資源簡介

選修2－1第一章常用邏輯用語知識與方法測試
一．選擇題：
1．下列說法正確的是（ ）
（A）一個命題的逆命題為真，則它的否命題為假
（B）一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題為真
（C）一個命題的逆否命題為真，則它的否命題為真
（D）一個命題的逆命題為真，則它的否命題為真
2．已知p：，q：{1}∈{1，2}，由它們構成的新命題“p∧q”，“p∨q”，“p”中，真命題有（ ）
（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個
3．“a=1”是“函數y=cos2(ax)－sin2(ax)的最小正周期為π”的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充也不必要條件
4．q是p的充要條件的是（ ）
（A）p：3x+2>5，q：－2x－3>－5
（B）p：a>2，b<2，q：a>b
（C）p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形
（D）p：a≠0，q：關于x的方程ax=1有唯一解
5．兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是（ ）
（A）A1A2+B1B2=0 （B）A1A2－B1B2=0 （C） （D）
6．“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合”的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充也不必要條件
二．填空題：
7．函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過原點的充要條件是 。
8．“x+y=7”是“x2－y2－6x+8y=7”的 條件。
9．寫出命題“若方程ax2－bx+c=0的兩根均大于零，則ac>0”的一個等價命題是
。
10．下列命題中，真命題為 。(寫出所有正確命題的序號)
① 40能被3或5整除；② 不存在實數x，使x2+x+1<0；③ 對任意實數x，均有x+1>x；
④ 方程x2－2x+3=0有兩個不等的實根；⑤ 不等式的解集為.
三．解答題：
11．寫出命題“若，則x=2且y=－1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。
12．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
（1）p：，方程x2+x－m=0必有實根；
（2）q：，使得x2+x+1≤0.
13．求使函數f(x)=(a2+4a－5)x2－4(a－1)x+3的圖象全在x軸上方成立的充要條件。
14．已知m∈Z，關于x的一元二次方程x2－4x+4m=0 ①和x2－4mx+4m2－4m－5=0 ②，
求方程①②的根都是整數的充要條件。
15．已知命題p：不等式|x－1|>m－1的解集為R，命題q：f(x)=－(5－2m)x是減函數，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數m的取值范圍。
16．已知p：；q：x2－2x+1－m2≤0 (m>0)，若?p是?q的必要非充分條件，求實數m的取值范圍。
參考答案
一．選擇題
1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C
二．填空題：
7．c=0 8．充分不必要 9．若ac≤0，則方程ax2－bx+c=0的兩根不全大于零
10．①②③⑤
三．解答題：
11．逆命題：若x=2且y=－1，則. 真
否命題：若，則x≠2或y≠－1. 真
逆否命題：若x≠2或y≠－1，則. 真
12．（1）：，使方程x2+x－m=0無實根；
若方程x2+x－m=0無實根，則△=1+4m<0，即m<－，所以當m=－1時，為真。
（2）：，使得x2+x+1>0；真
因為x2+x+1=(x+)2+>0，所以為真.
13．要使函數f(x)的圖象全在x軸的上方的充要條件是，
解得1所以使f(x) 的圖象全在x軸的上方的充要條件是1≤a<19.
14．方程①有實根△=16－16m≥0，即m≤1。方程②有實根△=16m+20≥0，即m≥－，
所以方程①②都有實根－≤m≤1，所以z∈Z，所以m=－1，0，1，
當m=－1時，方程①無整數根；當m=0時，方程②無整數根；
當m=1時，方程①②都有整數根，綜上所述方程①②的根都是整數的充要條件是m=1.
15．命題p成立的條件：由|x－1|>m－1的解集為R，由絕對值的幾何意義知，m－1<0，即m<1，
命題q成立的條件：由f(x)=－(5－2m)x是減函數，知5－2m>1，所以m<2，
若命題p或q為真命題，p且q為假命題，則p與q中必有一為真，一為假，
若p為真且q為假，即，無解；若q為真，p為假，則，得m∈[1，2).
16．?p：，解得x<－2或x>10，A={x| x<－2或x>10}，
?q：x2－2x+1－m2>0，解得x<1－m或x>1+m，B={x| x<1－m或x>1+m}，
因為?p是?q的必要非充分條件，所以，即，且m=9時，也有，
所以m≥9.
1.1.1　命題
（一）教學目標
１、知識與技能：理解命題的概念和命題的構成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式；
２、過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；
３、情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。
（二）教學重點與難點
重點：命題的概念、命題的構成
難點：分清命題的條件、結論和判斷命題的真假
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。
（三）教學過程
學生探究過程：
1．復習回顧
初中已學過命題的知識，請同學們回顧：什么叫做命題？
2．思考、分析
下列語句的表述形式有什么特點？你能判斷他們的真假嗎？
（1）若直線a∥b，則直線a與直線b沒有公共點 ．
（2）2+4=7．
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行．
（４）若x2=1,則x=1．
（５）兩個全等三角形的面積相等．
（６）３能被２整除．
3．討論、判斷
學生通過討論，總結：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中（1）（3）（5）的判斷為真，（2）（4）（6）的判斷為假。
教師的引導分析：所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4．抽象、歸納
定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．
命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句．
在數學課中，只研究數學命題，請學生舉幾個數學命題的例子． 教師再與學生共同從命題的定義，判斷學生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對命題這一概念的理解．
5．練習、深化
判斷下列語句是否為命題？
（１）空集是任何集合的子集． （２）若整數a是素數，則是a奇數．
（３）指數函數是增函數嗎？ （４）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行．
（５）＝－２． （６）x＞１５．
讓學生思考、辨析、討論解決，且通過練習，引導學生總結：判斷一個語句是不是命題，關鍵看兩點：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可．疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題．
解略。
引申：以前，同學們學習了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？
通過對此問的思考，學生將清晰地認識到定理、推論都是命題．
過渡：同學們都知道，一個定理或推論都是由條件和結論兩部分構成（結合學生所舉定理和推論的例子，讓學生分辨定理和推論條件和結論，明確所有的定理、推論都是由條件和結論兩部分構成）。緊接著提出問題：命題是否也是由條件和結論兩部分構成呢？
6.命題的構成――條件和結論
定義：從構成來看，所有的命題都具由條件和結論兩部分構成．在數學中，命題常寫成“若p，則q”或者 “如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結論．
7．練習、深化
指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷各命題的真假．
（１）若整數a能被２整除，則a是偶數．
（２）若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，則a+b＞0．
（４）若a＞0，b＞0，則a+b＜0．
（５）垂直于同一條直線的兩個平面平行．
此題中的（１）（２）（３）（４），較容易，估計學生較容易找出命題中的條件p和結論q，并能判斷命題的真假。其中設置命題（３）與（４）的目的在于：通過這兩個例子的比較，學更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結果是對的還是錯的。
此例中的命題（５），不是“若P，則q”的形式，估計學生會有困難，此時，教師引導學生一起分析：已知的事項為“條件”，由已知推出的事項為“結論”．
解略。
過渡：從例２中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結論是正確的，而有些命題的結論是錯誤的，那么我們就有了對命題的一種分類：真命題和假命題．
8．命題的分類――真命題、假命題的定義．
真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做真命題．
假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做假命題．
強調：
　(１)注意命題與假命題的區別．如：“作直線AB”．這本身不是命題．也更不是假命題．
(２)命題是一個判斷，判斷的結果就有對錯之分．因此就要引入真命題、假命題的的概念，強調真假命題的大前提，首先是命題。
9．怎樣判斷一個數學命題的真假？
　　(１)數學中判定一個命題是真命題，要經過證明．
(２)要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．
10．練習、深化
例３：把下列命題寫成“若P，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題：
面積相等的兩個三角形全等。
負數的立方是負數。
對頂角相等。
分析：要把一個命題寫成“若P，則q”的形式，關鍵是要分清命題的條件和結論，然后寫成“若條件，則結論”即“若P，則q”的形式．解略。
11、鞏固練習：Ｐ４　　２、３
12．教學反思　　師生共同回憶本節的學習內容．
　　1．什么叫命題？真命題？假命題？　　 2．命題是由哪兩部分構成的？
　　3．怎樣將命題寫成“若P，則q”的形式．　　4．如何判斷真假命題．
　　教師提示應注意的問題：
1．命題與真、假命題的關系． 　2．抓住命題的兩個構成部分，判斷一些語句是否為命題．
　　３．判斷假命題，只需舉一個反例，而判斷真命題，要經過證明．
13．作業：P9：習題1．１Ａ組第1題
1.1.2量詞
(一)教學目標
1.知識與技能目標
（1）通過生活和數學中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞．
（2）了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數學符號表示含有量詞的命題及
判斷其命題的真假性．
2.過程與方法目標 使學生體會從具體到一般的認知過程，培養學生抽象、概括的能力．
3.情感態度價值觀
通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．
(二)教學重點與難點
重點:理解全稱量詞與存在量詞的意義 難點: 全稱命題和特稱命題真假的判定.
