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中小學教育資源及組卷應用平臺
專題16.2二次根式的乘除八大題型（一課一講）
（內容:二次根式的乘除運算及其擴展題型）
【人教版】
題型一：二次根式乘除法法則成立的條件
【經典例題1】若，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次根式乘法計算，二次根式有意義的條件，求不等式組的解集，二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0，據此可得關于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練1-1】若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式乘法計算，根據二次根式有意義的條件是被開方數大于等于進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練1-2】若等式成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根據二次根式的性質，即被開方數是非負數，分數的性質，即分母不能為零，即可求解．
【詳解】解：根據題意得，，
∴由①得，；由②得，，
∴，
故選：A．
【點睛】本題主要考查二次根式中被開方數的非負性，掌握二次根式有意義的條件時解題的關鍵．
【變式訓練1-3】等式成立的x的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據二次根式有意義的條件即可求出的范圍．
【詳解】由題意可知： ,
解得：,
故選：．
【點睛】考查二次根式的意義，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件.
【變式訓練1-4】已知等式成立，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質化簡．熟練掌握二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質化簡是解題的關鍵．
由題意知，，，計算求解即可．
【詳解】解：∵等式成立，
∴，，
解得，，
故答案為：．
【變式訓練1-5】使等式成立的條件時，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由二次根式有意義的條件可得再解不等式組即可得到答案.
【詳解】解： 等式成立，
由①得：
由②得：
所以則的取值范圍為
故答案為：
【點睛】本題考查的是商的算術平方根的運算法則與二次根式有意義的條件，掌握“”是解本題的關鍵.
題型二：二次根式乘除混合運算
【經典例題2】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算，熟知二次根式的乘除法計算法則是解題的關鍵．
（1）先計算二次根式乘法，再計算二次根式除法即可得到答案；
（2）直接根據二次根式乘法計算法則求解即可；
（3）把根號外面的式子進行乘除法計算，再把根號里面的式子根據二次根式的乘除法計算法則計算，據此可得答案；
（4）把根號外面的式子進行乘除法計算，再把根號里面的式子根據二次根式的乘除法計算法則計算，據此可得答案．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【變式訓練2-1】計算：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算：
（1）先把帶分數化為假分數，再根據二次根式乘除法計算法則求解即可；
（2）根據二次根式乘除法計算法則求解即可．
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【變式訓練2-2】計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法混合計算，先計算二次根式乘法，再計算二次根式除法即可得到答案．
【詳解】解：
．
【變式訓練2-3】計算：．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運算，掌握相關運算法則是解題的關鍵．
根據二次根式的乘除混合運算法則求解即可．
【詳解】解：
．
【變式訓練2-4】
【答案】
【分析】此題考查了二次根式的乘除運算，二次根式性質，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的乘除運算法則．根據二次根式有意義的條件得出，再根據二次根式的混合運算法則和二次根式性質化簡求解即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
．
【變式訓練2-5】計算：；
【答案】
【分析】本題主要考查二次根式的乘除法，根據二次根式的乘除法運算法則進行計算即可
【詳解】解：∵
∴，
∴
題型三：把根式外的因數移到括號內
【經典例題3】把式子m中根號外的m移到根號內得（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【分析】根據二次根式有意義的條件易得m＜0，再根據二次根式的性質有原式=﹣，然后根據二次根式的乘法法則進行計算即可．
【詳解】∵﹣＞0，
∴m＜0，
則原式=-=﹣，
故選C．
【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵.
【變式訓練3-1】若m＜0，n＞0，把代數式中的m移進根號內的結果是(　　)．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的性質解答．
【詳解】解：，
故選C.
【點睛】將根號外的m移到根號內，要注意自身的符號，只有正數平方后可以移到根號里面作因數，是負數的把負號留在根號外，同時注意根號內被開方數的符號．
【變式訓練3-2】把根號外面的因式移到根號里面化簡的結果是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，二次根式有意義的條件及分式有意義的條件，根據題意可得，據此利用二次根式的性質化簡即可．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：．
【變式訓練3-3】把根號外的因式移到根號內結果為 ．
【答案】
【分析】根據二次根式的性質進行化簡即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，解題的關鍵是根據題意得出．
【變式訓練3-4】若，，把代數式中的移進根號內結果是 .
