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(共86張PPT)
第六章
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習(xí)題課
平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用
1.掌握平面向量數(shù)量積的計(jì)算、向量垂直的條件與數(shù)量積的性質(zhì).(難點(diǎn))
2.重視數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的考查.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
平面向量的數(shù)量積運(yùn)算是高考考查的熱點(diǎn).其中，平面向量數(shù)量積的計(jì)算與性質(zhì)應(yīng)用，向量垂直的充要條件等內(nèi)容，常以客觀題形式考查.解答題以向量為載體，常與三角函數(shù)交匯命題，重視數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的考查，主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).
導(dǎo) 語(yǔ)
一、平面向量數(shù)量積的計(jì)算
二、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題
隨堂演練
內(nèi)容索引
四、利用向量的數(shù)量積證明
一
平面向量數(shù)量積的計(jì)算
　在△ABC中，AC=BC=3，AB=2，點(diǎn)M，N分別是邊BC和AB上的
點(diǎn)，且滿足=2，=，則·=　　.
例 1
-
以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，CN所在的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(-1，0)，B(1，0)，N(0，0)，
由AC=BC=3，AN=1可得CN==2，
所以C(0，2=(1，2=(2，0)，
所以=+=+=+-)=+=(1，2)+(2，0)
=，
又=(0，-2)，所以·=×(-2)=-.
(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b=|a||b|cos θ(θ為非零向量a，b的夾角).
(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2.
(3)如果向量的模和夾角以及坐標(biāo)都未知時(shí)，可以選擇合適的基底或建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為上述兩類問(wèn)題去解決.
提醒：解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算.但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).
反
思
感
悟
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算方法
　在△ABC中，已知與的夾角是90°，||=2，||=1，M是BC上的一點(diǎn)，且=λ+μ(λ，μ∈R)，且·=0，則的值為　　　.
跟蹤訓(xùn)練 1
根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，
所以=(0，2)，=(1，0)，=(1，-2).
設(shè)M(x，y)，則=(x，y)，
由·=(x，y)·(1，-2)=x-2y=0，
得x=2y，又=λ+μ，
即(x，y)=λ(0，2)+μ(1，0)=(μ，2λ)，
所以x=μ，y=2λ，所以==.
二
平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
　已知平面向量a，b的夾角為，且|a|=，|b|=2，在△ABC中，=2a+2b，=2a-6b，D為BC的中點(diǎn)，則||=　　　.
例 2
因?yàn)?+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b，
所以||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2)=4×=4，
則||=2.
角度1　求模
　 已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，且滿足2=，設(shè)向量，
的夾角為θ，則cos θ=　　　　.
例 3
角度2　求夾角
因?yàn)?=，
所以E為BC的中點(diǎn).
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則||=，||=2，
·=·(-)
=||2-||2+·=×22-22=-2，
所以cos θ===-.
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=(2，5)，=(3，1)，=(6，3)，則在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使得⊥？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
例 4
角度3　垂直問(wèn)題
假設(shè)存在點(diǎn)M，且=λ=(6λ，3λ)(0≤λ≤1).
則=(2-6λ，5-3λ)，=(3-6λ，1-3λ)，
∵⊥，
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0，
即45λ2-48λ+11=0，解得λ=或λ=，
∴=(2，1)或=，
∴存在M(2，1)或M滿足題意.
反
思
感
悟
(1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；
②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，然后求解.
(2)求平面向量的夾角的方法
由向量數(shù)量積的定義知，cos θ=，其中θ為非零向量a與b的夾角，范圍為［0，π］，在求解a·b，|a|，|b|或找三個(gè)量的關(guān)系時(shí)，可以用基底進(jìn)行運(yùn)算，也可以用坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)兩向量a與b垂直 a·b=0 |a-b|=|a+b|(其中a≠0，b≠0).
　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，1)，若a⊥b，則b與a+b夾角的余弦值為
A. B. C. D.-
跟蹤訓(xùn)練 2
√
因?yàn)閍⊥b，所以a·b=m-2=0，即m=2.
所以b=(2，1)，a+b=(3，-1)，
所以cos〈b，a+b〉====.
(2)已知向量a=(1，-)，a在b上的投影向量為b，|a+b|=，則|b|=　　.
向量a=(1，-)，|a|=2，
a在b上的投影向量為b，
則·=b，得2a·b=|b|2，
|a+b|=，則(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|b|2=4+2|b|2=7，
解得|b|=.
三
平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題
　已知向量a=(sin x，cos x)，b=(，-1)，x∈［0，π］.
(1)若a⊥b，求x的值；
例 5
因?yàn)閍⊥b，
所以a·b=sin x-cos x=0，
于是tan x==，
又x∈［0，π］，所以x=.
(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.
f(x)=a·b=(sin x，cos x)·(，-1)=sin x-cos x=2sin.
因?yàn)閤∈［0，π］，所以x-∈，
從而-1≤2sin≤2，
于是，當(dāng)x-=，即x=時(shí)，
f(x)取到最大值2；
當(dāng)x-=-，即x=0時(shí)，f(x)取到最小值-1.
反
思
感
悟
(1)題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式時(shí)，先運(yùn)用向量相關(guān)知識(shí)，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.
(2)當(dāng)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式時(shí)，其解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求解.
