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專題16.1.1二次根式（一）六大題型（一課一講）
（內容:二次根式的定義）
【人教版】
題型一：判斷是否為二次根式
【經典例題1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】已知，則下列二次根式一定有意義的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】在下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【變式訓練1-4】在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式訓練1-5】下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
題型二：已知字母的值，求二次根式的值
【經典例題2】已知，則代數式的值是 ．
【變式訓練2-1】當時，的值是 ．
【變式訓練2-2】（1）當a為 時，＋1的值最小，為 ；
（2）當a為 時，的值最大，為 ．
【變式訓練2-3】若，則 ．
【變式訓練2-4】若，，則的值為 ．
【變式訓練2-5】當 時，二次根式的值最小.
題型三：求二次根式中的參數
【經典例題3】已知，則的值為（ ）
A． B． C．5 D．6
【變式訓練3-1】已知實數滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】計算：如果，那么 ； ．
【變式訓練3-3】已知，均為實數，，則的值為 ．
【變式訓練3-4】已知，則 ．
【變式訓練3-5】任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數，（其中為連續的整數），則稱無理數的“臻美區間”為，如，所以的“臻美區間”為．
(1)無理數的“臻美區間”是______．
(2)若一個無理數的“臻美區間”為，且滿足，其中是關于的二元一次方程的一組正整數解，求的值．
(3)實數滿足如下關系式：，求的算術平方根的“臻美區間”．
題型四：二次根式中整數值問題
【經典例題4】已知a是正整數，是整數，則a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式訓練4-1】已知是整數，是正整數，則的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【變式訓練4-2】已知是正整數，是整數，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練4-3】已知是整數，則正整數n的最小值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練4-4】已知n是正整數，是整數，則n的最小值是 ．
題型五：二次根式有意義的條件
【經典例題5】若x是整數，且有意義，則的值是（　　）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【變式訓練5-1】若式子有意義，則的取值范圍（ ）
A． B．
C．且 D．且
【變式訓練5-2】如果代數式有意義，則x的取值范圍是 ．
【變式訓練5-3】若式子有意義，則x的取值范圍是 ．
【變式訓練5-4】如果在實數范圍內有意義，則、的大小關系為 ．
【變式訓練5-5】若為實數，求的值．
題型六：二次根式中規律問題
【經典例題6】觀察并分析下列數據，尋找規律：，，，，，，，，那么第個數據應是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】數學課上，同學們探究二次根式的運算規律的過程如下，請補充完整：特例l：；特例2：；特例3：；觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，請用含n的式子表示這個運算規律， ．
【變式訓練6-2】二次根式中有一個有趣的“穿墻”現象：
(1)具體運算，發現規律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)觀察、歸納，得出猜想（提醒：注意帶分數的表達規范）如果為正整數，用含的式子表示上述的運算規律；
(3)證明你的猜想．
【變式訓練6-3】觀察下列各式及其驗證過程
，
驗證：
，
驗證：
(1)按照上述等式及其驗證過程的基本思想，猜想的變形結果并進行驗證；
(2)針對上述各式反映的規律，寫出用（為自然數且）表示的等式并給出說明．
【變式訓練6-4】先觀察下列等式，再回答問題：
①
②
③
(1)根據上面三個等式提供的信息，請你猜想 的結果：
(2)請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n的式子表示的等式：
(3)計算：
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專題16.1.1二次根式（一）六大題型（一課一講）
（內容:二次根式的定義）
【人教版】
題型一：判斷是否為二次根式
