資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.2 三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三角形的相關概念 ☆☆ 數學中考中，有關本專題的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。在考查其他知識點的綜合試題里一定用到本專題知識。
考點2 三角形中的重要線段 ☆☆☆
考點3 等腰三角形以及等邊三角形 ☆☆
考點4 直角三角形勾股定理及其應用 ☆☆☆
考點5 直角三角形的性質及計算 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 三角形的相關概念
1. 三角形的概念：由____________的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2. 三角形的分類
（1）按____分類：三角形
（2）按_____分類：三角形
3. 三角形三邊的關系：三角形任意兩邊的和______第三邊，任意兩邊的差______第三邊。
4.三角形的穩定性: 三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.
5. 三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有_____個內角，且每個內角均大于0°且小于180°。
6. 三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于_______ 。
推論：直角三角形的兩個銳角______。
7.三角形的內角和定理的應用：
（1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；
（2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；
（3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.
8. 三角形的外角概念：三角形的一邊與另一邊的_______組成的角，叫做三角形的外角。
9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于______．
10.三角形的外角的性質：
（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的_____；
（2）三角形的一個外角______任何一個和它不相鄰的內角．
考點2. 三角形中的重要線段
1. 三角形的高：從三角形的一個頂點向底邊作垂線，____與頂點之間的線段叫做三角形的高。
2. 三角形的角平分線：三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的______叫做三角形的角平分線。
3. 三角形的中線：三角形一邊的中點與此邊所對______的連線叫做三角形的中線。
（1）三角形的中線會把原三角形面積______。
（2）一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形_____兩邊的差。
【易錯點提示】對三角形三條重要線段的深入理解
（1）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段。
（2）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點。
考點3. 等腰三角形和等邊三角形
1. 等腰三角形
（1）等腰三角形的定義：有兩條邊_____的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．
（2）等腰三角形的性質：
①等腰三角形的兩個_____相等．
②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相_____．
（3）等腰三角形的判定定理：
如果一個三角形有兩個角______，那么這兩個角所對的邊也______（簡寫成“等角對等邊”）．
（4）等腰三角形的面積公式
其中a是底邊長，h是底邊上的高，S是面積
2. 等邊三角形
（1）等邊三角形定義：_____條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于_____.　　
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都_____的三角形是等邊三角形；
②三個角都_____的三角形是等邊三角形；
③有一個角為_____的等腰三角形是等邊三角形.
（4）等邊三角形的面積公式
其中a是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高，S是面積。
3. 線段垂直平分線的性質與判定
（1）線段的垂直平分線定義：經過線段____并且_____于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。
（2）線段垂直平分線的做法
求作線段AB的垂直平分線.
作法：1）分別以點A，B為圓心，以大于AB/2的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；
說明：作弧時的半徑必須大于AB/2的長，否則就不能得到兩弧的交點了．
2）作直線CD，CD即為所求直線．
說明：線段的垂直平分線的實質是一條直線.
（3）線段垂直平分線的性質：
1）線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離______.
2）線段的垂直平分線逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的__________.
說明：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的常用方法之一．同時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和______斜邊的平方.
如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長，滿足_______，那么這個三角形是直角三角形.
3. 勾股數：像 15，8，17 這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個_____，稱為勾股數。
【易錯點提示】
(1)由定義可知，一組數是勾股數必須滿足兩個條件：①滿足a2＋b2＝c2；②都是正整數．兩者缺一不可．
(2)將一組勾股數同時擴大或縮小相同的倍數所得的數仍滿足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股數)，以它們為邊長的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm為邊長的三角形是直角三角形．
考點5. 直角三角形的性質及計算
1. 直角三角形的性質
性質1.直角三角形兩銳角之和等于______。
性質2.直角三角形斜邊上的____等于斜邊的一半。
性質3.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于_____的一半。
2. 直角三角形的判定
（1）有一個角為_____的三角形是直角三角形。
（2）有兩個角的和是_____的三角形是直角三角形。
（3）一邊上的中線等于這條邊的_____的三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足_______，那么這個三角形為直角三角形。
3. 直角三角形面積公式
其中a、b是兩條直角邊的長，c 是斜邊長，h是斜邊上的高 ，S是直角三角形面積。
4. 直角三角形相關計算
（1）勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解；
（2）用于解決帶有平方關系的證明問題；
（3）與勾股定理有關的面積計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應用。
考點1. 三角形的相關概念
【例題1】（2024陜西省）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【變式練1】（2024長沙一模）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【變式練2】（2024湖南婁底一模）若一個三角形的兩邊長分別為2cm，7cm，則它的第三邊的長可
能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【變式練3】（2024黑龍江大慶一模）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F在直線l上，點B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數為（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
考點2. 三角形中的重要線段
