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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.3 全等三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 全等三角形的判定與性質 ☆☆☆ 數學中考中，有關全等三角形的部分，每年考查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、 解答題的形式考查。特別是在考查綜合知識探索類實踐類試題里滲透考查三角形全等。也有的省市在解答題專門命制證明三角形全等和求值的試題。
考點2 全等三角形的實際應用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 全等三角形的判定與性質
1．全等三角形的性質：全等三角形的對應角、對應邊相等．
結論：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。
【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應元素常用方法有：
1.兩個全等的三角形經過一定的轉換可以重合．一般是平移、翻轉、旋轉的方法。
2.根據位置元素來找：有相等元素，它們就是對應元素，然后再依據已知的對應元素找出其余的對應元素．
3.全等三角形對應角所對的邊是對應邊；兩個對應角所夾的邊也是對應邊．
4.全等三角形對應邊所對的角是對應角；兩條對應邊所夾的角是對應角．
2. 理解并牢記三角形全等的五種判定方法
判定方法1：“邊邊邊”或“SSS”判定方法
三邊對應相等的兩個三角形全等。
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一個角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；
2.畫一條射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；
3.以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；
4.過點D′畫射線O′B′，則∠A′0′B′=∠AOB.
思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“邊角邊”或“SAS”判定方法
兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角邊角”或“ASA”判定方法
有兩角和它們夾邊對應相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角邊”或“AAS”判定方法
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何符號語言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
則Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
注意：證明兩個三角形全等的書寫步驟
1.準備條件：證全等時要用的條件要先證好；
2.指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
3.擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；
4.寫出結論：寫出全等結論.
考點2. 全等三角形的實際應用
1. 可以利用三角形全等知識求物體的長度、高度、距離、面積等。
2. 利用全等三角形可以測量一些不易測量的距離和長度，還可對某些因素作出判斷，一般采用以下步驟：
（1）先明確實際問題；
（2）根據實際抽象出幾何圖形；
（3）經過分析，找出證明途徑；
（4）書寫證明過程.
【易錯點提示】證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟
（1）確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系），
（2）回顧三角形判定，搞清我們還需要什么，
（3）正確地書寫證明格式.
考點3.角的平分線（重要補充）
1. 角平分線的概念
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分線
2.用尺規作角的平分線方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：
1.以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.
2.分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部相交于點C.
3.畫射線OC.
則：射線OC即為所求.
請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.
證明：在△OMC與△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分線.
3. 角平分線的性質
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何語言：
∵ 點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
4. 角的平分線判定定理
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應用所具備的條件：(1)點在角的內部；(2)該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).
幾何符號語言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)
【方法技巧指導】三角形中作輔助線的常用方法
（1）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.
（4）有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。
（5）有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。
（6）截長補短法作輔助線。
（7）延長已知邊構造三角形.
（8）連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。
（9）有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。
（10）連接已知點，構造全等三角形。
（11）取線段中點構造全等三有形。
考點1. 全等三角形的判定與性質
【例題1】（2024江蘇連云港）如圖，與相交于點，，．
（1）求證：；
（2）用無刻度的直尺和圓規作圖：求作菱形，使得點M在上，點N在上．（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】【分析】（1）根據平行線的性質得到，結合，利用即可證明；
（2）作的垂直平分線，分別交于點，連接即可．
【小問1詳解】
證明：，
，．
在和中，，
；
【小問2詳解】
解：是的垂直平分線，
，
由（1）的結論可知，,
又∵,
則,
∴
，
是的垂直平分線，
，
，
四邊形是菱形，
如圖所示，菱形為所求．
【點睛】本題考查了垂直平分線的作法，平行線的性質，三角形全等的判定，菱形的判定，熟練掌握垂直平分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關鍵．
【變式練1】（2024成都一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【答案】C
【解析】由四邊形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根據每個選項添加的條件逐一判斷．
由四邊形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS證明△ABE≌△ADF，故不符合題意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA證明△ABE≌△ADF，故不符合題意；
C、添加AE＝AD，不能證明△ABE≌△ADF，故符合題意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS證明△ABE≌△ADF，故不符合題意．
【變式練2】（2024哈爾濱一模）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應頂點，點B和點E是對應頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數為（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【解析】由全等三角形的性質可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，進而可求解∠CAF的度數．
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°．
【變式練3】（2024山東濟寧一模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補充一個條件 　 　，使△ABC≌△ADC．
【答案】AD＝AB（答案不唯一）．
【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
添加的條件是AD＝AB，
理由是：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
考點2. 全等三角形的實際應用
【例題2】（2024云南）如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？
【答案】見解析
【解析】將本題中的實際問題轉化為數學問題就是證明BD=CD.由已知條件可知AB=AC，AD⊥BC.