【經典例題1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式，根據二次根式的定義“一般地，我們把形如的式子叫做二次根式”即可判斷．
【詳解】解：A、當時，不是二次根式，選項說法錯誤，不符合題意；
B、被開方數是負數，選項說法錯誤，不符合題意；
C、當時，不是二次根式，選項說法錯誤，不符合題意；
D、因為，所以是二次根式，選項說法正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-1】已知，則下列二次根式一定有意義的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次根式的有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎題型．
根據二次根式有意義的條件即可求出答案．
【詳解】解：∵，
，
，
故選：C．
【變式訓練1-2】在下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次根式的定義．解題的關鍵是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要滿足被開方數為非負數且根指數為2，根據概念逐項判斷，即可解題．
【詳解】解：A、，被開方數為負數，不是二次根式，不符合題意；
B、，根指數為3，不是二次根式，不符合題意；
C、，不能確定被開方數是否為非負數，不一定是二次根式，不符合題意；
D、，能滿足被開方數為非負數，故是二次根式，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式的定義，二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，根據二次根式的定義，分別判斷各式即可．
【詳解】解：①符合二次根式的定義，故正確；
②無意義，故錯誤；
③中的，符合二次根式的定義，故正確；
④中的，符合二次根式的定義，故正確；
⑤是開3次方，故錯誤；
⑥中的，符合二次根式的定義，故正確．
正確的有①③④⑥，共4個．
故選：B．
【變式訓練1-4】在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式的定義，形如“”這樣的式子是二次根式．根據二次根式的定義解答即可．
【詳解】解：，，，，是二次根式，
，沒有意義，
不是二次根式，
是整式，
即二次根式有4個，
故選：C．
【變式訓練1-5】下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】D
【分析】本題主要考查的是二次根式的定義，明確二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵； 首先觀察所給式的根式，根據二次根式的定義可知根指數必須是2； 再根據被開方數必須為非負數，由此即可對題中各式進行判斷，進而得出結果．
【詳解】解：①當時，不符合二次根式定義，
②當時，不符合二次根式定義，
③，
，一定是二次根式，
④當時，不符合二次根式定義，
故一定是二次根式的有1個，
故選：D．
題型二：已知字母的值，求二次根式的值
【經典例題2】已知，則代數式的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，先將變形為，再將代入即得答案．
【詳解】∵，
∴
．
故答案為：．
【變式訓練2-1】當時，的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，把代入計算即可求解，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓練2-2】（1）當a為 時，＋1的值最小，為 ；
（2）當a為 時，的值最大，為 ．
【答案】 1 2
【分析】本題主要考查二次根式的性質：
（1）根據即可求出的值，以及所求式子的最小值；
（2）根據即可求出的值，以及所求式子的最大值．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴的最小值為1，
此時，解得．
所以，當時，的值最小，為1．
故答案為：；1；
（2）∵，
∴，
∴的最大值為2．
此時，解得．
所以，當時，的值最大，為2．
故答案為：，2
【變式訓練2-3】若，則 ．
【答案】2
【分析】將a的值代入原式，再進一步計算可得．
【詳解】解：當時，
原式=
=
=
=2
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的有關運算法則和性質．
【變式訓練2-4】若，，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據二次根式的定義可求得的值，繼而求得結論．
【詳解】∵，，即，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，化成最簡二次根式是解題的關鍵．
【變式訓練2-5】當 時，二次根式的值最小.
【答案】
【分析】根據非負數的性質解答即可.
【詳解】∵(x+1)2≥0，
∴(x+1)2+3≥3，
∴≥，
∴當x=-1時，二次根式的值最小.
故答案為：-1.
【點睛】本題考查了非負數的性質，熟練掌握(x+1)2≥0是解答本題的關鍵.
