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專題16.1.2二次根式（二）六大題型（一課一講）
（內容:二次根式的性質）
【人教版】
題型一：二次根式的化簡與數(shù)軸結合
【經(jīng)典例題1】已知實數(shù)a，b，c對應的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡= ．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，化簡二次根式和絕對值，有理數(shù)的加減運算法則，正確推出是解題的關鍵．
【詳解】解：由數(shù)軸，得，
∴，
∴
．
【變式訓練1-1】實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡的結果是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質，整式的加減等知識，相距數(shù)軸得出，進而得出，，然后根據(jù)二次根式的性質、絕對值的意義以及整式的加減法則計算即可．
【詳解】解：由數(shù)軸知：，
∴，，
∴
，
故答案為：．
【變式訓練1-2】實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質等知識，先根據(jù)數(shù)軸得出，則，然后根據(jù)二次根式的性質化簡計算即可．
【詳解】解：由數(shù)軸知：，
∴，
∴
，
故答案為：3．
【變式訓練1-3】實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，化簡．
【答案】
【分析】由題圖可知，于是可得，，，，然后對原式化簡絕對值并利用二次根式的性質化簡，即可得出答案．
【詳解】解∶由題圖可知，，
，，，，
．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負，化簡絕對值，利用二次根式的性質化簡，整式的加減運算，去括號，合并同類項等知識點，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸的相關知識并運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．
【變式訓練1-4】已知：實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：．

【答案】
【分析】本題考查了二次根式的性質，利用數(shù)軸判斷式子的正負，掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．先根據(jù)數(shù)軸判斷的正負，然后根據(jù)二次根式的性質、絕對值的性質化簡，然后合并同類項即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴
．
【變式訓練1-5】實數(shù)，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的性質，實數(shù)與數(shù)軸，立方根；先由數(shù)軸得出，則，，再化簡，然后合并同類項，即可作答．
【詳解】解：由數(shù)軸得，，
則，，
故
．
題型二：利用二次根式的性質化簡
【經(jīng)典例題2】化簡二次根式的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
根據(jù)有意義的條件可得，則有，再根據(jù)二次根式的性質進行化簡即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：D ．
【變式訓練2-1】化簡：，那么化簡結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，先判斷m、n的符號，再根據(jù)二次根式的性質化簡即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練2-2】把根號外的因式移到根號內，結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質，熟練掌握性質是解答本題的關鍵．根據(jù)二次根式的性質求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故選D．
【變式訓練2-3】把根號外的因式移到根號內，所得的結果為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了二次根式的性質，把放到根號內并變?yōu)?，即可得到答案?br/>【詳解】解：．
故選：D．
【變式訓練2-4】將根號外的因式移到根號內得 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質，從而完成求解．
根據(jù)二次根式的性質，得，再根據(jù)二次根式的性質計算，即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式訓練2-5】把二次根式根號外面的因式移到根號內
【答案】．
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，首先根據(jù)既在根號下又在分母中，可得，所以原式可以化為，然后把根號外面的式子寫到根號里面可得，把根號里面的部分約分即可．
【詳解】解：既在根號下又在分母中，
，
，
．
題型三：利用二次根式的性質進行估算
【經(jīng)典例題3】估計的值應在（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
【答案】C
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，先確定的范圍，即可得出答案.
【詳解】解：∵，
∴.
