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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第三章 函數
3.1 函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平面直角坐標系內點的坐標特征 ☆☆ 數學中考中，有關函數初步的部分，每年考查1道題或者滲透在其他問題里，,分值為6分左右，通常以選擇題、 填空題出現。對于這部分知識的復習需要學生熟練掌握函數的自變量取值范圍，函數圖像的應用。能根據給出的函數表達式，畫出函數的圖像。
考點2 函數及自變量的取值范圍 ☆☆
考點3 函數圖象及其應用 ☆☆
考點4 函數圖象的分析與判斷 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 平面直角坐標系內點的坐標特征
1.各象限點的坐標特點
①第一象限的點：橫坐標>0，縱坐標>0；
②第二象限的點：橫坐標<0，縱坐標>0；
③第三象限的點：橫坐標<0，縱坐標<0；
④第四象限的點：橫坐標>0，縱坐標<0。
2.坐標軸上點的坐標特點
①x軸正半軸上的點：橫坐標>0，縱坐標=0；
②x軸負半軸上的點：橫坐標<0，縱坐標=0；
③y軸正半軸上的點：橫坐標=0，縱坐標>0；
④y軸負半軸上的點：橫坐標=0，縱坐標<0；
⑤坐標原點：橫坐標=0，縱坐標=0。
3．對稱點的坐標特點
①關于x軸對稱的兩個點，橫坐標相等，縱坐標互為相反數；
②關于y軸對稱的兩個點，縱坐標相等，橫坐標互為相反數；
③關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數。
4. 平移前后，點的坐標的變化規律
（1）點(x，y)左移 a 個單位長度后點的坐標為：(x－a，y)；
（2）點(x，y)右移 a 個單位長度后點的坐標為：(x＋a，y)；
（3）點(x，y)上移 a 個單位長度后點的坐標為：(x，y＋a)；
（4）點(x，y)下移 a 個單位長度后點的坐標為：(x，y－a)．
【口訣記憶】正向右負向左，正向上負向下．
考點2. 函數及自變量的取值范圍
1.函數的定義
（1）一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數．
（2）對函數定義的理解，主要抓住以下4點：
①有兩個變量．
②函數不是數，函數的本質是對應，函數關系就是變量之間的對應關系，且是一種特殊的對應關系，一個變量的數值隨著另一個變量數值的變化而變化．
③函數的定義中包括了對應值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數有且只有一個值與之對應，對自變量x的不同取值，y的值可以相同。
④在某個變化過程中處于主導地位的變量即為自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的另一個變量即為該自變量的函數.
（2）函數取值范圍的確定
使函數有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍，函數自變量的取值范圍的確定必須考慮兩個方面：①不同類型的函數關系式中自變量取值范圍的求解方法；②當用函數關系式表示實際問題時，自變量的取值不但要使函數關系式有意義，而且還必須使實際問題有意義．
【溫馨提醒】求函數自變量的取值范圍注意的幾點
①整式型：自變量取全體實數；
②分式型：自變量取值要使分母不為 0；
③二次根式型：自變量取值要使被開方數大于等于 0.對于具有實際意義的函數，自變量取值范圍還應使實際問題有意義
2.函數解析式及函數值
（1）函數解析式：用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法，這種式子叫做函數的解析式．
注意：①函數解析式是等式．②函數解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數，通常等式右邊的代數式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數．③書寫函數的解析式是有順序的．④用數學式子表示函數的方法叫做解析式法．
（2）函數值：對于自變量x在取值范圍內的某個確定的值a，函數y所對應的值為b，即當x=a，y=b時，b叫做自變量x的值為a時的函數值．
3.函數的表示方法
函數的表示方法一般有三種：解析式法、列表法和圖象法。
表示函數關系時，要根據具體情況選擇適當的方法，有時為了全面地認識問題，需要幾種方法同時使用。
考點3. 函數圖象及其應用
1.函數的圖象及其畫法
一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．
畫函數的圖象，可以運用描點法，其一般步驟如下：
①列表：表中列舉一些自變量的值及其對應的函數值，自變量的取值不應使函數值太大或太小，以便于描點，點數一般以5到7個為宜．
②描點：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點．描點時，要注意橫、縱坐標的符號與點所在的象限（或坐標軸）之間的關系，描出的點大小要適中，位置要準確．
③連線：按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．
2. 函數的圖象的功能
1．函數圖象上的任意點（x，y）中的x，y滿足函數解析式。
2．滿足函數解析式的任意一對（x，y）的值，所對應的點一定在函數的圖象上。
3．利用函數圖象可以求方程的解、不等式的解集、方程組的解，還可以預測變量的變化趨勢。
考點4. 函數圖象的分析與判斷
類型1.　根據函數性質判斷函數圖象
(1)若題目中明確給出一個函數的圖象，則根據函數圖象及函數圖象上的點得出函數解析式中未知系數的值或取值范圍，進而可判斷出所求函數的大致圖象；
（2）若題目中未給出任何一個函數的圖象，則要根據題目中給出的交點條件，判斷函數圖象大致所在象限，再將交點坐標分別代入題干中的函數解析式中，即可得出函數解析式中未知系數的值或取值范圍，進而可判斷出所求函數的大致圖象；
類型2.　分析實際問題判斷函數圖象
1.找起點（明確自變量和因變量）
2.找特殊點（交點或者轉折點）
3.判斷圖象的趨勢
4.看是否與坐標軸相交
類型3.　分析幾何圖形動態問題判斷函數圖象
此類函數是由分段函數組成，解題的關鍵是認真分析題意，弄清每一段上的函數值是如何隨自變量變化而變化的，在解決此類問題時，有時需要先求出函數的關系式再進行判斷。具體方法：
方法一：趨勢判斷法. 根據幾何圖形的構造特點，對動點運動進行分段，并判斷每段對應函數圖象的增減變化趨勢；
方法二：解析式計算法. 根據題意求出每段的函數解析式，結合解析式對應的函數圖象進行判斷；
方法三：定點求值法. 結合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數值，對選項進行排除；
方法四：范圍排除法. 根據動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進行排除．
【易錯點提示】動點問題函數的圖像
1．動點問題多數情況下會與分類討論的數學思想及方程、函數思想結合起來進行．
2．把動點產生的線段長用時間變量t表示出來以后，動點問題就“靜態化”處理了．
考點1. 平面直角坐標系內點的坐標特征