平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路
　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a-b|=，求證：a⊥b；
跟蹤訓(xùn)練 3
由題意得|a-b|2=2，
即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2，
又因?yàn)閍2=|a|2=1，b2=|b|2=1，
所以2-2a·b=2，即a·b=0，故a⊥b.
(2)設(shè)c=(0，1)，若a+b=c，求cos(α-β)的值.
因?yàn)閍+b=(cos α+cos β，sin α+sin β)=(0，1)，
所以
由①得cos α=cos(π-β)，
由0<β<α<π，得0<π-β<π，又0<α<π，故α=π-β，
代入②可得sin α=sin β=，而α>β，
所以α=，β=.所以cos(α-β)=cos=cos=-.
四
利用向量的數(shù)量積證明
　用向量法證明公式：sin 2α=2sin αcos α.
例 6
如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，作單位圓O，令單位圓與x軸正半軸交點(diǎn)為A，以x軸的非負(fù)半軸為始邊作角α，2α，使它們的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)B，連接AB交OC于點(diǎn)M，則=(cos α，sin α)，=(cos 2α，sin 2α)，
∵OA=OB=1，∠AOC=∠BOC=α，
∴OM⊥AB，AM=BM，
∴AB=2AM=2sin α，
取與y軸平行的單位向量為j，
∴j·=sin 2α，
∵=+，
∴j·=j·(+)=j·+j·
=j·=|j|||cos
=||cos α=2sin αcos α，
∴sin 2α=2sin αcos α.
反
思
感
悟
(1)運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索證明可使證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.
(2)一般地，若角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(cos α，sin α)，從而=(cos α，sin α).
　在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A(2，0)，
B(10，0)，C(11，3)，D(10，6).
(1)①證明：cos∠ABC+cos∠ADC=0；
跟蹤訓(xùn)練 4
因?yàn)锳(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)，
所以=(-8，0)，=(1，3)，=(-8，-6)，=(1，-3)，
得cos∠ABC===-，
cos∠ADC===，
所以cos∠ABC+cos∠ADC=0.
②證明：存在點(diǎn)P，使得PA=PB=PC=PD，并求出P點(diǎn)
的坐標(biāo)；
由PA=PB=PC=PD知，點(diǎn)P為四邊形ABCD外接圓的圓心.
因?yàn)?(8，0)，=(0，6)，=(9，3)，=(-1，3)，
所以·=0，·=0，
所以AB⊥BD，AC⊥CD，
四邊形ABCD外接圓的圓心為AD的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，3)，即存在點(diǎn)P，使得PA=PB=PC=PD，得證.
(2)若點(diǎn)E在四邊形ABCD的四條邊上運(yùn)動(dòng)，且CE將四邊形ABCD分成周長(zhǎng)相等的兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
易得AB=8，BC=CD=，AD=10.
因?yàn)镃E將四邊形ABCD分成周長(zhǎng)相等的兩部分，
則點(diǎn)E在AD上，且=9.
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)，則=(10-x，6-y)，=(x-2，y)，
所以則
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
1.知識(shí)清單：
(1)平面向量數(shù)量積的計(jì)算及應(yīng)用.
(2)平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題.
(3)利用平面向量數(shù)量積證明.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：向量的夾角大小.
隨堂演練
五
1
2
3
4
1.已知a=(m，1)，b=(2，6+m)，a⊥b，則|a-b|等于
A. B. C.2 D.5
√
∵a⊥b，∴a·b=2m+6+m=0，
∴m=-2，
∴a-b=(-4，-3)，∴|a-b|=5.
2.已知點(diǎn)O(0，0)，A(-1，2)，B(1，1)，則與的夾角的余弦值為
A.- B. C.- D.
1
2
3
4
√
由題意知，=(-1，2)，=(2，-1).
所以cos〈〉===-.
3.如果平面向量a=(2，1)，b=(1，3).那么下列結(jié)論中正確的是
A.|b|=3|a|
B.a∥b
C.a與b的夾角為
D.a在b上的投影向量的模為
1
2
3
4
√
1
2
3
4
對(duì)于A，|a|==，|b|==，則|b|≠3|a|，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，2×3≠1×1，則a，b不平行，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，cos〈a，b〉===，又〈a，b〉∈，則〈a，b〉=，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，a在b上的投影向量的模為==，D正確.
4.已知向量a=(λ+1，2)，b=(-2，2)，若|a-2b|=|a+2b|，則λ等于
A.2 B.1 C.-1 D.-3
1
2
3
4
√
由|a-2b|=|a+2b|兩邊同時(shí)平方可得，|a-2b|2=|a+2b|2，
整理得，a·b=0，而a·b=-2(λ+1)+4=0，
解得λ=1.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
六
答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D BD A A B e -1
題號(hào) 11 12 13 14 　15
答案 B B ABC ABD
對(duì)一對(duì)
1
2
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4
5
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14
15
16
9.
(1)因?yàn)锳(2，1)，B(3，2)，
D(-1，4)，
所以=(1，1)，=(-3，3)，
所以·=1×(-3)+1×3=0，
所以⊥，即AB⊥AD.
答案
1
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9.
(2)因?yàn)椤停?br/>四邊形ABCD為矩形，
所以=，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，
則由=(1，1)，=(x+1，y-4)，
得解得所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，5)，
從而=(-2，4)，=(-4，2)，
答案
1
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9.
所以||=2，||=2，
·=8+8=16.
設(shè)與的夾角為θ，
則cos θ===，
所以矩形的兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值為.
答案
1
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16
10.
