資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題16.3二次根式的加減八大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二次根式的加減運算及其擴展題型）
【人教版】
題型一：同類二次根式的判斷
【經(jīng)典例題1】在下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【詳解】解：、，故和不是同類二次根式，不符合題意；
B、，故和是同類二次根式，符合題意；
C、，故和不是同類二次根式，不符合題意；
D、和不是同類二次根式，不符合題意；
【變式訓練1-1】下列各組二次根式中，屬同類二次根式的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】C
【詳解】解：、與不是同類二次根式，該選項不合題意；
、∵，
∴與不是同類二次根式，該選項不合題意；
、∵，，
∴與是同類二次根式，該選項符合題意；
、∵，，
∴與不是同類二次根式，該選項不合題意；
【變式訓練1-2】根式，，，中，與是同類二次根式的有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，，，
∴與是同類二次根式為，共個
【變式訓練1-3】已知，下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、是同類二次根式，符合題意；
D、與不是同類二次根式，不符合題意；
【變式訓練1-4】下列根式中，能與合并的二次根式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；
C、與是同類二次根式，能合并，符合題意；
D、與不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；
【變式訓練1-5】在，，，中不是的同類二次根式的有 ．
【答案】，
【詳解】解：，，，，
，不是的同類二次根式
題型二：利用二次根式的性質求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題2】與最簡二次根式是同類二次根式，則 ．
【答案】
【詳解】解：∵與最簡二次根式是同類二次根式，
∴，
解得：
【變式訓練2-1】若最簡二次根式與是同類根式，則 ．
【答案】9
【詳解】解：由題意可知，，，
解得，，
；
【變式訓練2-2】最簡二次根式與可以合并，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵最簡二次根式與可以合并，
∴與可是同類二次根式，
∴，，
解得，則，
∴
【變式訓練2-3】若最簡二次根式和是同類二次根式，求x、y平方和的平方根．
【答案】
【詳解】解：最簡二次根式和是同類二次根式，
，，
即，
解得，
x、y的平方和為，
x、y平方和的平方根為．
【變式訓練2-4】若最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．
【答案】
【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，
∴，解得，
∴．
【變式訓練2-5】如果最簡二次根式與能進行合并，且化簡：．
【答案】4
【詳解】解：由題意，得，
解得．
當時，，
，
，
，
原式．
題型三：二次根式的混合運算
【經(jīng)典例題3】計算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解∶
【變式訓練3-1】計算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【變式訓練3-2】計算題：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：
（2）解：
．
【變式訓練3-3】計算：
(1)； (2)
(3)
【答案】(1) (2) (3)3
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【變式訓練3-4】計算
(1) (2)
【答案】(1)2 (2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式訓練3-5】計算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：
．
（2）解：∵，
∴，
∴
．
題型四：已知字母的值，化簡求值
【經(jīng)典例題4】設，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【變式訓練4-1】已知．
(1)求的值；
(2)若的小數(shù)部分是的小數(shù)部分是，求的值．
【答案】(1)35 (2)
【詳解】（1）解：∵，
，
∴
．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，，
由（1）可知，，，
∴，，
∵的小數(shù)部分是的小數(shù)部分是，
∴，，
∴
．
【變式訓練4-2】已知，求的值．
【答案】
【詳解】解：，
，
，
．
【變式訓練4-3】已知，，求下列代數(shù)式的值：
(1)
(2)先化簡，再求值：．
【答案】(1) (2)，
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：
，
由（1）可得：，故原式．
【變式訓練4-4】已知，，
(1)求及的值；
(2)求的值．
【詳解】（1）解：
，
；
（2）解：，
將代入得：
【變式訓練4-5】人們在長期的數(shù)學實踐中總結了許多光輝的數(shù)學思想方法，其中轉化思想是最活躍實用的數(shù)學思想方法．請你解決下列有關實數(shù)的相關問題：
已知，．
(1)填空：x的絕對值是__________，y的相反數(shù)是__________．
(2)填空：___________，___________．
(3)計算：求的值．
【答案】(1)， (2)， (3)11
【詳解】（1）解：∵，
∴x的絕對值是，
∵，
∴y的相反數(shù)是；
（2）∵，，
∴，；
（3）由（2）知：，，
∴
．
題型五：已知條件式，化簡求值
【經(jīng)典例題5】已知：，，且，求的值．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
【變式訓練5-1】已知 ，，求的值．
【答案】
【詳解】，，
，，
∴原式=
．
原式．
【變式訓練5-2】已知，求的值．