故選：C．
【變式訓練3-1】估計的值在（ ）
A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間
【答案】B
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，二次根式的性質，先把化為，再由，即可求解．
【詳解】解：∵，且，
∴，
∴，即，
即的值在7到8之間．
故選：B．
【變式訓練3-2】估計的值應在（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
【答案】B
【分析】將原式化簡為，再根據(jù)算術平方根的定義估算無理數(shù)的大小即可．
【詳解】解：，
，
，
即的值在3和4之間，
故選：B．
【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，正確的計算得到，估算無理數(shù)的大小是正確解答的關鍵．
【變式訓練3-3】估計3﹣1應在哪兩個連續(xù)自然數(shù)之間（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【答案】B
【分析】求出，估算出的范圍，再求出的范圍，再得出選項即可．
【詳解】解：3＝＝，
∵2＜3，
∴1＜﹣1＜2，
即，
∴3﹣1在1和2之間，
故選：B．
【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小和二次根式的性質，能估算出的范圍是解此題的關鍵．
【變式訓練3-4】估計（5+2）×的值應在（　　）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
【答案】C
【分析】先用乘法分配律將原式化簡，再估算，最后估算值即可知道答案．
【詳解】解：原式=
∵
∴
故選：C
【點睛】本題考查二次根式的化簡和無理數(shù)估算，牢記相關知識點并能準確計算是解題的關鍵．
【變式訓練3-5】（1）比較大小： 4；（2）估計介于 與 兩個連續(xù)整數(shù)之間．
【答案】 4 5
【分析】（1）根據(jù)，利用二次根式的性質和無理數(shù)的估算即可得；
（2）根據(jù)，利用無理數(shù)的估算即可得．
【詳解】解：（1），
，即，
故答案為：；
（2），
，即，
故答案為：4，5．
【點睛】本題考查了二次根式的性質和無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題關鍵．
題型四：二次根式與絕對值的綜合
【經(jīng)典例題4】閱讀下列解題過程
例：若代數(shù)式的值是2，求的取值范圍
解：原式，
當時，原式，解得（舍去）；
當時，原式，符合條件；
當時，原式，解得（舍去）．
∴的取值范圍是．
上述解題過程主要運用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：
(1)當時，化簡：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)的值為或7
【分析】本題考查二次根式的性質，化簡絕對值，解絕對值方程．掌握二次根式的性質，絕對值的性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)題意可確定，，從而化簡二次根式的性質即可；
（2）由閱讀材料可知，再分類討論，結合絕對值的性質，化簡即可．
【詳解】（1）解：當時，，，
∴．
（2）解：原式，
當時，原式，解得，符合條件；
當時，原式，舍去；
當時，原式，解得，符合條件．
∴的值為或7．
【變式訓練4-1】已知：，，，，，根據(jù)上面的計算結果，回答下列問題：
(1)______；若，______；
(2)若a，b，c為三角形三邊長，化簡：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查二次根式的性質及化簡，根據(jù)二次根式的性質即可求出答案．
（1）根據(jù)，結合已知條件求出結果即可；
（2）根據(jù)三角形的三邊關系可得，，，據(jù)此化簡原式即可．
【詳解】（1）解：，
；
當時，，
∴；
故答案為：，；
（2）解：∵a，b，c為三角形三邊長，
∴，，，
，，，
原式
．
【變式訓練4-2】求代數(shù)式的值，其中．以下是小芳的解答過程．原式請你模仿小芳的解答過程，求解代數(shù)式的值，其中．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值,先根據(jù)化簡二次根式得到，進一步化簡得到，據(jù)此代值計算即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴
．
【變式訓練4-3】【閱讀理解】閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件，并回答下面的問題．
化簡：
解：隱含條件，解得．
所以．
所以原式，
【啟發(fā)應用】（1）按照上面的解法，試化簡：；
【類比遷移】（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，實數(shù)與數(shù)軸，三角形三邊關系，熟練掌握二次根式性質和二次根式有意義的條件，是解題的關鍵．
（1）先根據(jù)題意得到，據(jù)此化簡二次根式即可；
（2）先根據(jù)數(shù)軸得到，，據(jù)此化簡二次根式和絕對值即可；
（3）先將化簡為，然后分類討論：當時，
當時，當時，根據(jù)絕對值的意義分別化簡，得出結論即可．
【詳解】解：（1）∵有意義，
∴，即，
∴
；
（2）由題意得，，
∴，
∴
；
（3）∵，
∴，
當時，；
當時，；
當時，；
∴x的取值范圍是．
【變式訓練4-4】是二次根式的一條重要性質．請利用該性質解答以下問題：
(1)化簡： ，
(2)已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示．
① ，
②化簡：
【答案】(1)2，
(2)①，；②
【分析】本題考查二次根式的性質，化簡絕對值，數(shù)軸上的點表示實數(shù)，理解并運用二次根式的性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)所給的二次根式的性質即可求解；
（2）①根據(jù)數(shù)軸可得到，，再根據(jù)所給的二次根式的性質即可求解；
②根據(jù)數(shù)軸可得到，，，再根據(jù)所給的二次根式的性質即可求解．
【詳解】（1）解：，；
故答案為：2，．
（2）解：①由數(shù)軸可得：，，
∴，，
∴，
．
故答案為：，．
②∵，，
∴，，
∴
．
【變式訓練4-5】閱讀下面的材料后，回答問題：
甲、乙兩人同時解答題目：“化簡并求值：，其中．”甲、乙兩人的解答不同；
甲的解答是：；
乙的解答是：．
(1) 的解答是錯誤的．
(2)錯誤的解答在于未能正確運用二次根式的性質： ．
(3)模仿上題化簡并求值：，其中．
【答案】(1)甲
(2)當時，
(3)；8
【分析】本題考查二次根式的性質，掌握，是解題的關鍵：
（1）甲在化簡二次根式的時候出現(xiàn)錯誤；
（2）當時，；
（3）根據(jù)二次根式的性質，絕對值的意義，進行化簡求值即可．
【詳解】（1）解：甲在化簡二次根式的時候出現(xiàn)錯誤；
故答案為：甲；
（2）錯誤的解答在于未能正確運用二次根式的性質：當時，；
（3）∵
∴
．
題型五：雙重二次根式的化簡
【經(jīng)典例題5】先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化簡．
解：首先把化為，這里，由于即，；
．
由上述例題的方法化簡：．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，讀懂閱讀材料中的方法是解題的關鍵．先將原式變形，再由，，仿照閱讀材料中的方法計算即可．
【詳解】解：，這里，
由于，，
∴，
∴
．
【變式訓練5-1】閱讀材料．
把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是且，則把變成開方，從而使得化簡．