答案
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16
(1)設(shè)a=(x，y)，
依題意有=(4，3)，||=5，|a|=1，
且a⊥，即a·=0，所以
解得或所以a=或a=.
10.
答案
1
2
3
4
5
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16
(2)設(shè)向量與單位向量a的夾角為θ，向量在向量a上的投影向量為h，
則|h|=|||cos θ|==|·a|.
又因?yàn)?(1，4)，
所以當(dāng)a=時(shí)，|h|==；
當(dāng)a=時(shí)，|h|==.
所以向量在向量a上的投影向量的模為.
16.
設(shè)u=(a，b)，v=(c，d)，
因?yàn)閡·v=|u||v|cos θ(θ為向量u，v的夾角)，
所以ac+bd=· cos θ，
因此(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2) cos2θ≤(a2+b2)(c2+d2).
答案
1
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3
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5
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16
1.已知=(2，3)，=(-3，y)，若⊥，則||等于
A.2 B. C.5 D.
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15
基礎(chǔ)鞏固
√
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答案
1
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16
因?yàn)椤停?br/>所以·=0，
即2×(-3)+3y=0，解得y=2.
所以=(-3，2)，=(-5，-1)，
所以||==.
答案
2.向量a=(1，)，b=(，1)，則向量a+b與a-b的夾角為
A. B. C. D.
1
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3
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√
16
設(shè)a+b與a-b的夾角為θ，
∵a=(1，)，b=(，1)，∴a+b=(1+，1+)，a-b=(1--1)，
則|a+b|=+，|a-b|=-，
∴cos θ===0，
∵0≤θ≤π，∴θ=.
答案
3.(多選)已知a=(1，2)，b=(3，4)，若a+kb與a-kb(k∈R且k≠0)垂直，則k等于
A. B.- C.- D.
√
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√
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16
因?yàn)閍=(1，2)，b=(3，4)，
所以a+kb=(1+3k，2+4k)，a-kb=(1-3k，2-4k)，
又因?yàn)閍+kb與a-kb垂直，
所以(a+kb)·(a-kb)=1-9k2+4-16k2=0，
解得k=±.
答案
1
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15
4.若a=(2，3)，b=(-4，7)，b方向上的單位向量為e.則a在b上的投影向量為
A.e B.e
C.e D.e
√
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設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ===，所以a在b上的投影向量為|a|cos θe=×e=e.
答案
5.已知A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
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由題設(shè)知=(8，-4)，=(2，4)，=(-6，8)，所以·=2×8+
(-4)×4=0，即⊥，所以∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形.
答案
6.設(shè)點(diǎn)A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OABC是平行四邊形，則向量與的夾角為
A. B. C. D.
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√
答案
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∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴=，即(4-0，2-0)=(a-2，8-a)，
∴a=6，∴=(4，2)，=(2，6)，
設(shè)向量的夾角為θ，
則cos θ===，
又θ∈(0，π)，∴.
答案
1
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7.已知點(diǎn)A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，方向上的單位向量為e，則向量在上的投影向量為　　　　.
由已知得=(2，1)，=(5，5)，因此e=e=e.
e
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答案
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8.在△ABC中，若∠BAC=60°，AB=AC=3，=3，則·=　　　　.
-1
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16
由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(0，0)，B(3，0)，C.設(shè)D(x，y)，
則==.
由=3，得=，
解得x=2，y=.
∴D(2，=(1，-=(2，)，
∴·=1×2-×=-1.
答案
9.已知點(diǎn)A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4).
(1)求證：AB⊥AD；
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因?yàn)锳(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)，
所以=(1，1)，=(-3，3)，
所以·=1×(-3)+1×3=0，
所以⊥，即AB⊥AD.
答案
(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值.
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因?yàn)椤停倪呅蜛BCD為矩形，
所以=，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，
則由=(1，1)，=(x+1，y-4)，
得
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，5)，
從而=(-2，4)，=(-4，2)，
所以||=2，||=2，·=8+8=16.
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設(shè)的夾角為θ，
則cos θ===，
所以矩形的兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值為.
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10.如圖，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，設(shè)向量a是與向量垂直的單位向量.
(1)求單位向量a的坐標(biāo)；
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設(shè)a=(x，y)，
依題意有=(4，3)，||=5，|a|=1，
且a⊥，即a·=0，
所以解得
所以a=或a=.
答案
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(2)求向量在向量a上的投影向量的模.
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設(shè)向量與單位向量a的夾角為θ，
向量在向量a上的投影向量為h，
則|h|=|||cos θ|==|·a|.
又因?yàn)?(1，4)，所以當(dāng)a=時(shí)，
|h|==；
當(dāng)a=時(shí)，|h|==.
所以向量在向量a上的投影向量的模為.
答案
11.已知向量=，||=5，且·=3，則||等于
A.3 B.3 C.4 D.4
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綜合運(yùn)用
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設(shè)A(0，0)，C(x，y)，則=(x，y)，
則=-=(x，y)-=.
∵·=3，
∴+=3，
即x+y=8. ①
又∵||=5，
∴x2+y2=25. ②
答案
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||=
=，
將①②代入上式解得||==3.
