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中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.1 一元二次方程八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷方程是否為一元二次方程
【經典例題1】有下列關于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【詳解】解：①，時，不是一元二次方程；
②，，是一元二次方程；
③，含兩個字母，不是一元二次方程；
④，分母含字母，不是一元二次方程；
⑤，最高次數不是2，不是一元二次方程；
⑥，，是一元一次方程，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有②，共1個
【變式訓練1-1】下列方程中，一定是關于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、當時，不是一元二次方程，故此選項錯誤；
B、是一元二次方程，故此選項正確；
C、不是一元二次方程，故此選項錯誤；
D、中，當時，不是一元二次方程，故此選項錯誤；
【變式訓練1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、是一元二次方程，故符合題意；
B、是分式方程，故不符合題意；
C、化簡后為，是一元一次方程，故不符合題意；
D、是二元一次方程，故不符合題意．
【變式訓練1-3】下列方程：，，，（其中a、b、c為常數，且）是一元二次方程的有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】解：含有分式，不是一元二次方程，
含有兩個未知數，不是一元二次方程，
，（其中a、b、c為常數，且）是一元二次方程
【變式訓練1-4】下列方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【答案】C
【詳解】解：①是分式方程，不是一元二次方程；
②是二元二次方程，不是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是一元二次方程；
綜上：③和④是一元二次方程．
【變式訓練1-5】下列方程中①；②；③；④；⑤，一元二次方程有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【詳解】解：①符合一元二次方程定義，故是一元二次方程，符合題意；②有兩個未知數，故不是一元二次方程，不符合題意；③不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意；④符合一元二次方程定義，故是一元二次方程，符合題意；⑤，只有才是一元二次方程，不符合題意．
∴符合題意的有2個
題型二：根據一元二次方程的定義求參數
【經典例題2】若是關于的一元二次方程，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意可知，且，
解得或，
∴
【變式訓練2-1】若方程是關于x的一元二次方程，則 ．
【答案】
【詳解】解：根據一元二次方程的定義，得且，
解得
【變式訓練2-2】關于的方程是一元二次方程，則的值為 ．
【答案】
【詳解】關于的方程是一元二次方程，
解得
【變式訓練2-3】方程是關于的一元二次方程，則 ．
【答案】
【詳解】解：方程是關于的一元二次方程，
，，
解得．
【變式訓練2-4】當 時，關于x的方程是一元二次方程
【答案】
【詳解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，
解得
【變式訓練2-5】若關于x的方程是一元二次方程，則m的值為 ．
【答案】
【詳解】解：關于的方程是一元二次方程，
，
解得：．
題型三：一元二次方程的一般形式
【經典例題3】將關于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分別（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【詳解】解：，
整理，得：，
∴；
【變式訓練3-1】把一元二次方程化成一般式之后，其二次項系數與一次項系數分別是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】A
【詳解】解：
，
∵，，，
∴一元二次方程的二次項系數是2與一次項系數是
【變式訓練3-2】一元二次方程化成一般形式后二次項系數為3，則一次項系數和常數項分別是（ ）
A．，2 B．6，2 C．，2 D．6x，2
【答案】B
【詳解】解：方程整理得：，
則方程的一次項系數和常數項分別是6，2．
【變式訓練3-3】將方程化為的形式后， ， ， ．
【答案】
【詳解】解：，
整理得：，
移項合并同類項得：
化為的形式后，，，．
故答案為： ，，．
【變式訓練3-4】已知一元二次方程．
(1)將方程化成一般形式；
(2)寫出二次項系數、一次項系數和常數項．
【答案】(1)(2)二次項系數為，一次項系數為，常數項為1
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得原方程的一般式為，
∴二次項系數為，一次項系數為，常數項為1．
【變式訓練3-5】把下列方程化成一般式，并寫出二次項、一次項和常數項．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，二次項為，一次項為，常數項
(2)，二次項為，一次項為，常數項
【詳解】（1）解：由，
得：，
化為一般式得：，
二次項為，一次項為，常數項；
（2）解：由，
得：，
化為一般式得：，
二次項為，一次項為，常數項．
題型四：一元二次方程的解
【經典例題4】若關于x的一元二次方程的一個根為0，則m的值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵一元二次方程的一個根是0，
∴，且，
解得：．
【變式訓練4-1】若關于的一元二次方程的一個根是，則的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的一個根，
∴
【變式訓練4-2】若關于x的一元二次方程的一個解是，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的一個解是，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-3】若關于的一元二次方程有一個根是，則 ．
【答案】1
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有一個根是，
∴且，
解得：
【變式訓練4-4】已知m是方程的根，求代數式的值．
【答案】
【詳解】解：是方程的根，
，
．
【變式訓練4-5】已知 m是方程的一個根，求代數式的值．
【答案】
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴，
∴，
∴．
題型五：已知一元二次方程的解求代數式的值
【經典例題5】已知a是方程的一個根，則（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【詳解】解：是方程的一個根，
，
，
，即，
