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第六章
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章末復習課
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一、向量的線性運算
二、向量的數量積運算
三、余弦定理、正弦定理
內容索引
四、正弦、余弦定理在實際問題中的應用
向量的線性運算
一
1.向量的線性運算有平面向量及其坐標運算的加法、減法和數乘運算.從形式上看，向量的線性運算類似于實數與多項式的運算法則，所以實數與多項式運算中的去括號、移項、合并同類項等規則在向量的線性運算中都可以使用.但這種相似僅僅是體現在形式上，在具體意義上則有明顯不同，比如向量加法的運算法則是三角形法則和平行四邊形法則等.本部分主要考查向量的線性運算和根據線性運算求參問題.
2.通過向量的線性運算，培養數學運算和邏輯推理素養.
(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于
A.(4，0) B.(0，4)
C.(4，-8) D.(-4，8)
例 1
√
因為a∥b，
所以1×4=-2×m，解得m=-2，
所以b=(-2，4)，
所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)=(4，-8).
(2)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E為線段AD的中點，且BF=AB，則等于
A.+ B.-
C.+ D.-
√
由題意，根據向量的運算法則，可得=-=-=-++)=-=×2-=-.
(1)向量線性運算的基本原則
向量的加法、減法和數乘運算統稱為向量的線性運算，向量的線性運算的結果仍是一個向量，因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面.
(2)向量平行的等價條件
設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b a=λb x1y2-x2y1=0.
(3)三點共線的等價條件
A，B，C三點共線 存在λ∈R，使得=λ成立 存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1.
反
思
感
悟
跟蹤訓練 1
　如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若=λ+μ，則λ+μ等于
A. B.
C. D.2
√
因為=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+)
=(λ-μ)+，
且=+解得所以λ+μ=.
二
向量的數量積運算
1.平面向量的數量積是向量的核心內容，重點是數量積的運算，利用向量的數量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計算向量的長度等.
2.通過向量的數量積運算，提升邏輯推理和數學運算素養.
例 2
　(1)已知平面上有三點A，B，C，已知AB=3，D是線段BC上靠近B的一個四等分點.若AD⊥AB，則·的值是
A.27 B.-27 C.9 D.-9
√
由D是線段BC上靠近B的一個四等分點，
可得=4，
又由AD⊥AB，可得·=0，
所以=-=4+=4(-)+=4-3，
則·=·(4-3)=4·-3=-27.
(2)在矩形ABCD中，邊AB，AD的長分別為2和1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足=，則·的取值范圍是　　　　　　.
［1，4］
設==λ(0≤λ≤1)，
則=λ=λ=(1-λ)=(1-λ)，
則·=(+)·(+)=(+λ)·［+(1-λ)］
=·+(1-λ)+λ+λ(1-λ)·.
又∵AB⊥AD，∴·=0，
∴·=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λ=4-3λ.
∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，
即·的取值范圍是［1，4］.
反
思
感
悟
(1)向量數量積的兩種計算方法
①定義法：當已知向量的模和夾角θ時，a·b=|a||b|cos θ，有時需要注意結合平面向量基本定理和向量共線定理去表示向量；
②坐標法：當已知向量的坐標a=(x1，y1)，b=(x2，y2)時，a·b=x1x2+y1y2.
反
思
感
悟
(2)利用向量數量積可以解決以下問題
設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
①兩向量垂直的等價條件
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0(a，b均為非零向量)；
②求向量的模的問題
|a|=；
③兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π，a，b為非零向量)
cos θ==.
　(1)若等邊△ABC的邊長為3，平面內一點M滿足=+，則·的值為
A.- B.-2 C. D.2
跟蹤訓練 2
√
因為=-=-，
所以·=(-)·(-)
=·
=·
=-+·-
=-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2.
(2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，則
a+b與b+c所成角的余弦值為　　　　.
因為a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c，
所以=，1×(-1)+(-2)μ=0，
解得λ=-4，μ=-，
所以a=(2，-4)，c=，
所以a+b=(3，-6)，b+c=，
所以cos〈a+b，b+c〉===.