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．
（三）教學過程
學生探究過程：1．思考、分析
下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？
（1）2x＋１是整數；
(2) x＞３；
(3) 如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等；
（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；
（5）海師附中今年所有高中一年級的學生數學課本都是采用人民教育出版社A版的教科書；
（6）所有有中國國籍的人都是黃種人；
（7）對所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）對任意一個x∈Ｚ，2x＋１是整數。
推理、判斷
（讓學生自己表述）
（1）、（2）不能判斷真假，不是命題。
（3）、(4)是命題且是真命題。
（5）－（8）如果是假，我們只要舉出一個反例就行。
注：對于（5）－（8）最好是引導學生將反例用命題的形式寫出來。因為這些命題的反例涉及到“存在量詞”“特稱命題”“全稱命題的否定”這些后續內容。
（5）的真假就看命題：海師附中今年存在個別（部分）高一學生數學課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；這個命題的真假，該命題為真，所以命題（5）為假；
命題（6）是假命題．事實上，存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人．
命題（7）是假命題．事實上，存在一個（個別、某些）實數（如x＝2）， x＜３．
（至少有一個x∈Ｒ, x≤３）
命題（8）是真命題。事實上不存在某個x∈Ｚ，使2x＋１不是整數。也可以說命題：存在某個x∈Ｚ使2x＋１不是整數，是假命題．
3．發現、歸納
命題（5）－（8）跟命題（3）、（4）有些不同，它們用到 “所有的”“任意一個” 這樣的詞語，這些詞語一般在指定的范圍內都表示整體或全部，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號“(”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。命題（5）－（8）都是全稱命題。
通常將含有變量x的語句用p（x），q（x），r（x），……表示，變量x的取值范圍用M表示。那么全稱命題“對M中任意一個x，有p（x）成立”可用符號簡記為：(x(M, p（x），讀做“對任意x屬于M，有p（x）成立”。
剛才在判斷命題（5）－（8）的真假的時候，我們還得出這樣一些命題：
（5），存在個別高一學生數學課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；
（6），存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人．
（7）， 存在一個（個別、某些）實數x（如x＝2），使x≤３．（至少有一個x∈Ｒ, x≤３）
（8），不存在某個x∈Ｚ使2x＋１不是整數．
這些命題用到了“存在一個”“至少有一個”這樣的詞語，這些詞語都是表示整體的一部分的詞叫做存在量詞。并用符號“”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱命題（或存在命題）命題（5），－（8），都是特稱命題（存在命題）．
特稱命題：“存在M中一個x，使p（x）成立”可以用符號簡記為：。讀做“存在一個x屬于M,使p（x）成立”．
全稱量詞相當于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個”等；存在量詞相當于日常語言中“存在一個”，“有一個”，“有些”，“至少有一個”，“ 至多有一個”等.
4．鞏固練習
（1）下列全稱命題中，真命題是：
A. 所有的素數是奇數； B. ；
C. D.
（2）下列特稱命題中，假命題是：
A. B.至少有一個能被2和3整除
C. 存在兩個相交平面垂直于同一直線 D.x2是有理數．
（3）已知：對恒成立，則a的取值范圍是 ；
變式：已知：對恒成立，則a的取值范圍是 ；
（4）求函數的值域；
變式：已知：對方程有解，求a的取值范圍．
5．課外作業P29習題1.4A組1、2題：
6．教學反思：
（1）判斷下列全稱命題的真假：
①末位是o的整數，可以被5整除；
②線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
③負數的平方是正數；
④梯形的對角線相等。
（2）判斷下列特稱命題的真假：
①有些實數是無限不循環小數；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①請課后探究命題（5），－（8），跟命題（5）－（8）分別有什么關系？
②請你自己寫出幾個全稱命題，并試著寫出它們的否命題．寫出幾個特稱命題，并試著寫出它們的否命題。
1.2.1“且”與“或”
(一)教學目標
1.知識與技能目標：
掌握邏輯聯結詞“或、且”的含義
正確應用邏輯聯結詞“或、且”解決問題
掌握真值表并會應用真值表解決問題
2．過程與方法目標：
在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維的嚴密性品質的培養．
3.情感態度價值觀目標：
激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．
(二)教學重點與難點
重點：通過數學實例，了解邏輯聯結詞“或、且”的含義，使學生能正確地表述相關數學內容。
難點：1、正確理解命題“P∧q”“P∨q”真假的規定和判定．2、簡潔、準確地表述命題“P∧q”“P∨q”.
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維的嚴密性品質的培養．
（三）教學過程
學生探究過程：
1、引入
在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯．具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面．數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的數學比初中更強調邏輯性．如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤．其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識．
在數學中，有時會使用一些聯結詞，如“且”“或”“非”。在生活用語中，我們也使用這些聯結詞，但表達的含義和用法與數學中的含義和用法不盡相同。下面介紹數學中使用聯結詞“且”“或”“非”聯結命題時的含義和用法。
為敘述簡便，今后常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。（注意與上節學習命題的條件p與結論q的區別）
2、思考、分析
問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關系？
（1）①12能被3整除；
②12能被4整除；
③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍數；
②27是9的倍數；
③27是7的倍數或是9的倍數。
學生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞“且”聯結得到的新命題，在第（2）組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞“或”聯結得到的新命題，。
問題2：以前我們有沒有學習過象這樣用聯結詞“且”或“或”聯結的命題呢？你能否舉一些例子？
例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。
命題q：三條邊對應成比例的兩個三角形相似或兩個角相等的兩個三角形相似。
3、歸納定義
一般地，用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作
p∧q
讀作“p且q”。
一般地，用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作p∨q,讀作“p或q”。
命題“p∧q”與命題“p∨q”即，命題“p且q”與命題“p或q”中的“且”字與“或” 字與下面兩個命題中的“且” 字與“或” 字的含義相同嗎？
（1）若 x∈A且x∈B，則x∈A∩B。
（2）若 x∈A或x∈B，則x∈A∪B。
定義中的“且”字與“或” 字與兩個命題中的“且” 字與“或” 字的含義是類似。但這里的邏輯聯結詞“且”與日常語言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相當，表明前后兩者同時兼有，同時滿足, 邏輯聯結詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能.
說明：符號“∧”與“∩”開口都是向下，符號“∨”與“∪”開口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命題中的“p”、“q”是兩個命題，而原命題，逆命題，否命題，逆否命題中的“p”,“q”是一個命題的條件和結論兩個部分.
4、命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假的規定
你能確定命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假嗎？命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假和命題p，q的真假之間有什么聯系？
引導學生分析前面所舉例子中命題p，q以及命題p∧q的真假性，概括出這三個命題的真假之間的關系的一般規律。
例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，①②都是真命題，所以命題③是真命題。
第（2）組命題中，①是假命題，②是真命題，但命題③是真命題。
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
（即一假則假） （即一真則真）
一般地，我們規定：
當p，q都是真命題時，p∧q是真命題；當p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是假命題；當p，q兩個命題中有一個是真命題時，p∨q是真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題。
5、例題
例1：將下列命題分別用“且”與“或” 聯結成新命題“p∧q” 與“p∨q”的形式，并判斷它們的真假。
（1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等。
（2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分；
（3）p：35是15的倍數，q：35是7的倍數.
解：（1）p∧q：平行四邊形的對角線互相平分且平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成
平行四邊形的對角線互相平分且相等.
p∨q: 平行四邊形的對角線互相平分或平行四邊形的對角線相等. 也可簡寫成
平行四邊形的對角線互相平分或相等.
由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題, p∨q也是真命題．
（2）p∧q：菱形的對角線互相垂直且菱形的對角線互相平分. 也可簡寫成
菱形的對角線互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的對角線互相垂直或菱形的對角線互相平分. 也可簡寫成
菱形的對角線互相垂直或平分.
由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題, p∨q也是真命題．
（3）p∧q：35是15的倍數且35是7的倍數. 也可簡寫成
35是15的倍數且是7的倍數.
p∨q: 35是15的倍數或35是7的倍數. 也可簡寫成
35是15的倍數或是7的倍數.
由于p是假命題, q是真命題,所以p∧q是假命題, p∨q是真命題．
說明，在用＂且＂或＂或＂聯結新命題時，如果簡寫，應注意保持命題的意思不變．
例2：選擇適當的邏輯聯結詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷它們的真假。
（1）1既是奇數，又是素數；
（2）2是素數且3是素數；
（3）2≤2．
解略．
例3、判斷下列命題的真假；
（1）6是自然數且是偶數
（2）(是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等．
解略．
6．鞏固練習 ：Ｐ2０ 練習第1 ， 2題
７.教學反思：
掌握邏輯聯結詞“或、且”的含義
正確應用邏輯聯結詞“或、且”解決問題
掌握真值表并會應用真值表解決問題
p
q
P∧q
P∨q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
８．作業：
P20：習題１.３Ａ組第1、2題
1.2.2“非”（否定）
(一)教學目標
1.知識與技能目標：
（1）掌握邏輯聯結詞“非”的含義 （2）正確應用邏輯聯結詞“非”解決問題
（3）掌握真值表并會應用真值表解決問題
2．過程與方法目標：
觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維能力中嚴密性品質的培養．
3.情感態度價值目標：
激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．
(二)教學重點與難點
重點：通過數學實例，了解邏輯聯結詞“非”的含義，使學生能正確地表述相關數學內容.
