資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.1 平方根——無理數
學習目標與重難點
學習目標：
1.通過平方根的學習來理解無理數的意義，并從中體會無限逼近的思想。
2.會判斷一個數是有理還是無理數，體會“無限”的過程。
3. 學會平方根和平方運算的理解以及它們之間的逆運算關系。
學習重點：
理解無理數的概念，會區分有理數和無理數以及比較大小
學習難點：
探索無理數是無限不循環小數，并理解無限逼近的思想
預習自測
一、單選題
1．有一組數：，，，相鄰兩個1之間的0依次增加1個，，，，，其中無理數的個數為（ ）
A．6 B． C．4 D．3
2．下列各數沒有平方根的是（ ）
A．34 B．（－4）2 C．5－2 D．－9
二、填空題
3．求一個數的平方根的運算叫做 ， a叫做 ．
4．16的平方根是 ；的算術平方根是 ．
教學過程
一、創設情境、導入新課
請同學們看課本第31頁
思考：
觀察下列結果：
= 1， = 4；
= 1. 96， = 2. 25；
= 1. 988 1， = 2. 016 4；
= 1. 999 396， = 2. 002 225；
= 1. 999 961 64， = 2. 000 244 49；
… …
（1） 分別根據上述結果，估計的算術平方根 2 的大致范圍；
（2） 猜測 是一個怎樣的數？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入無理數的概念
看了上面的思考，你知道什么叫做無理數了嗎？請參照課本32頁寫出無理數的概念：
探究二：有理數與無理數的區別與分類
想一想：小學里學過的有限小數和無限循環小數是有理數嗎？
探究三：什么是近似數？復習計算器的使用
教材第32頁
議一議
下面的說法正確嗎？如果不正確，請說明理由.
（1） 無限小數都是有理數； （2） 無理數都是無限小數；
（3） 帶根號的數都是無理數； （4） 無理數都是帶根號的數
做一做
下列說法是否正確？請舉例說明.
（1） 一個正數a，先開平方，然后再平方，最后的結果等于a；
（2） 一個數b，先平方，然后求它的算術平方根，最后的結果等于b
自主檢測
一、單選題
1．如圖，正方形的面積為3，頂點A在數軸上，且點A表示的數為1，數軸上有一點E在點A的左側，若，則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．0
2．下列實數中是無理數的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
3．在，，，，，（相鄰兩個1之間依次增加一個2）這些數中，無理數的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題
4．已知數據：，，，，0．其中無理數出現的頻率為 ．
三、解答題
5．先填寫表，通過觀察后再回答問題∶
a … 1 …
… x 1 y …
(1)表格中________，________；
(2)從表格中探究a與數位的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題∶
①已知，則________；
②已知，若，用含m的式子表示b，則________；
(3)試比較與a的大小．
四、知識點總結
1.知識: （1）無限不循環小數叫做無理數.
（2）有理數和無理數的區別：
①概念：
有理數：可以表示為兩個整數（分子和分母）之比的數，其中分母不為零。
無理數：不能表示為兩個整數的比的數。
②性質：
（1）有理數在數軸上具有確定的、可數的位置。任意兩個有理數之間都存在無數個有理數。
（2）無理數在數軸上也是確定的，但無理數之間的空隙無法完全由有理數填補。無理數在數軸上表現為不連續的、無法完全列舉的點。
（3）什么是近似數？
（4）平方根和平方運算的理解以及它們之間的逆運算關系。
答案
預習：
1．C
【分析】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如，，（每兩個8之間依次多1個等形式．根據無理數是無限不循環小數，可得答案．
【詳解】解：，
在實數，，，（相鄰兩個1之間的0依次增加1個），，，，中，無理數有，（相鄰兩個1之間的0依次增加1個），，，共4個．
故選：C
2．D
3． 開平方 被開方數
4． 2
【分析】根據平方根和算術平方根的定義即可得到結論．
【詳解】解：因為的平方是16，
所以16的平方根是，
因為，且2的平方是4，
所以的算術平方根是2．
故答案為：；2．
【點睛】本題考查了平方根和算術平方根的定義，熟記定義是解題的關鍵．
自主：
1．A
【分析】本題主要考查算術平方根的應用，實數與數軸，解題的關鍵是根據正方形的面積求出．先根據正方形的面積求出正方形的邊長，即可求出，根據點A表示的數為1，且點E在點A的左側，即可求出E點所表示的數．
【詳解】解： 正方形的面積為3，
，
，
，
點A表示的數為1，且點E在點A的左側，
點所表示的數為 .
故選：A.
2．C
【分析】本題主要考查無理數的定義，無理數就是無限不循環小數，理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱，即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數，由此即可判斷選項．其中初中范圍內學習的無理數有：，等；開不盡方的數；以及像0.101001000100001…等有這樣規律的數．也考查了求一個數的算術平方根．
【詳解】解：A、3.1415是小數，屬于有理數，故不符合題意；
B、是整數，屬于有理數，故不符合題意；
C、屬于無理數，故符合題意；
D、是分數，屬于有理數，故不符合題意；
故選：C．
3．C
【分析】此題主要考查了無理數的定義，利用無理數的定義判斷即可．
【詳解】解：在，，，，，（相鄰兩個1之間依次增加一個2）這些數中，
，， ，（相鄰兩個1之間依次增加一個2）是無理數，共4個，
故選：C．
4．/
【分析】此題主要考查了頻率與頻數以及無理數．直接利用無理數的定義得出無理數的個數，進而利用頻率求法得出答案．
【詳解】解：，
∴數據，，，，0中，無理數有：，共2個，
故無理數出現的頻率為：．
故答案為：．
5．(1)，；
(2)①；②；
(3)見解析
【分析】本題考查了求算術平方根及算術平方根的規律：
（1）根據算術平方根定義直接求解即可得到答案；
（2）①根據表格得到算術平方根的規律被開方數擴大倍，算術平方根擴大倍求解即可得到答案；②根據表格得到算術平方根的規律被開方數擴大倍，算術平方根擴大倍求解即可得到答案；
（3）分，，，四類討論即可得到答案；
【詳解】（1）解：由題意得，
，，
故答案為：，；
（2）解：由表格及（1）得，
被開方數擴大倍，算術平方根擴大倍，
①∵，
∴，
故答案為：；
②∵，，
∴，
故答案為：；
（3）解：當時，
，
當時，
，
當，時，
．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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