【答案】
【分析】根據二次根式的性質變形即可得到答案.
【詳解】解：，，
把代數式中的m移進根號結果是：.
故答案為：.
【點睛】本題考查了二次根式的雙重非負性質，熟知二次根式的性質和計算法則是解題關鍵.
【變式訓練3-5】將a因式內移的結果為 ．
【答案】﹣
【詳解】由題意得：a<0，
故答案是為﹣ .
題型四：判斷是否為最簡二次根式
【經典例題4】下列二次根式為最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了最簡二次根式，解題的關鍵是掌握最簡二次根式符合兩個條件：1．被開方數不含能開的盡的因數或因式；2．被開方數的因數是整數，因式是整式．據此求解判斷即可．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，所以不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，所以不符合題意；
C、是最簡二次根式，所以符合題意；
D、，不是最簡二次根式，所以不符合題意．
故選：C．
【變式訓練4-1】在二次根式，，，，，最簡二次根式的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】本題考查二次根，熟練掌握最簡二次根的性質是解題關鍵．根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，解答即可．
【詳解】解：，，，，
最簡二次根式有：共1個．
故選：A．
【變式訓練4-2】下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了最簡二次根式，最簡二次根式中不含能開得盡方的因式或因數，分母中不含根號．
【詳解】解：A選項：分母中含有根號，不是最簡二次根式，故A選項不符合題意；
B選項：是最簡二次根式，故B選項符合題意；
C選項：，分母中含有開得盡方的因數，不是最簡二次根式，故C選項不符合題意；
D選項：不是二次根式，故D選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練4-3】下列各式化成最簡二次根式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，熟知化簡二次根式的方法是解題的關鍵．根據二次根式的性質進行求解即可．
【詳解】解：A、，原式化簡錯誤，不符合題意；
B、，原式化簡錯誤，不符合題意；
C、，原式化簡正確，符合題意；
D、，原式化簡錯誤，不符合題意；
故選：C
【變式訓練4-4】二次根式、、、中是最簡二次根式的有 個．
【答案】1
【分析】本題考查的是最簡二次根式的定義，被開方數不含分母；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式是最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義解答即可．
【詳解】解：，，，都不是最簡二次根式，
是最簡二次根式，
則最簡二次根式有1個，
故答案為：1．
【變式訓練4-5】下列二次根式、、、中，最簡二次根式是 ．
【答案】
【分析】本題考查最簡二次根式，理解最簡二次根式的意義是正確判斷的關鍵．
根據最簡二次根式的意義逐項進行判斷即可．
【詳解】
解：，因此是最簡二次根式；
，因此不是最簡二次根式；
，因此不是最簡二次根式；
，因此不是最簡二次根式，
故答案為：．
【變式訓練4-6】在，，，，中最簡二次根式有 個．
【答案】
【分析】本題考查了最簡二次根式，熟知最簡二次根式的定義是解本題的關鍵．根據最簡二次根式的定義判斷即可．
【詳解】解：，
不是最簡二次根式，
，
不是最簡二次根式，
最簡二次根式有：，，，共個，
故答案為：．
題型五：化為最簡二次根式
【經典例題5】若，則二次根式 化為最簡二次根式為 ．
【答案】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件、利用二次根式性質化簡等知識，先由二次根式有意義的條件判斷，再由二次根式性質化簡即可得到答案，熟練掌握二次根式有意義的條件、二次根式性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：二次根式中，，
，
，
故答案為：．
【變式訓練5-1】我們把形如（a，b為有理數，為最簡二次根式）的數叫做型無理數，如是型無理數，則是 型無理數．
【答案】
【分析】本題考查了最簡二次根式，熟練運用完全平方公式是解題的關鍵．
利用完全平方公式進行化簡即可．
【詳解】解：
∴是型無理數．
故答案為：．
【變式訓練5-2】化簡： ； ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的化簡，根據二次根式乘法和除法法則進行化簡即可．
【詳解】解：，
，
故答案為：，．
【變式訓練5-3】已知，化簡： ．
【答案】
【分析】此題主要考查了二次根式的化簡求值．先根據二次根式的被開方數為非負數確定m，n的取值范圍，然后化簡二次根式是解題關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練5-4】在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的式子進行化簡．