答案
12.已知函數(shù)y=tan的部分圖象如圖所示，則(+)·等于
A.1 B.6
C.3 D.2
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由y=tan=0，得x-=kπ(k∈Z)，
即x=4k+2(k∈Z)，
由圖可知，A的坐標(biāo)為(2，0)，
由y=tan=1，得x-=kπ+(k∈Z)，
即x=4k+3(k∈Z)，
由圖可知，B的坐標(biāo)為(3，1)，
所以+=(5，1)，=(1，1)，
所以(+)·=5×1+1×1=6.
答案
13.(多選)八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念之一.如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1，則以下結(jié)論正確的是
A.·=0
B.·=-
C.+=-
D.|-|=
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√
√
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因?yàn)榘素詧D為正八邊形，故中心角為，∠FOD=·=0，A正確；
則∠AOD=，
·=||||cos=-，B正確；
，
又因?yàn)閨|=||，根據(jù)平行四邊形法則得+==-，C正確；
答案
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連接AF(圖略)，
由題意得∠AOB=，∠AFB=，且BF=2，
在Rt△FAB中，cos∠AFB=，
則AF=2cos ，
又cos ==cos=2cos2-1，
則cos =，故|-|=||=2×=，D錯(cuò)誤.
答案
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14.已知向量a=(sin 70°，cos 70°)，b=(cos 80°，sin 80°)，則|a+b|=　　　　.
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答案
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∵a=(sin 70°，cos 70°)，b=(cos 80°，sin 80°)，
∴|a|==1，
|b|==1，
a·b=sin 70°cos 80°+cos 70°sin 80°
=sin 150°=，
∴|a+b|===.
答案
15.(多選)已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，c=a+λb，λ∈R，則下列說(shuō)法正確的是
A.當(dāng)λ=-時(shí)，|c|最小
B.當(dāng)|c|最小時(shí)，b⊥c
C.當(dāng)λ=1時(shí)，a與c的夾角最小
D.當(dāng)a與c的夾角最小時(shí)，a=c
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拓廣探究
√
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√
√
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由a=(1，2)，b=(-3，4)，
得c=a+λb=(1-3λ，2+4λ)，
|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2
=5+10λ+25λ2=25+4，
當(dāng)λ=-時(shí)，|c|最小，故A正確；
當(dāng)|c|最小時(shí)，c=，
則b·c=0，所以b⊥c，故B正確；
答案
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設(shè)向量a與c的夾角為θ，
則cos θ===，
要使向量a與c的夾角最小，則cos θ最大，由于θ∈［0，π］，所以cos θ的最大值為1，此時(shí)θ=0，=1，
解得λ=0，c=(1，2).
所以當(dāng)λ=0時(shí)，a與c的夾角最小，此時(shí)a=c，故C錯(cuò)誤，D正確.
答案
16.用向量方法證明：對(duì)于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
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設(shè)u=(a，b)，v=(c，d)，
因?yàn)閡·v=|u||v|cos θ(θ為向量u，v的夾角)，
所以ac+bd=· cos θ，
因此(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2) cos2θ≤(a2+b2)(c2+d2).
答案(共65張PPT)
第六章
<<<
習(xí)題課
平面向量中的最值與范圍問(wèn)題
會(huì)利用向量的定義及運(yùn)算求解最值與范圍問(wèn)題.(重難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量的夾角、系數(shù)的范圍等等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.
導(dǎo) 語(yǔ)
內(nèi)容索引
一、線性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題
二、向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、向量模與夾角的最值問(wèn)題
隨堂演練
一
線性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題
已知向量a，b，c滿足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，則|c|的最小值為
A. B. C. D.
例 1
√
∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)，
∴|c|===≥=，
當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)，等號(hào)成立，故|c|的最小值為.
利用向量模的公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，應(yīng)注意變量的取值范圍.
反
思
感
悟
　設(shè)=(1，-2)，=(2m，-1)，=(-2n，0)(m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m+n的最大值為
A.-3 B.-2 C.2 D.3
跟蹤訓(xùn)練 1
√
由題意易知，∥=-=(2m-1，1)，=-=
(-2n-1，2)，
∴(2m-1)×2=1×(-2n-1)，∴2m+1+2n=1，
∵2m+1+2n≥2=2，
∴2m+n+1≤2-2，∴m+n≤-3(當(dāng)且僅當(dāng)m=-2，n=-1時(shí)取等號(hào)).
二
向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題
在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，點(diǎn)P在邊CD上，則·的取值范圍是
A.［-1，8］ B.［-1，+∞)
C.［0，8］ D.［-1，0］
例 2
√
由題意，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，
以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(0，0)，B(4，0)，D(1，)，
設(shè)P(x，)，則1≤x≤5，
所以=(-x，-=(4-x，-)，
所以·=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1，
設(shè)f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在［1，2)上單調(diào)遞減，在［2，5］上單調(diào)遞增，
所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8，
所以·的取值范圍是［-1，8］.
反
思
感
悟
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將平面向量數(shù)量積的運(yùn)算坐標(biāo)化，然后利用二次函數(shù)、基本不等式等求最值或范圍.
　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量=(2，2)，=(4，1)，在x軸上取一點(diǎn)P使·取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是
A.(-3，0) B.(2，0)
C.(3，0) D.(4，0)
跟蹤訓(xùn)練 2
√
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0)，則=(x-2，-2)，=(x-4，-1)，
·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1，
當(dāng)x=3時(shí)，·有最小值1，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0).
三
向量模與夾角的最值問(wèn)題
已知|a|=1，向量b滿足2|b-a|=b·a，設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ的最
小值為　　　　.