【例題2】（2024四川南充）如圖，在中，，平分交于點D，點E為邊上一點，則線段長度的最小值為（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【變式練1】（2024哈爾濱一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（是鈍角），他打算用折疊的方法折出的角平分線、邊上的中線和高線，能折出的是（　　）
A．邊上的中線和高線 B．的角平分線和邊上的高線
C．的角平分線和邊上的中線 D．的角平分線、邊上的中線和高線
【變式練2】（2024天津一模）如圖，中，，G為的中點，延長交于點E，F為上一點，且于點H，下列判斷中，正確的個數是（ ）
①是的邊上的中線；
②既是的角平分線，也是的角平分線；
③既是的邊上的高，也是的邊上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
考點3. 等腰三角形以及等邊三角形
【例題3】（2024福建省）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【變式練1】（2024遼寧沈陽一模）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則這個三角形的周長
是（　　）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
【變式練2】（2024山西一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BA延長線上一點，且ED⊥BC交AC于點F．
（1）求證：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F為AC中點，求BC的長．
【變式練3】（2024上海一模）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC．若AD＝4，則△ADE的周長為 　 　．
【變式練4】（2024河北唐山一模）如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則∠O的度數為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【變式練5】 （2024吉林一模）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點、，若的周長是20，，，則的周長為（ ）

A．4 B．7 C．9 D．11
【變式練6】（2024南京一模）如圖，中，平分，且平分，于，于．如果，，則 ．

考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
【例題4】（2024吉林省）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點C，尺，尺．設的長度為x尺，可列方程為______．
【變式練1】（2024陜西一模）如圖，在中，，是邊的中線，若，，則的長度為________．
【變式練2】（2024武漢一模）在△ABC中，D為BC邊上的點，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的長．
【變式練3】（2024上海一模）如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？
考點5. 直角三角形的性質及計算
【例題5】（2024廣州）如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（ ）
A. 18 B. C. 9 D.
【變式練1】（2024湖北荊州一模）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AB的長為10km，則M，C兩點間的距離為（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【變式練2】（2024貴州黔西南一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．
【變式練3】（2024蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜邊AB上的中線，AC=4，CD=3。求直角邊BC的長
考點1. 三角形的相關概念
1. （2024黑龍江齊齊哈爾）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川德陽）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江蘇連云港）如圖，直線，直線，，則__________．
4. （2024四川達州）如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規律作下去．若．則______度．
考點2. 三角形中的重要線段
1. （2024四川涼山）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數是______．
2. （2024河北省）如圖，的面積為，為邊上的中線，點，，，是線段的五等分點，點，，是線段的四等分點，點是線段的中點．
（1）的面積為______；
（2）的面積為______．
考點3. 等腰三角形以及等邊三角形
1. （2024內蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（　　）
A. 或 B. 或 C. D.
2. （2024云南省）已知是等腰底邊上的高，若點到直線的距離為3，則點到直線的距離為（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
3. （2024安徽省）如圖，在中，，點在的延長線上，且，則的長是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024重慶市B）如圖，在中，，，平分交于點．若，則的長度為________．
5. （2024湖南省）一個等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數是________度．
6. （2024四川遂寧）在等邊三邊上分別取點，使得，連結三點得到，易得，設，則
如圖①當時，
如圖②當時，
如圖③當時，
……
直接寫出，當時，______．
7.（2024湖北省） 為等邊三角形，分別延長，到點，使，連接，，連接并延長交于點．若，則______，______．
8. （2024江蘇常州）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，相交于點G，，，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）連接，則與l的位置關系是________．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
1. （2024四川德陽）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數為（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. （2024江蘇鹽城）如圖，在中，，，點是的中點，連接，將繞點旋轉，得到．連接，當時，________．
3. （2024四川樂山）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）
（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；
（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．
考點5. 直角三角形的性質及計算
1. （2024四川南充）如圖，在矩形中，為邊上一點，，將沿折疊得，連接，，若平分，，則的長為_____．
2. （2024江蘇連云港）如圖，在中，，，．點P在邊上，過點P作，垂足為D，過點D作，垂足為F．連接，取的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路徑長為__________．
3. （2024四川成都市）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則______．
4. （2024黑龍江龍東）如圖，菱形中，點是的中點，，垂足為，交于點，，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
5. （2024山東棗莊）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．
（1）求證：；
（2）在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉后，延長交直線于點．
①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；
②當時，寫出線段，，的數量關系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數量關系．
考點1. 三角形的相關概念
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，則邊AC的長可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．11