【答案】當時，原式；當時，原式．
【詳解】解： 要有意義，即，
且或且，
當且時，
，
或（舍去），
解得：，
把代入得：；
當且時，
，
（舍去）或，
解得：，
把代入得：．
【變式訓練5-3】已知 ，且 為奇數(shù)，求的值．
【答案】
【詳解】解：由分式和二次根式有意義的條件，可得，
解得，且為奇數(shù)，
∴，
∴原式
．
【變式訓練5-4】已知與滿足，求代數(shù)式的值．
【答案】
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
，
，
∴
．
【變式訓練5-5】已知，求．
【答案】3
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
當時，可以得到所求式子無意義，應該舍去，
∴，
∴，
∴
∴．
題型6：二次根式加減中估算問題
【經(jīng)典例題6】估算的結果（ ）
A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間
【答案】C
【詳解】解：，
而，
∴，
∴；
【變式訓練6-1】估算的結果應在（ ）
A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間
【答案】A
【詳解】解：
，
，
，
即：，
，
【變式訓練6-2】估算的值（ ）
A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間
【答案】D
【詳解】∵
，
∵，
∴，
∴
即的值在9和10之間
【變式訓練6-3】估算式子的值應在下面哪兩個相鄰整數(shù)之間（ ）
A．5和6之間 B．6和7之間 C．7和8之間 D．8和9之間
【答案】D
【詳解】，
，
，
式子的值應在8和9兩個相鄰整數(shù)之間
【變式訓練6-4】估算式子的值最接近的整數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】解：
∵，，
∴，即，
故最接近的整數(shù)是5．
【變式訓練6-5】若為正整數(shù)，且滿足估算，則的值為（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【詳解】解：，
∵，即：，
∴，
∴
題型7：二次根式的實際應用
【經(jīng)典例題7】如圖，從一個大正方形中截去面積為和的兩個小正方形后剩余部分(陰影部分)的面積為 ．
【答案】
【詳解】解：如圖所示：由題意可得：，
，
故兩個陰影部分面積和為：，
故答案為：．
【變式訓練7-1】如圖是學校的一塊正方形綠地，其邊長為m，現(xiàn)要在正方形綠地內(nèi)修建四個大小、形狀相同的矩形花壇，每個花壇的長為m，寬為m，并將花壇以外的地方全部修建成通道，且通道上要鋪上造價為每平方米8元的地磚．若要鋪完整個通道，則購買地磚大約需要多少元？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】元
【詳解】解：通道的面積為
（平方米），
∴購買地磚需要花費元．
【變式訓練7-2】現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所示的方式，在長方形木板①上截出三個面積分別為，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的邊長為___________，B的邊長為___________，C的邊長為___________；
(2)求木板①中剩余部分（陰影部分）的面積；
(3)乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個面積均為的正方形木板，請你判斷能否截出，并說明理由．
【答案】(1)2，， (2)陰影部分面積為； (3)不能截出；理由見解析
【詳解】（1）解：∵正方形木板A的面積為，正方形木板B的面積為，正方形木板C的面積為，
∴正方形木板A的邊長為，正方形木板B的邊長為，正方形木板C的邊長為，
故答案為：2，，；
（2）解：∵正方形木板A的邊長為，正方形木板B的邊長為，正方形木板C的邊長為，
∴長方形木板①的長為，寬為，
∴陰影部分面積為；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴兩個正方形木板放在一起的寬為，長為．
由（2）可得長方形木板的長為，寬為．
∵，但，
∴不能截出．
【變式訓練7-3】如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．現(xiàn)在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成3個棱長為4厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為1厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．
【答案】厘米
【詳解】解：，
∴長方體鐵塊的底面正方形的面積為，
∴長方體鐵塊的底面正方形的邊長為厘米．
【變式訓練7-4】如圖，張大伯家有一塊大長方形空地，長方形空地的長為寬為現(xiàn)要在空地中劃出一塊長方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長方形養(yǎng)雞場的長為寬為
(1)求大長方形空地的周長．（結果化為最簡二次根式）
(2)張大伯種植的蔬菜每平方米產(chǎn)量為15千克，求張大伯種植蔬菜的總產(chǎn)量．
【答案】(1) (2)585千克
【詳解】（1）解：由題意，大長方形空地的周長為
，
答：大長方形空地的周長為；
（2）解：由題意，種植蔬菜的面積為
，
∴（千克），
∴張大伯種植蔬菜的總產(chǎn)量為585千克．
【變式訓練7-5】某市為做好2024年城市園林綠化工作，進一步改善城市生態(tài)環(huán)境，美化城市居住環(huán)境，提升人民群眾獲得感、幸福感，對市內(nèi)綠地進行改建．如圖，該市某公園有一塊長方形綠地，為，為，綠地內(nèi)有一塊長方形花壇（即圖中陰影部分），長為，寬為．
(1)求長方形的周長；
(2)圖中的空白部分另作他用，需要40元的定期維護費，求定期維護的總費用．
【答案】(1)長方形的周長是 (2)定期維護的總費用為2360元
【詳解】（1）解：長方形的周長為：
，
答：長方形的周長是；
（2）定期維護的總費用為：
（元）．
答：定期維護的總費用為2360元．
題型八：二次根式中分母有理化
【經(jīng)典例題8】閱讀下列解題過程：
，
，
……
