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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第三章 函數
3.5 二次函數的應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度 ☆☆ 數學中考中，有關二次函數實際應用的部分，每年若考查會出現1道題,分值為3~10分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。對于這部分知識的復習需要學生熟練平時多訓練，掌握解題技巧，會根據實際問題建立二次函數模型，求出函數解析式，會求解二次函數極值，注意自變量取值范圍，應用二次函數知識解答。
考點2 二次函數的實際應用 ☆☆
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 拋物線與線段長、 面積、角度
此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關動點函數圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數表達式，最后根據函數表達式判別圖象的變化．
1.線段問題
（1）確定線段長關系式（根據已知線段關系求點坐標）：先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數；繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標軸平行的話，則利用橫縱坐標相加減確定；如果與坐標軸不平行的話，先轉化為有邊在與坐標軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數或相似確定）.
（2）線段數量關系問題：根據前面所得的線段長的關系式，結合題干列出滿足線段數量關系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數值）
（3）線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯想到“對稱性質”，并進行解決。
2.面積問題
（1）設動點或圖形運動的時間并表示出點的坐標；
（2）用含有未知數的代數式表示出圖形的面積；
（3）用二次函數的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；
（4）特別注意，當所研究的圖形在運動過程中發生變化，要根據圖形的形狀進行分類討論，注意分析整個過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.
（5）面積為定值時，可將圖形面積與圖形中動點的坐標結合起來，列方程求得參數的值即可求得點坐標.
3.角問題
將二次函數圖像上的三角形三頂點坐標求出，可以求出三邊長度，作高，利用三角函數的定義求出角的正弦、或余弦、或正切值，最后得出角的大小。
考點2. 二次函數的實際應用
在生活中，我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關系，并且建立適當的直角坐標系，再根據題目中的已知條件建立數學模型，即列出函數關系式，然后運用數形結合的思想，根據函數性質去解決實際問題．主要考查的類型有：
1. 幾何圖形的最大面積問題
（1）求出函數解析式和自變量的取值范圍；
（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,
（3）檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內.
【提示】求幾何圖形最大最小面積時需要考慮兩個方面
一個關鍵：依據常見幾何圖形的面積公式，建立函數關系式；
一個注意：最值有時不在頂點處，則要利用函數的增減性來確定。
2. 商品利潤最大問題
求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤
×銷售量”
（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：
可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.
3. 拱橋問題和運動中的拋物線問題
【重要提醒】求二次函數的最大（或最小）值思路
當自變量的范圍有限制時，二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的最值可以根據以下步驟來確定：
1.配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸.
2.畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍.
3.判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關系.根據二次函數的性質，確定當x取何值時函數有最大或最小值.然后根據x的值，求出函數的最值.
考點3. 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
分別表示出三角形三個頂點坐標，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標.
通過作垂線，用勾股定理或相似建立等量關系求解三角形高，利用三角形面積公式求出其面積.
【易錯點提示】二次函數存在點的問題
1. 解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
2. 函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．
（1）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；
（2）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度
【例題1】（2024甘肅）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，點在軸上，且，，分別是線段，上的動點（點，不與點，，重合）．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）連接并延長交拋物線于點，當軸，且時，求的長；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當點在拋物線上時，求點的坐標；
②如圖3，連接，當時，求的最小值．
【答案】（1） （2） （3）①；②
【解析】【分析】（1）把點B代入拋物線關系式，求出a的值，即可得出拋物線的關系式；
（2）根據拋物線可求出點A的坐標，點C的坐標，根據，利用三角函數，求出DE的長，再求出點E的坐標，根據點P與點E的橫坐標相同，得出點P的橫坐標，代入拋物線的關系式，求出點P的縱坐標，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；
（3）①連接交于點，設，則，求出，得出點，將其代入拋物線關系式，列出關于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐標；
②在下方作且，連接，，證明，得出，說明當，，三點共線時，最小，最小為，過作，垂足為，先證明∠CAH=45°，算出AC長度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根據勾股定理求出CQ的長度即可得出結果．
【詳解】（1）∵在拋物線上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①連接交于點，如圖1所示：
∵與關于軸對稱，
∴，，
設，則，
，
∴，
∵點在拋物線上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，連接，，如圖2所示：
∵，
∴，
∴，
∴當，，三點共線時，最小，最小為，
過作，垂足為，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴
，
即的最小值為．
【變式練1】（2024山東泰安一模）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．
（1）求A點的坐標；
（2）如圖1，若B點關于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數a的值；
（3）定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數恰好是26個，求a的取值范圍．
【答案】（1） （2）或； （3）或．
【解析】【分析】（1）對于直線，令，求出x，即可求解；
（2）表示出點，，的坐標，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點不確定，需分類討論；
（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，各為13個，分別求出的范圍．
【小問1詳解】
解：對于直線，
當時，，
∴A點的坐標為；
【小問2詳解】
解：聯立直線與拋物線得：
，
，
或，
，，
點關于軸的對稱點為點，
，
，
，
，
若，則，即，所以，
若，則，即，所以，
若，則，即，此方程無解．
或；
【小問3詳解】
解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，
，，，
，
格點數恰好是26個，
落在軸和直線上的格點數應各為13個，
落在軸的格點應滿足，即，
①若，即，
所以線段上的格點應該為，，，，
②若，，，所以線段上的格點正好13個，
綜上，或．
【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及了二次函數的圖象和性質，一次函數的圖象和性質，勾股定理，關鍵是弄清格點只能落在軸和直線上，各為13個，并對點、進行定位．
【變式練2】（2024湖北一模）已知拋物線與軸交于點和點兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是拋物線上一動點（不與點，，重合），作軸，垂足為，連接．
①如圖1，若點在第三象限，且，求點的坐標；
②直線交直線于點，當點關于直線的對稱點落在軸上時，求四邊形的周長．
【答案】（1） （2）①；②或
【解析】
【分析】（1）把點，代入，即可求解；
