的思路
例如：如圖，直線l1∥l2，直線l3交l1于點A，交l2于點B，過點B的直線l4交l1于點C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，則∠4等于___________．
思路：由題意得，∠2＝60°，由平角的定義可得∠5＝70°，再根據平行線的性質即可求解．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠3＝180°（性質3）
∵∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，
∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，
∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠4＝∠5＝70°．
【易錯點提示】用下圖理清平行線的判定與性質之間關系的模糊認識
考點1. 角與角平分線
【例題1】（2024甘肅威武）若，則的補角為（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據和為的兩個角互為補角，計算即可．
本題考查了補角，熟練掌握定義是解題的關鍵．
【詳解】。
則的補角為．故選：D．
【變式練1】（2024云南一模）下列關于角的說法正確的是( )
A.由兩條射線組成的圖形叫做角
B.角的邊畫得越長，角越大
C.在角一邊延長線上取一點
D.角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形
【答案】D
【解析】有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
【變式練2】（2024江西一模）已知∠α是銳角，∠α與∠β互補，∠α與∠γ互余，則∠β-∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
【答案】C
【解析】已知∠α是銳角，∠α與∠β互補，則∠α+∠β=180°
∠β=180°-∠α
∠α與∠γ互余，則∠α+∠γ=90°
∠γ=90°-∠α
則∠β-∠γ=（180°-∠α）-（90°-∠α）=90°
【變式練3】（2024陜西一模）如圖，B處在A處的南偏西42°方向，C處在A處的南偏東30°方向，C處在B處的北偏東72°方向，則∠ACB的度數是 ．
【答案】78°
【解析】根據方向角的定義，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度數，然后根據三角形內角和定理即可求解．
∵AE，DB是正南和正北方向，
∴BD∥AE，
∵B處在A處的南偏西42°方向，
∴∠BAE＝∠DBA＝42°，
∵C處在A處的南偏東30°方向，
∴∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，
又∵C處在B處的北偏東72°方向，
∴∠DBC＝72°，
∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案為：78°．
【點睛】本題考查的是方向角的概念，用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．
【變式練4】（2024福州一模）如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于（　　）
A．35° B．70° C．110° D．145°
【答案】C
【解析】∵射線OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，
∵∠COB=35°， ∴∠DOB=70°， ∴∠AOD=180°﹣70°=110°
【點撥】本題考查角的平分線性質和平角的特點。
考點2. 相交線與平行線
【例題2】 （2024廣西）已知與為對頂角，，則______°．
【答案】35
【解析】本題主要考查了對頂角性質，根據對頂角相等，得出答案即可．
【詳解】∵與為對頂角，，
∴．
【變式練1】（2024上海一模）如圖所示，直線a，b被直線c所截，∠1與∠2是（　　）
A．同位角 B． 內錯角 C． 同旁內角 D． 鄰補角
【答案】A．
【解析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義．在截線的同旁找同位角和同旁內角，在截線的兩旁找內錯角．要結合圖形，熟記同位角、內錯角、同旁內角的位置特點，比較它們的區別與聯系．兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有四對同位角，兩對內錯角，兩對同旁內角．
如圖所示，∠1和∠2兩個角都在兩被截直線直線b和a同側，并且在第三條直線c（截線）的同旁，故∠1和∠2是直線b、a被c所截而成的同位角．
【變式練2】（2024北京一模）如圖，AB和CD相交于點O，則下列結論正確的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根據對頂角定義和外角的性質逐個判斷即可．
【解析】A．∵∠1和∠2是對頂角，
∴∠1＝∠2，故A正確；
B．∵∠2＝∠A+∠3，
∴∠2＞∠3，故B錯誤；
C．∵∠1＝∠4+∠5，故③錯誤；
D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D錯誤.