余弦定理、正弦定理
三
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判斷三角形的形狀、求三角形的面積，以及余弦定理、正弦定理與三角恒等變換公式的綜合應用.
2.借助解三角形，培養邏輯推理、數學運算素養.
在①b2+ac=a2+c2；②acos B=bsin A；③sin B+cos B=，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解決問題.
已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，　　　　，A=，b=，求△ABC的面積.
例 3
若選擇條件①b2+ac=a2+c2，
則由余弦定理的推論，得cos B===，
因為B∈(0，π)，所以B=；
由正弦定理=，得a===，
因為A=，B=，所以C=π--=，
所以sin C=sin =sin=sin cos +cos sin =.
所以S△ABC=absin C=×××=.
若選擇條件②acos B=bsin A，
則由正弦定理，得sin Acos B=sin Bsin A，
因為A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B=cos B，
因為B∈(0，π)，所以B=.
下同①.
若選擇條件③sin B+cos B=，
則sin=，所以sin=1，
因為B∈(0，π)，所以B+∈，
所以B+=，所以B=.
下同①.
反
思
感
悟
(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現的內角關系，如在△ABC中，sin A=sin B A=B；sin(A-B)=0 A=B；sin 2A=sin 2B
A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin A=，cos A
=等，通過代數變換將角的關系化為邊的關系.
已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin C
=csin.
(1)求A；
跟蹤訓練 3
由已知及正弦定理，得
sin Asin C=sin Csin ，又因為sin =sin =cos ，
所以sin Asin C=sin Ccos .
因為sin C≠0，所以sin A=cos ，
所以2sin cos =cos ，
因為0<<，所以cos ≠0，
所以sin ==，所以A=.
(2)已知b=1，c=3，且邊BC上有一點D滿足S△ABD=3S△ADC，求AD.
設∠BDA=α，則∠ADC=π-α，
在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=12+32-6cos =7，
解得a=.
因為S△ABD=3S△ADC，所以BD=3DC=.
在△ABD中，由余弦定理，得9=+AD2-·AD·cos α， ①
在△ADC中，由余弦定理，得1=+AD2-·AD·cos(π-α)， ②
由①②解得AD=.
四
正弦、余弦定理在實際問題中的應用
1.余弦定理和正弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關鍵是根據題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結果還原為實際問題進行檢驗.
2.將生活中的實際問題轉化為三角形模型，提升邏輯推理和數學建模素養.
為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量.A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如圖).飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離.請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
例 4
①需要測量的數據有：A點觀測M，N的俯角α1，β1；B點觀測M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).
②方法一　第一步：計算AM.
在△ABM中，由正弦定理，得AM=；
第二步：計算AN.
在△ABN中，由正弦定理，得AN=；
第三步：計算MN.
在△AMN中，由余弦定理，MN=.
方法二　第一步：計算BM.
在△ABM中，由正弦定理，得BM=；
第二步：計算BN.
在△ABN中，由正弦定理，得BN=；
第三步：計算MN.
在△BMN中，由余弦定理，得MN=.
反
思
感
悟
正弦、余弦定理在實際應用中應注意的問題
(1)分析題意，弄清已知元素和未知元素，根據題意畫出示意圖.
(2)明確題目中的一些名詞、術語的意義，如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)將實際問題中的數量關系歸結為數學問題，利用學過的幾何知識，作出輔助線，將已知與未知元素歸結到同一個三角形中，然后解此三角形.
(4)在選擇關系時，一是力求簡便，二是要盡可能使用題目中的原有數據，盡量減少計算中誤差的積累.
　某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高.
跟蹤訓練 4
如圖所示，設AE為塔，B為塔正東方向一點，沿南偏西60°的方向前進40 m到達C處，
即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°，
∠ACB=15°.
在△ABC中，
=，
即=，解得AC=20.
過點A作AG⊥BC，垂足為G，連接EG，此時仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面積公式知×BC×AG=×AC×BC×sin∠ACB.
∴AG=
=AC×sin∠ACB=20sin 15°=10(-1).