例 3
∵|a|=1，∴設(shè)a=(1，0)，b=(x，y)，
∴b-a=(x-1，y)，
由2|b-a|=b·a，得2=x，則x>0，
∴4(x-1)2+4y2=x2，
∴y2=-x2+2x-1，
∴cos θ======，
∴當(dāng)=1，即x=1時(shí)，cos θ取得最小值.
反
思
感
悟
將向量夾角的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為夾角余弦值的大小問(wèn)題，利用函數(shù)求最值或范圍.
已知|a+b|=2，向量a，b的夾角為，則|a|+|b|的最大值
為　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 3
將|a+b|=2兩邊平方并化簡(jiǎn)得(|a|+|b|)2-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=(|a|+|b|)2≤4，即(|a|+|b|)2≤，即|a|+|b|≤，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=時(shí)，等號(hào)成立，所以|a|+|b|的最大值為.
1.知識(shí)清單：
(1)線性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題.
(2)向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題.
(3)向量模與夾角的最值問(wèn)題.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：函數(shù)的最值范圍問(wèn)題的計(jì)算.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，則|a+b|的取值范圍是
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
因?yàn)閍+b=(1+cos θ，sin θ)，
所以|a+b|==
=，
因?yàn)棣取剩詂os θ∈，所以2+2cos θ∈，
所以|a+b|的取值范圍是(，2］.
2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，則·的取值范圍是
A. B. C. D.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
因?yàn)锳B=2，AC=1，∠ACB=，
所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則C(0，0)，B(，0)，A(0，1)，設(shè)F(x，y)，因?yàn)镕是線段AB上的點(diǎn)，
所以=λ(0≤λ≤1)，即(x，y-1)=λ(，-1)，
所以x=λ， y=-λ+1，所以F(λ，-λ+1)，
·=(-λ，λ)·(λ，-λ+1)=-4λ2+λ=-4+，
1
2
3
4
則當(dāng)λ=·，當(dāng)λ=1時(shí)，
·有最小值-3.
所以·.
3.已知平面向量a與a+2b的夾角為30°，則的最大值為
A. B.2 C.4 D.8
1
2
3
4
√
1
2
3
4
以向量|a|與2|b|為兩邊作△ABC，如圖所示，設(shè)a=，2b=，
則a+2b=，∠CAB=30°，
則在△ABC中，||≥||sin∠CAB，
即2|b|≥|a|，則≤4，
所以的最大值為4.
4.平面向量a，b滿足|a|=1，=1，記〈a，b〉=θ，則sin θ的最大值為
A. B. C. D.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
因?yàn)閨a|=1，=1，所以=|b|2-3a·b+|a|2=1，
|b|2-3|a|·|b|cos θ+-1=0，即|b|2-3|b|cos θ+=0，
所以cos θ==+≥2=，當(dāng)且僅當(dāng)|b|=時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椤碼，b〉=θ，θ∈，
所以sin θ=≤=，則sin θ的最大值為.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D D A D BD
對(duì)一對(duì)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9.
由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1，
根據(jù)向量求模公式得|a-λb|
=
==，
易知，當(dāng)λ=時(shí)，|a-λb|取得最小值.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10.
設(shè)=t(0≤t≤1)，
則=(1-t)，
因?yàn)?-=-(1-t)，
所以·=［-(1-t)］·t
=t·-t(1-t)=2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2
=8t2-4t=8-.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10.
因?yàn)?≤t≤1，
所以-≤·≤4，
所以·的取值范圍為.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11.
(1)a·b=coscos-sinsin=cos 2x，
|a+b|=
===2，
因?yàn)閤∈，所以cos x≥0，
所以|a+b|=2cos x.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11.
(2)由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x，
即f(x)=2cos2x-1-4λcos x
=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
因?yàn)閤∈，所以0≤cos x≤1.
①當(dāng)λ<0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x=0時(shí)，
f(x)取得最小值-1，這與已知矛盾；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11.
②當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x=λ時(shí)，f(x)取得最小值-1-2λ2，
由已知得-1-2λ2=-，
解得λ=；
③當(dāng)λ>1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時(shí)，f(x)取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-，解得λ=，這與λ>1相矛盾.
綜上所述，λ=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一、單項(xiàng)選擇題
1.已知向量m=(a-1，1)，n=(2-b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，則m·n的取值范圍是
A.［2，+∞) B.(0，+∞)
C.［2，4) D.(2，4)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
因?yàn)閙∥n，所以2a-2=2-b，所以2a+b=4，所以b=4-2a>0，所以0所以m·n=2a+b-ab=4-ab=4-a(4-2a)=2a2-4a+4=2(a-1)2+2∈［2，4).
答案
2.已知向量a=(-2，2)，b=(5，k)，若|a+b|≤5，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
A.［-4，6］ B.［-6，4］ C.［-6，2］ D.［-2，6］
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
由已知得a+b=(3，k+2)，
若|a+b|≤5，則≤5，
即(k+2)2≤16，即-4≤k+2≤4，
∴-6≤k≤2.
答案
3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且=x+y，則+的最小值為
A.3 B.4 C.5 D.9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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答案
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5
6
7
8
9
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11
由圖可知x，y均為正數(shù)，且x+y=1，
∴+=(x+y)=5++
≥5+2=9，
當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=，y=時(shí)，等號(hào)成立，
則+的最小值為9.