相等，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AD=AD
AB=AC
∴ Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL).
∴BD=CD.
【變式練1】（2024四川攀枝花一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學分別設計了以下兩種不同的方案．
方案Ⅰ：如圖，先在平地
上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，并使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，最后測出DC的長即可；
方案Ⅱ：如圖，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．
下列說法正確的是（　　）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
【答案】B
【解析】根據全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質求解即可．
方案Ⅰ：∵CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵DC＝DA，
∴△ACD是等腰三角形，
∵BE⊥AB，
∴AB＝BC，
∴Ⅱ可行，
綜上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．
故選：B．
此題考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
考點1 全等三角形的判定與性質
1. （2024安徽省）在凸五邊形中，，，F是的中點．下列條件中，不能推出與一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形“三線合一”性質的應用，熟練掌握全等三角形的判定的方法是解題的關鍵．
利用全等三角形的判定及性質對各選項進行判定，結合根據等腰三角形“三線合一”的性質即可證得結論．
【詳解】解：A、連接，
∵，，，
∴，
∴
又∵點F為的中點
∴，故不符合題意；
B、連接，
∵，，，
∴，
∴，
又∵點F為的中點，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合題意；
C、連接，
∵點F為的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合題意；
D、，無法得出題干結論，符合題意；故選：D．
2. （2024四川成都市）如圖，，若，，則的度數為______．
【答案】##100度
【解析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，求出，再利用三角形內角和求出的度數即可．
【詳解】由，，
∴，
∵，
∴
3. （2024江蘇鹽城）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析
【解析】【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出，再由全等三角形的判定和性質得出，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形的判定得出，結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．
【詳解】解：選擇①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
選擇②；
無法證明，
無法得出；
選擇③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即
4. （2024云南省）如圖，在和中，，，．
求證：．
【答案】見解析
【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．利用“”證明，即可解決問題．
【詳解】證明：，
，即，
在和中，
，
．
5. （2024四川樂山）知：如圖，平分，．求證：．
【答案】見解析
【解析】利用證明，即可證明．
平分，
，
在和中，
，
，
．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握、、、等全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
6. （2024四川南充）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．
（1）求證：．
（2）若，求證：
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質：
（1）由中點，得到，由，得到，即可得證；
（2）由全等三角形的性質，得到，進而推出垂直平分，即可得證．
【小問1詳解】
證明：為的中點，
．
；
在和中，
；
【小問2詳解】
證明：
垂直平分，
．
7. （2024四川內江）如圖，點、、、在同一條直線上，，，
（1）求證：；
（2）若，，求的度數．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題的關鍵.
（1）先證明，再結合已知條件可得結論；
（2）證明，再結合三角形的內角和定理可得結論.
【小問1詳解】
證明：∵
∴，即
∵，
∴
【小問2詳解】
∵，，
∴，
∵，
∴
8.（2024湖南長沙） 如圖，點C在線段上，，，．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，證明是等邊三角形是解答的關鍵．
（1）直接根據全等三角形的判定證明結論即可；
（2）根據全等三角形的性質得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質求解即可．
【小問1詳解】
證明：在與中，
，
所以；
【小問2詳解】
解：因為，，
所以，，
所以是等邊三角形．
所以．
9. （2024江蘇蘇州） 如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是：
（1）直接利用證明即可；
（2）利用全等三角形的性質可求出，利用三線合一性質得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．
【小問1詳解】
證明：由作圖知：．
在和中，
．
【小問2詳解】
解：，，
．
又，
，．
，
，
．
考點2 全等三角形的實際應用
1．（2024 寧夏）校園內有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數據，根據造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面積．
【答案】見解析
【解析】利用全等三角形的判定方法，結合三邊關系得出答案；直接利用全等三角形的性質以及直角三角形中30度所對邊與斜邊的關系的得出對應邊長，進而得出答案．
（1）證明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：過點A作AE⊥BC于點E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
則S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面積為：2×＝3（平方米）．
此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及全等三角形的應用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．
考點1 全等三角形的判定與性質
1．（2023 涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【答案】D
【解析】根據BE＝CF求出BF＝CE，再根據全等三角形的判定定理進行分析即可．
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴當∠A＝∠D時，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；
當∠AFB＝∠DEC時，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；
當AB＝DC時，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；
當AF＝DE時，無法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；
故選：D．
本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
2．（2023 重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為　　．
【答案】3
【解析】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據全等三角形的性質可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進一步可得EF的長．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．
本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