【答案】是最簡二次根式；其余的式子都不是最簡二次根式，化簡見解析
【分析】本題考查最簡二次根式的定義．最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【詳解】解： 是最簡二次根式
【變式訓練5-5】把下列二次根式化為最簡二次根式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了二次根式的性質，最簡二次根式，熟練掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．
（1）根據二次根式的性質化簡即可．
（2）根據二次根式的性質化簡即可．
（3）根據二次根式的性質化簡即可．
（4）根據二次根式的性質化簡即可．
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
題型六：已知最簡二次根式求參數
【經典例題6】最簡二次根式與2可以合并，則m的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【答案】B
【分析】根據同類二次根式的定義判斷即可；
【詳解】由題意得：3m﹣1=2，
解得：m=1，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，準確計算是解題的關鍵．
【變式訓練6-1】已知是最簡二次根式，請寫出一個滿足條件的m的整數值： ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．
答案不唯一，整數m滿足是最簡二次根式即可．
【詳解】∵是最簡二次根式，
∴．
故答案為：4（答案不唯一）．
【變式訓練6-2】若和都是最簡二次根式，則 ， ．
【答案】 1 2
【分析】此題考查了最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義解答即可.
【詳解】根據題意得：
解得
故答案為：，．
【變式訓練6-3】若是最簡二次根式，則自然數 ．
【答案】0或1
【分析】本題考查了最簡二次根式．熟練掌握最簡二次根式是解題的關鍵．
由是最簡二次根式，可得，由n是自然數，作答即可．
【詳解】解：∵是最簡二次根式，
∴，
又∵n是自然數，
∴或1，
故答案為：0或1．
【變式訓練6-4】已知a、b是整數，如果是最簡二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】4，±2．
【分析】根據最簡二次根式的定義得出a=1，2b﹣5=1，進而求出答案．
【詳解】解：∵是最簡二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根為±2．
【點睛】本題考查最簡二次根式以及平方根，熟悉最簡二次根式的定義是解題關鍵．
題型七：二次根式中分母有理化
【經典例題7】觀察下面分母有理化的過程：，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算：的值是（ ）
A． B． C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】首先利用已知化簡二次根式，進而結合平方差公式計算得出答案．
【詳解】解：
，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了分母有理化，平方差公式，正確化簡二次根式是解題的關鍵．
【變式訓練7-1】通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律：特例1：；特例2：；特例3：……應用發現的運算規律求的值（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查找規律，根據題中特例得到規律，代值求解即可得到答案，觀察已知特例特征，準確找到規律是解決問題的關鍵．
【詳解】解：特例1：；
特例2：；
特例3：；
……
以上規律為：，
當時，，
故選：B．
【變式訓練7-2】閱讀下列問題：
；；
以上化簡的方法叫作分母有理化，仿照以上方法化簡：
（1）______；
（2）求的值：
（3）求（為正整數）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分子分母同乘以()計算即可；
（2）分子分母同乘以()化簡即可；
（3）分子分母同乘以()，化簡徹底．
【詳解】（1），
故答案為：；
（2）
；
（3）原式
．
【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，抓住根式特點，確定有理化因式是解題的關鍵．
【變式訓練7-3】閱讀材料，解答問題：
有理化因式：兩個含有根式的非零代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘以分母的有理化因式，達到化去分母中根號的目的．如：
﹣1，．
請根據上述材料，計算:的值．
【答案】
【分析】分別把每個加數分母有理化，再合并即可得到答案．
【詳解】解：
【點睛】本題考查的是分母有理化，即二次根式的除法運算，掌握分母有理化的方法是解題的關鍵．
【變式訓練7-4】閱讀下列材料，然后解答問題：在化簡二次根式時，有時會碰到形如 、這一類式子，通常可以這樣進行化簡
方法一：
==
= == -1.這種化簡步驟叫分母有理化.