難點： 1、正確理解命題 “￢P”真假的規定和判定．2、簡潔、準確地表述命題 “￢P”.
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．
（三）教學過程
學生探究過程：1、思考、分析
問題1：下列各組命題中的兩個命題間有什么關系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
（2） ①方程x2+x+1=0有實數根。 ②方程x2+x+1=0無實數根。
學生很容易看到，在每組命題中，命題②是命題①的否定。
2、歸納定義
一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作
￢p
讀作“非p”或“p的否定”。
3、命題“￢p”與命題p的真假間的關系
命題“￢p”與命題p的真假之間有什么聯系？
引導學生分析前面所舉例子中命題p與命題￢p的真假性，概括出這兩個命題的真假之間的關系的一般規律。
例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，命題①是真命題，而命題②是假命題。
第（2）組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。
由此可以看出，既然命題￢P是命題P的否定，那么￢P與P不能同時為真命題，也不能同時為假命題，也就是說，
若p是真命題，則￢p必是假命題；若p是假命題，則￢p必是真命題；
p
￢P
真
假
假
真
4、命題的否定與否命題的區別
讓學生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么區別？
命題的否定是否定命題的結論，而命題的否命題是對原命題的條件和結論同時進行否定，因此在解題時應分請命題的條件和結論。
例：如果命題p:5是15的約數，那么
命題￢p：5不是15的約數；
p的否命題：若一個數不是5，則這個數不是15的約數。
顯然，命題p為真命題，而命題p的否定￢p與否命題均為假命題。
5.例題分析
　例1? 寫出下表中各給定語的否定語。
若給定語為
等于
大于
是
都是
至多有一個
至少有一個
其否定語分別為
?
?
?
?
?
?
　　分析：“等于”的否定語是“不等于”；　　　 ??? “大于”的否定語是“小于或者等于”；　　　 ??? “是”的否定語是“不是”；　　　 ??? “都是”的否定語是“不都是”；　　　 ??? “至多有一個”的否定語是“至少有兩個”；　　　 ??? “至少有一個”的否定語是“一個都沒有”；例2：寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函數；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解略.
6.鞏固練習：P20 練習第3題
7．教學反思：
（１）正確理解命題 “￢P”真假的規定和判定．
（２）簡潔、準確地表述命題 “￢P”.
８．作業　　P20：習題１.３Ａ組第3題
含有一個量詞的命題的否定
(一)教學目標
1.知識與技能目標
（1）通過探究數學中一些實例，使學生歸納總結出含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律．
（2）通過例題和習題的教學，使學生能夠根據含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律，正確地對含有一個量詞的命題進行否定．
2．過程與方法目標 ：使學生體會從具體到一般的認知過程，培養學生抽象、概括的能力．
3.情感態度價值觀
通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．
(二)教學重點與難點
教學重點：通過探究，了解含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律，會正確地對含有一個量詞的命題進行否定．
教學難點：正確地對含有一個量詞的命題進行否定．
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．
（三）教學過程
學生探究過程：1．回顧
我們在上一節中學習過邏輯聯結詞“非”．對給定的命題p ，如何得到命題p 的否定（或非p ），它們的真假性之間有何聯系？
2．思考、分析
判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，你能寫出下列命題的否定嗎？
（1）所有的矩形都是平行四邊形；
（2）每一個素數都是奇數；
（3）(x∈R, x2－2x＋1≥0。
（4）有些實數的絕對值是正數；
（5）某些平行四邊形是菱形；
（6）( x∈R, x2＋1＜0。
3．推理、判斷
你能發現這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？（讓學生自己表述）
前三個命題都是全稱命題，即具有形式“”。
其中命題（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是說，
存在一個矩形不都是平行四邊形；
命題（2）的否定是“并非每一個素數都是奇數；”，也就是說，
存在一個素數不是奇數；
命題（3）的否定是“并非(x∈R, x2－2x＋1≥0”，也就是說，
(x∈R, x2－2x＋1＜0；
后三個命題都是特稱命題，即具有形式“”。
其中命題（4）的否定是“不存在一個實數，它的絕對值是正數”，也就是說，
所有實數的絕對值都不是正數；
命題（5）的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，也就是說，
每一個平行四邊形都不是菱形；
命題（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，也就是說，
(x∈R, x2＋1≥0；
4．發現、歸納
從命題的形式上看，前三個全稱命題的否定都變成了特稱命題。后三個特稱命題的否定都變成了全稱命題。
一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：
全稱命題P：
它的否定￢P
特稱命題P：
它的否定￢P：
(x∈M，￢P(x)
全稱命題和否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題。
5．鞏固練習
判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出它們的否定：
p：所有能被3整除的整數都是奇數；
p：每一個四邊形的四個頂點共圓；
p：對(x∈Z，x2個位數字不等于3；
p：( x∈R, x2＋2x＋2≤0；
p：有的三角形是等邊三角形；
p：有一個素數含三個正因數。
6．教學反思與作業
（1）教學反思：如何寫出含有一個量詞的命題的否定，原先的命題與它的否定在形式上有什么變化？
（2）作業：P29習題1.4A組第3題：B組（1）（2）（3）（4）
1．3．1推出與充分條件、必要條件
（一）教學目標
1.知識與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會判斷命題的充分條件、必要條件．
2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養學生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力．
３．情感、態度與價值觀：通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．
（二）教學重點與難點
重點：充分條件、必要條件的概念．
(解決辦法：對這三個概念分別先從實際問題引起概念，再詳細講述概念，最后再應用概念進行論證．)
難點：判斷命題的充分條件、必要條件。
關鍵：分清命題的條件和結論，看是條件能推出結論還是結論能推出條件。
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．
（三）教學過程
學生探究過程：
1．練習與思考
寫出下列兩個命題的條件和結論，并判斷是真命題還是假命題？
（1）若x ＞ a2 + b2，則x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，則a ＝ 0.
學生容易得出結論；命題(1)為真命題，命題(２)為假命題．
置疑：對于命題“若p，則q”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題．
２．給出定義
　　命題“若p，則q” 為真命題，是指由p經過推理能推出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立．換句話說，只要有條件p就能充分地保證結論q的成立，這時我們稱條件p是q成立的充分條件．
　　一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q．這時，我們就說，由p可推出q，記作：p(q．
定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即p ( q,那么我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件．
上面的命題(1)為真命題，即
x ＞ a2 + b2　(　x ＞ 2ab，
所以“x ＞ a2 + b2　”是“x ＞ 2ab”的充分條件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”　＂的必要條件．
3．例題分析：
例１：下列“若p，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的充分條件？
（1）若x ＝1，則x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，則f(x)為增函數；
（3）若x為無理數，則x2為無理數．
分析：要判斷p是否是q的充分條件，就要看p能否推出q．
解略．
例２：下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件?
若x ＝ y，則x2 ＝ y2；
若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等； （3）若a ＞b,則ac＞bc．
分析：要判斷q是否是p的必要條件，就要看p能否推出q．
解略．
４、鞏固鞏固：P12 練習 第1、2、3、4題
５．教學反思：
充分、必要的定義．
在“若p，則q”中，若p(q，則p為q的充分條件，q為p的必要條件．
６．作業 P14：習題1.2A組第1(1)(2),2(1)(2)題
注：（1）條件是相互的；
（2）p是q的什么條件，有四種回答方式：
① p是q的充分而不必要條件；
② p是q的必要而不充分條件；
③ p是q的充要條件；
④ p是q的既不充分也不必要條件．
充要條件
(一)教學目標
1.知識與技能目標：
正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件, 必要而不充分條件, 既不充分也不必要條件的定義．
正確判斷充分不必要條件、 必要不充分條件、充要條件、 既不充分也不必要條件.
通過學習，使學生明白對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假,．
2.過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質．
3. 情感、態度與價值觀：
激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．
（二）教學重點與難點
重點：1、正確區分充要條件；2、正確運用“條件”的定義解題
難點：正確區分充要條件．
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質．
（三）教學過程
學生探究過程：
1.思考、分析
已知p：整數a是2的倍數；q：整數a是偶數.
請判斷： p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？
分析：要判斷p是否是q的充分條件，就要看p能否推出q，要判斷p是否是q的必要條件，就要看q能否推出p．
易知：p(q，故p是q的充分條件；
又q ( p，故p是q的必要條件．
此時,我們說, p是q的充分必要條件
２.類比歸納
一般地,如果既有p(q ，又有q(p 就記作 p ( q.
此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.
概括地說,如果p ( q,那么p 與 q互為充要條件.