【例題1】（2024廣西）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為，則點Q的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題主要考查點的坐標，理解點的坐標意義是關鍵．根據點P的坐標可得出橫、縱軸上一格代表一個單位長度，然后觀察坐標系即可得出答案．
【詳解】∵點P的坐標為，
∴點Q的坐標為，故選：C．
【變式練1】（2024杭州一模）在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設點坐標為，根據第二象限點的橫縱坐標的符號，求解即可．
設點坐標為，
∵點在第二象限內，
∴，，
∵點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，
∴，，
∴，，
即點坐標為，
故選：D
【點睛】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值是解題的關鍵．
【變式練2】（2024濟南一模）在平面直角坐標系中，若點A（a，﹣b）在第三象限，則點B（﹣ab，b）所在的象限
是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
【解析】根據點A（a，﹣b）在第三象限，可得a＜0，﹣b＜0，得b＞0，﹣ab＞0，進而可以判斷點B（﹣ab，b）所在的象限．
∵點A（a，﹣b）在第三象限，
∴a＜0，﹣b＜0，
∴b＞0，
∴﹣ab＞0，
∴點B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．
【變式練3】（2024沈陽一模）點P(m，2)在第二象限內，則m的值可以是(寫出一個即可)______．
【答案】－1（答案不唯一，負數即可）
【解析】根據第二象限的點符號是“-，+”，m取負數即可．
∵點P(m，2)在第二象限內，∴，m取負數即可，如m=-1，
【點睛】本題考查已知點所在象限求參數，屬于基礎題，掌握第二象限點坐標的符號是“-，+”是解題的關鍵．
考點2. 函數及自變量的取值范圍
【例題2】 （2024甘肅威武）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了列函數關系式，觀察可知，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是，再根據長桌的長等于小桌的長加上2倍的小桌的寬列出對應的函數關系式即可．
【詳解】由題意可得，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是，
∴，故選：B．
【變式練1】（2024安徽一模）關于變量說法正確的是（ ）
A.在一個變化過程中可以取不同數值的量叫變量；
B.在一個變化過程中只能取同一數值的量叫變量；
C.在一個變化過程中可以取同一數值的量叫變量；
D.在一個變化過程中只能取同一數值的量叫變量。
【答案】A
【解析】變量是指在一個變化過程中可以取不同數值的量。 常量是指在一個變化過程中只能取同一數值的量。
【變式練2】（2024湖南一模）已知函數y＝，若y＝2，則x＝　　 ．
【答案】2
【解析】根據題意，進行分類解答，即可求值．
∵y＝2．
∴當x2＝2時，x＝．
∵0≤x＜1．
∴x＝（舍去）．
當2x﹣2＝2時，x＝2．
本題考查根據函數值，求自變量的值．關鍵在于求出自變量的值一定要符合取值范圍．
【變式練3】（2024福建一模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是 　 　．
【答案】x≠．
【解析】根據當函數表達式是分式時，分母不為0可得答案．
7x﹣5≠0，x≠．
【變式練4】（2024海南一模）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】且
【解析】根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出，即可求解．
依題意，
∴且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了求函數自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
考點3. 函數圖象及其應用
【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發，沿著的路徑行進，過點作，垂足為．設點的運動路程為，為，與的函數圖象如圖2，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了動點問題的函數圖象，根據圖象得出信息是解題的關鍵．
根據函數的圖象與坐標的關系確定的長，再根據矩形性質及勾股定理列方程求解．
由圖象得：，當時，，此時點P在邊上，
設此時，則，，
在中，，
即：，
解得：，
，故選：B．
【變式練1】（2024自貢一模）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的是（　　）
A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘
B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米
C．報亭到小亮家的距離是400米
D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘
【答案】D
【解析】根據圖象逐個分析即可．
A、由圖象得：小亮從家到羽毛球館用了7分鐘，故A選項不符合題意；
B、由圖象可知：小亮從羽毛球館到報亭的平均速度為：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B選項不符合題意；
C、由圖象知報亭到小亮家的距離是0.4千米，即400米，故C選項不符合題意；
D、由圖象知小亮打羽毛球的時間是37﹣7＝30（分鐘），故D選項符合題意；
故選：D．
本題考查了函數圖象，觀察圖象，從圖象中獲取信息是解題的關鍵．
【變式練2】（2024北京一模）如圖①所示，矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，y關于x的函數圖象如圖②所示．
(1)求矩形ABCD的面積；
(2)求點M、點N的坐標；
(3)如果△ABP的面積為矩形ABCD面積的，求滿足條件的x的值．
　　　
【答案】C
【解析】(1)點P從點B運動到點C的過程中，運動路程為4時，面積發生了變化且面積達到最大，說明BC的長為4；當點P在CD上運動時，△ABP的面積保持不變，就是矩形ABCD面積的一半，并且運動路程由4到9，說明CD的長為5.然后求出矩形的面積；(2)利用(1)中所求可得當點P運動到點C時，△ABP的面積為10，進而得出M點坐標，利用AD，BC，CD的長得出N點坐標；(3)分點P在BC、CD、AD上時，分別求出點P到AB的距離，然后根據三角形的面積公式列式即可求出y關于x的函數關系式，進而求出x即可．
解：(1)結合圖形可知，P點在BC上，△ABP的面積為y增大，當x在4～9之間，△ABP的面積不變，得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面積為4×5＝20；
(2)由(1)得當點P運動到點C時，△ABP的面積為10，則點M的縱坐標為10，故點M坐標為(4，10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故點N的坐標為(13，0)；
(3)當△ABP的面積為矩形ABCD面積的，則△ABP的面積為20×＝4.