題型三：求二次根式中的參數
【經典例題3】已知，則的值為（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡，一元一次不等式組解法，理解二次根式有意義的條件是解答關鍵．
根據二次根式有意義的條件求出，進而求出的值，代入中進行計算求解．
【詳解】解：根據二次根式的意義得，，
，
當時，，，
，
∴，
故選：A．
【變式訓練3-1】已知實數滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了代數式求值，算術平方根的定義，根據算術平方根的定義得到，則，進而得到，即可求得．
【詳解】解：∵要有意義，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練3-2】計算：如果，那么 ； ．
【答案】 5
【分析】根據二次根式的非負性解答即可，即．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案為：5，．
【點睛】本題考查了二次根式的雙重非負性，熟知是解題的關鍵．
【變式訓練3-3】已知，均為實數，，則的值為 ．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進而得出y的值，進而得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案為：8
【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵．
【變式訓練3-4】已知，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，同底數冪的乘法，積的乘方等知識，先利用二次根式有意義的條件，分式有意義的條件求出x的值，從而得出y的值，代入中，利用同底數冪的乘法公式，積的乘方公式求解即可．
【詳解】解：依題意得：，
解得：，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練3-5】任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數，（其中為連續的整數），則稱無理數的“臻美區間”為，如，所以的“臻美區間”為．
(1)無理數的“臻美區間”是______．
(2)若一個無理數的“臻美區間”為，且滿足，其中是關于的二元一次方程的一組正整數解，求的值．
(3)實數滿足如下關系式：，求的算術平方根的“臻美區間”．
【答案】(1)
(2)37
(3)
【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根據無理數的“臻美區間”進行解答即可；
（2）先根據已知條件，求出滿足題意的，的值，從而求出，，然后根據二元一次方程解的定義，把、、和的值分別代入，求出即可；
（3）先根據二次根式的非負性，求出，從而得到，再根據偶次方的非負性，列出關于，的兩個含有字母參數的二元一次方程，從而求出的值，然后估算的算術平方根的大小，求出的“臻美區間”即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
無理數的“臻美區間”是，
故答案為：；
（2）解：、為連續的整數，是關于，的二元一次方程的一組正整數解，
是正整數，，
一個無理數的“臻美區間”為，
，
，
當，即時，不存在，舍去；
當，即時，不滿足不等式，舍去；
當，即時，滿足不等式，則；
當，即時，不存在，舍去；
滿足題意的，的值為，
，則；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，，
①，②，
①②得，則，即，解得，
，即，
的算術平方根的“臻美區間”為．
【點睛】本題主要考查了無理數的估算和新定義，涉及二元一次方程的解、非負數的性質-算術平方根、二次根式有意義的條件、非負數的性質-偶次方、估算無理數的大小等知識，解題關鍵是熟練掌握正確估算無理數的大小和理解新定義的含義．
題型四：二次根式中整數值問題
【經典例題4】已知a是正整數，是整數，則a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的意義，根據是正整數，是正整數，得出是一個完全平方數，再將分解質因數，即可得出結果．
【詳解】解：是正整數，是正整數，
是一個完全平方數，
，
是一個完全平方數，
的最小值為6，
故選：D．
【變式訓練4-1】已知是整數，是正整數，則的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的定義．
根據二次根式的定義即可求出答案．
【詳解】由題意可知：，
，
∵是整數，是正整數，
∴或7或8，
，
故選：D．
【變式訓練4-2】已知是正整數，是整數，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了二次根式的意義，根據是正整數，是正整數，得出是一個完全平方數，再將分解質因數，即可得出結果．
【詳解】解：是正整數，是正整數，
是一個完全平方數，
，
是一個完全平方數，
的最小值為2，
故選：A．
【變式訓練4-3】已知是整數，則正整數n的最小值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根據是整數，，推出是完全平方數，設，得到，根據與同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整數值是2．
【詳解】∵是整數，且，
∴是完全平方數，
設（m是正整數），
則，
∵與同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整數值是2．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平方數，解決問題的關鍵是熟練掌握平方差公式分解因式，數的奇偶性，解方程組．
【變式訓練4-4】已知n是正整數，是整數，則n的最小值是 ．
【答案】3
【分析】根據是整數可知是一個完全平方數，即可得出結果．
【詳解】∵是整數，
∴可知是一個完全平方數，
∴的最小值為16，
當時，
解得；
故答案為：3
【點睛】本題考查二次根式，解題的關鍵在于理解完全平方數．
題型五：二次根式有意義的條件