答案
1
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6
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8
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11
4.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|+2|的最小值為
A.4 B.6 C.7 D.8
√
答案
1
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11
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，BC=2，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則D(0，0)，A(4，0)，設(shè)B(2，c)，C(0，c)，P(0，a)(0≤a≤c)，
所以=(4，-a)，=(2，c-a)，
+2=(8，2c-3a)，
所以|+2|=≥8.
答案
5.已知A，B，C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量p=(sin A，1)，q=(1，-cos B)，
則p與q的夾角是
A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定
1
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11
√
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以A+B>，即A>-B，又因?yàn)楹瘮?shù)y=sin x
在上單調(diào)遞增，所以sin A>sin =cos B，所以p·q=sin A
-cos B>0，又因?yàn)閜與q不共線，所以p與q的夾角是銳角.
答案
6.若向量a，b，c的模均為1，且a·b=0，則|3a+4b-2c|的最大值為
A.5+2 B.3 C.5 D.7
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11
√
答案
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11
設(shè)=a，=b，=c，依題意a·b=0 a⊥b，
而向量a，b，c的模均為1.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由于|c|=1，
所以C點(diǎn)在單位圓上.
由此可得A(1，0)，B(0，1)，C(cos α，sin α)，
答案
1
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11
所以|3a+4b-2c|=|(3-2cos α，4-2sin α)|
=
=
=，其中tan φ=.
所以當(dāng)sin(α+φ)=-1時(shí)，|3a+4b-2c|取得最大值=7.
答案
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11
二、多項(xiàng)選擇題
7.一折扇平面圖為如圖所示的扇形COD，其中∠COD=，OC=4OA=4，動(dòng)點(diǎn)P在弧CD上(含端點(diǎn))，連接OP交扇形OAB的弧AB于點(diǎn)Q，且=x+y，則下列說(shuō)法正確的是
A.若y=x，則x+y=1
B.若y=2x，則·=0
C.·≥-2
D.·≥
√
√
答案
1
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11
如圖，作OE⊥OC，分別以O(shè)C，OE所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，C(4，0)，
B，
D，
設(shè)∠COP=θ，則Q(cos θ，sin θ)，θ∈，
則P(4cos θ，4sin θ)，
答案
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11
由=x+y，可得cos θ=4x-2y，
sin θ=2y，且x>0，y>0，
若y=x，則cos2θ+sin2θ=(4x-2y)2+(2y)2=1，
解得x=y=(負(fù)值舍去)，x+y=，故A錯(cuò)誤；
若y=2x，則cos θ=4x-2y=0，θ=·=0，故B正確；
答案
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11
·=·(4cos θ，4sin θ)
=-6cos θ+2sin θ=4sin，
由于θ∈，故θ-∈，
故-6≤4sin≤6，
即-6≤·≤6，故C錯(cuò)誤；
答案
1
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11
由于=(1-4cos θ，-4sin θ)，
=，
·=(1-4cos θ)×+(-4sin θ)×
=-2cos θ-2sin θ=-4sin，
而θ+∈，所以sin∈，
所以·=-4sin≥-4=，故D正確.
答案
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11
三、填空題
8.已知向量a，b滿足a=(t，2-t)，|b|=1，且(a-b)⊥b，則a與b的夾角的最
小值為　　　.
答案
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11
設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)?a-b)⊥b，
所以(a-b)·b=0，即a·b=b2，
cos θ=====，
又因?yàn)?t2-4t+8=2(t-)2+4≥4，
所以0所以a與b的夾角的最小值為.
答案
四、解答題
9.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，a·(a+b)=2.求|a-λb|的最小值.
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11
由|a|=1，a·(a+b)=2，可知a·b=1，
根據(jù)向量求模公式得|a-λb|=
==，
易知，當(dāng)λ=時(shí)，|a-λb|取得最小值.
答案
1
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10.在△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=45°，P為線段AC上任意一點(diǎn)，求·的取值范圍.
答案
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設(shè)=t(0≤t≤1)，
則=(1-t)，
因?yàn)?-=-(1-t)，
所以·=［-(1-t)］·t=t·-t(1-t)
=2×2t·cos 45°-t(1-t)×(2)2=8t2-4t=8-.
因?yàn)?≤t≤1，所以-≤·≤4，
所以·.
答案
11.已知向量a=，b=，x∈.
(1)求a·b及|a+b|；
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答案
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11
a·b=coscos-sinsin=cos 2x，
|a+b|=
=
==2，
因?yàn)閤∈，所以cos x≥0，所以|a+b|=2cos x.
答案
(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值.
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答案
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11
由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x，
即f(x)=2cos2x-1-4λcos x
=2(cos x-λ)2-1-2λ2.
因?yàn)閤∈，所以0≤cos x≤1.
①當(dāng)λ<0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x=0時(shí)，
f(x)取得最小值-1，這與已知矛盾；
②當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x=λ時(shí)，f(x)取得最小值-1-2λ2，
由已知得-1-2λ2=-，解得λ=；
答案
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③當(dāng)λ>1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時(shí)，f(x)取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-，解得λ=，這與λ>1相矛盾.
綜上所述，λ=.
答案習(xí)題課　平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.掌握平面向量數(shù)量積的計(jì)算、向量垂直的條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.重視數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的考查.
一、平面向量數(shù)量積的計(jì)算
例1　在△ABC中，AC=BC=3，AB=2，點(diǎn)M，N分別是邊BC和AB上的點(diǎn)，且滿足=2，=，則·=　　　　.