①點P在BC上時，0≤x≤4，點P到AB的距離為PB的長度x，y＝AB·PB＝×5x＝，令＝4，解得x＝1.6；
②點P在CD上時，4≤x≤9，點P到AB的距離為BC的長度4，y＝AB·PB＝×5×4＝10(不合題意，舍去)；
③點P在AD上時，9≤x≤13時，點P到AB的距離為PA的長度13－x，y＝AB·PA＝×5×(13－x)＝(13－x)，令(13－x)＝4，解得x＝11.4，
綜上所述，滿足條件的x的值為1.6或11.4.
方法總結：函數圖象與圖形面積是運用數形結合思想的典型問題，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義．
考點4. 函數圖象的分析與判斷
【例題4】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查動態問題與函數圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數圖象之間的關系，以及對應點是解題的關鍵，根據題意并結合選項分析當與重合時，及當時圖象的走勢，和當時圖象的走勢即可得到答案．
【詳解】當與重合時，設，由題可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴當時，，
∵，
∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當在下方時，設，由題可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，
∵，
∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，
綜上所述：A正確，故選：A．
【變式練1】（2024大連一模）李強同學去登山，先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山過程中，他行走的路程S隨時間t的變化規律的大致圖象
是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意進行判斷，先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，可以排除A和C，又勻速下山，上山的速度小于下山的速度，排除D，進而可以判斷．
【解析】因為登山過程可知：
先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下山，上山的速度小于下山的速度．
所以在登山過程中，他行走的路程S隨時間t的變化規律的大致圖象是B．
【變式練2】（2024天津一模）為了節能減排，鼓勵居民節約用電，某市將出臺新的居民用電收費標準：(1)若每戶居民每月用電量不超過100度，則按0.50元/度計算；(2)若每戶居民每月用電量超過100度，則超過部分按0.80元/度計算(未超過部分仍按每度電0.50元計算)．現假設某戶居民某月用電量是x(單位：度)，電費為y(單位：元)，則y與x的函數關系用圖象表示正確的是(　　)
【答案】C
【解析】據題意，當0≤x≤100時，y＝0.5x；當x＞100時，y＝100×0.5＋0.8(x－100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y與x的函數關系為y＝縱觀各選項，只有C選項圖形符合．故選C.
方法總結：根據圖象讀取信息時，要把握住以下三個方面：①橫、縱軸的意義，以及橫、縱軸分別表示的量；②要求關于某個具體點，向橫、縱軸作垂線來求得該點的坐標；③在實際問題中，要注意圖象與x軸、y軸交點坐標代表的具體意義．
考點1 平面直角坐標系內點的坐標特征（含坐標與圖形）
1. 在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據關于原點對稱的點的坐標特征：橫坐標、縱坐標都變為相反數，即可得答案.
∵點關于原點的對稱點為，
∴的坐標為（-1，-2），故選D．
【點睛】本題考查關于原點對稱的點的坐標，其坐標特征為：橫坐標、縱坐標都變為相反數．
2. （2024四川成都市）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了求關于原點對稱的點的坐標．關于原點對稱的兩點，則其橫、縱坐標互為相反數，由點關于原點對稱的坐標特征即可求得對稱點的坐標．
【詳解】點關于原點對稱的點的坐標為；故選：B．
3. （2024四川涼山）點關于原點對稱的點是，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，代數式求值，根據關于原點對稱的點，橫縱坐標互為相反數可得，，再代入代數式計算即可求解，掌握關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．
【詳解】∵點關于原點對稱的點是，
∴，，
∴，故選：．
4. （2024湖南長沙）在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查坐標與圖形變換-平移變換，根據點的坐標平移規則：左減右加，上加下減求解即可．
在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為，即，
故選：D．
5. （2024江西省）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，則點B的坐標為______．
【答案】
【解析】本題考查了坐標與圖形變化－平移．利用點平移的坐標規律，把A點的橫坐標加2，縱坐標加3即可得到點B的坐標．
【詳解】∵點向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，
∴點B的坐標為，即．
6. （2024湖南省）在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（ ）
A. B. 若點P為“整點”，則點P的個數為3個
C. 若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D. 若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10
【答案】C
【解析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內點的特征求出a的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利用“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D．
【詳解】∵點在第二象限，
∴，
∴，故選項A錯誤；
∵點為“整點”， ，
∴整數a為，，0，1，
∴點P的個數為4個，故選項B錯誤；
∴“整點”P為，，，，
∵，，，
∴“超整點”P為，故選項C正確；
∵點為“超整點”，
∴點P坐標為，
∴點P到兩坐標軸的距離之和，故選項D錯誤，故選：C．
7. （2024河北省）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．
例：“和點”按上述規則連續平移3次后，到達點，其平移過程如下：
若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點，則點Q的坐標為（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】本題考查了坐標內點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題的關鍵．
先找出規律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，按照的反向運動理解去分類討論：①先向右1個單位，不符合題意；②先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為．
【詳解】由點可知橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，繼而向上平移1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2，繼而向左平移1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，又要向上平移1個單位，因此發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，
若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點，則按照“和點”反向運動16次求點Q坐標理解，可以分為兩種情況：
①先向右1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0，應該是向右平移1個單位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1個單位得到，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，則應該向上平移1個單位得到，故符合題意，那么點先向下平移，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．