【變式練3】（2024 金華一模）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b．理由是（　　）
A．連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短
B．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線
D．經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
【答案】B
【分析】根據垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．
【解析】由題意a⊥AB，b⊥AB，
∴a∥b（垂直于同一條直線的兩條直線平行）
【變式練4】（2024哈爾濱一模）如圖，下列條件中能判定直線的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】同旁內角互補，二直線平行。
∠1與∠3是同旁內角，當∠1+∠3=180°時，有
考點3. 平行線性質求角度
【例題3】（2024福建省）在同一平面內，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了平行線的性質，由，可得，即可求解．
∵，
∴，
∵，則，
∴，故選：A．
【變式練1】（2024山東東營一模）如圖，AB∥CD，EF⊥CD于點F，若∠BEF＝150°，則∠ABE＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】過點E作GE∥AB．利用平行線的性質得到∠GEF+∠EFD＝180°，由垂直的定義∠EFD＝90°，進而得出∠GEF＝90°，根據角的和差得到∠BEG＝60°，再根據平行線的性質求解即可．
如圖，過點E作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠GEF+∠EFD＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠GEF＝180°﹣∠EFD＝90°，
∵∠BEF＝∠BEG+∠GEF＝150°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝60°，
∵GE∥AB，
∴∠ABE＝∠BEG＝60°。
【變式練2】（2024廣西貴港一模）如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是 　 　．
【答案】52°．
【解析】根據平行線的性質得出∠B＝∠BCD＝26°，根據角平分線定義求出∠∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根據平行線的性質即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝26°，
∴∠BCD＝∠B＝26°，
∵CB平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BCD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝52°．
考點1. 角與角平分線
1. （2024廣西）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了鐘面角，用乘以兩針相距的份數是解題關鍵．根據鐘面的特點，鐘面平均分成12份，每份是，根據時針與分針相距的份數，可得答案．
2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角是，故選：C．
2. （2024山東煙臺）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】D
【解析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可．
【詳解】第一個圖為尺規作角平分線的方法，為的平分線；
第二個圖，由作圖可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為的平分線；
第三個圖，由作圖可知，
∴，，
∴
∴，
∴為的平分線；
第四個圖，由作圖可知：，，
∴為的平分線；故選D．
3. （2024江蘇常州）如圖，在紙上畫有，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點P在的平分線上，則（ ）
A. 與一定相等 B. 與一定不相等
C. 與一定相等 D. 與一定不相等
【答案】A
【解析】如圖所示，過點P分別作的垂線，垂足分別為E、F
∵點P在的平分線上，
∴，
由平行線間間距相等可知，
∴，
由于和的長度未知，故二者不一定相等，故選：A，
4. （2024河南省） 如圖，乙地在甲地的北偏東方向上，則∠1的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了方向角，平行線的性質，利用平行線的性質直接可得答案．
如圖，
由題意得，，，
∴，故選：B．
考點2. 相交線與平行線
1. （2024內蒙古包頭）如圖，直線，點在直線上，射線交直線于點，則圖中與互補的角有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】C
【解析】本題考查了平行線的性質，對頂角的性質，補角的定義等知識，利用平行線的性質得出，得出結合對頂角的性質，根據鄰補角的定義得出，即可求出中與互補的角，即可求解．
詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴圖中與互補的角有，，，共3個．故選∶C．
2. （2024黑龍江大慶）如圖，在一次綜合實踐課上，為檢驗紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿折疊，量得；小鐵把紙帶②沿折疊，發現與重合，與重合．且點C，G，D在同一直線上，點E，H，F也在同一直線上．則下列判斷正確的是（ ）
A. 紙帶①、②的邊線都平行
B. 紙帶①、②的邊線都不平行
C. 紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行
D. 紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行
【答案】D
【解析】對于紙帶①，根據對頂角相等可得，利用三角形內角和定理求得，再根據折疊的性質可得，由平行線的判定即可判斷；對于紙帶②，由折疊的性質得，，，由平角的定義從而可得，，再根據平行線的判定即可判斷．
【詳解】對于紙帶①，
∵，
∴，
∴，
由折疊的性質得，，
∴，
∴與不平行，
對于紙帶②，由折疊的性質得，，，
又∵點C，G，D在同一直線上，點E，H，F也在同一直線上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，故選：D．
【點睛】本題考查平行線的判定、對頂角相等、三角形內角和定理、折疊的性質，熟練掌握平行線的判定和折疊的性質是解題的關鍵．
考點3. 平行線性質求角度
1. （2024深圳）如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角，則反射光線與平面鏡夾角的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了平行線的性質，根據，，則，再結合平行線的性質，得出同位角相等，即可作答．
【詳解】如圖：
∵一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角，
∴，，
∴，
則，
∵光線是平行的，
即，
∴，故選：B．
2. （2024湖北省）如圖，直線，已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．根據同旁內角互補，，求出結果即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故選：B．
3. （2024江蘇蘇州）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】題目主要考查根據平行線的性質求角度，根據題意得出，再由平角即可得出結果，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故選：B
4. （2024四川資陽）如圖，，過點作于點．若，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了三角形內角和，平行線的性質的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
根據題意可得，，即，再根據平行線的同旁內角互補，即可求出的度數．
【詳解】∵過點作于點，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
將代入上式，
可得，故選．
5. （2024黑龍江綏化）如圖，，，．則______．
【答案】66
【解析】本題考查了平行線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，根據等邊對等角可得，根據三角形的外角的性質可得，根據平行線的性質，即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
6.（2024內蒙古赤峰） 將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了三角板中角度計算問題，由題意得，根據即可求解．
如圖所示：
由題意得：
∴ 故選：B．
7. （2024廣州）如圖，直線分別與直線，相交，，若，則的度數為______．
【答案】
【解析】考查的是平行線的性質，鄰補角的含義，先證明，再利用鄰補角的含義可得答案．
如圖，
∵，，
∴，
∴
考點1. 角與角平分線
1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于　 　°．
【答案】55．
【解析】若兩角互余，則兩角和為90°，從而可知∠α的余角為90°減去∠α，從而可解．
∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
【點撥】本題考查的兩角互余的基本概念，題目屬于基礎概念題，比較簡單．
2.如圖，已知射線OC在∠AOB的內部，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度數;
(2)探究∠MON與∠AOB的數量關系.