如：
解答問題：
(1)填空：______，______．
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查了二次根式的性質，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關鍵．
（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．
（2）根據(jù)材料提供計算步驟，對進行化簡，進行計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
；
，
；
（2）解：
．
【變式訓練5-2】像，這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡：
如：，
再如：，
請用上述方法探索并解決下列問題：
(1)化簡：
(2)化簡：
(3)若，且為正整數(shù)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】此題考查化簡二次根式，完全平方公式的應用，準確變形是解題的關鍵．
（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；
（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，結合、n為正整數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：；
故答案為：
（2）；
故答案為：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n為正整數(shù)，
∴，或者，
∴當時，；
當時，．
∴k的值為：或．
【變式訓練5-3】有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)、，使且，則將將變成，即變成開方，從而使得化簡．
例如，，
請仿照上例解下列問題：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次根式的化簡、運算，
（1）結合題干思路方法作答即可；
（2）結合題干思路方法作答即可．
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【變式訓練5-4】閱讀與思考
下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
標題：雙層二次根式的化簡
內容：二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類帶雙層根號的式子，就是根號內又帶根號的式子，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質消掉外面的一層根號．
例如：要化簡，可以先思考，所以．通過計算，我還發(fā)現(xiàn)設（其中m，n，a，b都為正整數(shù)），則有，，_______．
這樣，我就找到了一種把部分雙層二次根式化簡的方法．
任務：
(1)文中的________．
(2)化簡：________．
(3)已知，其中a，x，y均為正整數(shù)，求a的值．
(4)化簡：________．（直接寫出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)7或13
(4)當時，，當時，
【分析】本題主要考查了復合二次根式的化簡：
（1）根據(jù)題目所給信息即可得到答案；
（2）根據(jù)結合完全平方公式求解即可；
（3）根據(jù)，得出，，根據(jù)x，y為正整數(shù)，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根據(jù)進行化簡求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，．
故答案為：；
（2）解：
，
故答案為：；
（3）解：由題意得，
∴，，
∵x，y為正整數(shù)，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
當，即時，則原式；
當，即時，則原式；
綜上所述，當時，，當時，．
【變式訓練5-5】先閱讀下列解答過程，然后作答：
形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)，使，，這樣，，那么便有，例如：化簡
解：首先把化為，這里，；由于，，即，
。
根據(jù)上述例題的方法化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查二次根式根號內含有根號的式子化簡，二次根式的性質及完全平方公式，
（1）根據(jù)解答過程即可得解，
（2）將轉化為，再根據(jù)解答過程即可得解，
（3）將轉化為，再根據(jù)解答過程即可得解；
先把各題中的無理式變成的形式，進而可得出結論．解題的關鍵是理解和掌握：二次根式根號內含有根號的式子化簡主要是根據(jù)完全平方公式的特點將該式子轉化為平方的形式．
【詳解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
題型六:二次根式中定義新運算
【經(jīng)典例題6】任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為，如，所以的麓外區(qū)間為．
(1)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是 ；
(2)若，求的“麓外區(qū)間”；
(3)實數(shù)滿足，求的算術平方根的“麓外區(qū)間”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查無理數(shù)的估算，二次根式有意義的條件，非負性．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．
（1）夾逼法求出的取值范圍，即可得出結果；
（2）根據(jù)二次根式有意義的條件，得到，進一步求出的取值范圍即可；
（3）根據(jù)二次根式有意義的條件，結合算術平方根的非負性，得到，，求出的值，進而求出的“麓外區(qū)間”即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
即：無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是；
故答案為：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的“麓外區(qū)間”為；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
聯(lián)立：，
解得：，
∴的算術平方根為，
∵，
∴；
∴的算術平方根的“麓外區(qū)間”為．
【變式訓練6-1】對于實數(shù)a、b，定義關于“”的一種運算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由新定義運算得，再求算術平方根即可；
（2）由新定義運算得方程組，再用加減法求解即可．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：依題意得：
，
由得：，
∴，
∴．
【點睛】本題考查新定義，算術平方根，用加減法解二元一次方程組，理解新定義和熟練掌握加減法解二元一次方程組是解題的關鍵，注意整體思想的應用．
【變式訓練6-2】定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構造“對偶式”來解決．例如：，求的值，可以這樣解答：
因為，所以．
(1)代數(shù)式中x的取值范圍是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②結合已知條件和第①問的結果，解方程：．
【答案】(1)；
(2)①2；②．
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、二次根式的性質、平方差公式的應用等知識點，掌握二次根式有意義的條件成為解題的關鍵．