8. （2024貴州省）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團．小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為，，則“技”所在的象限為（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】本題考查坐標與圖形，先根據題意確定平面直角坐標系，然后確定點的位置．
如圖建立直角坐標系，則“技”在第一象限，
故選A．
9. （2024河北省）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（ ）
A. 點A B. 點B C. 點C D. 點D
【答案】B
【解析】本題考查的是矩形的性質，坐標與圖形，分式的值的大小比較，設，，，可得，，，再結合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．
設，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴該矩形四個頂點中“特征值”最小的是點B；故選：B．
10. （2024河南省）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為，則點E的坐標為___________．
【答案】
【解析】設正方形的邊長為a，與y軸相交于G，先判斷四邊形是矩形，得出，，，根據折疊的性質得出，，在中，利用勾股定理構建關于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理構建關于的方程，求出的值，即可求解．
【詳解】設正方形的邊長為a，與y軸相交于G，
則四邊形是矩形，
∴，，，
∵折疊，
∴，，
∵點A的坐標為，點F的坐標為，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴點E的坐標為，
【點睛】本題考查了正方形的性質，坐標與圖形，矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理等知識，利用勾股定理求出正方形的邊長是解題的關鍵．
11. （2024甘肅臨夏）如圖，在中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點在第一象限（不與點重合），且與全等，點的坐標是______．
【答案】
【解析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的性質．利用數形結合的思想是解題的關鍵．根據點在第一象限（不與點重合），且與全等，畫出圖形，結合圖形的對稱性可直接得出．
【詳解】∵點在第一象限（不與點重合），且與全等，
∴，，
∴可畫圖形如下，
由圖可知點C、D關于線段的垂直平分線對稱，則．
12. （2024甘肅威武）敦煌文書是華夏民族引以為傲藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為，那么有序數對記為對應的田地面積為（　　）
A. 一畝八十步 B. 一畝二十步 C. 半畝七十八步 D. 半畝八十四步
【答案】D
【解析】根據可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．
本題考查了坐標與位置的應用，熟練掌握坐標與位置的應用是解題的關鍵．
根據可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，
故對應的是半畝八十四步，故選D．
考點2 函數及自變量的取值范圍
1. （2024上海市）函數的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查求函數定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0，解不等式即可得到答案，熟練掌握求函數定義域的方法是解決問題的關鍵．
【詳解】函數的定義域是，解得，故選：D．
2. （2024江蘇揚州）在平面直角坐標系中，函數的圖像與坐標軸的交點個數是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】根據函數表達式計算當時y的值，可得圖像與y軸的交點坐標；由于的值不可能為0，即，因此圖像與x軸沒有交點，由此即可得解．
本題主要考查了函數圖像與坐標軸交點個數，掌握求函數圖像與坐標軸交點的計算方法是解題的關鍵．
【詳解】當時，，
∴與y軸的交點為；
由于是分式，且當時，，即，
∴與x軸沒有交點．
∴函數的圖像與坐標軸的交點個數是1個，故選：B．
3. （2024廣西）激光測距儀L發出的激光束以的速度射向目標M，后測距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離與時間的關系式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查列函數關系式，熟練掌握路程＝速度×時間是解題的關鍵．根據路程＝速度×時間列式即可．
，故選：A．
4. （2024黑龍江齊齊哈爾）在函數中，自變量的取值范圍是______．
【答案】且
【解析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關鍵．
由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
考點3 函數圖象及其應用
1. （2024河南省）把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發熱，存在安全隱患．數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1），插線板電源線產生的熱量Q與I的函數圖象（如圖2）．下列結論中錯誤的是（ ）
A. 當時， B. Q隨I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多
【答案】C
【解析】本題考查了函數圖象，準確從圖中獲取信息，并逐項判定即可．
【詳解】根據圖1知：當時，，故選項A正確，但不符合題意；
根據圖2知：Q隨I的增大而增大，故選項B正確，但不符合題意；
根據圖2知：Q隨I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故選項C錯誤，符合題意；
根據圖1知：I隨P的增大而增大，又Q隨I的增大而增大，則P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多，故選項D正確，但不符合題意；故選：C．
2.（2024廣州） 一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高和腳長之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：
腳長 … …
身高 … …
（1）在圖1中描出表中數據對應的點；
（2）根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
（3）如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人的身高．
【答案】（1）見解析 （2） （3）
【解析】【分析】本題考查了函數的實際應用，正確理解題意，選擇合適的函數模型是解題關鍵．
（1）根據表格數據即可描點；
（2）選擇函數近似地反映身高和腳長的函數關系，將點代入即可求解；
（3）將代入代入即可求解；
【小問1詳解】解：如圖所示：
【小問2詳解】解：由圖可知：隨著的增大而增大，
因此選擇函數近似地反映身高和腳長的函數關系，
將點代入得：
，
解得：
∴
【小問3詳解】解：將代入得：
∴估計這個人身高
考點4 函數圖象的分析與判斷
1. （2024四川資陽）小王前往距家2000米的公司參會，先以（米/分）的速度步行一段時間后，再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時間t（單位：分鐘）之間的函數圖象如圖所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達時距會議開始還有________分鐘．
【答案】5
【解析】本題考查了函數圖象的識別，解題的關鍵是理解題意，讀懂圖象中每條線段蘊含的信息，靈活運用所學知識解決問題．
根據圖象求出，進而得出小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達需要時間，即可解答．
根據題意可得：（米/分），
小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達需要時間為：（分），
由圖可知，會議開始時間為出發后（分），
∴若小王全程以的速度步行，則他到達時距會議開始還有（分），故答案為：5．