跟蹤訓(xùn)練1　在△ABC中，已知與的夾角是90°，||=2，||=1，M是BC上的一點(diǎn)，且=λ+μ(λ，μ∈R)，且·=0，則的值為　　　.
二、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
角度1　求模
例2　已知平面向量a，b的夾角為，且|a|=，|b|=2，在△ABC中，=2a+2b，=2a-6b，D為BC的中點(diǎn)，則||=　　　.
角度2　求夾角
例3　已知正方形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，且滿足2=，設(shè)向量，的夾角為θ，則cos θ=　　　　.
角度3　垂直問(wèn)題
例4　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=(2，5)，=(3，1)，=(6，3)，則在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使得⊥？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，1)，若a⊥b，則b與a+b夾角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.-
(2)已知向量a=(1，-)，a在b上的投影向量為b，|a+b|=，則|b|= 　.
三、平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題
例5　已知向量a=(sin x，cos x)，b=(，-1)，x∈［0，π］.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.
跟蹤訓(xùn)練3　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a-b|=，求證：a⊥b；
(2)設(shè)c=(0，1)，若a+b=c，求cos(α-β)的值.
四、利用向量的數(shù)量積證明
例6　用向量法證明公式：sin 2α=2sin αcos α.
反思感悟　(1)運(yùn)用向量工具進(jìn)行探索證明可使證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.
(2)一般地，若角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(cos α，sin α)，從而=(cos α，sin α).
跟蹤訓(xùn)練4　在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6).
(1)①證明：cos∠ABC+cos∠ADC=0；
②證明：存在點(diǎn)P，使得PA=PB=PC=PD，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)E在四邊形ABCD的四條邊上運(yùn)動(dòng)，且CE將四邊形ABCD分成周長(zhǎng)相等的兩部分，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
1.知識(shí)清單：
(1)平面向量數(shù)量積的計(jì)算及應(yīng)用.
(2)平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題.
(3)利用平面向量數(shù)量積證明.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：向量的夾角大小.
1.已知a=(m，1)，b=(2，6+m)，a⊥b，則|a-b|等于(　　)
A. B. C.2 D.5
2.已知點(diǎn)O(0，0)，A(-1，2)，B(1，1)，則與的夾角的余弦值為(　　)
A.- B. C.- D.
3.如果平面向量a=(2，1)，b=(1，3).那么下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.|b|=3|a|
B.a∥b
C.a與b的夾角為
D.a在b上的投影向量的模為
4.已知向量a=(λ+1，2)，b=(-2，2)，若|a-2b|=|a+2b|，則λ等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-3
答案精析
例1　-
解析　以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，CN所在的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(-1，0)，B(1，0)，N(0，0)，
由AC=BC=3，AN=1可得CN==2，
所以C(0，2)，=(1，2)，
=(2，0)，
所以=+=+=+-)=+=(1，2)+(2，0)=，
又=(0，-2)，
所以·=×(-2)=-.
跟蹤訓(xùn)練1　
例2　2
解析　因?yàn)?+)
=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b，
所以||2=4(a-b)2
=4(a2-2a·b+b2)
=4×=4，
則||=2.
例3　-
解析　因?yàn)?=，
所以E為BC的中點(diǎn).
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，
則||=，||=2，
·=·(-)
=||2-||2+·
=×22-22=-2，
所以cos θ===-.
例4　解　假設(shè)存在點(diǎn)M，且=λ=(6λ，3λ)(0≤λ≤1).
則=(2-6λ，5-3λ)，
=(3-6λ，1-3λ)，
∵⊥，
∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0，
即45λ2-48λ+11=0，
解得λ=或λ=，
∴=(2，1)或=，
∴存在M(2，1)或M滿足題意.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)A
(2)
解析　向量a=(1，-)，|a|=2，
a在b上的投影向量為b，
則·=b，得2a·b=|b|2，
|a+b|=，則(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|b|2=4+2|b|2=7，
解得|b|=.
例5　解　(1)因?yàn)閍⊥b，
所以a·b=sin x-cos x=0，
于是tan x==，
又x∈［0，π］，所以x=.
(2)f(x)=a·b=(sin x，cos x)·(，-1)=sin x-cos x
=2sin.
因?yàn)閤∈［0，π］，
所以x-∈，
從而-1≤2sin≤2，
于是，當(dāng)x-=，即x=時(shí)，
f(x)取到最大值2；
當(dāng)x-=-，即x=0時(shí)，
f(x)取到最小值-1.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)證明　由題意得|a-b|2=2，
即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2，
又因?yàn)閍2=|a|2=1，b2=|b|2=1，
所以2-2a·b=2，即a·b=0，
故a⊥b.
(2)解　因?yàn)閍+b=(cos α+cos β，sin α+sin β)=(0，1)，
所以
由①得cos α=cos(π-β)，
由0<β<α<π，得0<π-β<π，
又0<α<π，故α=π-β，
代入②可得sin α=sin β=，而α>β，
所以α=，β=.
所以cos(α-β)=cos
=cos=-.
