資源簡介

(共23張PPT)
A
B
C
D
任務一 如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形 ABCD 是一個菱形嗎 為什么
任務二 怎樣轉動其中一張紙條，使紙條重合部分構成的四邊形 ABCD 是一個正方形.
情景導入
第十八章 平行四邊形
模塊三
如何判定平行四邊形家族4
(菱形與正方形)
同樣，我們是否可以通過研究菱形性質的逆命題，得到判定菱形的方法呢？ 請你根據菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質，寫下自己的猜想.
菱形的性質 菱形的判定
菱形的對角線相互垂直 猜想1
菱形的四條邊都相等 猜想2
猜想3
菱形的判定
探究新知
證明： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是線段 AC 的垂直平分線.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定義）.
A
B
C
O
D
已知：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，對角線 AC 與 BD 相交于點 O ，AC⊥BD.
求證：□ABCD 是菱形.
猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
歸納總結
菱形的判定定理1
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
幾何語言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.
證明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
又∵ AB = BC，
∴ 四邊形 ABCD 是菱形.
已知：如圖，四邊形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求證：四邊形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
歸納總結
菱形的判定定理2
四條邊都相等的四邊形是菱形.
幾何語言描述：
在四邊形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴四邊形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
文字語言 圖形語言 符號語言
判定方法1
判定 方法2
判定方法3
菱形的判定：
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四邊形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四邊形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四邊形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
四邊相等的四邊形是菱形
歸納總結
例1 如圖，□ABCD 的兩條對角線 AC、BD 相交于點 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求證：四邊形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
∵ AB = 5，AO = 4，BO = 3，
證明：
∴ AC⊥BD.
∴ AB2 = AO2 + BO2.
∴△OAB 是直角三角形，
∴ □ABCD 是菱形.
典例精析
練一練
2.一邊長為13 cm 的平行四邊形的兩條對角線的長分別為 24 cm 和10 cm，則平行四邊形的面積是 .
120 cm2
1. 判斷下列說法是否正確
(1) 對角線互相垂直的四邊形是菱形；
(2) 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；
(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的
四邊形是菱形；
(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組
對角的四邊形是菱形．
√
╳
╳
╳
正方形的判定
做一做：把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
【討論】 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
正方形
一個角是直角
或對角線相等
已知：如圖,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的兩條對角
線，AC⊥DB.
求證：四邊形 ABCD 是正方形.
證明：∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四邊形 ABCD 是正方形.
對角線互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
做一做：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.
正方形
【討論】滿足怎樣條件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一組鄰邊相等
或對角線互相垂直
矩形
已知：如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC = DB.
求證：四邊形 ABCD 是正方形.
證明：∵ 四邊形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四邊形 ABCD 是正方形.
對角線相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
猜想：
常用的正方形判定方法：
歸納總結
定義法
矩形法
菱形法
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.
有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
對角線相互垂直的矩形是正方形.
有一個角是直角的菱形是正方形.
對角線相等的菱形是正方形.
例2 在正方形 ABCD 中，點 E、F、M、N 分別在各邊上，且 AE = BF = CM = DN．求證：四邊形 EFMN 是正方形．
證明：∵ 四邊形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四邊形 EFMN 是菱形，再證有一個角是直角即可.
典例精析
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四邊形 EFMN 是菱形.
又∵∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF)
= 180° - (∠AEN+∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
∴ 四邊形 EFMN 是正方形.
3. 如圖，已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，下列結論中不正確的是（　　）
A．當 AB = BC 時，四邊形 ABCD 是菱形
B．當 AC⊥BD 時，四邊形 ABCD 是菱形
C．當 ∠ABC = 90° 時，四邊形 ABCD 是矩形
D．當 AC = BD 時，
四邊形 ABCD 是正方形
D
練一練
A
B
C
D
1. 如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形 ABCD 是一個菱形嗎 為什么
2. 怎樣轉動其中一張紙條，使紙條重合部分構成的四邊形 ABCD 是一個正方形.
是一個菱形.
使兩紙片垂直
回顧導入
A
B
C
D
5 種判定方法
三個角是直角
四條邊相等
一個角是直角
或對角線相等
一組鄰邊相等
或對角線垂直
一組鄰邊相等
或對角線垂直
一個角是直角
或對角線相等
一個角是直角且一組鄰邊相等
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結
或對角線垂直且相等
當堂小結
課堂練習
2. 一個正方形的對角線長為 2 cm，則它的面積是（　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．對角線互相平分
B．對角線互相垂直
C．對角線相等
D．對角線互相垂直且相等
A
證明：∵ MN 是 AC 的垂直平分線，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
∴ 四邊形 ADCE 是平行四邊形.
又∵∠AOD = 90°，
∴ 四邊形 ADCE 是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
3. 如圖，△ABC 中，AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于點 D，交 AC 于點 O，CE∥AB 交 MN 于點 E，連接 AE、CD. 求證：四邊形 ADCE 是菱形.
4. 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1 cm，AC 為對角線，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的長．
解：∵ 四邊形 ABCD 為正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．模塊三 單課時作業
如何判定平行四邊形家族
(菱形與正方形)
1．（2023春 西華縣期末）在數學活動課上，為探究四邊形瓷磚是否為菱形，以下擬定的測量方案，正確的是（　D　）
A．測量一組對邊是否平行且相等
B．測量四個內角是否相等
C．測量兩條對角線是否互相垂直
D．測量四條邊是否相等
解題模型：幾何圖形中的數形結合思想
2．（2023春 云南期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，在條件：①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，選擇一個條件，使得四邊形ABCD是菱形，可選擇的條件是（　C　）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
3．（2023春 臺江區校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結AF、CE，則下列結論中正確的個數是（　B　）
①△ABE≌△CDF
②四邊形AECF是平行四邊形
③當AB=AD時，四邊形AECF是菱形
④當M、N分別是BC、AD中點時，四邊形AMCN是正方形
A．4 B．3 C．2 D．1
4.（2022春 夏邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當AD = 時，平行四邊形CDEB為菱形．
5.如圖，△ABC 中，AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于點 D，交 AC 于點 O，CE∥AB 交 MN 于點 E，連接 AE、CD. 求證：四邊形 ADCE 是菱形.