2. （2024江西省）將常溫中的溫度計插入一杯的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數與時間的關系用圖象可近似表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了函數圖象，根據溫度計上升到一定的溫度后不變，可得答案；注意溫度計的溫度升高到時溫度不變．
【詳解】將常溫中的溫度計插入一杯（恒溫）的熱水中，注意溫度計的溫度升高到時溫度不變，故C選項圖象符合條件，故選：C．
3. （2024山東煙臺）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現將菱形以的速度沿方向勻速運動，當點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數關系圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質，動點問題的函數圖象，二次函數的圖象的性質，先求得菱形的面積為，進而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得面積與運動時間的函數關系式，結合選項，即可求解．
如圖所示，設交于點，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴
∴
∴
當時，重合部分為，
如圖所示，
依題意，為等邊三角形，
運動時間為，則，
∴
當時，如圖所示，
依題意，，則
∴
∴
∵
∴當時，
當時，同理可得，
當時，同理可得，
綜上所述，當時，函數圖象為開口向上的一段拋物線，當時，函數圖象為開口向下的一段拋物線，當時，函數圖象為一條線段，當時，函數圖象為開口向下的一段拋物線，當時，函數圖象為開口向上的一段拋物線；故選：D．
4. （2024甘肅威武）如圖1，動點P從菱形的點A出發，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到中點時，的長為（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】結合圖象，得到當時，，當點P運動到點B時，，根據菱形的性質，得，繼而得到，當點P運動到中點時，的長為，解得即可．
本題考查了菱形的性質，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】結合圖象，得到當時，，
當點P運動到點B時，，
根據菱形的性質，得，
故，
當點P運動到中點時，的長為，故選C．
5. （2024武漢市）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了函數圖象；根據題意，分3段分析，即可求解．
下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，
所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩．故選：D．
6. （2024山東威海）同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時間（）的函數關系．下列結論正確的是（ ）
A. 甲車行駛與乙車相遇 B. ，兩地相距
C. 甲車速度是 D. 乙車中途休息分鐘
【答案】A
【解析】本題考查了函數圖象，根據函數圖象結合選項，逐項分析判斷，即可求解．
根據函數圖象可得兩地之間的距離為（）
兩車行駛了小時，同時到達地，
如圖所示，在小時時，兩車同向運動，在第2小時，即點時，兩車距離發生改變，此時乙車休息，
點的意義是兩車相遇，點意義是乙車休息后再出發，
∴乙車休息了1小時，故D不正確，
設甲車的速度為，乙車的速度為，
根據題意，乙車休息后兩車同時到達地，則甲車的速度比乙車的速度慢，
∵
即
在時，乙車不動，則甲車的速度是，
∴乙車速度為，故C不正確，
∴的距離為千米，故B不正確，
設小時兩輛車相遇，依題意得，
解得：即小時時，兩車相遇，故A正確 故選：A．
考點1 平面直角坐標系內點的坐標特征（含坐標與圖形）
1．在平面直角坐標系中，點A（a，2）與點B（6，b）關于原點對稱，則ab=________．
【答案】12
【解析】根據關于原點對稱的兩點坐標關系：橫、縱坐標均互為相反數，即求出a和b的值，從而求出結論．
∵點A（a，2）與點B（6，b）關于原點對稱，∴a=-6，b=-2∴ab=12．
【點睛】考查的是根據兩點關于原點對稱，求參數的值，掌握關于原點對稱兩點坐標關系是解題關鍵．
2．在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答即可．
【解答】解：點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（3，﹣2）．故選：D．
【點睛】考查的是根據兩點關于x軸對稱，求參數的值，掌握關于x軸對稱兩點坐標關系是解題關鍵．
3. 在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設點坐標為，根據第二象限點的橫縱坐標的符號，求解即可．
設點坐標為，
∵點在第二象限內，
∴，，
∵點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，
∴，，
∴，，
即點坐標為，
故選：D
【點睛】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值是解題的關鍵．
4．點A的坐標是（2，﹣3），將點A向上平移4個單位長度得到點A'，則點A'的坐標為_____．
【答案】（2，1）．
【解析】將點A的縱坐標加4，橫坐標不變，即可得出點A′的坐標．
將點A（2，﹣3）向上平移4個單位得到點A′，
則點A′的坐標是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案為（2，1）．
【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，掌握平移中點的變化規律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減是解題的關鍵．
5．在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為　 　．
【答案】（1，3）．
【解析】如圖：由A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），坐標可確定原點位置和坐標系：
由圖可得C（1，3），故答案為：（1，3）．
6．如圖，△A1B1C1是△ABC向右平移4個單位長度后得到的，且三個頂點坐標分別為A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）請畫出△ABC，并寫出點A、B、C的坐標；（2）求出△COA1的面積．
【答案】（1）圖見解析，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；（2）
【解析】（1）如圖所示：△ABC即為所求，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；
（2）△COA1的面積為：．
【點睛】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出對應點位置是解題關鍵．
考點2 函數及自變量的取值范圍
1. 在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】根據分式中分母不能等于零，列出不等式，計算出自變量x的范圍即可．
根據題意得：
∴
∴
故答案為：
【點睛】本題考查了函數自變量的取值范圍，分式有意義的條件，分母不為零，解答本題的關鍵是列出不等式并正確求解．
2．函數y的自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
【答案】D
【解析】根據被開方數大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．
由題意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，
解得x≥2且x≠5．
考點3 函數圖象及其應用
1. 某超市糯米的價格為5元/千克，端午節推出促銷活動：一次購買的數量不超過2千克時，按原價售出，超過2千克時，超過的部分打8折．若某人付款14元，則他購買了 千克糯米；設某人的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關于付款金額的函數解析式為 ．
【答案】 3 /
【解析】根據題意列出一元一次方程，函數解析式即可求解．
，
超過2千克，
設購買了千克，則，
解得，
設某人的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關于付款金額的函數解析式為：
，
∴
故答案為：3，．
【點睛】考查了一元一次方程的應用，列函數解析式，根據題意列出方程或函數關系式是解題的關鍵．
2．小紅星期天從家里出發騎車去舅舅家做客，當她騎了一段路時，想起要買個禮物送給表弟，于是又折回到剛經過的一家商店，買好禮物后又繼續騎車去舅舅家，如圖是她本次去舅舅家所用的時間與小紅離家的距離的關系式示意圖．根據圖中提供的信息回答下列問題：