2. 如圖，E為△ABC邊CA邊上一點，過點E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，則
∠C＝　　°．
考點2. 三角形中的重要線段
1. 在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是　　 度．
2．如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
3. 如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長
為（　　）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
考點3. 等腰三角形以及等邊三角形
1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，則∠B的度數為（　　）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
2．如圖，在等邊△ABC的底邊BC邊上任取一點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，作DF∥AB交AC于點F，DE＝5cm，DF＝3cm，則△ABC的周長為　 　cm．
3．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，則∠DAE＝　　 ．
4．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝　　 ．
5. 如圖，在中，，邊上的垂直平分線分別交于點D、E，若的周長是11，則直線上任意一點到A、C距離和最小為（　　）

A．28 B．18 C．10 D．7
6．如圖，在△ABC中，BD、AE分別是AC、BC邊上的高，它們相交于點F，且AF＝BC．
求證：△ABD是等腰三角形．
6．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點D，E，連接BD，ED．
（1）寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為，，，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3C． D．∶∶=3∶4∶62．已知兩條線段的長為和，當第三條線段的長為_________時，這三條線段能組成一個直角三角形.3．如圖，中，，，，延長至點，連接，若是以為其中一腰的等腰三角形，則線段的長等于　 ．
4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的長；
(2)S△ABC；
(3)CD的長．
5.探索與研究：
方法1：如圖：
對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點A旋轉90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據圖示寫出證明勾股定理的過程；
方法2：如圖：
該圖形是由任意的符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據圖示再寫出一種證明勾股定理的方法嗎？
6. 如圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點到的距離為（ ）
A. B. C. 1 D. 2
考點5. 直角三角形的性質及計算
1．如圖，有一架梯子斜靠在與地面垂直的墻上，在墻角點處有一只貓緊緊盯住位于梯子正中間點處的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉，把梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，若梯子端沿墻下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離將　 　（填“變大”、“變小”或“不變”）．
2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E．求證：E為AB的中點．
3. 如圖 ,MN 為過 Rt△ABC 的直角頂點 A 的直線,且BD⊥MN 于點D,CE⊥MN 于點E,AB=AC,F 為BC 的中點,求證:DF=EF.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.2 三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三角形的相關概念 ☆☆ 數學中考中，有關本專題的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。在考查其他知識點的綜合試題里一定用到本專題知識。
考點2 三角形中的重要線段 ☆☆☆
考點3 等腰三角形以及等邊三角形 ☆☆
考點4 直角三角形勾股定理及其應用 ☆☆☆
考點5 直角三角形的性質及計算 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1. 三角形的相關概念
1. 三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2. 三角形的分類
（1）按邊分類：三角形
（2）按角分類：三角形
3. 三角形三邊的關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
4.三角形的穩定性: 三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.
5. 三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°。
6. 三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180° 。
推論：直角三角形的兩個銳角互余。
7.三角形的內角和定理的應用：
（1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；
（2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；
（3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.
8. 三角形的外角概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
10.三角形的外角的性質：
（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；
（2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．
考點2. 三角形中的重要線段
1. 三角形的高：從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高。
2. 三角形的角平分線：三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線。
3. 三角形的中線：三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線。
（1）三角形的中線會把原三角形面積平分。
（2）一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差。
【易錯點提示】對三角形三條重要線段的深入理解
（1）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段。
（2）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點。
考點3. 等腰三角形和等邊三角形
1. 等腰三角形
（1）等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．
（2）等腰三角形的性質：
①等腰三角形的兩個底角相等．
②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合．
（3）等腰三角形的判定定理：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
（4）等腰三角形的面積公式
其中a是底邊長，h是底邊上的高，S是面積
2. 等邊三角形
（1）等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.　　
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
（4）等邊三角形的面積公式
其中a是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高，S是面積。
3. 線段垂直平分線的性質與判定
（1）線段的垂直平分線定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。
（2）線段垂直平分線的做法
求作線段AB的垂直平分線.
作法：1）分別以點A，B為圓心，以大于AB/2的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；
說明：作弧時的半徑必須大于AB/2的長，否則就不能得到兩弧的交點了．
2）作直線CD，CD即為所求直線．
說明：線段的垂直平分線的實質是一條直線.