（2）①過點C作CQ⊥DP于點Q，可得△CPQ為等腰直角三角形，從而得到PQ=CQ，設點，則OD=-m，，再由四邊形OCQD為矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，從而得到，即可求解；②過點E作EM∥x軸于點M，先求出直線BC的解析式為，證得四邊形為菱形，可得，然后根據△CEM∽△CBO，設點，則點，然后分三種情況討論，即可求解．
解：（1）把點，代入得：
，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：①如圖，過點C作CQ⊥DP于點Q，
∵點C（0，-3），∴OC=3，
∵，
∴△CPQ為等腰直角三角形，∴CQ=PQ，
設點，則OD=-m，，
∵軸，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四邊形OCQD為矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴點；
②如圖，過點E作EM∥x軸于點M，
令y=0，，
解得：（舍去），
∴點B（-4，0），
∴OB=4，
∴，
設直線BC的解析式為，
把點B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得：，
∴直線BC解析式為，
∵點關于直線的對稱點落在軸上時，
∴，，，
∵DP⊥x軸，
∴PD∥CE′，
∴，
∴，
∴CE=PE，
∴，
∴四邊形為菱形，
∵EM∥x軸，
∴△CEM∽△CBO，
∴，
設點， 則點，
當點P在y軸左側時，EM=-t，
當-4＜t＜0時，，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴，
∴四邊形的周長為；
當點P在y軸右側時，EM=-t，
當t≤-4時，，
∴，解得：或0（舍去），
此時，
∴四邊形的周長為；
當點P在y軸右側，即t＞0時，EM=t，，
∴，解得：或0，
不符合題意，舍去；
綜上所述，四邊形的周長為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、對稱的性質和菱形的判定方法；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質；會利用相似比計算線段的長和解一元二次方程是解題的關鍵．
考點2 二次函數的實際應用
【例題2】（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數關系的圖象，點在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】本題主要考查了二次函數的實際應用，根據題意求出當時，y的值，若此時y的值大于，則貨車能完全停到車棚內，反之，不能，據此求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
中，當時，，
∵，
∴可判定貨車能完全停到車棚內．
【變式練1】（2024廣州一模）如圖1，是某次排球比賽中運動員墊球時的動作，墊球后排球的運動路線可近似地看作拋物線，在圖2所示的平面直角坐標系中，運動員墊球時（圖2中點）離球網的水平距離為5米，排球與地面的垂直距離為0.5米，排球在球網上端0.26米處（圖2中點）越過球網（女子排球賽中球網上端距地面的高度為2.24米），落地時（圖2中點）距球網的水平距離為2.5米，則排球運動路線的函數表達式為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據題意結合函數的圖象，得出圖中A、B、C的坐標，再利用待定系數法求出函數關系式即可．
（米）
根據題意和所建立的坐標系可知，A（-5，），B（0，），C（，0），
設排球運動路線的函數關系式為y=ax2+bx+c，將A、B、C的坐標代入得：
，
解得，，
∴排球運動路線的函數關系式為
【變式練2】（2024四川南充一模）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高______m時，水柱落點距O點．
【答案】5.5
【解析】【分析】設原拋物線的解析式為， 當向上移動1.5米到4米高度時，拋物線解析式為：，將兩個交點分別代入求解確定原解析式，設向上平移k個單位后， ，將點（4,0）代入求解，然后結合題意即可得出結果．
【詳解】解：設原拋物線的解析式為，根據題意可得，與x軸交于點（2.5,0）代入得：
①，
當向上移動1.5米到4米高度時，
拋物線解析式為：，與x軸交于點（4,0），代入得
②，
聯立①②求解可得：
，
∴將其代入②解得，
∴原拋物線的解析式為，
設向上平移k個單位后，
∴
與x軸交點為（4,0），代入得：
解得：k=3，
∴原拋物線向上移動3個單位，
即噴頭高3+2.5=5.5米．
【點睛】題目主要考查二次函數的應用，理解題意，設出二次函數的解析式，然后利用待定系數法求解是解題關鍵．
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
【例題3】（2024江蘇揚州）如圖，已知二次函數的圖像與軸交于，兩點．
（1）求的值；
（2）若點在該二次函數的圖像上，且的面積為，求點的坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本題主要考查二次函數與幾何圖形的綜合，掌握待定系數法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
（1）運用待定系數法即可求解；
（2）根據題意設，結合幾何圖形面積計算方法可得點的縱坐標，代入后解一元二次方程即可求解．
【小問1詳解】
解：二次函數的圖像與軸交于，兩點，
∴，
解得，，
∴；
【小問2詳解】
解：由（1）可知二次函數解析式為：，，，
∴，
設，
∴，
∴，
∴，
∴當時，，無解，不符合題意，舍去；
當時，，；
∴．
【變式練1】（2024湖北武漢一模）如圖，已知二次函數y＝x2+mx+n的圖象經過A（0，6），且對稱軸是直線x＝2.5．
（1）求該函數解析式；
（2）在拋物線上找點P，使△PBC的面積1，求出點P的坐標．
【答案】（1）y＝x2﹣5x+6；
（2）（1，2）和（4，2）．
【解析】（1）由題意得，
，
解得，
∴二次函數的解析式為y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，
則x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∴B（2，0），C（3，0），
設點P的縱坐標為m，
∵△PBC的面積1，
∴，
解得m＝±2，
當m＝2時，x2﹣5x+6＝2，
解得x1＝1，x2＝4；
當m＝﹣2時，x2﹣5x+6＝﹣2，即x2﹣5x+8＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝25﹣32＝﹣7＜0，
∴此方程無實數根，
故舍去m＝﹣2，
∴點P的坐標是（1，2）和（4，2）．
【變式練2】（2024廣州一模）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．
（1）求b，c的值．
（2）點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），
（2）①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側時，即時，當點在對稱軸右側時，即時，分別進行討論求解即可．
【小問1詳解】
解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
【小問2詳解】
①由（1）可知：，
當時，，即，
設的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，
∵，則，
∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當點在對稱軸左側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【點睛】本題二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求函數解析式，二次函數的性質及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度
1. （2024甘肅臨夏）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，作直線．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，點是線段上方的拋物線上一動點，過點作，垂足為，請問線段是否存在最大值？若存在，請求出最大值及此時點的坐標；若不存在請說明理由．
（3）如圖2，點是直線上一動點，過點作線段（點在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．
【答案】（1）
（2）存在，最大值是，
（3）或
【解析】【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
（1）兩點式直接求出函數解析式即可；
（2）過點作軸，交于點，設，根據三角函數得到，得到當最大時，的值最大，轉化為二次函數求最值即可；
（3）設，得到，求出點恰好在拋物線上且時的值，即可得出結果．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與軸交于，兩點，
∴，
∴；
【小問2詳解】
存在；
∵，
∴當時，，
∴，
∵，
∴，
∴，
設直線的解析式為：，把代入，得：，
∴，
過點作軸，交于點，設，則：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當最大時，最大，
∵，
∴當時，的最大值為，此時最大，為，
∴；
【小問3詳解】
設，則：，
當點恰好在拋物線上時，則：，
∴，
當時，則：，
解得：或，
∵線段與拋物線有交點，
∴點M的橫坐標的取值范圍是或．
2. （2024甘肅威武）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點，頂點為．點C為的中點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）過點C作，垂足為H，交拋物線于點E．求線段的長．
（3）點D為線段上一動點（O點除外），在右側作平行四邊形．
①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；