（1）小紅家到舅舅家的路程是　　 米，小紅在商店停留了　　 分鐘；
（2）在整個去舅舅家的途中哪個時間段小紅騎車速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了多少米？
【答案】見解析
【解析】（1）根據圖象舅舅家縱坐標為1500，小紅家的縱坐標為0，
故小紅家到舅舅家的路程是1500米；據題意，小紅在商店停留的時間為從8分到12分，故小紅在商店停留了4分鐘．
故答案為：1500，4；
（2）根據圖象，12≤x≤14時，直線最陡，
故小紅在12﹣14分鐘最快，速度為＝450（米/分）；
（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）．
3. 德力格爾草原位于彰武縣境內，以草場資源豐富，景色優美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內外選手參加．甲、乙兩名選手同時參加了往返（單程）的業余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時間（h）之間的函數關系如圖所示，那么當甲到達終點時，乙距離終點 ．

【答案】4
【解析】先根據圖象得甲乙的速度差為4，再根據相遇時用了小時，列方程求解．
設甲的速度為x千米/小時，則乙的速度為千米/小時，
則：，
解得：，
∴，
∴，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了從函數圖象中獲取信息，正確提取圖象中的信息是解題的關鍵．
考點4 函數圖象的分析與判斷
1. 下列各曲線中不能表示y是x的函數是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】函數表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關系，這一需要把握的是，在函數可以表示的任意x值中，總有唯一的一個y與之對應．由圖可以看出，C中在x軸上下方分別有一個y與其對應，所以不能表示函數，故選C．
點評：定義考查題是比較基礎的試題，只要學生牢記定義，并且掌握其中的關鍵字眼，在題目中靈活理解運用就行，本題的關鍵是要唯一的y與x一一對應．
2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，動點P從A點出發，沿折線A﹣C﹣B以每秒5個單位長度的速度運動（運動到B點停止），過點P作PD⊥AB于點D，則△APD的面積y與點P運動的時間x之間的函數圖象大致是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①當0≤x≤3時，點P在AC邊上，如圖所示：
此時AP＝5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠DAP，
∴△CAB∽△DAP，
∴＝＝，
∴AD＝＝＝3x，PD＝＝＝4x，
∴y＝AD PD＝×3x×4x＝6x2；
②當3＜x≤7時，點P在BC邊上，如圖所示：
此時BP＝35﹣5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°＝∠C，
∵∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴＝＝，
∴PD＝＝＝21﹣3x，BD＝＝＝28﹣4x，
∴AD＝AB﹣BD＝25﹣（28﹣4x）＝4x﹣3，
∴y＝AD PD＝（4x﹣3）（21﹣3x）＝﹣6x2+x﹣．
故選：C．
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D，設點P運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（　　）
A B C D
【答案】D
【分析】分別求出0≤x≤4、4＜x＜7時函數表達式，即可求解．
【解析】由題意當0≤x≤4時，
yAD×AB3×4＝6，
當4＜x＜7時，
yPD×AD（7﹣x）×4＝14﹣2x．
4．（2023 綏化）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，動點M，N同時從A點出發，點M以每秒2個單位長度沿折線A﹣B﹣C向終點C運動；點N以每秒1個單位長度沿線段AD向終點D運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為x秒，△AMN的面積為y個平方單位，則下列正確表示y與x函數關系的圖象是（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】連接BD，過B作BE⊥AD于E，根據已知條件得到△ABD是等邊三角形，根據相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根據相似三角形的性質得到∠ANM＝∠AEB＝90°，當0≤x＜2時，點M在AB上，當2≤x≤4時，點M在BC上，根據三角形的面積公式即可得到結論．
連接BD，過B作BE⊥AD于E，當0≤x＜2時，點M在AB上，
在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，
∵AM＝2x，AN＝x，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABE，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴＝x，
∴y＝x×x＝x2，
當2≤x≤4時，點M在BC上，
y＝，
綜上所述，當 0≤x＜2時的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分，當2≤x≤4時，函數圖象是直線的一部分，故選：A．
本題考查了動點問題的函數圖象，二次函數的圖象，一次函數的圖象，矩形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第三章 函數
3.1 函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平面直角坐標系內點的坐標特征 ☆☆ 數學中考中，有關函數初步的部分，每年考查1道題或者滲透在其他問題里，,分值為6分左右，通常以選擇題、 填空題出現。對于這部分知識的復習需要學生熟練掌握函數的自變量取值范圍，函數圖像的應用。能根據給出的函數表達式，畫出函數的圖像。
考點2 函數及自變量的取值范圍 ☆☆
考點3 函數圖象及其應用 ☆☆
考點4 函數圖象的分析與判斷 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 平面直角坐標系內點的坐標特征
1.各象限點的坐標特點
①第一象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0；
②第二象限的點：橫坐標__0，縱坐標___0；
③第三象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0；
④第四象限的點：橫坐標___0，縱坐標___0。
2.坐標軸上點的坐標特點
①x軸正半軸上的點：橫坐標____0，縱坐標___0；
②x軸負半軸上的點：橫坐標___0，縱坐標___0；
③y軸正半軸上的點：橫坐標____0，縱坐標___0；
④y軸負半軸上的點：橫坐標___0，縱坐標____0；
⑤坐標原點：橫坐標____0，縱坐標____0。
3．對稱點的坐標特點
①關于x軸對稱的兩個點，橫坐標____，縱坐標_____；
②關于y軸對稱的兩個點，縱坐標_____，橫坐標______；
③關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別_______。
4. 平移前后，點的坐標的變化規律
（1）點(x，y)左移 a 個單位長度后點的坐標為：________；
（2）點(x，y)右移 a 個單位長度后點的坐標為：_________；
（3）點(x，y)上移 a 個單位長度后點的坐標為：_________；
（4）點(x，y)下移 a 個單位長度后點的坐標為：________．
【口訣記憶】正向右負向左，正向上負向下．
考點2. 函數及自變量的取值范圍
1.函數的定義
（1）一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的____，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是________，y是x的函數．
（2）對函數定義的理解，主要抓住以下4點：
①有____個變量．
②函數_____數，函數的本質是對應，函數關系就是_____之間的對應關系，且是一種特殊的對應關系，一個變量的數值隨著另一個變量數值的變化而變化．
③函數的定義中包括了對應值的_____性和_____性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數有且只有一個值與之對應，對自變量x的不同取值，y的值可以______。
④在某個變化過程中處于主導地位的變量即為自變量，隨之變化且對應值有唯一確定性的另一個變量即為該自變量的函數.
