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第七章
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章末復習課
知識網絡
一、復數的概念及其幾何意義
二、復數的四則運算
三、復數的綜合應用
內容索引
復數的概念及其幾何意義
一
1.復數的相關概念是掌握復數的基礎，如虛數、純虛數、共軛復數、復數相等、復數的模等.有關復數的題目不同于實數，應注意根據復數的相關概念解答.
2.理解復數的幾何意義
復數z=a+bi(a，b∈R) 復平面內的點Z(a，b) 平面向量.
　(1)以下命題中，正確的是
A.如果兩個復數互為共軛復數，那么它們的差是純虛數
B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C.在復平面內，虛軸上的點與純虛數一一對應
D.在復平面內，實軸上的點與實數一一對應
例 1
√
(a+bi)-(a-bi)=2bi(a，b∈R)，
當b=0時，2bi不是純虛數，故A錯誤；
如果a+bi=c+di，當a，b，c，d∈R時，a=c，b=d，故B錯誤；
在復平面內，虛軸上的點除原點外與純虛數一一對應，故C錯誤；
在復平面內，實軸上的點與實數一一對應，故D正確.
(2)已知復數z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它們在復平面上所對應的點分別為A，B，C.若=2+，則a=　　　，b=　　　.
-3
-10
∵=2+，
∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(4+a)+(6+b)i，
即∴
(1)當復數不是a+bi(a，b∈R)的形式時，要通過變形化為a+bi的形式，以便確定其實部和虛部.
(2)在復平面內，利用復數、點、平面向量之間的一一對應關系解決問題.
反
思
感
悟
處理復數概念問題的兩個注意點
跟蹤訓練 1
　(1)若復數z=1+i(i為虛數單位)，是z的共軛復數，則z2+的虛部為
A.0 B.-1 C.1 D.-2
√
因為z=1+i，所以=1-i，
所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.
(2)若i為虛數單位，圖中復平面內的點Z表示復數z，則表示復數的點是
A.E B.F
C.G D.H
√
∵點Z(3，1)對應的復數為z，
∴z=3+i，
∴====2-i，
∴該復數在復平面內對應的點的坐標是(2，-1)，即H點.
二
復數的四則運算
1.復數運算是本章的重要內容，是高考考查的重點和熱點，每年高考都有考查，一般以復數的乘法和除法運算為主.
2.通過對復數運算的學習，提升數學運算素養.
例 2
計算：
(1)+；
+=+
=i(1+i)+=-1+i+(-i)1 012
=-1+i+1=i.
(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)
=22-14i+25-25i=47-39i.
反
思
感
悟
(1)復數代數運算的基本思路就是應用運算法則進行計算.
(2)在復數的四則運算中，將含有虛數單位i的和不含i的分別看作同類項，進行合并即可.
進行復數代數運算的策略
　(1)復數z滿足z(+1)=1+i，其中i是虛數單位，則z等于
A.1+i或-2+i B.i或1+i
C.i或-1+i D.-1-i或-2+i
跟蹤訓練 2
√
設z=a+bi(a，b∈R)，則=a-bi，
由z(+1)=1+i，得a2+b2+a+bi=1+i，
所以b=1，a2+a+1=1，所以a=0或a=-1.
故z=i或z=-1+i.
(2)已知z=-，則z100+z50+1的值為
A.i B.-i C.1+i D.1-i
√
因為z2===-i，
所以z100+z50+1=(z2)50+(z2)25+1
=(-i)50+(-i)25+1
=i50-i25+1=i2-i+1=-i.
復數的綜合應用
三
1.復數具有代數形式，且復數z=a+bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)之間建立了一一對應關系，故復數又是數形結合的橋梁，要注意復數與向量、方程、函數等知識的交匯.
2.通過復數與向量、方程、函數等知識的交匯，培養邏輯推理、數學運算素養.
　(多選)已知復數z1=2-2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為P1，復數z2滿足|z2-i|=1，則下列結論正確的是
A.點P1在復平面內的坐標為(2，-2)
B.=2+2i
C.|z1-z2|的最大值為+1
D.|z2|的最小值為1
例 3
√
√
√
復數z1=2-2i在復平面內對應的點為P1，則P1(2，-2)，=2+2i.
復數z2滿足|z2-i|=1，則z2對應的點的軌跡為以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓.
∴|z1-z2|的最大值為
|CP1|+1=+1=+1.