（3）線段垂直平分線的性質：
1）線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
2）線段的垂直平分線逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
說明：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的常用方法之一．同時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
3. 勾股數：像 15，8，17 這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。
【易錯點提示】
(1)由定義可知，一組數是勾股數必須滿足兩個條件：①滿足a2＋b2＝c2；②都是正整數．兩者缺一不可．
(2)將一組勾股數同時擴大或縮小相同的倍數所得的數仍滿足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股數)，以它們為邊長的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm為邊長的三角形是直角三角形．
考點5. 直角三角形的性質及計算
1. 直角三角形的性質
性質1.直角三角形兩銳角之和等于90°。
性質2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
性質3.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
2. 直角三角形的判定
（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。
（2）有兩個角的和是90°的三角形是直角三角形。
（3）一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足，那么這個三角形為直角三角形。
3. 直角三角形面積公式
其中a、b是兩條直角邊的長，c 是斜邊長，h是斜邊上的高 ，S是直角三角形面積。
4. 直角三角形相關計算
（1）勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解；
（2）用于解決帶有平方關系的證明問題；
（3）與勾股定理有關的面積計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應用。
考點1. 三角形的相關概念
【例題1】（2024陜西省）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】C
【解析】本題主要考查直角三角形的概念．根據直角三角形的概念可以直接判斷．
由圖得，，，為直角三角形，
共有4個直角三角形．故選：C．
【變式練1】（2024長沙一模）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【解析】∵1+3＝4，
∴1，3，4不能組成三角形，
故A選項不符合題意；
∵2+2＜7，
∴2，2，7不能組成三角形，
故B不符合題意；
∵4+5＞7，
∴4，5，7能組成三角形，
故C符合題意；
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能組成三角形，
故D不符合題意，故選：C．
【變式練2】（2024湖南婁底一模）若一個三角形的兩邊長分別為2cm，7cm，則它的第三邊的長可
能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【答案】C
【解答】解：設第三邊長為x cm，根據三角形的三邊關系可得：
7﹣2＜x＜7+2，
解得：5＜x＜9，故選：C．
【變式練3】（2024黑龍江大慶一模）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F在直線l上，點B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數為（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．
∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，
∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，
∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故選：B．
考點2. 三角形中的重要線段
【例題2】（2024四川南充）如圖，在中，，平分交于點D，點E為邊上一點，則線段長度的最小值為（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質，垂線段最短，根據題意求得和，結合角平分線的性質得到和，當時，線段長度的最小，結合角平線的性質可得即可．
【詳解】∵，
∴，
在中，，解得，
∵平分，
∴，
∴，解得，
當時，線段長度最小，
∵平分，
∴．故選∶C．
【變式練1】（2024哈爾濱一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（是鈍角），他打算用折疊的方法折出的角平分線、邊上的中線和高線，能折出的是（　　）
A．邊上的中線和高線 B．的角平分線和邊上的高線
C．的角平分線和邊上的中線 D．的角平分線、邊上的中線和高線
【答案】C
【解析】當與重合時，折痕是的角平分線；
當點A與點B重合時，折疊是的中垂線，故選：C．
【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質是本題的關鍵．
【變式練2】（2024天津一模）如圖，中，，G為的中點，延長交于點E，F為上一點，且于點H，下列判斷中，正確的個數是（ ）
①是的邊上的中線；
②既是的角平分線，也是的角平分線；
③既是的邊上的高，也是的邊上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根據三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義逐一判斷即可．
因為G為的中點，
所以是的邊上的中線，故①正確；
因為，
所以是的角平分線，是的角平分線，故②錯誤；
因為于點H，
所以既是的邊邊上的高，也是的邊上的高，故③正確，
綜上正確的有2個
故選：C．
【點睛】此題考查的是三角形中線、角平分線和高的識別，掌握三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義是解決此題的關鍵．
考點3. 等腰三角形以及等邊三角形
【例題3】（2024福建省）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等；
A.由對稱的性質得，由等腰三角形的性質得 ，，即可判斷；
B.不一定等于，即可判斷；
C.由對稱的性質得，由全等三角形的性質即可判斷；
D. 過作，可得 ，由對稱性質得同理可證，即可判斷；
掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
【詳解】A.，
，
由對稱得，
點，分別是底邊，的中點，與都是等腰三角形，
，，
，
，結論正確，故不符合題意；
B.不一定等于，結論錯誤，故符合題意；
C.由對稱得，
∵點 E ，F分別是底邊的中點，
，結論正確，故不符合題意；
D.
過作，
，
，
，由對稱得，
，
同理可證，
，結論正確，故不符合題意；故選：B．
【變式練1】（2024遼寧沈陽一模）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則這個三角形的周長
是（　　）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
【答案】A
【解析】分兩種情況：
①當4為底邊長，9為腰長時，4+9＞9，
∴三角形的周長＝4+9+9＝22；
②當9為底邊長，4為腰長時，
∵4+4＜9，
∴不能構成三角形；
∴這個三角形的周長是22．故選：A．
【變式練2】（2024山西一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BA延長線上一點，且ED⊥BC交AC于點F．
（1）求證：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F為AC中點，求BC的長．
【答案】見解析
【解析】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED⊥BC，∴∠EDB＝∠EDC＝90°，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，∴∠E＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠EFA，∴∠EFA＝∠E，∴AE＝AF，
∴△AEF為等腰三角形；
（2）解：過點A作AG⊥ED于點G，AH⊥BC于H，如圖所示：
∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，
∴FG＝GE＝EF＝6，
∵F為AC中點，
∴AF＝FC＝AC＝AB＝，
在△AFG與△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴DF＝FG＝6，∴AH＝2DF＝12，
∴BH＝＝5，
∴BC＝2BH＝10，
【變式練3】（2024上海一模）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC．若AD＝4，則△ADE的周長為 　 　．
【答案】12．
【解析】∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD＝DE＝AE＝4，
∴△ADE的周長＝4+4+4＝12
【變式練4】（2024河北唐山一模）如圖，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則∠O的度數為（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】連接BC，如圖，
∵以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，
∴OB＝OC，
∵以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，
∴OB＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠O＝60°．故選：C．