（2）函數取值范圍的確定
使函數有意義的自變量的取值的______叫做自變量的取值范圍，函數自變量的取值范圍的確定必須考慮兩個方面：①不同類型的函數關系式中自變量取值范圍的求解方法；②當用函數關系式表示實際問題時，自變量的取值不但要使_______有意義，而且還必須使_______有意義．
【溫馨提醒】求函數自變量的取值范圍注意的幾點
①整式型：自變量取全體實數；
②分式型：自變量取值要使分母不為 0；
③二次根式型：自變量取值要使被開方數大于等于 0.對于具有實際意義的函數，自變量取值范圍還應使實際問題有意義
2.函數解析式及函數值
（1）函數解析式：用關于自變量的數學式子表示______與_____之間的關系，是描述函數的常用方法，這種式子叫做函數的解析式．
注意：①函數解析式是等式．②函數解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數，通常等式右邊的代數式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數．③書寫函數的解析式是有順序的．④用數學式子表示函數的方法叫做解析式法．
（2）函數值：對于自變量x在_____內的某個確定的值a，函數y所對應的值為b，即當x=a，y=b時，b叫做自變量x的值為a時的函數值．
3.函數的表示方法
函數的表示方法一般有三種：______法、______法和_____法。
表示函數關系時，要根據具體情況選擇適當的方法，有時為了全面地認識問題，需要幾種方法同時使用。
考點3. 函數圖象及其應用
1.函數的圖象及其畫法
一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．
畫函數的圖象，可以運用描點法，其一般步驟如下：
①______：表中列舉一些自變量的值及其對應的函數值，自變量的取值不應使函數值太大或太小，以便于描點，點數一般以5到7個為宜．
②_______：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點．描點時，要注意橫、縱坐標的符號與點所在的象限（或坐標軸）之間的關系，描出的點大小要適中，位置要準確．
③______：按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．
2. 函數的圖象的功能
1．函數圖象上的任意點（x，y）中的x，y滿足函數______。
2．滿足函數解析式的任意一對（x，y）的值，所對應的點一定在函數的____上。
3．利用函數圖象可以求______的解、______的解集、______的解，還可以預測____的變化趨勢。
考點4. 函數圖象的分析與判斷
類型1.　根據函數性質判斷函數圖象
(1)若題目中明確給出一個函數的圖象，則根據函數圖象及函數圖象上的點得出函數解析式中未知系數的值或取值范圍，進而可判斷出所求函數的大致圖象；
（2）若題目中未給出任何一個函數的圖象，則要根據題目中給出的交點條件，判斷函數圖象大致所在象限，再將交點坐標分別代入題干中的函數解析式中，即可得出函數解析式中未知系數的值或取值范圍，進而可判斷出所求函數的大致圖象；
類型2.　分析實際問題判斷函數圖象
1.找起點（明確自變量和因變量）
2.找特殊點（交點或者轉折點）
3.判斷圖象的趨勢
4.看是否與坐標軸相交
類型3.　分析幾何圖形動態問題判斷函數圖象
此類函數是由分段函數組成，解題的關鍵是認真分析題意，弄清每一段上的函數值是如何隨自變量變化而變化的，在解決此類問題時，有時需要先求出函數的關系式再進行判斷。具體方法：
方法一：趨勢判斷法. 根據幾何圖形的構造特點，對動點運動進行分段，并判斷每段對應函數圖象的增減變化趨勢；
方法二：解析式計算法. 根據題意求出每段的函數解析式，結合解析式對應的函數圖象進行判斷；
方法三：定點求值法. 結合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數值，對選項進行排除；
方法四：范圍排除法. 根據動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進行排除．
【易錯點提示】動點問題函數的圖像
1．動點問題多數情況下會與分類討論的數學思想及方程、函數思想結合起來進行．
2．把動點產生的線段長用時間變量t表示出來以后，動點問題就“靜態化”處理了．
考點1. 平面直角坐標系內點的坐標特征
【例題1】（2024廣西）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為，則點Q的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024杭州一模）在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式練2】（2024濟南一模）在平面直角坐標系中，若點A（a，﹣b）在第三象限，則點B（﹣ab，b）所在的象限
是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式練3】（2024沈陽一模）點P(m，2)在第二象限內，則m的值可以是(寫出一個即可)______．
考點2. 函數及自變量的取值范圍
【例題2】 （2024甘肅威武）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（　　）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024安徽一模）關于變量說法正確的是（ ）
A.在一個變化過程中可以取不同數值的量叫變量；
B.在一個變化過程中只能取同一數值的量叫變量；
C.在一個變化過程中可以取同一數值的量叫變量；
D.在一個變化過程中只能取同一數值的量叫變量。
【變式練2】（2024湖南一模）已知函數y＝，若y＝2，則x＝　　 ．
【變式練3】（2024福建一模）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是 　 　．
【變式練4】（2024海南一模）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
考點3. 函數圖象及其應用
【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發，沿著的路徑行進，過點作，垂足為．設點的運動路程為，為，與的函數圖象如圖2，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024自貢一模）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的是（　　）
A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘
B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米
C．報亭到小亮家的距離是400米
D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘
【變式練2】（2024北京一模）如圖①所示，矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，y關于x的函數圖象如圖②所示．
(1)求矩形ABCD的面積；
(2)求點M、點N的坐標；
(3)如果△ABP的面積為矩形ABCD面積的，求滿足條件的x的值．
　　　
考點4. 函數圖象的分析與判斷
【例題4】（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024大連一模）李強同學去登山，先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山過程中，他行走的路程S隨時間t的變化規律的大致圖象
是（　　）
A． B．
C． D．
【變式練2】（2024天津一模）為了節能減排，鼓勵居民節約用電，某市將出臺新的居民用電收費標準：(1)若每戶居民每月用電量不超過100度，則按0.50元/度計算；(2)若每戶居民每月用電量超過100度，則超過部分按0.80元/度計算(未超過部分仍按每度電0.50元計算)．現假設某戶居民某月用電量是x(單位：度)，電費為y(單位：元)，則y與x的函數關系用圖象表示正確的是(　　)
考點1 平面直角坐標系內點的坐標特征（含坐標與圖形）
1. 在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是( )