【經典例題5】若x是整數，且有意義，則的值是（　　）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【答案】C
【分析】本題考查二次根式有意義的條件和解不等式組，先根據為整數和二次根式有意義求出x的值，再分別代入求解即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
解得：，
∵x是整數，
∴或4或5，
原式或1，
故選：C．
【變式訓練5-1】若式子有意義，則的取值范圍（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本題考查分式與二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數為非負數，分式的分母不為0，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：且，
解得：且；
故選：C．
【變式訓練5-2】如果代數式有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查代數式有意義，根據二次根式的被開方數為非負數，分式的分母不為0，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；
故答案為：
【變式訓練5-3】若式子有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】且，．
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，零指數冪有意義的條件．根據被開方數為非負數，分式的分母不能為0，零指數冪的底數不能為0解答即可，也是解題關鍵．
【詳解】解：∵有意義，
∴，，，
∴且，．
故答案為：且，．
【變式訓練5-4】如果在實數范圍內有意義，則、的大小關系為 ．
【答案】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．
【詳解】解：在實數范圍內有意義，
則，
總小于0，
，
，
故答案為：．
【變式訓練5-5】若為實數，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡求值，理解二次根式有意義的條件求出的值是解答關鍵．
根據二次根式的有意義的條件求出的值，再利用二次根式化簡求值進行計算求解．
【詳解】解：根據題意得，
，
解得，
∴
．
題型六：二次根式中規律問題
【經典例題6】觀察并分析下列數據，尋找規律：，，，，，，，，那么第個數據應是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了數字類規律變化，二次根式的化簡，根據數據可得第個數為，據此即可求解，由已知數據找到變化規律是解題的關鍵．
【詳解】解：由數據可得，第個數為，
第個數為，
第個數為，
第個數為，
第個數為，
第個數為，
第個數為，
，
∴第個數為，
∴個數據應是，
故選：．
【變式訓練6-1】數學課上，同學們探究二次根式的運算規律的過程如下，請補充完整：特例l：；特例2：；特例3：；觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，請用含n的式子表示這個運算規律， ．
【答案】
【分析】本題考查二次根式的化簡、數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現式子的變化特點．
根據題目中給出的式子可以發現，根號內的第二個分數的分母是第一個分數的分母的平方，結果的分母和等號左邊根號內的第一個分數的分母相同，而分子是比分母小1的算術平方根，從而可以寫出一個符合要求的等式，再證明即可．
【詳解】∵n是正整數，
∴．
故答案為：．
【變式訓練6-2】二次根式中有一個有趣的“穿墻”現象：
(1)具體運算，發現規律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)觀察、歸納，得出猜想（提醒：注意帶分數的表達規范）如果為正整數，用含的式子表示上述的運算規律；
(3)證明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，數字類的規律探索：
（1）仿照①化簡求解即可；
（2）根據（1）中式子可得一個大于等于2的正整數的平方減去1的倒數乘以這個正整數再加上這個正整數的和的算術平方根等于這個正整數乘以這個正整數的平方減去1的倒數乘以這個正整數的算術平方根，據此求解即可；
（3）仿照①中化簡二次根式的方法求解即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：①；
②；
③；
④；
……．，
以此類推，可知；
（3）證明：
．
【變式訓練6-3】觀察下列各式及其驗證過程
，
驗證：
，
驗證：
(1)按照上述等式及其驗證過程的基本思想，猜想的變形結果并進行驗證；
(2)針對上述各式反映的規律，寫出用（為自然數且）表示的等式并給出說明．
【答案】(1)猜想，驗證見詳解
(2)，驗證見詳解
【分析】本題考查數字的變化類，理解題目所提供的等式的呈現規律是正確解答的關鍵．
（1）根據題目中所提供的方法進行驗證即可；
（2）總結概括出一般的規律，用代數式表示出來，再利用題目所提供的方法進行驗證即可．
【詳解】（1）解：猜想，
驗證：；
（2）解：，
驗證：．
【變式訓練6-4】先觀察下列等式，再回答問題：
①
②
③
(1)根據上面三個等式提供的信息，請你猜想 的結果：
(2)請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n的式子表示的等式：
(3)計算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，數字的變化類規律型及有理數加減混合運算，根據題意，理解題目所給的規律，并應用規律進行計算是解決本題的關鍵．
（1）根據題目所給的例題可知可化為，計算即可得出答案；
（2）利用根據前面等式的規律求解；
（3）根據題意可化為，根據有理數加法計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：根據題意可得：
（2）第n個式子為：；
（3）
．
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