請解答下列問題：
(1)觀察上面的解題過程，請寫出 ；
(2)請你用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述各式子的規(guī)律；
(3)利用上面的規(guī)律，請化簡：．
【答案】(1) (2) (3)
【詳解】（1）解：
；
故答案為：．
（2）解：觀察前面例子的過程和結果得：
．
（3）解：
．
【變式訓練8-1】閱讀下列材料，然后回答問題．
在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如，這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡．
（一）；
（二）；
（三）．
類似以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
(1)化簡：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)計算：．
【答案】(1) (2)16 (3)2022
【詳解】（1）解：，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：，
，
；
（3）解：
．
【變式訓練8-2】閱讀材料：規(guī)定初中考試不能使用計算器后，小明是這樣解決問題的：
已知，求的值．
他是這樣分析與解的：，
，，
，．
請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
(1)若，求值．
(2)化簡：.
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：∵；
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：原式
．
【變式訓練8-3】閱讀下列運算過程：
，
，，
，
數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”．通過分母有理化，可把不是最簡的二次根式化成最簡二次根式．請參考上述方法，解決下列問題：
(1)化簡： ， ， ；
(2)計算：；
(3)計算：．
【答案】(1)， ， (2)3 (3)
【詳解】（1）解：，
，
；
故答案為：，，；
（2）解：∵==，
==，
==，
……，
==，
原式
；
（3）解：原式=
=
=
=
=
=．
【變式訓練8-4】閱讀下列材料：
在進行代數(shù)式化簡時，我們有時會碰上如，，這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：，，以上這種化簡的方法叫做分母有理化．請根據(jù)以上材料解決下列問題：
(1)化簡：；
(2)若，求的值．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
當時，原式．
【變式訓練8-5】有這樣一個問題：已知，求的值．
小明是這樣解答的：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
根據(jù)小明的解答過程，解決以下問題：
(1)計算：．
(2)已知．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1) (2)①，②
【詳解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
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專題16.3二次根式的加減八大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二次根式的加減運算及其擴展題型）
【人教版】
題型一：同類二次根式的判斷
【經(jīng)典例題1】在下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式訓練1-1】下列各組二次根式中，屬同類二次根式的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【變式訓練1-2】根式，，，中，與是同類二次根式的有（ ）個
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】已知，下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】下列根式中，能與合并的二次根式為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】在，，，中不是的同類二次根式的有 ．
題型二：利用二次根式的性質求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題2】與最簡二次根式是同類二次根式，則 ．
【變式訓練2-1】若最簡二次根式與是同類根式，則 ．
【變式訓練2-2】最簡二次根式與可以合并，則的值為 ．
【變式訓練2-3】若最簡二次根式和是同類二次根式，求x、y平方和的平方根．
【變式訓練2-4】若最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．
【變式訓練2-5】如果最簡二次根式與能進行合并，且化簡：．
題型三：二次根式的混合運算
【經(jīng)典例題3】計算：
(1) (2)
【變式訓練3-1】計算：
(1)； (2)．
【變式訓練3-2】計算題：
(1)； (2)．
【變式訓練3-3】計算：
(1)； (2)
(3)
【變式訓練3-4】計算
(1) (2)
【變式訓練3-5】計算：
(1) (2)
題型四：已知字母的值，化簡求值
【經(jīng)典例題4】設，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【變式訓練4-1】已知．
(1)求的值；
(2)若的小數(shù)部分是的小數(shù)部分是，求的值．
【變式訓練4-2】已知，求的值．
【變式訓練4-3】已知，，求下列代數(shù)式的值：
(1)
(2)先化簡，再求值：．
【變式訓練4-4】已知，，
(1)求及的值；
(2)求的值．
【變式訓練4-5】人們在長期的數(shù)學實踐中總結了許多光輝的數(shù)學思想方法，其中轉化思想是最活躍實用的數(shù)學思想方法．請你解決下列有關實數(shù)的相關問題：
已知，．
(1)填空：x的絕對值是__________，y的相反數(shù)是__________．
(2)填空：___________，___________．
