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第二章 實數
2.2.立方根
學習目標與重難點
學習目標：
1.了解立方根的概念，能夠用根號表示一個數的立方根
2.能運用類比平方根的學習方法學習立方根以及開立方運算，并能區分立方根于平方根的不同
3. 會用計算器計算一個數的立方根。
學習重點：
立方根的概念與性質；會開立方
學習難點：
通過類比、討論、總結立方根的性質與規律，并可以熟練運用
預習自測
一、單選題
1．關于立方根，下列說法正確的是（　　）
A．正數有兩個立方根 B．立方根等于它本身的數只有
C．負數的立方根是負數 D．負數沒有立方根
二、填空題
2．立方根等于本身的非負數是 ．
3．正數的立方根是 ，0的立方根是 ，負數的立方根是
4．一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3＝a，那么這個數x就叫做a的 ．
教學過程
一、創設情境、導入新課
請同學們看課本第35頁
說一說：
已知一個正方體的體積為8 cm3，如圖2. 2-1所示，則它的棱長是多少？
回答：
二、合作交流、新知探究
探究一：立方根的概念
類比平方根的概念，你能自己說出立方根的概念了嗎？
探究二：學會求立方根和用計算器求數的立方根
例題1：分別求下列各數的立方根：
（1） 1； （2） ； （3） 0； （4） -0. 064.
例題2：用計算器求下列各數的立方根：
（1） 343； （2）-1. 331
例題3：用計算器求 的近似值（結果精確到0. 001）
探究三：立方根的性質
做一做：
下列說法是否正確？請舉例說明.
（1） 一個數a先開立方，然后再立方，最后的結果等于a；
（2） 一個數b先立方，然后再求立方根，最后的結果等于b。
三、自主檢測
一、單選題
1．的立方根是（ ）
A． B．4 C．16 D．
2．已知的立方根是，則的算術平方根是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空題
3．若x，y都是實數，且，則的立方根為 ．
4．給出下列說法：
①只有正數才有平方根； ②的算術平方根是；
③負數沒有立方根； ④的立方根是；
⑤面積為的正方形的邊長為； ⑥的平方根是．
其中，正確的有 ．(填序號)
三、解答題
5．已知的算術平方根是3，的立方根是，求的平方根．
知識點總結
1.立方根的概念：如果有一個數 b，使得 = a，那么 b叫作a的一個立方根，也叫作三次方根. a的立方根記作 ，讀作“立方根號a”或“三次根號a”.
2.開立方運算：
(1)符號問題：
立方根的結果可以是正數、負數或零，這取決于被開方數的符號。具體來說，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，零的立方根是零。
(2)唯一性：
對于任意實數a，其立方根3a 是唯一的。這與平方根不同，因為負數沒有實數平方根。
(3)運算順序：
在涉及多個運算的表達式中，需要遵循運算的優先級，即先乘除后加減，再進行開方或開立方運算。如果有括號，需要先計算括號內的表達式。
(4)近似計算：
對于某些不能精確表示為有理數或整數的立方根，需要進行近似計算。這通常使用計算器或查表來完成。
3.立方根的性質：立方根具有一些基本的性質，如=a（a為任意實數）， = X（a和b同號），以及 =a等。這些性質在運算中非常有用。
4.與平方根的區別(1) a有平方根的條件是a≥0，因為正數、零的平方都是非負數，而負數的平方是正數，所以負數沒有實數平方根。a有立方根的條件是a為全體實數，即正數、負數、零都可以開立方。
(2) 平方根：正數的平方根有兩個，互為相反數；0的平方根是0；負數在實數范圍內沒有平方根。
立方根：正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0。在實數范圍內，任何實數的立方根都是唯一的。
答案
預習：
1．C
【分析】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵．
各項利用立方根定義判斷即可．
【詳解】解：A、正數有一個立方根，錯誤；
B、立方根等于本身的數有，，，錯誤；
C、負數的立方根是負數，正確；
D、負數有立方根，錯誤，
故選：C．
2．0和1
【分析】此題考查了立方根，根據立方根的意義進行解答即可．
【詳解】解：立方根等于本身的非負數是0和1，
故答案為：0和1
3． 正數 0 負數
4．立方根
自主：
1．A
【分析】本題主要考查了求一個數的立方根．根據題意可得，再根據立方根的性質，即可求解．
【詳解】解：，
的立方根是．
故選：A．
2．D
【分析】本題考查了立方根、算術平方根，根據立方根的定義可得，得到，進而得到，再根據算術平方根的定義即可求解，掌握立方根和算術平方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
∴，
∴的算術平方根是，
故選：．
3．3
【分析】根據算術平方根的非負性，得，得到，繼而得到，得到，計算即可．
本題考查了算術平方根的非負性，立方根，熟練掌握條件是解題的關鍵．
【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，得，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案為：3．
4．④⑤/⑤④
【分析】題目主要考查平方根及算術平方根、立方根的運算，根據這些運算性質依次判斷即可．
【詳解】解：①0和正數有平方根，故原說法錯誤；
②當時，a的算術平方根是，故原說法錯誤；
③負數有立方根，故原說法錯誤；
④的立方根是，故原說法正確；
⑤面積為的正方形的邊長為，故原說法正確；
⑥的平方根是，故原說法錯誤；
故答案為：④⑤．
5．
【分析】本題考查了平方根、立方根及算術平方根，理解其概念是解題的關鍵；由算術平方根與立方根得，則可求得x與y的值；則可求得的平方根．
【詳解】解：根據題意得：，
解得：，
則，9的平方根是．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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