②如圖3，連接，，求的最小值．
【答案】（1） （2） （3）①②
【解析】
【小問1詳解】
∵拋物線的頂點坐標為．
設拋物線，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
【小問2詳解】
∵頂點為．點C為的中點，
∴，
∵，
∴軸，
∴E的橫坐標為1，
設，
當時，，
∴．
∴．
【小問3詳解】
①根據題意，得，
∵四邊形是平行四邊形，
∴點C，點F的縱坐標相同，
設，
∵點F落在拋物線上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②過點B作軸于點N，作點D關于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，
則四邊形矩形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
故當三點共線時，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延長交y軸于點M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數的解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，利用軸對稱的性質求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質，軸對稱的性質是解題的關鍵．
考點2 二次函數的實際應用
1. （2024四川自貢）九（1）班勞動實踐基地內有一塊面積足夠大的平整空地．地上兩段圍墻于點O（如圖），其中上的段圍墻空缺．同學們測得m，m，m，m，m．班長買來可切斷的圍欄m，準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是________．
【答案】
【解析】本題考查了二次函數的應用．要利用圍墻和圍欄圍成一個面積最大的封閉的矩形菜地，那就必須盡量使用原來的圍墻，觀察圖形，利用和才能使該矩形菜地面積最大，分情況，利用矩形的面積公式列出二次函數，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】要使該矩形菜地面積最大，則要利用和構成矩形，
設矩形在射線上的一段長為，矩形菜地面積為，
當時，如圖，
則在射線上的長為
則，
∵，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，的最大值為；
當時，如圖，
則矩形菜園的總長為，
則在射線上的長為
則，
∵，
∴當時，隨的增大而減少，
∴當時，的值均小于；
綜上，矩形菜地的最大面積是．
2. （2024廣西）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則______．
【答案】
【解析】本題考查的是二次函數的實際應用，設拋物線為，把點，代入即可求出解析式；當時，求得x的值，即為實心球被推出的水平距離．
【詳解】以點O為坐標原點，射線方向為x軸正半軸，射線方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標系，
∵出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．
設拋物線解析式為：，
把點代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
當時，，
解得，（舍去），，
即此次實心球被推出的水平距離為．
故答案為：
3. （2024深圳）為了測量拋物線的開口大小，某數學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數學小組選擇不同位置測量數據如下表所示，設的讀數為x，讀數為y，拋物線的頂點為C．
（1）（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；
（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；
（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為C，該數學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：
方案一：將二次函數平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式．
①此時點的坐標為________；
②將點坐標代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：設C點坐標為
①此時點B的坐標為________；
②將點B坐標代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
（3）【應用】如圖4，已知平面直角坐標系中有A，B兩點，，且軸，二次函數和都經過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．
【答案】（1）圖見解析，；
（2）方案一：①；②；方案二：①；②；
（3）a的值為或．
【解析】【分析】（1）描點，連線，再利用待定系數法求解即可；
（2）根據圖形寫出點或點B的坐標，再代入求解即可；
（3）先求得，，的頂點坐標為，再求得頂點距線段的距離為，得到的頂點距線段的距離為，得到的頂點坐標為或，再分類求解即可．
【小問1詳解】
解：描點，連線，函數圖象如圖所示，
觀察圖象知，函數為二次函數，
設拋物線的解析式為，
由題意得，
解得，
∴y與x的關系式為；
【小問2詳解】
解：方案一：①∵，，
∴，
此時點的坐標為；
故答案：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
方案二：①∵C點坐標為，，，
∴，
此時點B的坐標為；
故答案為：；
②由題意得，
解得，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：根據題意和的對稱軸為，
則，，的頂點坐標為，
∴頂點距線段的距離為，
∴的頂點距線段的距離為，
∴的頂點坐標為或，
當的頂點坐標為時，，
將代入得，解得；
當的頂點坐標為時，，
將代入得，解得；
綜上，a的值為或．
【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
4. （2024武漢市）16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．
（1）若火箭第二級的引發點的高度為．
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】【分析】本題考查了二次函數和一次函數的綜合應用，涉及待定系數法求解析式，二次函數的圖象和性質，一次函數的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數和一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）①將代入即可求解；②將變為，即可確定頂點坐標，得出，進而求得當時，對應的x的值，然后進行比較再計算即可；
（2）若火箭落地點與發射點的水平距離為，求得，即可求解．
【小問1詳解】
解：①∵火箭第二級的引發點的高度為
∴拋物線和直線均經過點
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
當時，
則
解得，
又∵時，
∴當時，
則
解得
∴這兩個位置之間的距離．
【小問2詳解】
解：當水平距離超過時，
火箭第二級的引發點為，
將，代入，得
，
解得，
∴．
5. （2024貴州省）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．
銷售單價x/元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y與x的函數表達式；
（2）糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
【答案】（1）
（2）糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元
（3）2
【解析】【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量求出w關于x的函數表達式，然后利用二次函數的性質求解即可；
（3）設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關于x函數表達式，然后利用二次函數的性質求解即可．
【小問1詳解】
解∶設y與x函數表達式為，
把，；，代入，得，
解得，
∴y與x的函數表達式為；
【小問2詳解】
解：設日銷售利潤為w元，
根據題意，得
，
∴當時，有最大值為450，
∴糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；
【小問3詳解】
解：設日銷售利潤為w元，
根據題意，得
，
∴當時，有最大值為，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，
∴，
化簡得
解得，
當時，,
則每盒的利潤為：,舍去，
∴m的值為2．
6. （2024廣東） 廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美．某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸．該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
【答案】當定價為4.5萬元每噸時，利潤最大，最大值為312.5萬元
【解析】本題主要考查了二次函數的實際應用，設每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，根據利潤每噸的利潤銷售量列出w關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：設每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，
由題意得，
，
∵，
∴當時，w有最大值，最大值為，
∴，
答：當定價為萬元每噸時，利潤最大，最大值為萬元．
7. （2024河南省）從地面豎直向上發射的物體離地面的高度滿足關系式，其中是物體運動的時間，是物體被發射時的速度．社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發射小球．