(3)計算：求的值．
題型五：已知條件式，化簡求值
【經(jīng)典例題5】已知：，，且，求的值．
【變式訓練5-1】已知 ，，求的值．
【變式訓練5-2】已知，求的值．
【變式訓練5-3】已知 ，且 為奇數(shù)，求的值．
【變式訓練5-4】已知與滿足，求代數(shù)式的值．
【變式訓練5-5】已知，求．
題型6：二次根式加減中估算問題
【經(jīng)典例題6】估算的結果（ ）
A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間
【變式訓練6-1】估算的結果應在（ ）
A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間
【變式訓練6-2】估算的值（ ）
A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間
【變式訓練6-3】估算式子的值應在下面哪兩個相鄰整數(shù)之間（ ）
A．5和6之間 B．6和7之間 C．7和8之間 D．8和9之間
【變式訓練6-4】估算式子的值最接近的整數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式訓練6-5】若為正整數(shù)，且滿足估算，則的值為（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
題型7：二次根式的實際應用
【經(jīng)典例題7】如圖，從一個大正方形中截去面積為和的兩個小正方形后剩余部分(陰影部分)的面積為 ．
【變式訓練7-1】如圖是學校的一塊正方形綠地，其邊長為m，現(xiàn)要在正方形綠地內(nèi)修建四個大小、形狀相同的矩形花壇，每個花壇的長為m，寬為m，并將花壇以外的地方全部修建成通道，且通道上要鋪上造價為每平方米8元的地磚．若要鋪完整個通道，則購買地磚大約需要多少元？（參考數(shù)據(jù)：）
【變式訓練7-2】現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖1所示的方式，在長方形木板①上截出三個面積分別為，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的邊長為___________，B的邊長為___________，C的邊長為___________；
(2)求木板①中剩余部分（陰影部分）的面積；
(3)乙木工想采用如圖2所示的方式，在長方形木板②上截出兩個面積均為的正方形木板，請你判斷能否截出，并說明理由．
【變式訓練7-3】如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．現(xiàn)在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成3個棱長為4厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為1厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．
【變式訓練7-4】如圖，張大伯家有一塊大長方形空地，長方形空地的長為寬為現(xiàn)要在空地中劃出一塊長方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長方形養(yǎng)雞場的長為寬為
(1)求大長方形空地的周長．（結果化為最簡二次根式）
(2)張大伯種植的蔬菜每平方米產(chǎn)量為15千克，求張大伯種植蔬菜的總產(chǎn)量．
【變式訓練7-5】某市為做好2024年城市園林綠化工作，進一步改善城市生態(tài)環(huán)境，美化城市居住環(huán)境，提升人民群眾獲得感、幸福感，對市內(nèi)綠地進行改建．如圖，該市某公園有一塊長方形綠地，為，為，綠地內(nèi)有一塊長方形花壇（即圖中陰影部分），長為，寬為．
(1)求長方形的周長；
(2)圖中的空白部分另作他用，需要40元的定期維護費，求定期維護的總費用．
題型八：二次根式中分母有理化
【經(jīng)典例題8】閱讀下列解題過程：
，
，
……
請解答下列問題：
(1)觀察上面的解題過程，請寫出 ；
(2)請你用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述各式子的規(guī)律；
(3)利用上面的規(guī)律，請化簡：．
【變式訓練8-1】閱讀下列材料，然后回答問題．
在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如，這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡．
（一）；
（二）；
（三）．
類似以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
(1)化簡：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)計算：．
【變式訓練8-2】閱讀材料：規(guī)定初中考試不能使用計算器后，小明是這樣解決問題的：
已知，求的值．
他是這樣分析與解的：，
，，
，．
請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
(1)若，求值．
(2)化簡：.
【變式訓練8-3】閱讀下列運算過程：
，
，，
，
數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”．通過分母有理化，可把不是最簡的二次根式化成最簡二次根式．請參考上述方法，解決下列問題：
(1)化簡： ， ， ；
(2)計算：；
(3)計算：．
【變式訓練8-4】閱讀下列材料：
在進行代數(shù)式化簡時，我們有時會碰上如，，這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：，，以上這種化簡的方法叫做分母有理化．請根據(jù)以上材料解決下列問題：
(1)化簡：；
(2)若，求的值．
【變式訓練8-5】有這樣一個問題：已知，求的值．
小明是這樣解答的：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
根據(jù)小明的解答過程，解決以下問題：
(1)計算：．
(2)已知．
①求的值；
②求的值．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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