【變式練5】 （2024吉林一模）如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點、，若的周長是20，，，則的周長為（ ）

A．4 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【解析】先根據的周長公式求得，再根據線段垂直平分線的性質得到，，根據的周長公式計算，即可得到答案．
∵的周長是20，
∴
∵，，
∴，
是線段的垂直平分線，
，
同理，，
的周長，
故選：C．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
【變式練6】（2024南京一模）如圖，中，平分，且平分，于，于．如果，，則 ．

【答案】4
【解析】連接，根據角平分線的性質可得，根據線段垂直平分線的性質，可得，繼而可證得，可得，再證得，得到，設，由，即可得方程，解方程求出，進而可求得．
連接，，

平分，，，
，，
且平分，
，
在與中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
設，則，
，，，，
，
解得：，
，
，
故答案為：4．
【點睛】此題考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及全等三角形的判定與性質．準確作出輔助線，利用方程思想與數形結合思想求解是解決問題的關鍵．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
【例題4】（2024吉林省）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點C，尺，尺．設的長度為x尺，可列方程為______．
【答案】
【解析】本題考查了勾股定理的實際應用，正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關鍵．
設的長度為x尺，則，在中，由勾股定理即可建立方程．
【詳解】設的長度為x尺，則，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案為：．
【變式練1】（2024陜西一模）如圖，在中，，是邊的中線，若，，則的長度為________．
【答案】4
【解析】根據等腰三角形的性質和勾股定理求解即可．
∵在中，，是邊的中線，
∴，，
在中，，，
∴，故答案為：4．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質是解答的關鍵．
【變式練2】（2024武漢一模）在△ABC中，D為BC邊上的點，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的長．
【答案】見解析。
【解析】根據勾股定理的逆定理可判斷出△ACD為直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的長度．
∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝＝5，∴BD的長為5.
方法總結：解題時可先通過勾股定理的逆定理證明一個三角形是直角三角形，然后再進行轉化，最后求解，這種方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補角的兩個直角三角形的圖形中．
【變式練3】（2024上海一模）如圖，是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？
【答案】見解析。
【解析】把實際問題轉化成數學問題來解決，運用直角三角形的判別條件，驗證它是否為直角三角形．
∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農民挖的不合格．
方法總結：解答此類問題，一般是根據已知的數據先運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形，然后再作進一步解答．
考點5. 直角三角形的性質及計算
【例題5】（2024廣州）如圖，在中，，，為邊的中點，點，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（ ）
A. 18 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】本題考查等腰直角三角形的性質以及三角形全等的性質與判定，掌握相關的線段與角度的轉化是解題關鍵．連接，根據等腰直角三角形的性質以及得出，將四邊形的面積轉化為三角形的面積再進行求解．
【詳解】解：連接，如圖：
∵，，點D是中點，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故選：C
【變式練1】（2024湖北荊州一模）如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開．若測得AB的長為10km，則M，C兩點間的距離為（　　）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【答案】C
【解析】∵公路AC，BC互相垂直，
∴．
∵M為AB的中點，
∴．
∵AB=10km，
∴CM=5km，
即M，C兩點間的距離為5km，
故答案為：C．
點撥：先求出，再求出CM=5km，即可作答。
【變式練2】（2024貴州黔西南一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．
【答案】
【解析】首先證明DB=AD=2CD，然后再由條件BC=可得答案．
∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
【點撥】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
【變式練3】（2024蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜邊AB上的中線，AC=4，CD=3。求直角邊BC的長
【答案】見解析
【解析】先根據直角三角形斜邊的中線定理得出AB的長，再根據勾股定理即可求出BC的長 .
在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴AB=2CD= 6，由勾股定理，得
BC=
考點1. 三角形的相關概念
1. （2024黑龍江齊齊哈爾）將一個含角的三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了對頂角的性質，三角形內角和定理．根據對頂角相等和三角形的內角和定理，即可求解．
如圖所示，
由題意得，，，
∴，故選：B．
2. （2024四川德陽）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質．首先根據平行線的性質得出，再根據垂直與三角形的內角和即可求出．
【詳解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：B．
3. （2024江蘇連云港）如圖，直線，直線，，則__________．
【答案】30
【解析】本題考查平行線的性質，三角形的外角性質，根據兩直線平行，同位角相等，求出的度數，根據三角形的外角的性質，得到，即可求出的度數．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：30．
4. （2024四川達州）如圖，在中，，分別是內角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內角，外角的三等分線．且，，…，以此規律作下去．若．則______度．
【答案】
【解析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先分別對運用三角形的外角定理，設，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．
【詳解】如圖：
∵，，
∴設，，則，，
由三角形的外角的性質得：，，
∴，
如圖：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案：．
考點2. 三角形中的重要線段
1. （2024四川涼山）如圖，中，是邊上的高，是的平分線，則的度數是______．
【答案】##100度
【解析】本題考查了三角形內角和以及外角性質、角平分線的定義．先求出，結合高的定義，得，因為角平分線的定義得，運用三角形的外角性質，即可作答．
【詳解】∵，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴．
2. （2024河北省）如圖，的面積為，為邊上的中線，點，，，是線段的五等分點，點，，是線段的四等分點，點是線段的中點．
（1）的面積為______；
（2）的面積為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】（1）根據三角形中線的性質得，證明，根據全等三角形的性質可得結論；
（2）證明，得，推出、、三點共線，得，繼而得出，，證明，得，推出，最后代入即可．
【詳解】解：（1）連接、、、、，
∵的面積為，為邊上的中線，
∴，
∵點，，，是線段的五等分點，
∴，
∵點，，是線段的四等分點，
∴，
∵點是線段的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面積為，
故答案為：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三點共線，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形中線的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等分點的意義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質是解題的關鍵．
考點3. 等腰三角形以及等邊三角形
1. （2024內蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（　　）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得，，根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為，腰長為，進而即可求出三角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵．
【詳解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，
∴這個三角形的周長為，故選：．