（1）小球被發射后_________時離地面的高度最大（用含的式子表示）．
（2）若小球離地面的最大高度為，求小球被發射時的速度．
（3）按（2）中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為．”已知實驗樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小明的說法不正確，理由見解析
【解析】【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：
（1）把函數解析式化成頂點式，然后利用二次函數的性質求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判斷.
【小問1詳解】
解：
，
∴當時，h最大，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：根據題意，得
當時，，
∴，
∴（負值舍去）；
【小問3詳解】
解：小明的說法不正確．
理由如下：
由（2），得，
當時，，
解方程，得，，
∴兩次間隔的時間為，
∴小明的說法不正確．
8. （2024湖北省）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長．設垂直于墻的邊長為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．
（1）求與與的關系式．
（2）圍成的矩形花圃面積能否為，若能，求出的值．
（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的值．
【答案】（1）；
（2）能，
（3）的最大值為800，此時
【解析】本題主要考查一元二次方程的應用和二次函數的實際應用：
（1）根據可求出與之間的關系，根據墻的長度可確定的范圍；根據面積公式可確立二次函數關系式；
（2）令，得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根據自變量的取值范圍和二次函數的性質確定函數的最大值即可．
【小問1詳解】
解：∵籬笆長，
∴，
∵
∴
∴
∵墻長42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面積
；
【小問2詳解】
解：令，則，
整理得：，
此時，，
所以，一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴圍成的矩形花圃面積能為；
∴
∴
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：
∵
∴有最大值，
又，
∴當時，取得最大值，此時，
即當時，的最大值為800
9. （2024江蘇鹽城）請根據以下素材，完成探究任務．
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式． ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件． ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件； ②“正”服裝：48元/件； ③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理 現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下： 服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1正148
探究任務 任務1 探尋變量關系 求x、y之間的數量關系．
任務2 建立數學模型 設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．
任務3 擬定加工方案 制定使每天總利潤最大的加工方案．
【答案】任務1：；任務2：；任務3：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤
【解析】任務1：根據題意安排70名工人加工一批夏季服裝，
∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，
∴加工“正”服裝的有人，
∵“正”服裝總件數和“風”服裝相等，
∴，
整理得：；
任務2：根據題意得：“雅”服裝每天獲利為：，
∴，
整理得：
∴
任務3：由任務2得，
∴當時，獲得最大利潤，
，
∴，
∵開口向下，
∴取或，
當時，，不符合題意；
當時，，符合題意；
∴，
綜上：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤．
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
1. （2024廣州）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）求的值；
（3）直線繞點以每秒的速度順時針旋轉秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．
①求的值；
②設的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．
【答案】（1）對稱軸為直線：；
（2）
（3）①，②的最大值為，拋物線為；
【解析】【分析】（1）直接利用對稱軸公式可得答案；
（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設，建立，可得：，，再利用待定系數法求解即可；
（3）①如圖，當時，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計算，當時， 可得，則，，可得，可得當時，的最小值為，再進一步求解可得答案．
【小問1詳解】解：∵拋物線，
∴拋物線對稱軸為直線：；
【小問2詳解】解：∵直線過點，
∴，
如圖，
∵直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且，
∴在的左邊，，
∵在拋物線的對稱軸上，
∴，
∴，
設，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小問3詳解】解：①如圖，當時，與拋物線交于，
∵直線，
∴，
∴，
解得：，
②∵，
當時，，
∴，
∴，，
∴
，
∵，
∴當時，的最小值為，
∴此時，
∵對于任意的，均有成立，
∴的最大值為，
∴拋物線為；
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，一次函數的性質，坐標與圖形面積，一元二次方程根與系數的關系，理解題意，利用數形結合的方法解題是關鍵．
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度
1．如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數的表達式；
（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標）；
（3）有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．
【答案】見解析。
【解析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程組即可；
（2）求出點B的坐標，再根據勾股定理得到BC，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；
（3）設AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，運用二次函數的頂點坐標解決問題；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函數的表達式為：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，
①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②當PB=PC時，OP=OB=3，
∴P3（﹣3，0）；
③當BP=BC時，
∵OC=OB=3
∴此時P與O重合，
∴P4（0，0）；
綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如圖2，設AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
當點M出發1秒到達D點時，△MNB面積最大，試求出最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求二次函數，等腰三角形的性質，軸對稱的性質等知識，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．
2. 如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點，點B的坐標為（4，m）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；
（3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使∠AQM＝45°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析。
【解析】（1）將點B的坐標為（4，m）代入y＝﹣x+，
m＝﹣4+＝﹣，
∴B的坐標為（4，﹣），
將A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
解得b＝1，c＝，
∴拋物線的解析式y＝；
（2）設D（m，），則E（m，﹣m+），
DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，
∴當m＝2時，DE有最大值為2，
此時D（2，），
作點A關于對稱軸的對稱點A'，連接A'D，與對稱軸交于點P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此時PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝＝，
即PD+PA的最小值為；