方法二：
還可以用下面方法化簡
= = = = -1.
請用上面的兩種方法化簡
【答案】
【詳解】試題分析：本題根據給出的例子按照兩種方法寫出化簡過程即可.
試題解析：
===- (方法一)
====- （方法二）
【變式訓練7-5】閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：； ．以上這種化簡過程叫做分母有理化． 還可以用以下方法化簡：
(1)請用其中一種方法化簡
(2)化簡：
【答案】（1）；
（2）
【詳解】試題分析：（1）運用第一種方法求解；
（2）先把每一個加數進行分母有理化，再找出規律后面的第二項和前面的第一項抵消，得出答案
試題解析：（1）；
（2）原式=
考點：分母有理化
題型八：二次根式中規律探索問題
【經典例題8】在進行二次根式的化簡與運算時，如遇到，，這樣的式子，還需做進一步的化簡：
==. ①
==. ②
===. ③
以上化簡的步驟叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡：
====. ④
1.請用不同的方法化簡
（1）參照③式化簡=____________
（2）參照④式化簡____________
2.化簡：+++…+
【答案】
【詳解】試題分析：（1）根據二次根式的三種不同的分母有理化的方法，模仿解題即可求解；
（2）根據二次根式的分母有理化的方法對式子變形，找到其變化規律，然后化簡即可.
試題解析：解：（1）參照③式化簡==.
（2）參照④式化簡
====.
2.化簡：
=
=
=.
考點：二次根式的分母有理化
【變式訓練8-1】觀察下面式子及其驗證過程．
，驗證：．
(1)按照上面等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結果并進行驗證；
(2)針對上面式子反映的規律，試用含n（n為任意自然數，且）的等式表示出來，并驗證．
【答案】(1)，理由見解析
(2)（n為任意自然數，且）
【分析】本題考查了二次根式的規律計算，根據根式特點，探索規律是解題的關鍵
（1）仿照閱讀內容提供的方法，驗證解得即可；
（2）根據兩次驗證，歸納猜想計算即可．
【詳解】（1）．
（2）結論：．
．
【變式訓練8-2】先來看一個有趣的現象：，這里根號里的因數2經過適當的演變，2竟“跑”到了根號的外面，我們不妨把這種現象稱為“穿墻”，具有這一性質的數還有許多，如：，等等．
(1)①請你寫一個有“穿墻”現象的數；
②按此規律，若（a，b為正整數），則的值為______；
(2)你能只用一個正整數n（）來表示含有上述規律的等式嗎？證明你找到的規律．
【答案】(1)①（答案不唯一）；②
(2)，見解析
【分析】本題主要考查的是探索規律題，找到規律并歸納公式、掌握二次根式的乘法法則是解決此題的關鍵．
（1）①根據已知等式的規律寫出一個符合題意的數即可；
②通過發現規律確定a，b的值，從而代入求值；
（2）根據已知等式找出規律，總結歸納得到公式即可．
【詳解】（1）解：①根據已知等式的規律可寫出：，…（答案不唯一，符合規律即可）．
②∵（a，b為正整數），
∴，，
∴，
故答案為：；
（2）解：第一個等式為，即；
第二個等式為，即；
第三個等式為，即．
∴用含正整數的式子表示為：，
驗證如下：
．
【變式訓練8-3】（1）計算：______，______，______，______．
（2）請按（1）中的規律計算：
①；
②．
（3）已知，用含a，b的式子表示．
【答案】（1）12，12，20，20（2）①12，②4（5）
【分析】本題考查了二次根式的乘法運算，以及算術平方根的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）分別算出每個算術平方根，再運算乘法，即可作答．
（2）按（1）中的規律，進行運算，即可作答．
（3）因為，所以，因為，所以含a，b的式子表示，即可作答．