例6　證明　如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，作單位圓O，令單位圓與x軸正半軸交點(diǎn)為A，以x軸的非負(fù)半軸為始邊作角α，2α，使它們的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)B，連接AB交OC于點(diǎn)M，則=(cos α，sin α)，
=(cos 2α，sin 2α)，
∵OA=OB=1，∠AOC=∠BOC=α，
∴OM⊥AB，AM=BM，
∴AB=2AM=2sin α，
取與y軸平行的單位向量為j，
∴j·=sin 2α，
∵=+，
∴j·=j·(+)
=j·+j·
=j·=|j|||cos
=||cos α=2sin αcos α，
∴sin 2α=2sin αcos α.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)①證明　因?yàn)锳(2，0)，
B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)，
所以=(-8，0)，=(1，3)，
=(-8，-6)，=(1，-3)，
得cos∠ABC===-，
cos∠ADC===，
所以cos∠ABC+cos∠ADC=0.
②證明　由PA=PB=PC=PD知，點(diǎn)P為四邊形ABCD外接圓的圓心.
因?yàn)?(8，0)，=(0，6)，
=(9，3)，=(-1，3)，
所以·=0，·=0，
所以AB⊥BD，AC⊥CD，
四邊形ABCD外接圓的圓心為AD的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，3)，即存在點(diǎn)P，使得PA=PB=PC=PD，得證.
(2)解　易得AB=8，
BC=CD=，AD=10.
因?yàn)镃E將四邊形ABCD分成周長(zhǎng)相等的兩部分，
則點(diǎn)E在AD上，且=9.
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)，則=(10-x，6-y)，=(x-2，y)，
所以
則
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
隨堂演練
1.D　2.A　3.D　4.B習(xí)題課　平面向量中的最值與范圍問(wèn)題
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　會(huì)利用向量的定義及運(yùn)算求解最值與范圍問(wèn)題.
一、線性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題
例1　已知向量a，b，c滿足a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b，則|c|的最小值為(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)=(1，-2)，=(2m，-1)，=(-2n，0)(m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m+n的最大值為(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
二、向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題
例2　在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，A=，點(diǎn)P在邊CD上，則·的取值范圍是(　　)
A.［-1，8］ B.［-1，+∞)
C.［0，8］ D.［-1，0］
跟蹤訓(xùn)練2　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量=(2，2)，=(4，1)，在x軸上取一點(diǎn)P使·取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)
A.(-3，0) B.(2，0)
C.(3，0) D.(4，0)
三、向量模與夾角的最值問(wèn)題
例3　已知|a|=1，向量b滿足2|b-a|=b·a，設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ的最小值為　　　　.
跟蹤訓(xùn)練3　已知|a+b|=2，向量a，b的夾角為，則|a|+|b|的最大值為_(kāi)___________.
1.知識(shí)清單：
(1)線性運(yùn)算中的最值與范圍問(wèn)題.
(2)向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題.
(3)向量模與夾角的最值問(wèn)題.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：函數(shù)的最值范圍問(wèn)題的計(jì)算.
1.已知向量a=(1，0)，b=(cos θ，sin θ)，θ∈，則|a+b|的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，AB=2，AC=1，∠ACB=，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，則·的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
3.已知平面向量a與a+2b的夾角為30°，則的最大值為(　　)
A. B.2 C.4 D.8
4.平面向量a，b滿足|a|=1，=1，記〈a，b〉=θ，則sin θ的最大值為(　　)
A. B. C. D.
答案精析
例1　B　［∵a=(3，0)，b=(0，4)，c=λa+(1-λ)b=(3λ，4-4λ)，
∴|c|=
=
=≥=，
當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)，等號(hào)成立，故|c|的最小值為.］
跟蹤訓(xùn)練1　A　［由題意易知，
∥，其中=-
=(2m-1，1)，=-
=(-2n-1，2)，
∴(2m-1)×2=1×(-2n-1)，
∴2m+1+2n=1，
∵2m+1+2n≥2
=2，
∴2m+n+1≤2-2，∴m+n≤-3(當(dāng)且僅當(dāng)m=-2，n=-1時(shí)取等號(hào)).］
例2　A　［由題意，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，
A=，
以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(0，0)，B(4，0)，D(1，)，
設(shè)P(x，)，則1≤x≤5，
所以=(-x，-)，
=(4-x，-)，
所以·=x(x-4)+3
=x2-4x+3=(x-2)2-1，
設(shè)f(x)=(x-2)2-1，可得f(x)在［1，2)上單調(diào)遞減，在［2，5］上單調(diào)遞增，
所以f(x)min=f(2)=-1，f(x)max=f(5)=8，
所以·的取值范圍是［-1，8］.］
跟蹤訓(xùn)練2　C　［設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0)，
則=(x-2，-2)，=(x-4，-1)，
·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1，
當(dāng)x=3時(shí)，·有最小值1，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0).］
例3　
解析　∵|a|=1，∴設(shè)a=(1，0)，
b=(x，y)，
∴b-a=(x-1，y)，
由2|b-a|=b·a，
得2=x，則x>0，
∴4(x-1)2+4y2=x2，
∴y2=-x2+2x-1，
∴cos θ==
=
=
=
=，
∴當(dāng)=1，即x=1時(shí)，cos θ取得最小值.
跟蹤訓(xùn)練3　
解析　將|a+b|=2兩邊平方并化簡(jiǎn)得(|a|+|b|)2-|a||b|=4，由基本不等式得|a||b|≤=，故(|a|+|b|)2≤4，即(|a|+|b|)2≤，即|a|+|b|≤，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=時(shí)，等號(hào)成立，所以|a|+|b|的最大值為.
隨堂演練
1.D　2.B　3.C　4.A

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