3.例題分析
例1：下列各題中，哪些p是q的充要條件？
p:b＝0,q:函數f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數；
p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2
分析：要判斷p是q的充要條件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命題（１）和（３）中，p(q ，且q(p，即p ( q，故p 是q的充要條件；
命題（２）中，p(q ,但q　((　p，故p 不是q的充要條件；
命題（４）中，p((q ，但q(p，故p 不是q的充要條件；
命題（５）中，p((q ，且q((p，故p 不是q的充要條件；
４．類比定義
一般地，
若p(q ,但q　((　p，則稱p是q的充分但不必要條件；
若p((q，但q　(　p，則稱p是q的必要但不充分條件；
若p((q，且q　((　p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
在討論p是q的什么條件時，就是指以下四種之一：
　　①若p(q ,但q　((　p，則p是q的充分但不必要條件；
　　②若q(p，但p　((　q，則p是q的必要但不充分條件；
　　③若p(q，且q(p，則p是q的充要條件；
　　④若p　((　q，且q　((　p，則p是q的既不充分也不必要條件．
５．鞏固練習：P14 練習第 1、2題
說明：要求學生回答p是q的充分但不必要條件、或 p是q的必要但不充分條件、或p是q的充要條件、或p是q的既不充分也不必要條件．
６．例題分析
例2：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．
分析：設p：d＝r，q：直線l與⊙O相切．要證p是q的充要條件，只需要分別證明充分性（p(q）和必要性（q(p）即可．
證明過程略．
例3、設p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，則s成立．s是q的充分條件，問（1）s是r的什么條件？（2）p是q的什么條件？
７．教學反思：
充要條件的判定方法
如果“若p，則q”與“ 若p則q”都是真命題，那么p就是q的充要條件，否則不是．
８．作業：P1４：習題1.2A組第1(3)(2),2(3),3題
1.3.2命題的四種形式
（一）教學目標
◆知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關系，會用等價命題判斷四種命題的真假．
◆過程與方法：多讓學生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、有創造性地解決問題的能力；培養學生抽象概括能力和思維能力．
◆情感、態度與價值觀：通過學生的舉例，激發學生學習數學的興趣和積極性，培養他們的辨析能力以及培養他們的分析問題和解決問題的能力．
（二）教學重點與難點
重點：（1）會寫四種命題并會判斷命題的真假；（2）四種命題之間的相互關系．
難點：（1）命題的否定與否命題的區別； （2）寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題；
（3）分析四種命題之間相互的關系并判斷命題的真假．
教具準備：與教材內容相關的資料。
教學設想：通過學生的舉例，激發學生學習數學的興趣和積極性，培養他們的辨析能力以及培養他們的分析問題和解決問題的能力．
（三）教學過程
學生探究過程：
１．復習引入
初中已學過命題與逆命題的知識，請同學回顧：什么叫做命題的逆命題？
2．思考、分析
問題1：下列四個命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結論之間分別有什么關系？
（1）若f(x)是正弦函數，則f(x)是周期函數． （2）若f(x)是周期函數，則f(x)是正弦函數．
（3）若f(x)不是正弦函數，則f(x)不是周期函數．（4）若f(x)不是周期函數，則f(x)不是正弦函數．
３．歸納總結
問題一通過學生分析、討論可以得到正確結論．緊接結合此例給出四個命題的概念，（１）和（２）這樣的兩個命題叫做互逆命題，（１）和（３）這樣的兩個命題叫做互否命題，（１）和（４）這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。
４．抽象概括
定義１：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題．
讓學生舉一些互逆命題的例子。
定義２：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題．
讓學生舉一些互否命題的例子。
定義３：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題．
讓學生舉一些互為逆否命題的例子。
小結：
交換原命題的條件和結論，所得的命題就是它的逆命題：
同時否定原命題的條件和結論，所得的命題就是它的否命題；
交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題就是它的逆否命題．
強調：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。
５．四種命題的形式
讓學生結合所舉例子，思考：
若原命題為“若P，則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應分別寫成什么形式？
學生通過思考、分析、比較，總結如下：
原命題：若P，則q．則：
逆命題：若q，則P．
否命題：若￢P，則￢q．（說明符號“￢”的含義：符號“￢”叫做否定符號．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）
逆否命題：若￢q，則￢P．
６．鞏固練習
寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假：
若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等；
若一個整數的末位數字是０，則這個整數能被５整除；
若x2=1,則x=1；
若整數a是素數，則是a奇數。
７．思考、分析
結合以上練習思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關系？
通過此問，學生將發現：
①原命題為真，它的逆命題不一定為真。
②原命題為真，它的否命題不一定為真。
③原命題為真，它的逆否命題一定為真。
原命題為假時類似。
結合以上練習完成下列表格：
原 命 題
逆 命 題
否 命 題
逆 否 命 題
真
真
假
真
假
真
假
假
由表格學生可以發現：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性．
由此會引起我們的思考：
一個命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關系呢？
讓學生結合所做練習分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關系．
學生通過分析，將發現四種命題間的關系如下圖所示：
８．總結歸納
若P，則q．
若q，則P．
原命題
互 逆
逆命題
互
否
互
為
否
逆
互
否
為
互
逆
否
否命題
逆否命題
互 逆
若￢P，則￢q．
若￢q，則￢P．
由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關系如下：
（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．
９．例題分析
例4： 證明：若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接證明這個命題比較困難，可考慮轉化為對它的逆否命題的證明。
將“若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p + q ＞2，則p2 + q2 ≠2”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的．
證明：若p ＋ q ＞2，則
　　p2 ＋ q2　　＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２
所以p2 ＋ q2≠2．
這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。
練習鞏固：證明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，則a－b≠１．
１０：教學反思
（１）逆命題、否命題與逆否命題的概念；
（２）兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；
（３）兩個命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關系；
（４）原命題與它的逆否命題等價；否命題與逆命題等價．
１１：作業　　P9：習題1．１Ａ組第２、３、４題
課題：第一章常用邏輯用語小結
一．教學目標：
知識與技能：
1、對簡單的邏輯聯結詞及復合命題的形式，真假性要理解；
2、會判斷一個命題是全稱命題還是存在性命題，并會對其進行否定。
3、掌握充分條件和必要條件的判斷及求解；
4、掌握四種命題的形式及真假判斷，
過程與方法：讓學生初步學會運用邏輯知識整理客觀素材，合理進行思維的方法。
情感態度與價值觀：提高學生分析問題解決問題的能力，初步形成運用邏輯知識準確地表述數學問題的數學意識．
教學重點：充分條件與必要條件的判斷，對全稱命題與存在性命題的否定。
教學難點：充分條件與必要條件的判斷，對全稱命題與存在性命題的否定。
二．教學過程：
（一）知識點梳理
1、三種形式的復合命題的真假判斷；
“p且q”形式的命題只有當命題p和q同時為真時才為真，否則為假；
“p或q” 形式的命題只有當命題p和q同時為假時才為假，否則為真；
“非p” 形式的命題的真假與命題p的真假相反。
2、全稱命題的否定是存在性命題；
存在性命題的否定是全稱命題；
3、關于充分條件與必要條件的判斷主要有以下幾種方法：
（1）定義法：直接利用定義進行判斷；
（2）轉化法：當所給的條件不好判斷時，可對命題進行等價轉化；
（3）集合法：利用集合間的包含關系進行判斷。
4、四種命題的形式；
5、否命題與命題的否定的不同點；
6、當一個命題的真假性不易判斷時，可以判其逆否命題的真假，從而判斷原命題的真假；
二、例題講解
例1、判斷下列命題的真假：
（1）已知若
（2）
（3）若則方程無實數根。
（4）存在一個三角形沒有外接圓。
例2、已知命題若非是的充分不必要條件，求的取值范圍。
解：

而，即。
例3、已知命題且“”與“非”同時為假命題，求的值。
解：非為假命題，則為真命題；為假命題，
則為假命題，即
即，
例4、已知方程,求使方程有兩個大于的實數根的充要條件。
解：令，方程有兩個大于的實數根
即，所以其充要條件為
例5、已知下列三個方程：
至少有一個方程有實數根，求實數的取值范圍。
解：假設三個方程：都沒有實數根，
則 ，即 ，得
。
例6、命題方程有兩個不等的正實數根，命題方程無實數根。若“或”為真命題，求的取值范圍。
解：“或”為真命題，則為真命題，或為真命題，或和都是真命題
當為真命題時，則，得；
當為真命題時，則
當和都是真命題時，得，
課堂練習：
1、若, 的二次方程的一個根大于零,
另一根小于零,則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2、已知條件，條件，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3、已知； ，若是的必要非充分條件，求實數的取值范圍。
課后反思：本章內容比較簡單，在考試中多以選擇、填空題出現，但關于命題的充分條件和必要條件的判斷是一個難點，另外就是關于全稱命題與存在性命題的否定，有些學生還比較模糊，在以后的教學中還應該多講，多練。