2. （2024云南省）已知是等腰底邊上的高，若點到直線的距離為3，則點到直線的距離為（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
由等腰三角形“三線合一”得到平分，再角平分線的性質定理即可求解．
如圖，
∵是等腰底邊上的高，
∴平分，
∴點F到直線，的距離相等，
∵點到直線的距離為3，
∴點到直線的距離為3．故選：C．
3. （2024安徽省）如圖，在中，，點在的延長線上，且，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，對頂角的性質，勾股定理，過點作的延長線于點，則，由，，可得，，進而得到，，即得為等腰直角三角形，得到，設，由勾股定理得，求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作的延長線于點，則，
∵，，
∴，，
∴，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
設，則，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，故選：．
4. （2024重慶市B）如圖，在中，，，平分交于點．若，則的長度為________．
【答案】2
【解析】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，先根據等邊對等角和三角形內角和定理求出，再由角平分線的定義得到，進而可證明，即可推出．
【詳解】∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案為：2．
5. （2024湖南省）一個等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數是________度．
【答案】
【解析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和，解答時根據等腰三角形兩底角相等，求出頂角度數即可．
因為其底角為40°，所以其頂角．
6. （2024四川遂寧）在等邊三邊上分別取點，使得，連結三點得到，易得，設，則
如圖①當時，
如圖②當時，
如圖③當時，
……
直接寫出，當時，______．
【答案】##0.73
【解析】本題主要考查數字規律性問題，首先根據已知求得比例為n時，，代入即可．
【詳解】根據題意可得，當時，，
則當時，，
故答案為：．
7.（2024湖北省） 為等邊三角形，分別延長，到點，使，連接，，連接并延長交于點．若，則______，______．
【答案】 ①. ##30度 ②. ##
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理．利用三角形的外角性質結合可求得；作交的延長線于點，利用直角三角形的性質求得，，證明，利用相似三角形的性質列式計算即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延長線于點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案為：，．
8. （2024江蘇常州）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，相交于點G，，，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）連接，則與l的位置關系是________．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，平行線的判定：
（1）證明，得到，即可得證；
（2）根據線段的和差關系，易得，根據三角形的內角和定理，得到，即可得出結論．
【小問1詳解】
證明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小問2詳解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
1. （2024四川德陽）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協調的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數為（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關鍵．設，，假設存在點，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結合，然后根據判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解．
【詳解】如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，
設，，假設存在點，且，則，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程無解，即點不存在．故選：D．
2. （2024江蘇鹽城）如圖，在中，，，點是的中點，連接，將繞點旋轉，得到．連接，當時，________．
【答案】##
【解析】本題主要考查等腰直角三角形的性質，勾股定理，平行線的性質，全等三角形的性質的綜合，掌握等腰直角三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質是解題的關鍵．
根據等腰直角三角形的性質可得的值，作，根據平行線的性質可得是等腰直角三角形，可求出的長，在直角中，根據勾股定理可求出的長度，由此即可求解．
【詳解】∵在中，，，
∴，，
∵點是的中點，
∴，
∴在中，，
∵將繞點旋轉得到，
∴，
∴，，，
如圖所示，過于點，
∵∥，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，，
∴．
3. （2024四川樂山）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：
平地秋千未起，踏板一尺離地．
送行二步與人齊，五尺人高曾記．
仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．
良工高士素好奇，算出索長有幾？
詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）
（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；
（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．
【答案】（1）秋千繩索的長度為尺
（2）能，
【解析】
【分析】該題主要考查了勾股定理的應用以及解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握以上知識點．
（1）如圖，過點作，垂足為點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由題可知，，．在中，得出，同理，．再根據，列等式即可求出．
【小問1詳解】
解：如圖，過點作，垂足為點B．
設秋千繩索的長度為x尺．
由題可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千繩索的長度為尺．
【小問2詳解】
能．
由題可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
考點5. 直角三角形的性質及計算
1. （2024四川南充）如圖，在矩形中，為邊上一點，，將沿折疊得，連接，，若平分，，則的長為_____．
【答案】
【解析】過作于點，于點，，由四邊形是矩形，得，，證明四邊形是矩形，通過角平分線的性質證得四邊形是正方形，最后根據折疊的性質和勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，過作于點，于點，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∵平分，
∴，，
∴四邊形是正方形，
由折疊性質可知：，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質和判定，折疊的性質，勾股定理，所對直角邊是斜邊的一半，角平分線的性質，正方形的判定與性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
2. （2024江蘇連云港）如圖，在中，，，．點P在邊上，過點P作，垂足為D，過點D作，垂足為F．連接，取的中點E．在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經過的路徑長為__________．
【答案】##
【解析】本題考查含30度角的直角三角形，一次函數與幾何的綜合應用，矩形的判定和性質，兩點間的距離，以為原點，建立如圖所示的坐標系，設，則，利用含30度角的直角三角形的性質，求出點的坐標，得到點在直線上運動，求出點分別與重合時，點的坐標，利用兩點間的距離公式進行求解即可．
【詳解】解：以為原點，建立如圖所示的坐標系，設，則，
則：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
過點作，則：，
∴，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵為的中點，
∴，
令，
則：，
∴點在直線上運動，
當點與重合時，，此時，
當點與重合時，，此時，
∴點E所經過的路徑長為．
3. （2024四川成都市）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點，連接．若，，則______．
【答案】
【解析】連接，過E作于F，設，，根據直角三角形斜邊上的中線性質和等腰三角形的性質證得，，，進而利用三角形的外角性質和三角形的中位線性質得到，，證明，利用相似三角形的性質和勾股定理得到；根據角平分線的定義和相似三角形的判定與性質證明得到，進而得到關于x的一元二次方程，進而求解即可．
【詳解】連接，過E作于F，設，，
∵，為中點，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，則，又，
∴，
∴，，
∴，
則；
∵是的一條角平分線，
∴，又，
∴，
∴
∴，則，
∴，即，
解得（負值已舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形的中位線性質、三角形的外角性質、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關知識是解答的關鍵．
4. （2024黑龍江龍東）如圖，菱形中，點是的中點，，垂足為，交于點，，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．