【變式訓練5-1】若實數x滿足，則的值為（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【答案】D
【詳解】解：∵，
∴，
【變式訓練5-2】如果a是一元二次方程的根，則代數式的值為（ ）
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
【答案】D
【詳解】解：∵a是一元二次方程的根，
∴，
，
∴，
則
【變式訓練5-3】若a是方程的一個根，則的值為 ．
【答案】2024
【詳解】解：∵a是方程的一個根，
∴，
∴，
∴；
【變式訓練5-4】若是一元二次方程的解，則的值為 ．
【答案】2028
【詳解】解：由題意得：，
∴；
【變式訓練5-5】已知方程的一個根是，求代數式的值．
【答案】
【詳解】解：∵是方程的一個根，
∴，
∴，，
∴
．
題型六：特殊值解一元一次方程
【經典例題6】關于的一元二次方程滿足，則方程必有一根為（）
A．1 B． C． D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：當時，，則，
所以若，則此方程必有一根為．
【變式訓練6-1】若關于的一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（ ）
A．1，5 B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：記，則即的兩根為，
故或
【變式訓練6-2】一元二次方程若，則方程必有一根為 ．
【答案】
【詳解】解：，
是一元二次方程的一個根．
【變式訓練6-3】一元二次方程若有兩根1和，那么 ， ．
【答案】 0 0
【詳解】解：∵一元二次方程若有兩根1和，
∴，．
【變式訓練6-4】關于x的一元二次方程有一個根為，則方程必有一根為 ．
【答案】
【詳解】解：令，則
∵方程有一個根為，
方程有一根為，
有一根為，
題型七：一元二次方程的估算
【經典例題7】根據下面表格中的信息，判斷關于的方程的一個解的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：時，；時，，
關于的方程的一個解的范圍是．
【變式訓練7-1】觀察下面的表格：
判斷方程的其中一個解的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由表格可知，當時，；當時，；
當時，
【變式訓練7-2】根據所給的表格，估計一元二次方程的解的近似范圍（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由表格可知，當時，存在一個x的值，使，
故關于x的方程的一個解x的范圍是
【變式訓練7-3】根據表格中的數據，判斷一元二次方程（a，b，c為常數，）一個解x的范圍為（　　）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
【答案】C
【詳解】解：∵時，；時，，
∴當x在之間取一數值時，，
∴一元二次方程（a，b，c為常數，）一個解x的范圍為．
【變式訓練7-4】根據下列表格對應值：
x 4.6 4.5 4.4 4.3
0.1 0.2
判斷關于 x 的方程（）的一個解 x 的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由表格可知，當時，存在一個的值，使，
故關于 x 的方程（）的一個解 x 的范圍是；
【變式訓練7-5】觀察下列表格，一元二次方程的一個近似解為（）
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：時，，
，
時，，
，
所以方程解的范圍為．
題型八：一元二次方程中定義新運算
【經典例題8】新定義：關于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數式的最小值是 ．
【答案】
【詳解】解：，
與是“同族二次方程”，
∴，，∴，
由①得，，
代入②得，解得：，
∴，
，
則代數式的最小值是．
【變式訓練8-1】定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧”方程；如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“美好”方程；如果一個一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則 ．
【答案】5
【詳解】解：一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，
，解得：，
，
【變式訓練8-2】定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧方程”．
(1)判斷一元二次方程是否為“和諧方程”，說明理由；
(2)已知是關于x的“和諧方程”，若是此“和諧方程”的一個根，求m，n的值．
【答案】(1)一元二次方程是 “和諧方程”，理由見解析(2)
【詳解】（1）解：當時，，
故一元二次方程是 “和諧方程”；
（2）解：是關于x的“和諧方程”，
當時，，
是此“和諧方程”的一個根，
，
即，解得．
故．
【變式訓練8-3】定義：關于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數，且）是關于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是______；
(2)【問題探究】若關于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數，且）的一個解為3，請判斷是否為該方程的“友好”方程的一個解？若是，請證明；若不是，請說明理由．
【答案】(1)(2)是，理由見解析
【詳解】（1）解：的“友好”方程是；
故答案為：；
（2）解：是．理由如下：
把代入方程得，
即，
關于的一元二次方程的“友好”方程為，
把代入得，
所以是方程的一個解，
即為的“友好”方程的一個解．
【變式訓練8-4】定義新運算：對于任意實數a，b，c，d有，其中等式右邊是常用的乘法和減法運算．如：．
(1)求的值；
(2)已知關于x的方程的一個根為2，求m的值．
【答案】(1)10；(2)．
【詳解】（1）解：因為，
所以；
（2）解：因為，
所以，
又因為方程的一個根為2，
所以，
解得．
【變式訓練8-5】【閱讀理解】
【定義】如果關于的方程（是常數）與（是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足，，則這兩個方程互為“對稱方程”．
【舉例】求方程的“對稱方程”，這樣思考：由方程可知，，，根據，求出就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
(1)寫出方程的“對稱方程”是______；
(2)若關于的方程與互為“對稱方程”，求的值．
【答案】(1)(2)1
【詳解】（1）解：，，
方程的“對稱方程”是，
故答案為：；
（2）解：由，移項可得：，
方程與為對稱方程，
，
解得：，
．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.1 一元二次方程八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷方程是否為一元二次方程