（3）作AH⊥y軸于點H，連接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵拋物線的解析式y＝，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝∠AHM，
可知△AQM外接圓的圓心為H，
∴QH＝HA＝HM＝2
設Q（0，t），
則＝2，
t＝2+或2﹣
∴符合題意的點Q的坐標：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．
3. 在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．
（1）如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；
（3）若拋物線經過點，，，且，求正整數m，n的值．
【答案】（1）；
（2）；或,；
（3），或，
【解析】【分析】（1）根據，拋物線的對稱軸為，待定系數法求解析式即可求解；當時，求得的范圍，進而結合函數圖象即可求解；
（2）①連接，，交對稱軸于點D，由四點共圓，得，證明，求出點D的坐標，確定直線的解析式，進而求得點的坐標，設，，勾股定理即可求解；②由①可得，則當與重合時也存在等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可求解．
（3）根據拋物線經過點，，，可得拋物線對稱為直線，則，則，進而令，求得的范圍，進而根據函數圖象可知或，進而分別討論求得的值，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，拋物線的對稱軸為．
∴
解得：
∴拋物線解析式為，
當時，即
解得：，
∴當時，
【小問2詳解】
解：①如圖所示，連接，，交對稱軸于點D，
∵，
∴，
則
∴，，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，則，
設直線的解析式為
則
解得：
所以直線的解析式為
聯立
解得：或
∴，
∵，設，
∵
∴
解得：
∴；
②由①可得，當與點重合時，為等邊三角形
則與對稱，此時，，
綜上所述；；或，；
【小問3詳解】
解：∵拋物線經過點，，，
∴拋物線對稱為直線，
則，則
∴拋物線解析式為
∴頂點坐標為
當時，
解得：或
∵，且為正整數，過點，則當時，
∴或，
當時，將點代入解析式，
解得：
∵
則，
當時，將點代入解析式
解得：
∵
則，
綜上所述，，或，．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，根據特三角函數求角度，圓內接四邊形對角互補，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
考點2 二次函數的實際應用
1．（2022甘肅威武）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數關系：，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間_________s．
【答案】2
【解析】把一般式化為頂點式，即可得到答案．
∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴當t=2時，h取最大值20．
【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握將二次函數一般式化為頂點式．
2．有一塊矩形地塊ABCD，AB＝20米，BC＝30米．為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均為x米．現決定在等腰梯形AEHD和BCGF中種植甲種花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米2、60元/米2、40元/米2，設三種花卉的種植總成本為y元．
（1）當x＝5時，求種植總成本y；
（2）求種植總成本y與x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120平方米，求三種花卉的最低種植總成本．
【答案】見解析。
【解析】（1）當x＝5時，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2（EH+AD）×20x+2（GH+CD）×x×60+EF EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
參考（1），由題意得：y＝（30×30﹣2x） x 20+（20+20﹣2x） x 60+（30﹣2x）（20﹣2x） 40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000隨x的增大而減小，故當x＝6時，y的最小值為21600，
即三種花卉的最低種植總成本為21600元．
3. （2022陜西）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O為坐標原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．
（1）求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；
（2）現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求點A、B的坐標．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根據題意，設拋物線的函數表達式為，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根據題意知，A，B兩點的縱坐標為6，代入函數解析式可求出兩點的橫坐標，從而 可解決問題．
【詳解】(1)依題意，頂點，
設拋物線的函數表達式為，
將代入，得．解之，得．
∴拋物線的函數表達式為．
(2)令，得．
解之，得．
∴．
【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數的解析式是關鍵．
4．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在AD的延長線上，DG = 2BE．設BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．
（1）求y與x之間的函數關系式（不需寫自變量的取值范圍）；
（2）根據改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請問此時BE的長為多少米？
【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【解析】（1）∵BE邊長為x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面積=AE×AG=(4-x)(4+2x)
則苗圃的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數關系式為：y=-2x+4x+16
（2）依題意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此時BE的長為2米．
5. 單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數關系．
某運動員進行了兩次訓練．
（1）第一次訓練時，該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數據如下：
水平距離x/m 0 2 5 8 11 14
豎直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系
（2）第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）23.20m； （2）
【解析】（1）先根據表格中的數據找到頂點坐標，即可得出h、k的值，運動員豎直高度的最大值；將表格中除頂點坐標之外的一組數據代入函數關系式即可求出a的值，得出函數解析式；
（2）著陸點的縱坐標為，分別代入第一次和第二次的函數關系式，求出著陸點的橫坐標，用t表示出和，然后進行比較即可．
解：（1）根據表格中的數據可知，拋物線的頂點坐標為：，
∴，，
即該運動員豎直高度的最大值為23.20m，
根據表格中的數據可知，當時，，代入得：
，解得：，
∴函數關系關系式為：．
（2）設著陸點的縱坐標為，則第一次訓練時，，
解得：或，
∴根據圖象可知，第一次訓練時著陸點的水平距離，
第二次訓練時，，
解得：或，
∴根據圖象可知，第二次訓練時著陸點的水平距離，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，待定系數法求函數關系式，設著陸點的縱坐標為，用t表示出和，是解題的關鍵．
6. 如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．
（1）求此拋物線對應的函數表達式；
（2）在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段，，，MN長度之和．請解決以下問題：
（ⅰ）修建一個“”型柵欄，如圖2，點，在拋物線AED上．設點橫坐標為，求柵欄總長l與m之間的函數表達式和l的最大值；
（ⅱ）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時點的橫坐標的取值范圍（在右側）．
【答案】（1）y＝x2＋8
（2）（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1橫坐標≤；方案二：＋≤P1橫坐標≤
【解析】（1）由題意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是拋物線的頂點，
設拋物線對應的函數表達式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴拋物線對應的函數表達式為y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵點P1的橫坐標為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，
∴P2的坐標為（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴當m＝2時，l有最大值為26，
即柵欄總長l與m之間的函數表達式為l＝m2＋2m＋24，l的最大值為26；