先由菱形性質可得對角線與交于點O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進而由菱形對角線求出邊長，由解三角形即可求出，．
【詳解】連接，如圖，
∵菱形中，與互相垂直平分，
又∵點是的中點，
∴A、O、C三點在同一直線上，
∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故選：C．
5. （2024山東棗莊）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．
（1）求證：；
（2）在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉后，延長交直線于點．
①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；
②當時，寫出線段，，的數量關系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數量關系．
【答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析；②當時，線段，，的數量關系為；當時，線段，，的數量關系為；
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質可得結論；
（2）①證明，，可得，證明，可得四邊形為矩形，結合，即，
而，可得，從而可得結論；②如圖，當時，連接，證明，可得，結合，可得；②如圖，當時，連接，同理，結合，可得
【小問1詳解】
證明：設，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：①∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為矩形，
∵，即，
而，
∴，
∴四邊形是正方形；
②如圖，當時，連接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如圖，當時，連接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，正方形的判定，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.
考點1. 三角形的相關概念
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，則邊AC的長可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．11
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB＝4，BC＝7，
則7﹣4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴邊AC的長可能是4，故選：C．
2. 如圖，E為△ABC邊CA邊上一點，過點E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，則
∠C＝　　°．
【答案】40．
【解析】∵∠CED＝150°，
∴∠AED＝180°﹣150°＝30°，
∵ED∥AB，
∴∠A＝∠AED＝30°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°．
考點2. 三角形中的重要線段
1. 在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是　　 度．
【答案】80或40．
【解析】當△ABC為銳角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
當△ABC為鈍角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
綜上所述，∠BAC＝80°或40°．
2．如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【答案】C
【解析】∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，無法確定AE＝BE．故選：C．
3. 如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長
為（　　）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
【答案】A
【解析】∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周長的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，
∴△ACD周長為：25﹣6＝19cm．故選：A．
考點3. 等腰三角形以及等邊三角形
1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，則∠B的度數為（　　）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
【答案】D
【解析】當∠A為頂角時，則；
當∠B為頂角時，則∠B＝180°﹣2∠A＝80°；
當∠A、∠B為底角時，則∠B＝∠A＝50°．故選：D．
2．如圖，在等邊△ABC的底邊BC邊上任取一點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，作DF∥AB交AC于點F，DE＝5cm，DF＝3cm，則△ABC的周長為　 　cm．
【答案】24
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠DFC＝∠A＝60°，
∴∠BED＝∠B＝60°，∠DFC＝∠C＝60°，
∴△BED為等邊三角形，△DFC為等邊三角形，
∴BE＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm，
∴AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm，
∴△ABC的周長為：AB+AC+BC＝8+8+8＝24cm．
3．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，則∠DAE＝　　 ．
【答案】10°
【解析】∵點D、E分別是AB、AC邊的垂直平分線與BC的交點，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°
4．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝　　 ．
【答案】10°．
【解析】∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°
5. 如圖，在中，，邊上的垂直平分線分別交于點D、E，若的周長是11，則直線上任意一點到A、C距離和最小為（　　）

A．28 B．18 C．10 D．7
【答案】D
【分析】利用垂直平分線的性質和已知的三角形的周長計算．
【詳解】解：∵是的中垂線，
∴，
則，
又∵的周長為11，
故，
直線上任意一點到A、C距離和最小為7．故選：D．
【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關知識．難度簡單．
6．如圖，在△ABC中，BD、AE分別是AC、BC邊上的高，它們相交于點F，且AF＝BC．
求證：△ABD是等腰三角形．
【答案】見解析
【解析】證明：∵BD、AE分別是AC、BC邊上的高，
∴BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠ADF＝90°，∠DBC+∠BFE＝∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠CBD＝∠DAF，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（AAS），
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
6．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點D，E，連接BD，ED．
（1）寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數．
【答案】見解析
【解析】（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BD＝BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴圖中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2）解：∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°．
∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．
設∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．∴∠A＝180°﹣2x°．
∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠BDC為△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD．
∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．
考點4. 直角三角形勾股定理及其應用
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為，，，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3
C． D．∶∶=3∶4∶6
【答案】D
【解析】A.∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，則∠C=90°，是直角三角形；
B.∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，則∠C=90°，是直角三角形；
C.由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D.32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故選D．
2．已知兩條線段的長為和，當第三條線段的長為_________時，這三條線段能組成一個直角三角形.