【經典例題1】有下列關于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練1-1】下列方程中，一定是關于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】下列方程：，，，（其中a、b、c為常數，且）是一元二次方程的有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練1-4】下列方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【變式訓練1-5】下列方程中①；②；③；④；⑤，一元二次方程有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
題型二：根據一元二次方程的定義求參數
【經典例題2】若是關于的一元二次方程，則的值為 ．
【變式訓練2-1】若方程是關于x的一元二次方程，則 ．
【變式訓練2-2】關于的方程是一元二次方程，則的值為 ．
【變式訓練2-3】方程是關于的一元二次方程，則 ．
【變式訓練2-4】當 時，關于x的方程是一元二次方程
【變式訓練2-5】若關于x的方程是一元二次方程，則m的值為 ．
題型三：一元二次方程的一般形式
【經典例題3】將關于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分別（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【變式訓練3-1】把一元二次方程化成一般式之后，其二次項系數與一次項系數分別是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【變式訓練3-2】一元二次方程化成一般形式后二次項系數為3，則一次項系數和常數項分別是（ ）
A．，2 B．6，2 C．，2 D．6x，2
【變式訓練3-3】將方程化為的形式后， ， ， ．
【變式訓練3-4】已知一元二次方程．
(1)將方程化成一般形式；
(2)寫出二次項系數、一次項系數和常數項．
【變式訓練3-5】把下列方程化成一般式，并寫出二次項、一次項和常數項．
(1)；
(2)．
題型四：一元二次方程的解
【經典例題4】若關于x的一元二次方程的一個根為0，則m的值為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式訓練4-1】若關于的一元二次方程的一個根是，則的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式訓練4-2】若關于x的一元二次方程的一個解是，則的值為 ．
【變式訓練4-3】若關于的一元二次方程有一個根是，則 ．
【變式訓練4-4】已知m是方程的根，求代數式的值．
【變式訓練4-5】已知 m是方程的一個根，求代數式的值．
題型五：已知一元二次方程的解求代數式的值
【經典例題5】已知a是方程的一個根，則（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【變式訓練5-1】若實數x滿足，則的值為（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【變式訓練5-2】如果a是一元二次方程的根，則代數式的值為（ ）
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
【變式訓練5-3】若a是方程的一個根，則的值為 ．
【變式訓練5-4】若是一元二次方程的解，則的值為 ．
【變式訓練5-5】已知方程的一個根是，求代數式的值．
題型六：特殊值解一元一次方程
【經典例題6】關于的一元二次方程滿足，則方程必有一根為（）
A．1 B． C． D．無法確定
【變式訓練6-1】若關于的一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（ ）
A．1，5 B． C． D．
【變式訓練6-2】一元二次方程若，則方程必有一根為 ．
【變式訓練6-3】一元二次方程若有兩根1和，那么 ， ．
【變式訓練6-4】關于x的一元二次方程有一個根為，則方程必有一根為 ．
題型七：一元二次方程的估算
【經典例題7】根據下面表格中的信息，判斷關于的方程的一個解的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-1】觀察下面的表格：
判斷方程的其中一個解的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】根據所給的表格，估計一元二次方程的解的近似范圍（ ）
x
A． B． C． D．
【變式訓練7-3】根據表格中的數據，判斷一元二次方程（a，b，c為常數，）一個解x的范圍為（　　）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
【變式訓練7-4】根據下列表格對應值：
x 4.6 4.5 4.4 4.3
0.1 0.2
判斷關于 x 的方程（）的一個解 x 的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-5】觀察下列表格，一元二次方程的一個近似解為（）
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
題型八：一元二次方程中定義新運算
【經典例題8】新定義：關于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數式的最小值是 ．
【變式訓練8-1】定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧”方程；如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“美好”方程；如果一個一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則 ．
【變式訓練8-2】定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧方程”．
(1)判斷一元二次方程是否為“和諧方程”，說明理由；
(2)已知是關于x的“和諧方程”，若是此“和諧方程”的一個根，求m，n的值．
【變式訓練8-3】定義：關于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數，且）是關于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是______；
(2)【問題探究】若關于x的一元二次方程（其中a，b，c是常數，且）的一個解為3，請判斷是否為該方程的“友好”方程的一個解？若是，請證明；若不是，請說明理由．
【變式訓練8-4】定義新運算：對于任意實數a，b，c，d有，其中等式右邊是常用的乘法和減法運算．如：．
(1)求的值；
(2)已知關于x的方程的一個根為2，求m的值．
【變式訓練8-5】【閱讀理解】
【定義】如果關于的方程（是常數）與（是常數），其中方程中的二次項系數、一次項系數、常數項分別滿足，，則這兩個方程互為“對稱方程”．
【舉例】求方程的“對稱方程”，這樣思考：由方程可知，，，根據，求出就能確定這個方程的“對稱方程”．
請用以上方法解決下面問題：
(1)寫出方程的“對稱方程”是______；
(2)若關于的方程與互為“對稱方程”，求的值．

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