3．（2020 齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點A、B、E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個條件是　 　．（只填一個即可）
【答案】AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
【解析】利用全等三角形的判定方法添加條件．
∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，
∴當添加AD＝AC時，可根據“SAS”判斷△ABD≌△ABC；
當添加∠D＝∠C時，可根據“AAS”判斷△ABD≌△ABC；
當添加∠ABD＝∠ABC時，可根據“ASA”判斷△ABD≌△ABC．
4．（2022 鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【解析】過點E作EH⊥OA于點H，根據角平分線的性質可得EH＝EC，再根據平行線的性質可得∠ADE的度數，再根據含30°角的直角三角形的性質可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．
過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
本題考查了角平分線的性質，含30°角的直角三角形的性質，平行線的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
5．（2023 衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一條直線上．下面四個條件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．
（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．
【答案】見解析
【解析】（1）由題知，
選擇的三個條件是：①②③；
或者選擇的三個條件是：①③④．
證明：（2）當選擇①②③時，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
當選擇①③④時，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
本題考查全等三角形的證明，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
6．（2022 長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．
【答案】見解析
【解析】（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四邊形ABCD的面積是12．
本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理．
7．（2020無錫）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求證：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【答案】見解析。
【分析】（1）先由平行線的性質得∠B＝∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根據全等三角形的性質得∠AFB＝∠DEC，由等角的補角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行線的判定可得結論．
【解答】證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
8．（2020 溫州）如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．
（1）求證：△ABC≌△DCE．
（2）連結AE，當BC＝5，AC＝12時，求AE的長．
【答案】見解析。
【分析】（1）由“AAS”可證△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性質可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】證明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE13．
9.（2021無錫）已知：如圖，AC，DB相交于點O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求證：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
【答案】見解析。
【解析】（1）由已知條件，結合對頂角相的可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；
（2）由等邊對等角得結論．
證明：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∠ABO＝∠DCO，
AB＝DC，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
10. 如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CF∥AB，DF交AC于E點，DE＝EF．
（1）求證：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．
【答案】見解析。
【解析】（1）利用角角邊定理判定即可；
（2）利用全等三角形對應邊相等可得AD的長，用AB﹣AD即可得出結論．
【解答】（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
11．（2022 北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．
（1）如圖1，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；
（2）連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數量關系，并證明．
【答案】見解析
【解析】（1）證明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由題意補全圖形如下：
CD＝CH．
證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理的逆定理，證明△BCD≌△FCE是解題的關鍵．
考點2 全等三角形的實際應用
1. 如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測得．你能用已學過的知識或方法設計測量方案，求出A、B間的距離嗎？
【答案】見解析
【解析】要測量A、B間的距離，可用如下方法：
過點B作AB的垂線BF，在BF上取兩點C、D，使CD=BC，
再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，
∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴DE=BA．
答：測出DE的長就是A、B之間的距離．
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第四章 三角形及四邊形
4.3 全等三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 全等三角形的判定與性質 ☆☆☆ 數學中考中，有關全等三角形的部分，每年考查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、 解答題的形式考查。特別是在考查綜合知識探索類實踐類試題里滲透考查三角形全等。也有的省市在解答題專門命制證明三角形全等和求值的試題。
考點2 全等三角形的實際應用 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 全等三角形的判定與性質
1．全等三角形的性質：全等三角形的對應___、對應_____相等．
結論：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。
【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應元素常用方法有：
1.兩個全等的三角形經過一定的轉換可以重合．一般是平移、翻轉、旋轉的方法。
2.根據位置元素來找：有相等元素，它們就是對應元素，然后再依據已知的對應元素找出其余的對應元素．
3.全等三角形對應角所對的邊是對應邊；兩個對應角所夾的邊也是對應邊．
4.全等三角形對應邊所對的角是對應角；兩條對應邊所夾的角是對應角．
2. 理解并牢記三角形全等的五種判定方法
判定方法1：“邊邊邊”或“SSS”判定方法
___邊對應相等的兩個三角形全等。
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△ A′B′C′(SSS)
注意：作一個角等于已知角的方法
已知：∠AOB 求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.
作法：
1.以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；
2.畫一條射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；
3.以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；
4.過點D′畫射線O′B′，則∠A′0′B′=∠AOB.