課件18張PPT。中國人民大學附屬中學1.1.1　命題 在數學中，我們常常碰到許多用語言、符號或式子表達的語句，例如：（1）lg100=2;
（2）所有的無理數都是實數;
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行;
（4）函數y=2x+1是單調增函數;
（5）設a, b, c, d是任意實數，如果a>b, c>d，則ac>bd;
（6）sin(α+β)=sinα+sinβ(α,β是任意角). 這些語句都可以判斷真假，其中（1）（2）（3）（4）都是真(正確的)；（5） （6）都是假(不正確)。 所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。 定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題． 命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句.(1) 并不是任何語句都是命題，只有那些能夠判斷真假的語句才是命題。一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題。如：“三角函數是周期函數嗎？”“但愿每一個三次方程都有三個實數根”“指數函數的圖象真漂亮！”等。(2)在數學或其他科學技術中，還有一類陳述句也經常出現，“每一個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和”“在2020年，將有人登上火星”等。 雖然目前還不能確定這些語句的真假，但是隨著科學技術的發展和時間的推移，總能確定它們的真假，人們把這一類猜想仍算作命題。 一個命題，一般可以用一個小寫英文字母來表示，如：p，q，r，…….例1.判斷下列語句是否為命題？
（1）空集是任何集合的子集．
（2）若整數a是素數，則是a奇數．
（3）指數函數是增函數嗎？
（4）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行．
（5） ＝－2．
（6）x＞15．是不是是是是不是(1) 今天天氣如何？
(2) 你是不是作業沒交？
(3) 這里景色多美啊！
(4) －2不是整數。
(5) 4>3。
(6) x>4。不是（疑問句）
不是（疑問句）
不是（感嘆句）
是（否定陳述句）
是（肯定陳述句）
不是（開語句）例2. 下面的語句是否命題：命題的構成——條件和結論 定義：從構成來看，所有的命題都具由條件和結論兩部分構成．在數學中，命題常寫成“若p，則q”或者 “如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題結論． 例3.指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷各命題的真假．
（1）若整數a能被2整除，則a是偶數．
（2）若四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直平分．
（3）若a＞0，b＞0，則a+b＞0．
（4）若a＞0，b>0，則a+b＜0．
（5）垂直于同一條直線的兩個平面平行.真假真真真命題的分類――真命題、假命題 真命題：如果由命題的條件p通過推理一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做真命題． 假命題：如果由命題的條件p通過推理不一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做假命題 例4：把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題：
(1) 面積相等的兩個三角形全等。
(2) 負數的立方是負數。
(3) 對頂角相等。真真假例5、將命題“a>0時，函數y=ax+b的值隨x值的增加而增加”改寫成“若p則q”的形式，并判斷命題的真假。解: a>0時，若x增加，則函數y=ax+b的值也隨之增加，它是真命題． 在本題中，a>0是大前提，應單獨給出，不能把大前提也放在命題的條件部分內．例6、把下列命題改寫成“若p, 則q”的形式，并判斷它們的真假.
（1）等腰三角形兩腰的中線相等；
（2）偶函數的圖象關于y軸對稱；
（3）垂直于同一個平面的兩個平面平行.解：(1)若三角形是等腰三角形，則三角形兩腰上的中線相等。這是真命題。(2) 若函數是偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，這是真命題。(3) 若兩個平面垂直于同一平面，則這兩個平面互相平行。這是假命題。（真命題）（真命題）（假命題）（真命題）（不是命題）（不是命題）（不是命題）練習題：2 指出下列命題的條件p和結論q：
(1)若整數a能被2整除，則a是偶數；
(2)若四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直且平分． 解:(1)條件 p:整數a能被2整除，
結論q：整數a是偶數；
(2)條件p：四邊形是菱形，
結論q：四邊形的對角線互相垂直平分.3 將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假：
(1) 面積相等的兩個三角形全等；
(2) 負數的立方是負數；
(3) 對頂角相等．
解:(1)若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等；它是假命題(2)若一個數是負數，則這個數的立方是負數；它是真命題(3)若兩個角是對頂角，則這兩個角相等；
它是真命題課件19張PPT。中國人民大學附屬中學1.1.2　量詞下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？
（1） x2－1=0 ；
（2） 5x－1是整數；
（3） 如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等；
（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；
（5）所有有中國國籍的人都是黃種人；
（6）對所有的整數x, x2－1=0；
（7）對任意一個x∈Z，5x－1是整數。 解：(1)、(2)不能判斷真假，不是命題;
(3)、(4)、(7)是命題且是真命題;
(5) 、 (6)是假，我們只要舉出一個反例就行。 在(1)、(2)中語句含有變量x，由于不知道x代表什么數，所以無法判斷它們的真假，它們也不是命題。
然而當賦予變量x某個值或一定的條件時，這些含有變量的語句又變成可以判斷真假的語句，從而成為命題。p(x): x2－1=0 ；q(x): 5x－1是整數；如果賦予變量x某個數值(如x=5)，可得：p(5): 52－1=0 ；q(5): 5×5－1是整數；現在p(5)、q(5)都是命題。 如果在語句p(x)、q(x)前面加上“對所有的整數x”的條件，又可以得到：p1:對所有的整數x，x2－1=0 ；q1:對所有的整數x，5x－1是整數；p1、q1是命題，p1是假命題, q1是真命題. 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞.并用符號“? ”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。 事實上，全稱量詞就是陳述某集合所有元素都具有某種性質的命題。用符號來表示上述兩個命題為：p1:? x∈Z，x2－1=0 ；q1:? x∈Z ，5x－1是整數； 一般地，設p(x)是某集合M的所有元素具有的性質，那么全稱命題就是形如“對M中的所有x，p(x)”的命題。用符號簡記為? x∈M ，p(x). 如果在語句p(x)或q(x)前面加上“有一個整數x”的條件，還可以得到命題：p2:有一個整數x，x2－1=0 ；(真)q2:有一個整數x，5x－1是整數；(真) 事實上，存在性命題就是陳述在某集合中有(存在)一些元素具有某種性質，用符號表示上述兩個存在性命題： 一般地，設q(x)是某集合M的有些元素具有的性質，那么存在性命題就是形如“存在M中的元素x，q(x)”的命題。用符號簡記為例1. 試判斷以下命題的真假：
(1) ? x∈R, x2+2>0;
(2) ? x∈N, x4>1;
(3) x∈Z, x3<1;
(4) x∈Q, x2=3.真假真假 一個全稱命題，可以包含多個變量，例如:?a, b∈R，(a+b)(a2－ab+b2)=(a3+b3) 全稱命題真，意味著對限定集合中的每一個元素都具有某性質，使所給語句為真。因此，當給出限定集合中的任一特殊的元素時，自然應導出“這個特殊元素具有這個性質”，例如因為“?a, b∈R，(a+b)(a2－ab+b2)=(a3+b3)”真所以，當a=3，b=5時,(3+5)(9－15+25)=33+53.例2、判斷下列命題是全稱命題，還是存在性命題？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是質數都是奇數；
（3）方程2x2＋1=0有實數根；
（4）沒有一個無理數不是實數；
（5）如果兩直線不相交，則這兩條直線平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集；全稱命題存在性命題存在性命題全稱命題存在性命題存在性命題例3.判斷下列語句是不是全稱命題或者存在性命題，如果是，用量詞符號表達出來.
（1）中國的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除數；
（3）任何一個實數除以1，仍等于這個實數；
（4）每一個向量都有方向嗎？解：(1)是全稱命題，
?a∈{中國的江河}, 則a注入太平洋；(3)是全稱命題；
?a∈R，a÷1=a.(4) 不是命題.練習題：1. 判斷下列全稱命題的真假：
① 末位是0的整數，可以被5整除；
② 線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
③ 負數的平方是正數；
④ 梯形的對角線相等。真真真假2. 判斷下列特稱命題的真假：
① 有些實數是無限不循環小數；
② 有些三角形不是等腰三角形；
③ 有些菱形是正方形。真真真3. 下列全稱命題中，真命題是（ ）
A. 所有的素數是奇數
B. ?x∈R, (x－1)2>0
C.
D.D4. 下列特稱命題中，假命題是( )
A.
B.至少有一個x∈Z, x能被2和3整除
C. 存在兩個相交平面垂直于同一直線
D. x∈{x|x是無理數}，x2是有理數．C5. 已知：對?x∈R+, x2－ax+1>0 恒成立，則a的取值范圍是 .(－∞, 2)6. 求函數f(x)=－cos2x－sinx+3的值域；課件21張PPT。中國人民大學附屬中學1.2.1　“且”與“或” 在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯．具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面．數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的數學比初中更強調邏輯性．
如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤． 在數學中，有時會使用一些聯結詞，如“且”“或”“非”。
在生活用語中，我們也使用這些聯結詞，但表達的含義和用法與數學中的含義和用法不盡相同。
下面介紹數學中使用聯結詞“且” “或” “非”聯結命題時的含義和用法。1. 且 邏輯聯結詞“且”與日常語言中的“并且” “及” “和”相當. 在日常語言中常用“且”聯結兩個語句。例如“他是共青團員，且學習成績全班第一”，這個語句表達的意思是，這個同學既是共青團員，他的學習成績又是全班第一。 顯然，這個語句只有在以上兩層意思都真對時，它表達的才是真實的。否則只要有一層意思為假，它的表達就是不真實的. 設命題 p: 2是質數；q: 2是偶數.