在Rt△AEG中，∵AE=AGtan∠AGE，
∴AE=10(-1)×=，
故塔高為 m.一、向量的線性運算
1.向量的線性運算有平面向量及其坐標運算的加法、減法和數乘運算.從形式上看，向量的線性運算類似于實數與多項式的運算法則，所以實數與多項式運算中的去括號、移項、合并同類項等規則在向量的線性運算中都可以使用.但這種相似僅僅是體現在形式上，在具體意義上則有明顯不同，比如向量加法的運算法則是三角形法則和平行四邊形法則等.本部分主要考查向量的線性運算和根據線性運算求參問題.
2.通過向量的線性運算，培養數學運算和邏輯推理素養.
例1　(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于(　　)
A.(4，0) B.(0，4)
C.(4，-8) D.(-4，8)
(2)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E為線段AD的中點，且BF=AB，則等于(　　)
A.+ B.-
C.+ D.-
反思感悟　(1)向量線性運算的基本原則
向量的加法、減法和數乘運算統稱為向量的線性運算，向量的線性運算的結果仍是一個向量，因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面.
(2)向量平行的等價條件
設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b a=λb x1y2-x2y1=0.
(3)三點共線的等價條件
A，B，C三點共線 存在λ∈R，使得=λ成立 存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1.
跟蹤訓練1　如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點，若=λ+μ，則λ+μ等于(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
二、向量的數量積運算
1.平面向量的數量積是向量的核心內容，重點是數量積的運算，利用向量的數量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計算向量的長度等.
2.通過向量的數量積運算，提升邏輯推理和數學運算素養.
例2　(1)已知平面上有三點A，B，C，已知AB=3，D是線段BC上靠近B的一個四等分點.若AD⊥AB，則·的值是(　　)
A.27 B.-27 C.9 D.-9
(2)在矩形ABCD中，邊AB，AD的長分別為2和1，若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足=，則·的取值范圍是　　　　.
反思感悟　(1)向量數量積的兩種計算方法
①定義法：當已知向量的模和夾角θ時，a·b=|a||b|cos θ，有時需要注意結合平面向量基本定理和向量共線定理去表示向量；
②坐標法：當已知向量的坐標a=(x1，y1)，b=(x2，y2)時，a·b=x1x2+y1y2.
(2)利用向量數量積可以解決以下問題
設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
①兩向量垂直的等價條件
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0(a，b均為非零向量)；
②求向量的模的問題
|a|=；
③兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π，a，b為非零向量)
cos θ==.
跟蹤訓練2　(1)若等邊△ABC的邊長為3，平面內一點M滿足=+，則·的值為(　　)
A.- B.-2 C. D.2
(2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，則a+b與b+c所成角的余弦值為　　　　.
三、余弦定理、正弦定理
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判斷三角形的形狀、求三角形的面積，以及余弦定理、正弦定理與三角恒等變換公式的綜合應用.
2.借助解三角形，培養邏輯推理、數學運算素養.
例3　在①b2+ac=a2+c2；②acos B=bsin A；③sin B+cos B=，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解決問題.
已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，　　　　，A=，b=，求△ABC的面積.
反思感悟　(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現的內角關系，如在△ABC中，sin A=sin B A=B；sin(A-B)=0 A=B；sin 2A=sin 2B A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin A=，cos A=等，通過代數變換將角的關系化為邊的關系.
跟蹤訓練3　已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin C=csin.
(1)求A；
(2)已知b=1，c=3，且邊BC上有一點D滿足S△ABD=3S△ADC，求AD.
四、正弦、余弦定理在實際問題中的應用
1.余弦定理和正弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關鍵是根據題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結果還原為實際問題進行檢驗.
2.將生活中的實際問題轉化為三角形模型，提升邏輯推理和數學建模素養.
例4　為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量.A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(如圖).飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離.請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
跟蹤訓練4　某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高.