（ⅱ）方案一：設P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴當n＝3時，矩形面積有最大值為27，
此時P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此時P1的橫坐標的取值范圍為＋9≤P1橫坐標≤，
方案二：設P2P1＝n，則P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴當n＝時，矩形面積有最大值為，
此時P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此時P1的橫坐標的取值范圍為＋≤P1橫坐標≤．
【點睛】本題考查二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式，準確識圖，確定關鍵點的坐標，利用數形結合思想解題是關鍵。
7．如圖1是某籃球運動員在比賽中投籃，球運動的路線為拋物線的一部分，如圖2，球出手時離地面約2.15米，與籃筐的水平距離4.5m，此球準確落入高為3.05米的籃筐．當球在空中運行的水平距離為2.5米時，球恰好達到最大高度，則球在運動中離地面的最大高度為（　　）
A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米
【答案】C
【解答】解：根據題意得：拋物線過點（0，2.15）和（4.5，3.05），對稱軸為直線x＝2.5，
∴設拋物線解析式為y＝a（x﹣2.5）2+k（a≠0），
把（0，2.15）和（4.5，3.05）代入解析式得：
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+4.65，
∵﹣0.4＜0，
∴函數的最大值為4.65，
∴球在運動中離地面的最大高度為4.65m，
故選：C．
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
1．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向C點以1cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發，當△PBQ的面積為最大時，運動時間t為　 　s．
【答案】2
【解答】根據題意得三角形面積為：
S＝（8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵由以上函數圖象知
∴當t＝2時，△PBQ的面積最大為4cm2．
2．如圖，在直角坐標系中，已知直線y=-x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，C點坐標為（﹣2，0）．
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）如果M為拋物線的頂點，聯結AM、BM，求四邊形AOBM的面積．
【答案】（1）y=- （2）31
分析：（1）先利用一次函數解析式確定A（0，4），B（8，0），再設交點式y=a（x+2）（x-8），然后把A點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先利用配方法得到y=-（x-3）2+，則M（3，），作MD⊥x軸于D，如圖，然后根據梯形面積公式和三角形面積公式，利用四邊形AOBM的面積=S梯形AODM+S△BDM進行計算即可．
詳解：（1）當x=0時，y=- x+4=4，則A（0，4），
當y=0時，- x+4=0，解得x=8，則B（8，0），
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a 2 （﹣8）=4，解得x=﹣ ，
∴拋物線解析式為y=﹣（x+2）（x﹣8），即y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，∴M（3，），
作MD⊥x軸于D，如圖，四邊形AOBM的面積=S梯形AODM+S△BDM
=×（4+）×3+×5×
=31．
3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方的拋物線上的一點，連接PB，PC，求△PBC的面積的最大值以及此時點P的坐標；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個單位得到新拋物線，點M是新拋物線的對稱軸上的一點，N是新拋物線一動點，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點M的坐標．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）點P（，），△PBC的面積的最大值為；
（3）點M的坐標為（2，﹣8）或（2，﹣2）或（2，0）．
【解答】（1）將點A（﹣1，0）和點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖，過點P作PF⊥AB于F，交BC于E，
∵拋物線y＝﹣x2+2x+3的圖象與y軸的交點為點C，
∴點C（0，3），
∵點B（3，0），
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
設點P（t，﹣t2+2t+3），
∴點E（t，﹣t+3），
∴PE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴△PBC的面積＝×（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，
∴當t＝時，△PBC的面積的最大值為，
∴點P（，）；
（3）∵將拋物線y＝﹣x2+2x+3向右平移1個單位得到新拋物線，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴新拋物線的對稱軸為直線x＝2，
設點M（2，m），點N（n，﹣n2+4n），
當BC為邊時，若四邊形BCNM是平行四邊形，
∴，＝，
∴n＝﹣1，m＝﹣8，
∴點M（2，﹣8）；
若四邊形BCMN是平行四邊形，
∴，＝，
∴n＝5，m＝﹣2，
∴點M（2，﹣2）；
若BC為對角線時，則四邊形BMCN是平行四邊形，
∴＝，＝，
∴n＝1，m＝0，
∴點M（2，0）；
綜上所述：點M的坐標為（2，﹣8）或（2，﹣2）或（2，0）．
4．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD，直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的坐標；若不能，請說明理由．
（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．
【答案】見試題解答內容
【解答】（1）將A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
則拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
設直線BC的解析式為y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直線BC的解析式為y＝﹣x+5，
設D（x，﹣x2+4x+5），則E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
當DE：EF＝2：3時，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此時D點坐標為（，）；
當DE：EF＝3：2時，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此時D點坐標為（，）；
綜上所述，當點D的坐標為（，）或（，）時，直線BC把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分；
（3）拋物線的對稱軸為直線x＝2，如圖，
設M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
當BC2+MC2＝MB2時，△BCM為直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此時M點的坐標為（2，7）；
當BC2+MB2＝MC2時，△BCM為直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此時M點的坐標為（2，﹣3）；
當MC2+MB2＝BC2時，△BCM為直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t＝﹣1，此時M點的坐標為（2，6）或（2，﹣1），
綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
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第三章 函數
3.5 二次函數的應用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度 ☆☆ 數學中考中，有關二次函數實際應用的部分，每年若考查會出現1道題,分值為3~10分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。對于這部分知識的復習需要學生熟練平時多訓練，掌握解題技巧，會根據實際問題建立二次函數模型，求出函數解析式，會求解二次函數極值，注意自變量取值范圍，應用二次函數知識解答。
考點2 二次函數的實際應用 ☆☆
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 拋物線與線段長、 面積、角度
此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關動點函數圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數表達式，最后根據函數表達式判別圖象的變化．
1.線段問題
（1）確定線段長關系式（根據已知線段關系求點坐標）：先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點；再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數；繼而表示出線段的長度（如果該線段與坐標軸平行的話，則利用橫縱坐標相加減確定；如果與坐標軸不平行的話，先轉化為有邊在與坐標軸平行的三角形中，再利用勾股定理、銳角三角函數或相似確定）.