【答案】見解析
【解析】(1)因為OM，ON分別平分∠AOC，∠BOC,
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC.
因為∠AOC=50°，∠BOC= 30°，
所以∠COM=25°，∠CON=15°
所以∠MON=∠COM+∠CON=40°.
(2)因為OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC.
所以∠MON=∠COM+∠CON=1/2∠AOC+1/2∠BOC
=1/2 (∠AOC+∠BOC)=1/2∠AOB.
3. （2022湖北宜昌）如圖，島在A島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，則的大小是_____．
【答案】或者85度
【解析】過作交于，根據方位角的定義，結合平行線性質即可求解．
島在A島的北偏東方向，
，
島在島的北偏西方向，
，
過作交于，如圖所示：
，
，
【點睛】本題考查方位角的概念與平行線的性質求角度，理解方位角的定義，并熟練掌握平行線的性質是解決問題的關鍵．
考點2. 相交線與平行線
1.下列語句錯誤的有（ ）個.
（1）兩個角的兩邊分別在同一條直線上，這兩個角互為對頂角；
（2）有公共頂點并且相等的兩個角是對頂角；
（3）如果兩個角相等，那么這兩個角互補；
（4）如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角。
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】（1）兩個角的兩邊分別在同一條直線上，這兩個角互為對頂角；錯誤。
（2）有公共頂點并且相等的兩個角是對頂角；錯誤。
（3）如果兩個角相等，那么這兩個角互補；錯誤。
（4）如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角，正確。
2.下列圖形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
A.(1)，(2) B.(3)，(4)
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(4)
【答案】A
【解析】圖（1）和圖（2）中的∠1與∠2在兩條直線的同一側，在另外一條直線的同旁。
根據同位角特征可以知道圖A、圖B中的兩個角∠1和∠2是同位角。
3. 如圖，下列說法錯誤的是(　　)
A．∠A與∠B是同旁內角
B．∠3與∠1是同旁內角
C．∠2與∠3是內錯角
D．∠1與∠2是同位角
【答案】D
【解析】解析：根據同位角、內錯角、同旁內角的基本模型判斷．A中∠A與∠B形成“U”型，是同旁內角；B中∠3與∠1形成“U”型，是同旁內角；C中∠2與∠3形成“Z”型，是內錯角；D中∠1與∠2是鄰補角，該選項說法錯誤．故選D.
方法總結：在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F”型，內錯角的邊構成“Z”型，同旁內角的邊構成“U”型．
4．如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點C到邊AB所在直線的距離是( )
A．線段CA的長度 B．線段CM的長度 C．線段CD的長度 D．線段CB的長度
【答案】C
【解析】根據點C到邊AB所在直線的距離是點C到直線AB的垂線段的長度進行求解即可.
點C到邊AB所在直線的距離是點C到直線AB的垂線段的長度，而CD是點C到直線AB的垂線段，故選C.
5．如圖，兩直線交于點O，若∠1+∠2＝76°，則∠1＝　　度．
【答案】38．
【分析】直接利用對頂角的性質結合已知得出答案．
【解析】∵兩直線交于點O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
6. 如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，若，則______°.
【答案】30
【解析】，，
，
，
.
7. 如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點
【答案】190
【解析】根據題目中的交點個數，找出條直線相交最多有的交點個數公式：．
2條直線相交有1個交點；
3條直線相交最多有個交點；
4條直線相交最多有個交點；
5條直線相交最多有個交點；
20條直線相交最多有．
【點睛】本題考查的是多條直線相交的交點問題，解答此題的關鍵是找出規律，即條直線相交最多有．
8.如圖，直線AB、CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數。
【答案】70°
【解析】注意：隱含條件“對頂角相等”
因為∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因為∠BOF＝∠2(對頂角相等)，
所以∠2＝70°(等量代換)．
考點3. 平行線性質求角度
1．如圖，直線AB∥CD，∠3＝70°，則∠1＝（　　）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】直接利用平行線的性質得出∠1＝∠2，進而得出答案．
【解析】∵直線AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．
2．如圖，直線DE∥BF，Rt△ABC的頂點B在BF上，若∠CBF＝20°，則∠ADE＝（　　）
A．70° B．60° C．75° D．80°
【答案】A
【解析】根據角的和差得到∠ABF＝70°,再根據兩直線平行，同位角相等即可得解．
∵∠ABC＝90°,∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°,
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°,
3．如圖，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【解析】首先作出PA∥a，根據平行線性質，兩直線平行同旁內角互補，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
過點P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
4．如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，則∠EGD的大小是（　　）
A．132° B．128° C．122° D．112°
【答案】C
【解析】根據平行線的性質得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根據角平分線的定義得到∠BEG∠BEF＝58°，由平行線的性質即可得到結論．
∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于點G，
∴∠BEG∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．
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