思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2：“邊角邊”或“SAS”判定方法
___邊和它們的___分別相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3：“角邊角”或“ASA”判定方法
有____角和它們_____對應相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4：“角角邊”或“AAS”判定方法
____角分別相等且其中一組等角的____相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).
幾何符號語言：
在△ABC和△A′B′C′中，
則△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5：直角三角形“HL”判定方法
____邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何符號語言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
則Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′（HL）
注意：證明兩個三角形全等的書寫步驟
1.準備條件：證全等時要用的條件要先證好；
2.指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
3.擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；
4.寫出結論：寫出全等結論.
考點2. 全等三角形的實際應用
1. 可以利用三角形全等知識求物體的長度、高度、距離、面積等。
2. 利用全等三角形可以測量一些不易測量的距離和長度，還可對某些因素作出判斷，一般采用以下步驟：
（1）先明確實際問題；
（2）根據實際抽象出幾何圖形；
（3）經過分析，找出證明途徑；
（4）書寫證明過程.
【易錯點提示】證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟
（1）確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系），
（2）回顧三角形判定，搞清我們還需要什么，
（3）正確地書寫證明格式.
考點3.角的平分線（重要補充）
1. 角平分線的概念
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分線
2.用尺規作角的平分線方法.
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：
1.以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.
2.分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部相交于點C.
3.畫射線OC.
則：射線OC即為所求.
請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.
證明：在△OMC與△ONC中，
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分線.
3. 角平分線的性質
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何語言：
∵ 點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
4. 角的平分線判定定理
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應用所具備的條件：(1)點在角的內部；(2)該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).
幾何符號語言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)
【方法技巧指導】三角形中作輔助線的常用方法
（1）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明.
（2）在用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再用外角定理.
（3）有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.
（4）有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。
（5）有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。
（6）截長補短法作輔助線。
（7）延長已知邊構造三角形.
（8）連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。
（9）有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。
（10）連接已知點，構造全等三角形。
（11）取線段中點構造全等三有形。
考點1. 全等三角形的判定與性質
【例題1】（2024江蘇連云港）如圖，與相交于點，，．
（1）求證：；
（2）用無刻度的直尺和圓規作圖：求作菱形，使得點M在上，點N在上．（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）
【變式練1】（2024成都一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【變式練2】（2024哈爾濱一模）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應頂點，點B和點E是對應頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數為（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【變式練3】（2024山東濟寧一模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補充一個條件 　 　，使△ABC≌△ADC．
考點2. 全等三角形的實際應用
【例題2】（2024云南）如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？
【變式練1】（2024四川攀枝花一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學分別設計了以下兩種不同的方案．
方案Ⅰ：如圖，先在平地
上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，并使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，最后測出DC的長即可；
方案Ⅱ：如圖，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．
下列說法正確的是（　　）
A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行
C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
考點1 全等三角形的判定與性質
1. （2024安徽省）在凸五邊形中，，，F是的中點．下列條件中，不能推出與一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川成都市）如圖，，若，，則的度數為______．
3. （2024江蘇鹽城）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，，．
若________，則．
請從①；②；③這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并說明理由．
4. （2024云南省）如圖，在和中，，，．
求證：．
5. （2024四川樂山）知：如圖，平分，．求證：．
6. （2024四川南充）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．
（1）求證：．
（2）若，求證：
7. （2024四川內江）如圖，點、、、在同一條直線上，，，
（1）求證：；
（2）若，，求的度數．
8.（2024湖南長沙） 如圖，點C在線段上，，，．
（1）求證：；
（2）若，求的度數．
9. （2024江蘇蘇州） 如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
考點2 全等三角形的實際應用
1．（2024 寧夏）校園內有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數據，根據造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面積．
考點1 全等三角形的判定與性質
1．（2023 涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
2．（2023 重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為　　．
3．（2020 齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點A、B、E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個條件是　 　．（只填一個即可）
4．（2022 鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
5．（2023 衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一條直線上．下面四個條件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．
（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．
6．（2022 長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．
7．（2020無錫）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求證：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
8．（2020 溫州）如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．
（1）求證：△ABC≌△DCE．
（2）連結AE，當BC＝5，AC＝12時，求AE的長．
9.（2021無錫）已知：如圖，AC，DB相交于點O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求證：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
10. 如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CF∥AB，DF交AC于E點，DE＝EF．
（1）求證：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．
11．（2022 北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．
（1）如圖1，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；
（2）連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數量關系，并證明．
考點2 全等三角形的實際應用
1. 如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測得．你能用已學過的知識或方法設計測量方案，求出A、B間的距離嗎？
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