（2）線段數量關系問題：根據前面所得的線段長的關系式，結合題干列出滿足線段數量關系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合題意的數值）
（3）線段最值問題：求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯想到“對稱性質”，并進行解決。
2.面積問題
（1）設動點或圖形運動的時間并表示出點的坐標；
（2）用含有未知數的代數式表示出圖形的面積；
（3）用二次函數的知識來求最大值或最小值時，常采用配方法求解；
（4）特別注意，當所研究的圖形在運動過程中發生變化，要根據圖形的形狀進行分類討論，注意分析整個過程中圖形的變化情況，以防漏解.分類討論時要注意在每一種情況下的自變量的取值范圍.求面積最值時，分別求出圖形的面積在每種情況下的最值，比較即可得到面積的最值.
（5）面積為定值時，可將圖形面積與圖形中動點的坐標結合起來，列方程求得參數的值即可求得點坐標.
3.角問題
將二次函數圖像上的三角形三頂點坐標求出，可以求出三邊長度，作高，利用三角函數的定義求出角的正弦、或余弦、或正切值，最后得出角的大小。
考點2. 二次函數的實際應用
在生活中，我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關系，并且建立適當的直角坐標系，再根據題目中的已知條件建立數學模型，即列出函數關系式，然后運用數形結合的思想，根據函數性質去解決實際問題．主要考查的類型有：
1. 幾何圖形的最大面積問題
（1）求出函數解析式和自變量的取值范圍；
（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,
（3）檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內.
【提示】求幾何圖形最大最小面積時需要考慮兩個方面
一個關鍵：依據常見幾何圖形的面積公式，建立函數關系式；
一個注意：最值有時不在頂點處，則要利用函數的增減性來確定。
2. 商品利潤最大問題
求解最大利潤問題的一般步驟
（1）建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤
×銷售量”
（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：
可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數的簡圖，利用簡圖和性質求出.
3. 拱橋問題和運動中的拋物線問題
【重要提醒】求二次函數的最大（或最小）值思路
當自變量的范圍有限制時，二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的最值可以根據以下步驟來確定：
1.配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸.
2.畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍.
3.判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關系.根據二次函數的性質，確定當x取何值時函數有最大或最小值.然后根據x的值，求出函數的最值.
考點3. 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
分別表示出三角形三個頂點坐標，再表示出三邊的長度，分類討論，列方程解出坐標.
通過作垂線，用勾股定理或相似建立等量關系求解三角形高，利用三角形面積公式求出其面積.
【易錯點提示】二次函數存在點的問題
1. 解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
2. 函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．
（1）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；
（2）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度
【例題1】（2024甘肅）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，點在軸上，且，，分別是線段，上的動點（點，不與點，，重合）．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）連接并延長交拋物線于點，當軸，且時，求的長；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當點在拋物線上時，求點的坐標；
②如圖3，連接，當時，求的最小值．
【變式練1】（2024山東泰安一模）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．
（1）求A點的坐標；
（2）如圖1，若B點關于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數a的值；
（3）定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數恰好是26個，求a的取值范圍．
【變式練2】（2024湖北一模）已知拋物線與軸交于點和點兩點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點是拋物線上一動點（不與點，，重合），作軸，垂足為，連接．
①如圖1，若點在第三象限，且，求點的坐標；
②直線交直線于點，當點關于直線的對稱點落在軸上時，求四邊形的周長．
考點2 二次函數的實際應用
【例題2】（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數關系的圖象，點在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內（填“能”或“不能”）．
【變式練1】（2024廣州一模）如圖1，是某次排球比賽中運動員墊球時的動作，墊球后排球的運動路線可近似地看作拋物線，在圖2所示的平面直角坐標系中，運動員墊球時（圖2中點）離球網的水平距離為5米，排球與地面的垂直距離為0.5米，排球在球網上端0.26米處（圖2中點）越過球網（女子排球賽中球網上端距地面的高度為2.24米），落地時（圖2中點）距球網的水平距離為2.5米，則排球運動路線的函數表達式為（ ）．
A． B．
C． D．
【變式練2】（2024四川南充一模）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高______m時，水柱落點距O點．
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
【例題3】（2024江蘇揚州）如圖，已知二次函數的圖像與軸交于，兩點．
（1）求的值；
（2）若點在該二次函數的圖像上，且的面積為，求點的坐標．
【變式練1】（2024湖北武漢一模）如圖，已知二次函數y＝x2+mx+n的圖象經過A（0，6），且對稱軸是直線x＝2.5．
（1）求該函數解析式；
（2）在拋物線上找點P，使△PBC的面積1，求出點P的坐標．
【變式練2】（2024廣州一模）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．
（1）求b，c的值．
（2）點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度
1. （2024甘肅臨夏）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，作直線．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，點是線段上方的拋物線上一動點，過點作，垂足為，請問線段是否存在最大值？若存在，請求出最大值及此時點的坐標；若不存在請說明理由．
（3）如圖2，點是直線上一動點，過點作線段（點在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點，請直接寫出點的橫坐標的取值范圍．
2. （2024甘肅威武）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點，頂點為．點C為的中點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）過點C作，垂足為H，交拋物線于點E．求線段的長．
（3）點D為線段上一動點（O點除外），在右側作平行四邊形．
①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；
②如圖3，連接，，求的最小值．
考點2 二次函數的實際應用
1. （2024四川自貢）九（1）班勞動實踐基地內有一塊面積足夠大的平整空地．地上兩段圍墻于點O（如圖），其中上的段圍墻空缺．同學們測得m，m，m，m，m．班長買來可切斷的圍欄m，準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是________．
2. （2024廣西）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則______．
3. （2024深圳）為了測量拋物線的開口大小，某數學興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數學小組選擇不同位置測量數據如下表所示，設的讀數為x，讀數為y，拋物線的頂點為C．
（1）（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描點：請將表格中的描在圖2中；
（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出y與x的關系式；
（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為C，該數學興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為，豎直跨度為，且，，為了求出該拋物線的開口大小，該數學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：
方案一：將二次函數平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式．
①此時點的坐標為________；
②將點坐標代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）
方案二：設C點坐標為
①此時點B的坐標為________；
②將點B坐標代入中解得________；（用含m，n的式子表示）
（3）【應用】如圖4，已知平面直角坐標系中有A，B兩點，，且軸，二次函數和都經過A，B兩點，且和的頂點P，Q距線段的距離之和為10，求a的值．
4. （2024武漢市）16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．