用“且”聯結而構成新命題：
2是質數且是偶數 一般地，用邏輯聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，
記作 p∧q. 讀作“p且q”。命題p∧q真與假的判定：規定：當p, q都是真命題時，p∧q是真命題；當p, q兩個命題中有一個是假命題，p∧q是假命題。
反之，如果p∧q是真命題，則p、q一定都是真命題，如果p∧q是假命題，則p、q兩個命題中至少有一個是假命題。即以下三種情況一定有一種出現：
(1)p真q假；(2)p假q真；(3)p假q假. 由“且”的含義，我們可以用“且”來定義集合A和B的交集：A∩B={x| (x∈A)∧(x∈B)}p∧q形式復合命題的真值表假假假真如圖，一個電路串聯一個燈泡和兩個開關p，q，當兩個開關都閉合時燈就亮；當兩個開關中至少一個不閉合時，燈就不亮。 即整個電路的接通與斷開分別對應命題(開關)p與q的真與假.例1. 把下列各組命題用“且”聯結成新命題，并判斷其真假：解：（1）因為lg0.1<0是真命題，lg11>0也是真命題，所以p∧q也是真命題。（1）p：lg0.1<0； q：lg11>0.
（2）p：y=cosx是周期函數；
q：y=cosx是奇函數. （2）因為y=cosx是周期函數是真命題，y=cosx是奇函數是假命題，所以p∧q是假命題例2：將下列命題用“且”聯結成復合命題，并判斷他們的真假。（1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形對角線的長相等；（2）p：菱形的對角線互相垂直， q：菱形的對角線互相平分；（3）p：35是15的倍數，q：35是7的倍數。p∧q是真p∧q是假p∧q是假例3：用邏輯聯結詞“且”改寫下列命題，并判斷它們的真假（1）1既是奇數，又是質數；（2）2和3都是質數。解：（1） 1是奇數且1是質數；假命題.（2）2是質數且3是質數；真命題.2. 或 邏輯聯結詞“或”的意義與日常用語中的“或者”是相當的，但是日常語言中“或者”有兩種用法：其一是“不可兼”的“或”，如“向東走或向西走”，這里不可能同時向東又向西；
其二是“可兼”的“或”，如“要蘋果或要香蕉”，這里可以理解為要香蕉不要蘋果，也可以理解為不要香蕉要蘋果，還可以理解為香蕉、蘋果兩者都要。 “不可兼”的“或”的含義，在程序設計中被抽象為“異或”概念，這里暫不學習；我們現在研究“可兼”的“或”在數學中的含義.設命題p：24是8的倍數；q：24是9的倍數.用“或”聯結，可得新命題：24是8的倍數或24是9的倍數. 一般地，用邏輯聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，
記作 p∨q. 讀作“p或q”。命題p∨q真與假的判定：規定：如果p, q兩個命題中至少一個是真命題，則p∨q是真命題；只有當p, q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題。
反過來，如果p∨q是真命題，則p、q至少有一個是真命題。即以下三種情況一定有一種出現：
(1) p真q真；(2) p假q真；(3) p真q假.
如果p∨q是假命題，則p、q兩個命題中一定都是假命題.p或q形式復合命題的真值表假真真真 由“或”的含義，我們可以用“或”來定義集合A和B的并集：A∪B={x| (x∈A)∨(x∈B)} 如圖，一個電路并聯一個燈泡和兩個開關p，q，當兩個開關至少一個閉合時燈就亮；當兩個開關中都不閉合時，燈就不亮。例4. 把下列各組命題用“或”聯結成新命題，并判斷它們的真假.解：(1) 因為10=10為真，10<10為假，所以命題p∨q是真命題，通常記為10≤10.例5：判斷下列命題的真假：（1）3≥3（3）周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等。（2）集合A是集合A∪B的子集或是集合A∩B的子集真命題真命題假命題例6. 判斷下列命題的真假：
（1）?m∈R，m≥m;
（2）7≤7；
（3）3>2或4>5；
（4）3>2且4>5.真命題真命題真命題假命題思考：如果為p∧q真命題，那么p∨q一定是真命題嗎？
反之，如果p∨q為真命題，那么p∧q一定是真命題嗎？是不一定思考：如果為p∧q假命題，那么p∨q一定是假命題嗎？
反之，如果p∨q為假命題，那么p∧q一定是假命題嗎？是不一定課件24張PPT。中國人民大學附屬中學1.2.2　非問題：下列各組命題中的兩個命題間有什么關系？（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除;
（2） ①方程x2+x+1=0有實數根;
②方程x2+x+1=0無實數根。問題：把命題：“函數y=cosx的最小正周期是2π”加以否定，構成新命題“函數y=cosx的最小正周期不是2π” 一般地，對一個命題p加以否定，就得到一個新命題，記作￢p,
讀作“非p”或“p的否定” 命題“￢p”與命題p的真假間的關系 若p是真命題，則￢p必是假命題；
若p是假命題，則￢p必是真命題； 顯然p與￢p不能同真或同假，其中一個為真，另一個必然為假。 由“非”的含義，我們可以用“非”來定義集合A在全集U中的補集：￢(￢p)=p .p 與“非p”的真值表：例1. 寫出下列各命題的非(否定)，并判斷其真假。(1) p：y=tanx是奇函數；
(2) p:
(3) p: 拋物線y=(x－1)2的頂點是(1, 0).解: (1) ￢p ：y=tanx不是奇函數；（假）(2) ￢p： （真）(3) ￢p : 拋物線y=(x－1)2的頂點不是(1, 0).（假）下面給出一些關鍵詞的否定： 例2：寫出下列命題的非命題：
（1）p:對任意實數x，均有x2－2x+1≥0；
（2）q: 存在一個實數x，使得x2－9=0；
（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；
（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”.解: (1) ￢p :存在一個實數x，使
x2－2x+1<0；(2) ￢q :對任意的實數x， x2－9≠0.（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；解：它的否定是“AB∥CD”或“AB≠CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”.解：它的否定是：“△ABC不是直角三角形且不是等腰三角形”.全稱命題與存在性命題的否定1. 存在性命題的否定：p: 有些三角形是直角三角形； 它的否定是“沒有一個三角形是直角三角形；”即“所有的三角形都不是直角三角形”￢p: ?x∈{三角形}，x不是直角三角形. 2. 全稱命題的否定：q: 所有的質數都是奇數.?x∈{質數}，x是奇數.它的否定是：“存在一個質數不是奇數”.例3. 寫出下列命題的非，并判斷其真假：（2）q:所有的正方形都是矩形；（4）s: 至少有一個實數x，使x3+1=0解：(1) ￢p: x∈R, x2－x+ <0；(假)（2）￢q: 至少存在一個的正方形不是矩形；(假)（4）s: 至少有一個實數x，使x3+1=0解：￢r: ?x∈R, x2+2x+2>0; (真)解：￢s: ?x∈R，x3+1≠0. (假)全稱命題的否定是存在性命題,
存在性命題的否定是全稱命題.解:(1)有些能被3整除的數不是奇數;(3)所有的三角形都不是等邊三角形;(5)存在一個奇函數的圖象不關于原點對稱.練習題：1. 命題“方程x2＝2的解是x＝± 是( )
A．簡單命題
B．含“或”的復合命題
C．含“且”的復合命題
D．含“非”的復合命題B2．用“或”“且”“非”填空，使命題成為真命題：
（1）x∈A∪B，則x∈A_______x∈B；
（2）x∈A∩B，則x∈A_______x∈B；
（3）a、b∈R，a＞0_______b＞0，
則ab＞0． 或且且3．如果命題p是假命題，命題q是真命題，則下列錯誤的是（ ）
A．“p且q”是假命題
B．“p或q”是真命題
C．“非p”是真命題
D．“非q”是真命題D4．把下列寫法改寫成復合命題“p或q”、“p且q”或“非p”的形式：
（1）(a－2)(a+2)=0；
（2）
（3）a＞b≥0． (a－2=0)∨(a+2=0)(x=1)∧(y=2)(a>b)∧(b≥0)5．（1）如果命題“p或q”和“非p”都是真命題，則命題q的真假是_________。
（2）如果命題“p且q”和“非p”都是假命題，則命題q的真假是_________。真假6．已知命題p：a∈A，q：a∈B，試寫出命題“p或q”, “p且q”, “┐p”的形式．解：(1) p或q：a∈A∪B;(2) p且q：a∈A∩B;7．分別指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題，并指出復合命題的真假.
(1) 5或7是30的約數.
(2) 菱形的對角線互相垂直平分.