記復平面內坐標原點為O，
∴|z2|的最小值為|CO|-1=0.
反
思
感
悟
在解決一些關于|z1-z2|最值的問題時，常把|z1-z2|理解成z1，z2在復平面內對應的點之間的距離.
　已知復數z滿足|z|=2，則|z-3-4i|的最大值為
A.3 B.5 C.7 D.9
跟蹤訓練 3
√
由于|z|=2，則z在復平面內對應的點Z(x，y)是以原點為圓心，以2為半徑的圓，∵|z-3-4i|表示點Z(x，y)到點(3，4)的距離，
∴|z-3-4i|max=+2=7.一、復數的概念及其幾何意義
1.復數的相關概念是掌握復數的基礎，如虛數、純虛數、共軛復數、復數相等、復數的模等.有關復數的題目不同于實數，應注意根據復數的相關概念解答.
2.理解復數的幾何意義
復數z=a+bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)平面向量.
例1　(1)以下命題中，正確的是(　　)
A.如果兩個復數互為共軛復數，那么它們的差是純虛數
B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C.在復平面內，虛軸上的點與純虛數一一對應
D.在復平面內，實軸上的點與實數一一對應
(2)已知復數z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它們在復平面上所對應的點分別為A，B，C.若=2+，則a=　　　，b=　　.
跟蹤訓練1　(1)若復數z=1+i(i為虛數單位)，是z的共軛復數，則z2+的虛部為(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
(2)若i為虛數單位，圖中復平面內的點Z表示復數z，則表示復數的點是(　　)
A.E B.F C.G D.H
二、復數的四則運算
1.復數運算是本章的重要內容，是高考考查的重點和熱點，每年高考都有考查，一般以復數的乘法和除法運算為主.
2.通過對復數運算的學習，提升數學運算素養.
例2　計算：
(1)+；
(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
反思感悟　進行復數代數運算的策略
(1)復數代數運算的基本思路就是應用運算法則進行計算.
(2)在復數的四則運算中，將含有虛數單位i的和不含i的分別看作同類項，進行合并即可.
跟蹤訓練2　(1)復數z滿足z(+1)=1+i，其中i是虛數單位，則z等于(　　)
A.1+i或-2+i B.i或1+i
C.i或-1+i D.-1-i或-2+i
(2)已知z=-，則z100+z50+1的值為(　　)
A.i B.-i C.1+i D.1-i
三、復數的綜合應用
1.復數具有代數形式，且復數z=a+bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)之間建立了一一對應關系，故復數又是數形結合的橋梁，要注意復數與向量、方程、函數等知識的交匯.
2.通過復數與向量、方程、函數等知識的交匯，培養邏輯推理、數學運算素養.
例3　(多選)已知復數z1=2-2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為P1，復數z2滿足|z2-i|=1，則下列結論正確的是(　　)
A.點P1在復平面內的坐標為(2，-2)
B.=2+2i
C.|z1-z2|的最大值為+1
D.|z2|的最小值為1
反思感悟　在解決一些關于|z1-z2|最值的問題時，常把|z1-z2|理解成z1，z2在復平面內對應的點之間的距離.
跟蹤訓練3　已知復數z滿足|z|=2，則|z-3-4i|的最大值為(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
答案精析
例1　(1)D　［(a+bi)-(a-bi)=2bi(a，b∈R)，
當b=0時，2bi不是純虛數，故A錯誤；如果a+bi=c+di，當a，b，c，d∈R時，a=c，b=d，故B錯誤；在復平面內，虛軸上的點除原點外與純虛數一一對應，故C錯誤；在復平面內，實軸上的點與實數一一對應，故D正確.］
(2)-3　-10
解析　∵=2+，
∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)
=(4+a)+(6+b)i，
即∴
跟蹤訓練1　(1)A　(2)D
例2　解　(1)+
=+
=i(1+i)+
=-1+i+(-i)1 012=-1+i+1=i.
(2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i.
跟蹤訓練2　(1)C　(2)B
例3　ABC　［復數z1=2-2i在復平面內對應的點為P1，
則P1(2，-2)，=2+2i.
復數z2滿足|z2-i|=1，則z2對應的點的軌跡為以C(0，1)為圓心，1為半徑的圓.
∴|z1-z2|的最大值為
|CP1|+1=+1
=+1.
記復平面內坐標原點為O，
∴|z2|的最小值為|CO|-1=0.］
跟蹤訓練3　C

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