【詳解】解：（1），
，
；
故答案為：12，12，20，20；
（2）；
；
（3）∵，
∴
即
∴．
【變式訓練8-4】閱讀下列材料：
在學習完實數的相關運算之后，數學興趣小組的同學們提出了一個有趣的問題：兩個數的積的算術平方根與這兩個數的算術平方根的積存在有什么樣的關系？小南用自己的方法進行了驗證：，而，
∴，即
回答以下問題：
(1)結合材料猜想，當，時，請直接寫出和之間的關系；
(2)運用以上結論，計算：①；②；
(3)運用上述規律解決實際問題：已知一個長方形的長為，寬為，求長方形的面積．
【答案】(1)
(2)①20；②77
(3)16
【分析】本題考查了二次根式的乘法，求一個數的算術平方根，熟練掌握二次根式的乘法法則進行計算即可解答．
（1）根據閱讀材料中的例題，即可解答；
（2）①利用（1）的結論，進行計算即可解答；②利用（1）的結論，進行計算即可解答；
（3）根據長方形的面積公式，并利用（1）的結論，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：當時，；
（2）①，
②；
（3）由題意得：長方形的面積．
【變式訓練8-5】按要求填空：
(1)填表并觀察規律：
a 4 400
(2)根據你發現的規律填空：
已知：，則______；
已知：，，則______；
(3)從以上問題的解決過程中，你發現了什么規律，試簡要說明；
【答案】(1)見解析
(2)，3800
(3)求一個數的算術平方根時，被開方數擴大或縮小100倍，則它的算術平方根擴大或縮小10倍
【分析】本題考查了數字類規律探究，算術平方根，二次根式的乘法運算，根據解題過程找出一般規律是解題關鍵．
（1）先求出每個數的算術平方根，再填表即可；
（2）根據二次根式的乘法法則計算，即可得到答案；
（3）根據解題過程找出規律即可．
【詳解】（1）解：，，，，
填表如下：
a
（2）解：
；
，
，
，
；
（3）解：由以上解答過程發現：求一個數的算術平方根時，被開方數擴大或縮小100倍，則它的算術平方根擴大或縮小10倍（意思正確即可）．
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專題16.2二次根式的乘除八大題型（一課一講）
（內容:二次根式的乘除運算及其擴展題型）
【人教版】
題型一：二次根式乘除法法則成立的條件
【經典例題1】若，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【變式訓練1-2】若等式成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【變式訓練1-3】等式成立的x的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-4】已知等式成立，則的取值范圍是 ．
【變式訓練1-5】使等式成立的條件時，則的取值范圍為 ．
題型二：二次根式乘除混合運算
【經典例題2】計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式訓練2-1】計算：
(1)；
(2)，．
【變式訓練2-2】計算：．
【變式訓練2-3】計算：．
【變式訓練2-4】
【變式訓練2-5】計算：；
題型三：把根式外的因數移到括號內
【經典例題3】把式子m中根號外的m移到根號內得（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
【變式訓練3-1】若m＜0，n＞0，把代數式中的m移進根號內的結果是(　　)．
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】把根號外面的因式移到根號里面化簡的結果是 ．
【變式訓練3-3】把根號外的因式移到根號內結果為 ．
【變式訓練3-4】若，，把代數式中的移進根號內結果是 .