答案精析
例1　(1)C　［因為a∥b，
所以1×4=-2×m，解得m=-2，
所以b=(-2，4)，
所以2a-b=2(1，-2)-(-2，4)
=(4，-8).］
(2)D　［由題意，根據向量的運算法則，可得=-=-
=-++)
=-=×2-
=-.］
跟蹤訓練1　B　［因為=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+)
=(λ-μ)+，
且=+，所以
解得所以λ+μ=.］
例2　(1)B　［由D是線段BC上靠近B的一個四等分點，
可得=4，
又由AD⊥AB，可得·=0，
所以=-=4+
=4(-)+=4-3，
則·=·(4-3)
=4·-3=-27.］
(2)［1，4］
解析　設==λ(0≤λ≤1)，
則=λ=λ，=(1-λ)
=(1-λ)，
則·=(+)·(+)
=(+λ)·［+(1-λ)］
=·+(1-λ)+λ+λ(1-λ)·.
又∵AB⊥AD，∴·=0，
∴·=(1-λ)+λ
=4(1-λ)+λ=4-3λ.
∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，
即·的取值范圍是［1，4］.
跟蹤訓練2　(1)B　［因為=-，=-，
所以·=(-)·(-)
=·
=·
=-+·-
=-×9+×3×3×cos 60°-×9=-2.］
(2)
解析　因為a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，a∥b，b⊥c，
所以=，1×(-1)+(-2)μ=0，
解得λ=-4，μ=-，
所以a=(2，-4)，c=，
所以a+b=(3，-6)，b+c=，
所以cos〈a+b，b+c〉===.
例3　解　若選擇條件①b2+ac=a2+c2，
則由余弦定理的推論，得cos B===，
因為B∈(0，π)，所以B=；
由正弦定理=，
得a===，
因為A=，B=，
所以C=π--=，
所以sin C=sin =sin=
sin cos +cos sin =.
所以S△ABC=absin C=×××=.
若選擇條件②acos B=bsin A，
則由正弦定理，
得sin Acos B=sin Bsin A，
因為A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以sin B=cos B，
因為B∈(0，π)，所以B=.
下同①.
若選擇條件③sin B+cos B=，
則sin=，
所以sin=1，
因為B∈(0，π)，
所以B+∈，
所以B+=，所以B=.
下同①.
跟蹤訓練3　解　(1)由已知及正弦定理，得
sin Asin C=sin Csin ，
又因為sin =sin =cos ，
所以sin Asin C=sin Ccos .
因為sin C≠0，
所以sin A=cos ，
所以2sin cos =cos ，
因為0<<，所以cos ≠0，
所以sin =，即=，
所以A=.
(2)設∠BDA=α，則∠ADC=π-α，
在△ABC中，由余弦定理，
得a2=b2+c2-2bccos∠BAC
=12+32-6cos =7，
解得a=.
因為S△ABD=3S△ADC，
所以BD=3DC=.
在△ABD中，由余弦定理，得9=+AD2-·AD·cos α， ①
在△ADC中，由余弦定理，得1=+AD2-·AD·cos(π-α)， ②
由①②解得AD=.
例4　解　①需要測量的數據有：A點觀測M，N的俯角α1，β1；B點觀測M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).
②方法一　第一步：計算AM.
在△ABM中，由正弦定理，
得AM=；
第二步：計算AN.
在△ABN中，由正弦定理，
得AN=；
第三步：計算MN.
在△AMN中，由余弦定理，得MN=
.
方法二　第一步：計算BM.
在△ABM中，由正弦定理，
得BM=；
第二步：計算BN.
在△ABN中，由正弦定理，
得BN=；
第三步：計算MN.
在△BMN中，由余弦定理，得MN=
.
跟蹤訓練4　解
如圖所示，
設AE為塔，B為塔正東方向一點，沿南偏西60°的方向前進40 m到達C處，
即BC=40，
∠CAB=135°，
∠ABC=30°，∠ACB=15°.
在△ABC中，
=，
即=，解得AC=20.
過點A作AG⊥BC，垂足為G，
連接EG，此時仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面積公式知
×BC×AG=×AC×BC×sin∠ACB.
∴AG=
=AC×sin∠ACB=20sin 15°
=10(-1).
在Rt△AEG中，
∵AE=AGtan∠AGE，
∴AE=10(-1)×=，
故塔高為 m.

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