（1）根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式組求解即可；
（2）①運用平方差公式進行變形，然后整體代入計算即可；②根據(jù)（1）構成方程組求解，然后再檢驗即可．
【詳解】（1）解：，解得：，
∴x的取值范圍為．
故答案為：．
（2）解：①∵，
∴．
故答案為：2．
②由題意可得：，則，解得：，
經(jīng)檢驗，是方程的根．
∴方程的解為．
【變式訓練6-3】閱讀材料：
規(guī)定表示一對數(shù)對，給出如下定義：，．將與稱為數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與．
(1)數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是________與________；
(2)若數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同，則的值是多少？
(3)若數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，求、的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)，或，
【分析】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，理解題意是解題的關鍵．
（1）根據(jù)“對稱數(shù)對”的定義代入計算即可；
（2）先將數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”表示出來，根據(jù)“數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同”，可得的值；
（3）將數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”求出來，分類討論求出，，即可知、的值．
【詳解】（1）由題意得，，
數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是與；
故答案為：，；
（2）由題意得，
數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與，
數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同，
，
；
（3）數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，，
，或，，
，或，．
【變式訓練6-4】對于任意不相等的兩個數(shù)，，定義一種運算“”如下：，如：．請求當時，的值．
【答案】
【分析】根據(jù)所給的新定義得到，再計算出的結果即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
．
【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，化簡二次根式，正確理解題意是解題的關鍵．
【變式訓練6-5】規(guī)定表示一對數(shù)對，給出如下定義：，（）．將與稱為數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對的一對“對稱數(shù)對為與．
(1)數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是________．
(2)若數(shù)對的一對“對稱數(shù)”相同，則的值是多少？
(3)若數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，則的值是多少？若數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)；或
【分析】（1）根據(jù)“對稱數(shù)對”的定義代入計算即可；
（2）先將數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”表示出來，根據(jù)“數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同”，可得的值；
（3）先將數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”表示出來，根據(jù)“數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是”，即可得出的值；先將數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”表示出來，根據(jù)數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，即可得出的值；
【詳解】（1）解：由題意得，，
∴數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是與；
（2）解：由題意得，
∴數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與，
∵數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同，
∴
∴；
（3）解：∵數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是與
而數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，
∴，
；
由題意得，
∴數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與，
數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是
或
或
【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，“對稱數(shù)對”的定義．理解題意是解題的關鍵．
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專題16.1.2二次根式（二）六大題型（一課一講）
（內容:二次根式的性質）
【人教版】
題型一：二次根式的化簡與數(shù)軸結合
【經(jīng)典例題1】已知實數(shù)a，b，c對應的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡= ．
【變式訓練1-1】實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡的結果是 ．
【變式訓練1-2】實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為 ．
【變式訓練1-3】實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，化簡．
【變式訓練1-4】已知：實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：．

【變式訓練1-5】實數(shù)，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：
題型二：利用二次根式的性質化簡
【經(jīng)典例題2】化簡二次根式的結果為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】化簡：，那么化簡結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】把根號外的因式移到根號內，結果為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】把根號外的因式移到根號內，所得的結果為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練2-4】將根號外的因式移到根號內得 ．