(3) 8x－5＜2無自然數解.解：(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的約數；q：7是30的約數，為真命題 (2) “p且q”．其中p:菱形的對角線互相垂直; q：菱形的對角線互相平分；為真命題(3)是“┐p”的形式. 其中p：8x－5＜2有自然數解. “┐p”為假命題．8．寫出下列命題的否定：(1)a＞0或b≤0；
(2)三條直線兩兩相交；
(3)A是B的子集；
(4)a，b都是正數；
(5)x是自然數. (在Z內考慮)a≤0且b＞0 三條直線中至少有兩條不相交 A不是B的子集 a，b不都是正數 x是負整數． 9．已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負實根, q:方程4x2+4(m－2)x+1=0無實根，若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍。解：由p命題可解得m＞2，由q命題可解得1＜m＜3；
由命題p或q為真，p且q為假，所以命題p或q中有一個是真，另一個是假(1)若命題p真而q為假則有 (2)若命題p真而q為假，則有 所以m≥3或1＜m≤2 .課件21張PPT。中國人民大學附屬中學1.3.1　推出與充分條件、必要條件思考：寫出下列兩個命題的條件和結論，并判斷是真命題還是假命題？（1）若x＞a2 +b2，則x＞2ab,

（2）a＝0成立的條件是 ab＝0.條件結論真命題條件結論假命題可以改成：若ab＝0，則a＝0. 基本形式：“若p，則q”. 　一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q．這時，我們就說，由p可推出q，記作：p?q． 定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即p ? q, 那么我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件． 在上面的問題(1)中：若x＞a2 +b2，則x＞2ab. 是真命題。所以，x＞a2 +b2是x＞2ab的充分條件；x＞2ab是x＞a2 +b2的必要條件。 （1）命題“如果x=－y,則x2=y2”是真命題舉例說明：x=－y?x2=y2; x=－y是x2=y2的充分條件;x2=y2是 x=－y的必要條件. 以上不同的敘述，表達了同一意義的邏輯關系。（3）平面幾何，“在三角形中，等角對等邊”，以及它的逆定理：“在三角形中等邊對等角”，就是說：命題：“在⊿ABC中，如果∠B=∠C，則AC=AB”是真命題；在⊿ABC中，∠B=∠C ? AC=AB;在⊿ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充分條件;在⊿ABC中，AC=AB是∠B=∠C的必要條件;顯然，q也是p的充要條件。又常說成是q當且僅當p或p與q等價.(1) 如果二次方程ax2+bx+c=0的判別式△=b2－4ac≥0，則這個方程有實數根.反之，如果二次方程有實數根，則△≥0. 這兩個命題都是真命題，合起來可以用充要條件表述為：舉例說明： 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實數根的充要條件是△≥0.(2) 在⊿ABC中，如果∠C=90°，則AC2+ BC2=AB2; 反之，如果AC2+BC2=AB2 ，則∠C=90°; 這兩個命題都是真命題，合起來可用充要條件表述為：
在⊿ABC中， ∠C=90°的充要條件是AC2+ BC2=AB2; (3) 如果四邊形是平行四邊形，則它的一組對邊平行且相等；反之，如果四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形. 由于這兩個命題都是真命題，所以這兩個命題合起來表述為： 一個四邊形是平行四邊形的充要條件是它的一組對邊平行且相等。例1. 在下列各命題中，試判定p是q的什么條件：(1)p: 兩三角形全等；q: 兩三角形面積相等.(2) p: a2=4；q: a=2.(3) p: A B；q: A∩B=A.解：(1) 因為命題“若兩三角形全等，則兩三角形面積相等”是真命題；而命題“若兩三角形面積相等，則兩三角形全等”是假命題，所以p是q的充分條件，不是必要條件.(2) 因為命題“若a2=4，則a=2”是假命題；命題“若a=2，則a2=4”是真命題，所以p是q的必要條件，而不是充分條件.(1) r: x∈A，s: x具有性質p(x)；(2) r: x∈A，s: x∈B；解：(1) 由集合特征性質的定義可知，命題：x∈A與命題：x具有性質p(x)，可互相推出，因此r是s的充要條件。(2) 因為命題“若x∈A，則x∈B”為真命題；命題：“若x∈B，則x∈A”為假命題，所以 r是s的充分條件，不是必要條件.例3：下列“若p，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的充分條件？
（1）若x=1，則x2－4x＋3＝0；
（2）若f(x)＝x，則f(x)為增函數；
（3）若x為無理數，則x2為無理數．（1）（2）是充分條件.例4：下列“若p, 則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的必要條件?
（1）若x＝y，則x2＝y2；
（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；
（3）當c>0時，若a＞b，則ac＞bc．（2）（3）是必要條件.例5.用“充分”或“必要”填空，并說明理由：
1. “a和b都是偶數”是“a+b也是偶數”的
條件；
2. “四邊相等”是“四邊形是正方形”的
條件；
3. “x≠3”是“|x|≠3”的 條件；
4. “x－1=0”是“x2－1=0”的 條件；
5. “兩個角是對頂角”是“這兩個角相等”的
條件；充分必要必要充分充分6. “至少有一組對應邊相等”是“兩個三角形全等”的 條件；
7. 對于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不為0)來說，“b2－4ac≥0”是“這個方程有兩個正根”的 條件；
8. “a=2，b=3”是“a+b=5”的 條件；
9. “個位數字是5的自然數”是“這個自然數能被5整除”的 條件必要必要充分充分例6.判斷下列命題的真假
（1）x=2是x2－4x+4=0的必要條件；
（2）圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的必要條件；
（3）sinα=sinβ是α=β的充分條件；
（4）ab≠0是a≠0的必要條件.真假真假甲乙丙課件20張PPT。中國人民大學附屬中學1.3.2　命題的四種形式問題:判斷下列命題的真假，你能發現各命題之間有什么關系？① 如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等；
② 如果兩個三角形的面積相等，那么它們全等；
③ 如果兩個三角形不全等，那么它們的面積不相等；
④ 如果兩個三角形的面積不相等，那么它們不全等；真假真假結論：命題①④為真，②③為假；
其中①與②、③與④的條件和結論進行了“換位”，
①與③、②與④ 條件和結論進行了“換質”(分別否定)； 命題：“若p，則q”，對p，q進行了“換位”和“換質”后，一共可以構成四種不同形式的命題。（1）原命題：“若p，則q”；（2）條件與結論“換位”得“若q ，則p”；這稱為原命題的逆命題；（3）條件與結論“換質”得“若非 p ，則非q”；這稱為原命題的否命題；（4）條件與結論“換位”又“換質”得“若非q ，則非p”；這稱為原命題的逆否命題； 可以看出，原命題“若p，則q”和它的逆命題“若q ，則p”是互逆的命題；同樣否命題“若非p，則非q”與逆否命題“若非q ，則非p”也是互逆命題. 命題“若p，則q”與命題“若非p，則非q”是互否的命題；命題“若q ，則p”與命題“若非q ，則非p”也是互否命題. 命題“若p，則q” 與“若非q ，則非p”和命題“若q ，則p”與“若非p，則非q”分別都是互為逆否的命題。互否互否互逆互逆例1. 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假：（1）?x，y∈R，如果xy=0，則x=0;
（2）設a, b是向量，如果a⊥b，則a·b=0.解：(1) 原命題為“?x，y∈R，如果xy=0， 則x=0;” (假命題)逆命題：“?x，y∈R，如果x=0，則xy=0;” (真命題)否命題：“?x，y∈R，如果xy≠0，則x ≠ 0;” (真命題)逆否命題：“?x，y∈R，如果x≠0，則xy ≠ 0;” (假命題)(2)原命題：“設a, b是向量，如果a⊥b，則a·b=0” (真命題)逆命題：“設a, b是向量，如果a·b=0 ，則 a⊥b” (真命題)否命題：“設a, b是向量，如果a不垂直于b，則a·b≠0” (真命題)逆否命題：“設a, b是向量，如果a·b≠0 ，則a不垂直于b” (真命題) 一般來說，命題“若q ，則p”的四種形式之間有如下關系：（1）互為逆否的兩個命題等價(同真或同假)，因此證明原命題也可以改為證明它的逆否命題；
（2）互逆或互否的兩個命題不等價.例2. 把下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題，同時指出它們的真假。
（1）兩個全等的三角形的三邊對應相等;
（2）四邊相等的四邊形是正方形；
（3）負數的平方是正數；解：（1）原命題可以寫成：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的三邊對應相等；（真命題）逆命題：若兩個三角形的三邊對應相等，則這兩個三角形全等；（真命題）
否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不是三邊對應相等；（真命題）
逆否命題：若兩個三角形不是三邊對應相等，則這兩個三角形不全等；（真命題）（2）四邊相等的四邊形是正方形；（2）原命題可以寫成：若一個四邊形四邊相等，則它是正方形；（假命題）
逆命題：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等；（真命題）
否命題：若一個四邊形四邊不相等，則它不是正方形；（真命題）
逆否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等；（假命題）（3）負數的平方是正數；(3)原命題可以寫成：若一個數是負數，則它的平方是正數；(真命題)
逆命題：若一個數的平方是正數，則它是負數；(假命題)
否命題：若一個數不是負數，則它的平方不是正數；(假命題)
逆否命題：若一個數的平方不是正數，則它不是負數. (真命題)練習題：1．命題“內錯角相等，則兩直線平行”的否命題為（ ）
A．兩直線平行，內錯角相等
B．兩直線不平行，則內錯角不相等
C．內錯角不相等，則兩直線不平行
D．內錯角不相等，則兩直線平行CD3．“若x2+y2=0，則x=0且y=0”的逆否命題是： ； 若x≠0或y≠0,則x2+y2≠0； 4．把下列命題寫成“若p則q”的形式，并判斷其真假.