【答案】13或
【解析】已知直角三角形的二邊求第三邊時，一定區分所求邊是直角三角形的斜邊和直角邊二種情況下的結果，然后根據勾股定理解答．
根據勾股定理，當12為直角邊時，第三條線段長為=13；
當12為斜邊時，第三條線段長為=；
故答案為13或．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握并正確運用勾股定理逆定理是解題的關鍵，注意要分兩種情況討論．
3．如圖，中，，，，延長至點，連接，若是以為其中一腰的等腰三角形，則線段的長等于　 ．
【答案】5或．
【解析】中，，，，
．
是以為其中一腰的等腰三角形，
分兩種情況：
①當時，
，
；
②當時，
設，則．
中，，
，即，
解得．
綜上所述，線段的長等于5或．
4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的長；
(2)S△ABC；
(3)CD的長．
【答案】見解析。
【解析】(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根據勾股定理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據面積公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；
(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝cm.
方法總結：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個直角三角形的面積，然后根據面積相等得出一個方程，再解這個方程即可．
5.探索與研究：
方法1：如圖：
對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點A旋轉90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據圖示寫出證明勾股定理的過程；
方法2：如圖：
該圖形是由任意的符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據圖示再寫出一種證明勾股定理的方法嗎？
【答案】見解析。
【解析】方法1：根據四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進行解答；方法2：根據△ABC和Rt△ACD的面積之和等于Rt△ABD和△BCD的面積之和解答．
解：方法1：S正方形ACFD＝S四邊形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，
即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，
整理得2b2＝c2＋b2－a2，
∴a2＋b2＝c2；
方法2：此圖也可以看成Rt△BEA繞其直角頂點E順時針旋轉90°，再向下平移得到．
∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，
∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，
即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，
整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，
∴a2＋b2＝c2.
方法總結：證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理證明勾股定理．
6. 如圖1是第七屆國際數學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點到的距離為（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】根據題意求得，進而求得，進而等面積法即可求解．
在中，
，，
，
，
設到的距離為，
，
，故選B．
【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
考點5. 直角三角形的性質及計算
1．如圖，有一架梯子斜靠在與地面垂直的墻上，在墻角點處有一只貓緊緊盯住位于梯子正中間點處的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉，把梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，若梯子端沿墻下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離將　 　（填“變大”、“變小”或“不變”）．
【答案】不變
【解析】如圖，連接OP，
根據題意知，點P是直角△AOB斜邊的中點，
則OP是直角△AOB斜邊上的中線，則OP＝AB，
由于AB的長度不變，則OP的長度不變．
故答案為：不變．
2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E．求證：E為AB的中點．
【答案】見解析
【解析】證明：∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴DE=AE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BDE=∠ABD，
∴BE=DE，
∴AE=BE，
∴E是AB的中點．
3. 如圖 ,MN 為過 Rt△ABC 的直角頂點 A 的直線,且BD⊥MN 于點D,CE⊥MN 于點E,AB=AC,F 為BC 的中點,求證:DF=EF.
【答案】見解析
【解析】 連接AF.因為△ABC 為直角三角形,F 為斜邊BC 的中點,所以BF=AF=CF.因為∠BAC=90°,所以∠BAM+∠NAC=90°.因為E ,所以∠BAM+∠DBA=90°,∠BDA=∠CEA=90°.
所以∠DBA=∠NAC.
又因為AB=AC,所以△DBA≌△EAC,所以DB=AE.
因為AB=AC,∠BAC=90°,F 為BC 的中點,
所以
所以∠DBA+∠ABC=∠CAF+∠CAN,
即∠DBF=∠FAE.又因為DB=AE,AF=BF,
所以 所以 DF=EF.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