【變式訓練2-5】把二次根式根號外面的因式移到根號內
題型三：利用二次根式的性質進行估算
【經(jīng)典例題3】估計的值應在（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
【變式訓練3-1】估計的值在（ ）
A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間
【變式訓練3-2】估計的值應在（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
【變式訓練3-3】估計3﹣1應在哪兩個連續(xù)自然數(shù)之間（　?。?br/>A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【變式訓練3-4】估計（5+2）×的值應在（　?。?br/>A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
【變式訓練3-5】（1）比較大?。? 4；（2）估計介于 與 兩個連續(xù)整數(shù)之間．
題型四：二次根式與絕對值的綜合
【經(jīng)典例題4】閱讀下列解題過程
例：若代數(shù)式的值是2，求的取值范圍
解：原式，
當時，原式，解得（舍去）；
當時，原式，符合條件；
當時，原式，解得（舍去）．
∴的取值范圍是．
上述解題過程主要運用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：
(1)當時，化簡：______．
(2)解方程：．
【變式訓練4-1】已知：，，，，，根據(jù)上面的計算結果，回答下列問題：
(1)______；若，______；
(2)若a，b，c為三角形三邊長，化簡：．
【變式訓練4-2】求代數(shù)式的值，其中．以下是小芳的解答過程．原式請你模仿小芳的解答過程，求解代數(shù)式的值，其中．
【變式訓練4-3】【閱讀理解】閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件，并回答下面的問題．
化簡：
解：隱含條件，解得．
所以．
所以原式，
【啟發(fā)應用】（1）按照上面的解法，試化簡：；
【類比遷移】（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范圍．
【變式訓練4-4】是二次根式的一條重要性質．請利用該性質解答以下問題：
(1)化簡： ，
(2)已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應點如圖所示．
① ，
②化簡：
【變式訓練4-5】閱讀下面的材料后，回答問題：
甲、乙兩人同時解答題目：“化簡并求值：，其中．”甲、乙兩人的解答不同；
甲的解答是：；
乙的解答是：．
(1) 的解答是錯誤的．
(2)錯誤的解答在于未能正確運用二次根式的性質： ．
(3)模仿上題化簡并求值：，其中．
題型五：雙重二次根式的化簡
【經(jīng)典例題5】先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化簡．
解：首先把化為，這里，由于即，；
．
由上述例題的方法化簡：．
【變式訓練5-1】閱讀材料．
把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是且，則把變成開方，從而使得化簡．
如：
解答問題：
(1)填空：______，______．
(2)
【變式訓練5-2】像，這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡：
如：，
再如：，
請用上述方法探索并解決下列問題：
(1)化簡：
(2)化簡：
(3)若，且為正整數(shù)，求的值．
【變式訓練5-3】有這樣一類題目：將化簡，如果你能找到兩個數(shù)、，使且，則將將變成，即變成開方，從而使得化簡．
例如，，
請仿照上例解下列問題：
(1)；
(2)．
【變式訓練5-4】閱讀與思考
下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
標題：雙層二次根式的化簡
內容：二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類帶雙層根號的式子，就是根號內又帶根號的式子，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質消掉外面的一層根號．
例如：要化簡，可以先思考，所以．通過計算，我還發(fā)現(xiàn)設（其中m，n，a，b都為正整數(shù)），則有，，_______．
這樣，我就找到了一種把部分雙層二次根式化簡的方法．
任務：
(1)文中的________．
(2)化簡：________．
(3)已知，其中a，x，y均為正整數(shù)，求a的值．
(4)化簡：________．（直接寫出答案）
【變式訓練5-5】先閱讀下列解答過程，然后作答：
形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)，使，，這樣，，那么便有，例如：化簡
解：首先把化為，這里，；由于，，即，
。
根據(jù)上述例題的方法化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
題型六:二次根式中定義新運算
【經(jīng)典例題6】任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為，如，所以的麓外區(qū)間為．
(1)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是 ；
(2)若，求的“麓外區(qū)間”；
(3)實數(shù)滿足，求的算術平方根的“麓外區(qū)間”．
【變式訓練6-1】對于實數(shù)a、b，定義關于“”的一種運算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【變式訓練6-2】定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構造“對偶式”來解決．例如：，求的值，可以這樣解答：
因為，所以．
(1)代數(shù)式中x的取值范圍是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②結合已知條件和第①問的結果，解方程：．
【變式訓練6-3】閱讀材料：
規(guī)定表示一對數(shù)對，給出如下定義：，．將與稱為數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”為與．
(1)數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是________與________；
(2)若數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同，則的值是多少？
(3)若數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，求、的值．
【變式訓練6-4】對于任意不相等的兩個數(shù)，，定義一種運算“”如下：，如：．請求當時，的值．
【變式訓練6-5】規(guī)定表示一對數(shù)對，給出如下定義：，（）．將與稱為數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對的一對“對稱數(shù)對為與．
(1)數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是________．
(2)若數(shù)對的一對“對稱數(shù)”相同，則的值是多少？
(3)若數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，則的值是多少？若數(shù)對一個“對稱數(shù)對”是，求，的值．
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