(1)實數的平方是非負數；
(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；
(3)能被6整除的數既能被3整除也能被2整除;
(4)弦的垂直平分線經過圓心，并平分弦所對的弧.解：(1)原命題可以寫成：若一個數是實數，則它的平方是非負數.這個命題是真命題.
(2)原命題可以寫成：若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形是全等三角形.這個命題是假命題.
(3)原命題可以寫成：若一個數能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除.這個命題是真命題.
(4)原命題可以寫成：若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經過圓心且平分弦所對的弧.這個命題是真命題. 5．寫出命題“若a和b都是偶數，則a+b是偶數”的否命題和逆否命題．解：否命題為：若a和b不都是偶數，則a+b不是偶數；(假命題)
逆否命題為：若a+b不是偶數，則a和b不都是偶數. (真命題)6．判斷命題“若x+y≤5，則x≤2或y≤3”的真假.解：此命題從正面判斷較為困難,可利用兩個互為逆否命題的命題真假一致,轉化為判斷原命題的逆否命題真假,從而得出原命題的真假.逆否命題:“若x＞2且y＞3，則x+y＞5”，容易判斷逆否命題為真，故原命題為真.課件26張PPT。中國人民大學附屬中學充分必要條件練習題　一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q．這時，我們就說，由p可推出q，記作：p?q． 定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即p ? q, 那么我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件．顯然，q也是p的充要條件。又常說成是q當且僅當p或p與q等價.1．對任意實數a，b，c，給出下列命題：
①“a=b”是“ac=bc”充要條件；
②“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件
③“a>b”是“a2>b2”的充分條件；
④“a<5”是“a<3”的必要條件.
其中真命題的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1C2．已知 p：a≠0，q：ab≠0，則p是q的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件B3．已知 p：(x－1)(y－2)=0，
q：(x－1)2+(y－2)2=0，則p是q的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件B4．不等式 成立的一個必要不充分條件是（ ）
（A）x>－1
（B）－1 （C）－11
（D）x<－1或x>0A5．條件甲“a>1”是條件乙“ ”的（ ）
（A）既不充分也不必要條件
（B）充要條件
（C）充分不必要條件
（D）必要不充分條件B6．對任意實數a，b，c，在下列命題中，真命題是（ ）
（A）“ac>bc”是“a>b”的必要條件 （B）“ac=bc”是“a=b”的必要條件
（C）“ac>bc”是“a>b”的充分條件 （D）“ac=bc”是“a=b”的充分條件B7．已知|x|≤1，|y|≤1,命題p：
命題q：|x|<|y|，則命題p是q的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件 C8．若命題p是命題q的充分不必要條件，那么“非q”是“非p”的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件A9．若p，q，r是三個命題，p是r的充要條件，q是r的必要不充分條件，那么q是p的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件B10．下列說法中錯誤的個數是（ ）
① 一個命題的逆命題為真，它的否命題一定為真；② 若一個命題的否命題為假，則它本身一點為真；③ 是 的充要條件；④ 與a=b是等價的；⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件。
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5C11．設原命題“若p則q”為真，而逆命題為假，則p是q的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件A12．設集合A，B是全集U的兩個子集，則 是 的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件A13．“集合M∩N=N”是“M∪N=M”的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件C 14．m＝－2是直線(2－m)x＋my＋3＝0和直線x－my－3＝0互相垂直的（ ）。
（A）充分而不必要的條件
（B）必要而不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要的條件A 15．條件A：θ≠ , 條件B：ctgθ≠ , 則A是B的（ ）。
（A）充要條件
（B）充分而不必要的條件
（C）必要而不充分條件
（D）既不充分也不必要的條件C 16．“sinA≠sinB”是“A≠B”的（ ）。
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分不必要條件A 17．設甲是乙的必要條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，那么丁是甲的（ ）。
（A）充分條件
（B）必要條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件A18．設A，B為非空數集，則A B是A∪B≠ 的 條件。充分不必要 19．“x=1”是“x2－3|x|+2=0
條件。充分不必要 20．設集合M={x| x>2}，P={x| x<3}，則“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的
條件。必要不充分21．關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是 . a≤1 22．A：a＝3, B：|a|＝3, 則A是B的
條件。充分不必要 23．A：tgx＝1是B：x＝ 的
條件。必要不充分 24．設P是△ABC所在平面外的一點，甲：PA⊥BC且PB⊥AC；乙：點P在這個平面內的射影是△ABC的垂心，那么甲是乙的 條件。充分必要 25．關于x的方程ax2+x+1=0至少有一個正根的充要條件是 。a<026．已知關于x的一元二次方程(m∈Z)：① mx2－4x+4=0；② x2－4mx+4m2－4m－5=0.
求① ②都有整數解的充要條件。m=1課件19張PPT。中國人民大學附屬中學選修2－1第一章常用邏輯用語知識與方法測試量詞基本邏輯連接詞充分條件、必要條件全稱量詞存在量詞全稱命題存在命題且或非p∧qp∨q? p推出若p，則q若? p，則? q若q，則p若? q，則? p命題1．下列說法正確的是（ ）
（A）一個命題的逆命題為真，則它的否命題為假
（B）一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題為真
（C）一個命題的逆否命題為真，則它的否命題為真
（D）一個命題的逆命題為真，則它的否命題為真D2．已知p： ，q：{1}∈{1，2}，由它們構成的新命題“p∧q”，“p∨q”，“ p”中，真命題有（ ）
（A）0個 （B）1個
（C）2個 （D）3個B3．“a=1”是“函數y=cos2(ax)－sin2(ax)的最小正周期為π”的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充也不必要條件 A4．q是p的充要條件的是（ ）
（A）p：3x+2>5，q：－2x－3>－5
（B）p：a>2，b<2，q：a>b
（C）p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形
（D）p：a≠0，q：關于x的方程ax=1有唯一解D5．兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+ B2y+C2=0垂直的充要條件是（ ）
（A）A1A2+B1B2=0
（B）A1A2－B1B2=0
（C）
（D）A6．“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合”的（ ）
（A）充分不必要條件
（B）必要不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充也不必要條件 C7．一個命題與他們的逆命題、否命題、逆否命題，這4個命題中（ ）
A、真命題與假命題的個數相同
B、真命題的個數一定是奇數
C、真命題的個數一定是偶數
D、真命題的個數無法確定是奇數，還是偶數C8．若命題“ p”與命題“p∨q”都是真命題，那么 （ ）
A．命題p與命題q的真值相同 B．命題q一定是真命題
C．命題q不一定是真命題 D．命題p不一定是真命題B9．下列命題中正確的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題 ②“正多邊形都相似”的逆命題
③“若m≤0，則方程x2＋x－m=0無實根”的否命題
④“若x－ 是有理數，則x是無理數”的逆否命題
A、①②③④ B、①③④
C、②③④ D、①④B10．函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過原點的充要條件是 。11．“x+y=7”是“x2－y2－6x+8y=7”的
條件。c=0 充分不必要 12．寫出命題“若方程ax2－bx+c=0的兩根均大于零，則ac>0”的一個等價命題是
。 若ac≤0，則方程ax2－bx+c=0的兩根中至少有一根小于或等于零 13．下列命題中_________為真命題．
①“A∩B=A”成立的必要條件是“A B”；
②“若x2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；
④“圓內接四邊形對角互補”的逆否命題．② ④14．若p：“平行四邊形一定是菱形”，則“非p”為________________________ ．至少有一個平行四邊形不是菱形； 15．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件, q是s的充分條件, 則s是q的 條件，r是q的 條件，p是s的 條件.必要必要充分否命題：若 ，則x≠2或y≠－1. 16．寫出命題“若 ，則x=2且y=－1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。解：逆命題：若x=2且y=－1，則真真真逆否命題：若x≠2或y≠－1，則17．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
（1）p： ，方程x2+x－m=0必有實根
（2）q： ，使得x2+x+1≤0.解：? p： ，使方程x2+x－m=0無實根；真?q： ，使得x2+x+1>0； 真18．已知p： ；q：x2－2x+1－m2≤0 (m>0)，若?p是?q的必要非充分條件，求實數m的取值范圍。解：?p： ，
解得x<－2或x>10，A={x| x<－2或x>10}， ?q：x2－2x+1－m2>0，
解得x<1－m或x>1+m，
B={x| x<1－m或x>1+m}，因為?p是?q的必要非充分條件， 所以 即 且m=9時，也有 所以m的取值范圍是{m| m≥9}.

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