【變式訓練3-5】將a因式內移的結果為 ．
題型四：判斷是否為最簡二次根式
【經典例題4】下列二次根式為最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】在二次根式，，，，，最簡二次根式的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練4-2】下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】下列各式化成最簡二次根式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-4】二次根式、、、中是最簡二次根式的有 個．
【變式訓練4-5】下列二次根式、、、中，最簡二次根式是 ．
【變式訓練4-6】在，，，，中最簡二次根式有 個．
題型五：化為最簡二次根式
【經典例題5】若，則二次根式 化為最簡二次根式為 ．
【變式訓練5-1】我們把形如（a，b為有理數，為最簡二次根式）的數叫做型無理數，如是型無理數，則是 型無理數．
【變式訓練5-2】化簡： ； ．
【變式訓練5-3】已知，化簡： ．
【變式訓練5-4】在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？對不是最簡二次根式的式子進行化簡．
【變式訓練5-5】把下列二次根式化為最簡二次根式：
(1)
(2)
(3)
(4)
題型六：已知最簡二次根式求參數
【經典例題6】最簡二次根式與2可以合并，則m的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【變式訓練6-1】已知是最簡二次根式，請寫出一個滿足條件的m的整數值： ．
【變式訓練6-2】若和都是最簡二次根式，則 ， ．
【變式訓練6-3】若是最簡二次根式，則自然數 ．
【變式訓練6-4】已知a、b是整數，如果是最簡二次根式，求的值，并求的平方根．
題型七：二次根式中分母有理化
【經典例題7】觀察下面分母有理化的過程：，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算：的值是（ ）
A． B． C．2021 D．2022
【變式訓練7-1】通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律：特例1：；特例2：；特例3：……應用發現的運算規律求的值（ ）
A．2024 B． C． D．
【變式訓練7-2】閱讀下列問題：
；；
以上化簡的方法叫作分母有理化，仿照以上方法化簡：
（1）______；
（2）求的值：
（3）求（為正整數）的值．
【變式訓練7-3】閱讀材料，解答問題：
有理化因式：兩個含有根式的非零代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘以分母的有理化因式，達到化去分母中根號的目的．如：
﹣1，．
請根據上述材料，計算:的值．
【變式訓練7-4】閱讀下列材料，然后解答問題：在化簡二次根式時，有時會碰到形如 、這一類式子，通常可以這樣進行化簡
方法一：
==
= == -1.這種化簡步驟叫分母有理化.
方法二：
還可以用下面方法化簡
= = = = -1.
請用上面的兩種方法化簡
【變式訓練7-5】閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：； ．以上這種化簡過程叫做分母有理化． 還可以用以下方法化簡：
(1)請用其中一種方法化簡
(2)化簡：
【經典例題8】在進行二次根式的化簡與運算時，如遇到，，這樣的式子，還需做進一步的化簡：
==. ①
==. ②
===. ③
以上化簡的步驟叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡：
====. ④
1.請用不同的方法化簡
（1）參照③式化簡=____________
（2）參照④式化簡____________
2.化簡：+++…+
【變式訓練8-1】觀察下面式子及其驗證過程．
，驗證：．
(1)按照上面等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結果并進行驗證；
(2)針對上面式子反映的規律，試用含n（n為任意自然數，且）的等式表示出來，并驗證．
【變式訓練8-2】先來看一個有趣的現象：，這里根號里的因數2經過適當的演變，2竟“跑”到了根號的外面，我們不妨把這種現象稱為“穿墻”，具有這一性質的數還有許多，如：，等等．
(1)①請你寫一個有“穿墻”現象的數；
②按此規律，若（a，b為正整數），則的值為______；
(2)你能只用一個正整數n（）來表示含有上述規律的等式嗎？證明你找到的規律．
【變式訓練8-3】（1）計算：______，______，______，______．
（2）請按（1）中的規律計算：
①；
②．
（3）已知，用含a，b的式子表示．
【變式訓練8-4】閱讀下列材料：
在學習完實數的相關運算之后，數學興趣小組的同學們提出了一個有趣的問題：兩個數的積的算術平方根與這兩個數的算術平方根的積存在有什么樣的關系？小南用自己的方法進行了驗證：，而，
∴，即
回答以下問題：
(1)結合材料猜想，當，時，請直接寫出和之間的關系；
(2)運用以上結論，計算：①；②；
(3)運用上述規律解決實際問題：已知一個長方形的長為，寬為，求長方形的面積．
【變式訓練8-5】按要求填空：
(1)填表并觀察規律：
a 4 400
(2)根據你發現的規律填空：
已知：，則______；
已知：，，則______；
(3)從以上問題的解決過程中，你發現了什么規律，試簡要說明；
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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