A. B. C. D.
2. （2024四川成都市）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川涼山）點關于原點對稱的點是，則的值是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南長沙）在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
5. （2024江西省）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，則點B的坐標為______．
6. （2024湖南省）在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（ ）
A. B. 若點P為“整點”，則點P的個數為3個
C. 若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D. 若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10
7. （2024河北省）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．
例：“和點”按上述規則連續平移3次后，到達點，其平移過程如下：
若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點，則點Q的坐標為（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. （2024貴州省）為培養青少年的科學態度和科學思維，某校創建了“科技創新”社團．小紅將“科”“技”“創”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標系，使“創”“新”的坐標分別為，，則“技”所在的象限為（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. （2024河北省）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（ ）
A. 點A B. 點B C. 點C D. 點D
10. （2024河南省）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為，則點E的坐標為___________．
11. （2024甘肅臨夏）如圖，在中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點在第一象限（不與點重合），且與全等，點的坐標是______．
12. （2024甘肅威武）敦煌文書是華夏民族引以為傲藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為，那么有序數對記為對應的田地面積為（　　）
A. 一畝八十步 B. 一畝二十步 C. 半畝七十八步 D. 半畝八十四步
考點2 函數及自變量的取值范圍
1. （2024上海市）函數的定義域是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江蘇揚州）在平面直角坐標系中，函數的圖像與坐標軸的交點個數是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
3. （2024廣西）激光測距儀L發出的激光束以的速度射向目標M，后測距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離與時間的關系式為（ ）
A. B. C. D.
4. （2024黑龍江齊齊哈爾）在函數中，自變量的取值范圍是______．
考點3 函數圖象及其應用
1. （2024河南省）把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線會明顯發熱，存在安全隱患．數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1），插線板電源線產生的熱量Q與I的函數圖象（如圖2）．下列結論中錯誤的是（ ）
A. 當時， B. Q隨I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多
2.（2024廣州） 一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數據，通過對數據的整理和分析，發現身高和腳長之間近似存在一個函數關系，部分數據如下表：
腳長 … …
身高 … …
（1）在圖1中描出表中數據對應的點；
（2）根據表中數據，從和中選擇一個函數模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數關系，并求出這個函數的解析式（不要求寫出的取值范圍）；
（3）如圖2，某場所發現了一個人的腳印，腳長約為，請根據（2）中求出的函數解析式，估計這個人的身高．
考點4 函數圖象的分析與判斷
1. （2024四川資陽）小王前往距家2000米的公司參會，先以（米/分）的速度步行一段時間后，再改騎共享單車直達會議地點，到達時距會議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時間t（單位：分鐘）之間的函數圖象如圖所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達時距會議開始還有________分鐘．
2. （2024江西省）將常溫中的溫度計插入一杯的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數與時間的關系用圖象可近似表示為（ ）
A. B. C. D.
3. （2024山東煙臺）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現將菱形以的速度沿方向勻速運動，當點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數關系圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. （2024甘肅威武）如圖1，動點P從菱形的點A出發，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數圖象如圖2所示，當點P運動到中點時，的長為（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
5. （2024武漢市）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024山東威海）同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時間（）的函數關系．下列結論正確的是（ ）
A. 甲車行駛與乙車相遇 B. ，兩地相距
C. 甲車速度是 D. 乙車中途休息分鐘
考點1 平面直角坐標系內點的坐標特征（含坐標與圖形）
1．在平面直角坐標系中，點A（a，2）與點B（6，b）關于原點對稱，則ab=________．
2．在平面直角坐標系中，點（3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
3. 在平面直角坐標系的第二象限內有一點P，點P到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點P的坐標是（ ）
A． B． C． D．
4．點A的坐標是（2，﹣3），將點A向上平移4個單位長度得到點A'，則點A'的坐標為_____．
5．在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為　 　．
6．如圖，△A1B1C1是△ABC向右平移4個單位長度后得到的，且三個頂點坐標分別為A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）請畫出△ABC，并寫出點A、B、C的坐標；（2）求出△COA1的面積．
考點2 函數及自變量的取值范圍
1. 在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
2．函數y的自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
考點3 函數圖象及其應用
1. 某超市糯米的價格為5元/千克，端午節推出促銷活動：一次購買的數量不超過2千克時，按原價售出，超過2千克時，超過的部分打8折．若某人付款14元，則他購買了 千克糯米；設某人的付款金額為元，購買量為千克，則購買量關于付款金額的函數解析式為 ．
2．小紅星期天從家里出發騎車去舅舅家做客，當她騎了一段路時，想起要買個禮物送給表弟，于是又折回到剛經過的一家商店，買好禮物后又繼續騎車去舅舅家，如圖是她本次去舅舅家所用的時間與小紅離家的距離的關系式示意圖．根據圖中提供的信息回答下列問題：
（1）小紅家到舅舅家的路程是　　 米，小紅在商店停留了　　 分鐘；
（2）在整個去舅舅家的途中哪個時間段小紅騎車速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了多少米？
3. 德力格爾草原位于彰武縣境內，以草場資源豐富，景色優美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內外選手參加．甲、乙兩名選手同時參加了往返（單程）的業余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時間（h）之間的函數關系如圖所示，那么當甲到達終點時，乙距離終點 ．

考點4 函數圖象的分析與判斷
1. 下列各曲線中不能表示y是x的函數是（　　）
A． B．
C． D．
2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，動點P從A點出發，沿折線A﹣C﹣B以每秒5個單位長度的速度運動（運動到B點停止），過點P作PD⊥AB于點D，則△APD的面積y與點P運動的時間x之間的函數圖象大致是（　　）
A．B．C．D．
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D，設點P運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（　　）
A B C D
4. 如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，動點M，N同時從A點出發，點M以每秒2個單位長度沿折線A﹣B﹣C向終點C運動；點N以每秒1個單位長度沿線段AD向終點D運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為x秒，△AMN的面積為y個平方單位，則下列正確表示y與x函數關系的圖象是（　　）
A．B． C．D．
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