（1）若火箭第二級的引發點的高度為．
①直接寫出a，b的值；
②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過．
5. （2024貴州省）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與x的幾組對應值．
銷售單價x/元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y與x的函數表達式；
（2）糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
6. （2024廣東） 廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美．某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸．該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
7. （2024河南省）從地面豎直向上發射的物體離地面的高度滿足關系式，其中是物體運動的時間，是物體被發射時的速度．社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發射小球．
（1）小球被發射后_________時離地面的高度最大（用含的式子表示）．
（2）若小球離地面的最大高度為，求小球被發射時的速度．
（3）按（2）中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為．”已知實驗樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．
8. （2024湖北省）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長．設垂直于墻的邊長為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．
（1）求與與的關系式．
（2）圍成的矩形花圃面積能否為，若能，求出的值．
（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的值．
9. （2024江蘇鹽城）請根據以下素材，完成探究任務．
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式． ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件． ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件； ②“正”服裝：48元/件； ③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理 現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下： 服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1正148
探究任務 任務1 探尋變量關系 求x、y之間的數量關系．
任務2 建立數學模型 設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．
任務3 擬定加工方案 制定使每天總利潤最大的加工方案．
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
1. （2024廣州）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）求的值；
（3）直線繞點以每秒的速度順時針旋轉秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．
①求的值；
②設的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．
考點1 拋物線與線段長、 面積、角度
1．如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數的表達式；
（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標）；
（3）有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．
2. 如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點，點B的坐標為（4，m）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；
（3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使∠AQM＝45°？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
3. 在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．
（1）如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；
（3）若拋物線經過點，，，且，求正整數m，n的值．
考點2 二次函數的實際應用
1．（2022甘肅威武）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數關系：，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間_________s．
2．有一塊矩形地塊ABCD，AB＝20米，BC＝30米．為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均為x米．現決定在等腰梯形AEHD和BCGF中種植甲種花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米2、60元/米2、40元/米2，設三種花卉的種植總成本為y元．
（1）當x＝5時，求種植總成本y；
（2）求種植總成本y與x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120平方米，求三種花卉的最低種植總成本．
（2022陜西）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O為坐標原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．
（1）求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；
（2）現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求點A、B的坐標．
4．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在AD的延長線上，DG = 2BE．設BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．
（1）求y與x之間的函數關系式（不需寫自變量的取值范圍）；
（2）根據改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請問此時BE的長為多少米？
5. 單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數關系．
某運動員進行了兩次訓練．
（1）第一次訓練時，該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數據如下：
水平距離x/m 0 2 5 8 11 14
豎直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系
（2）第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．
6. 如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．
（1）求此拋物線對應的函數表達式；
（2）在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段，，，MN長度之和．請解決以下問題：
（ⅰ）修建一個“”型柵欄，如圖2，點，在拋物線AED上．設點橫坐標為，求柵欄總長l與m之間的函數表達式和l的最大值；
（ⅱ）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時點的橫坐標的取值范圍（在右側）．
7．如圖1是某籃球運動員在比賽中投籃，球運動的路線為拋物線的一部分，如圖2，球出手時離地面約2.15米，與籃筐的水平距離4.5m，此球準確落入高為3.05米的籃筐．當球在空中運行的水平距離為2.5米時，球恰好達到最大高度，則球在運動中離地面的最大高度為（　　）
A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米
考點3 二次函數圖象中的斜三角形面積問題
1．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向C點以1cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發，當△PBQ的面積為最大時，運動時間t為　 　s．
2．如圖，在直角坐標系中，已知直線y=-x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，C點坐標為（﹣2，0）．
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）如果M為拋物線的頂點，聯結AM、BM，求四邊形AOBM的面積．
3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方的拋物線上的一點，連接PB，PC，求△PBC的面積的最大值以及此時點P的坐標；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+3向右平移1個單位得到新拋物線，點M是新拋物線的對稱軸上的一點，N是新拋物線一動點，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點M的坐標．
4．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD，直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的坐標；若不能，請說明理由．
（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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