證明：∵ MN 是 AC 的垂直平分線，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，
∴∠DAO = ∠ECO，
∴ △ADO≌△CEO(ASA)．∴ AD = CE.
∴ 四邊形 ADCE 是平行四邊形.
又∵∠AOD = 90°，
∴ 四邊形 ADCE 是菱形．
6.如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = BC ，對角線 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一點，過點 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為 M、N.
(1) 求證：∠ADB =∠CDB；
(2) 若 ADC = 90°，求證：四邊形 MPND 是正方形.
證明：(1) ∵ BD 平分∠ABC.
∴∠1 =∠2.
又∵ AB = BC，BD = BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB =∠CDB.
（2）∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD = ∠PND = 90°.
又∵∠ADC = 90°，
∴ 四邊形 MPND 是矩形.
∵∠ADB = ∠CDB，
∴∠ADB = 45°.
∴∠MPD = 45°.
∴ DM = PM.
∴ 四邊形 MPND 是正方形.
7.（2023春 建昌縣期末）如圖，Rt△ABC兩條外角平分線交于點D，∠B=90°，過點D作DE⊥BA于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：四邊形BFDE是正方形；
（2）若BF=6，點C為BF的中點，直接寫出AE的長．
【解答】（1）證明：如圖所示：過點D作DH⊥AC，
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠E=∠F=∠B=90°，
∴四邊形BFDE是矩形，
∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，
∴DE=DH，
∵CD平分∠ACF，DF⊥BC，DH⊥AC，
∴DH=DF，
∴DE=DF，
∴四邊形BFDE是正方形；
（2）解：∵DH⊥AC，
∴∠AHD=∠DHC=90°，
由（1）∠E=∠F=90°，DE=DH，DH=DF，
∴∠AHD=∠DHC=∠E=∠F=90°，
在Rt△AED和Rt△AHD中，
AD＝AD，
DE＝DH，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴AE=AH，
同理可以證明Rt△DFC≌Rt△DHC（HL），
∴CH=CF，
∵BF=6，C為BF中點，
∴BC=CF=CH=3，
∵四邊形BFDE是正方形，
∴BE=BF=6，
設AE=x，則AB=BE - AE=6 - x，AC=AH+CH=x+3，
由勾股定理得：AB2+ BC2=AC2，
∴（6 - x）2+32 =（x+3）2，
解之得：x=2，
∴AE的長為2．
思考：絲巾是正方形的嗎？
小燕在商場里看到一條很漂亮的方絲巾，非常想買.但她拿起來看時感覺絲巾不太方.售貨員看見她猶豫的樣子，就拿過絲巾拉起一組對角，讓小燕看看另一組對角是否對齊了，如圖所示.可不知為什么，小燕感覺還是有些不對勁兒.于是，售貨員又拉起另一組對角，再次讓小燕檢驗最初拉起的一組對角是否又對齊了.最后，小燕終于買了這條柔軟漂亮的絲巾.
你認為小燕買的這條絲巾真是正方形的嗎
你有什么方法確定一條絲巾是否為正方形嗎？畫出示意圖加以說明.
[解析]
很顯然，按照售貨員的檢驗方法是不能保證它是正方形的.只能說明這條絲巾的兩組對角分別相等，四條邊也相等，也就相當于絲巾的兩條對角線所在直線是對稱軸.而這只能保證絲巾是菱形，不能保證它是正方形.
因為正方形的對稱軸共有四條，除了兩條對角線外，還有兩條是對邊中點的連線．所以只要拉起一組對邊的中點將絲巾對折，看另一組對邊是否重合（圖②）．若另一組對邊不能重合，那么此絲巾不是正方形；若另一組對邊能重合，那么此絲巾一定是正方形．
第一次可確定為菱形，第二次即可確定其為正方形．模塊三 單課時作業
如何判定平行四邊形家族
(菱形與正方形)
1．（2023春 西華縣期末）在數學活動課上，為探究四邊形瓷磚是否為菱形，以下擬定的測量方案，正確的是（　　）
A．測量一組對邊是否平行且相等
B．測量四個內角是否相等
C．測量兩條對角線是否互相垂直
D．測量四條邊是否相等
解題模型：幾何圖形中的數形結合思想
2．（2023春 云南期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，在條件：①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，選擇一個條件，使得四邊形ABCD是菱形，可選擇的條件是（　　）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
3．（2023春 臺江區校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結AF、CE，則下列結論中正確的個數是（　　）
①△ABE≌△CDF
②四邊形AECF是平行四邊形
③當AB=AD時，四邊形AECF是菱形
④當M、N分別是BC、AD中點時，四邊形AMCN是正方形
A．4 B．3 C．2 D．1
4.（2022春 夏邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當AD = 時，平行四邊形CDEB為菱形．
5.如圖，△ABC 中，AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于點 D，交 AC 于點 O，CE∥AB 交 MN 于點 E，連接 AE、CD. 求證：四邊形 ADCE 是菱形.
6.如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = BC ，對角線 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一點，過點 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為 M、N.
(1) 求證：∠ADB =∠CDB；
(2) 若 ADC = 90°，求證：四邊形 MPND 是正方形.
7.（2023春 建昌縣期末）如圖，Rt△ABC兩條外角平分線交于點D，∠B=90°，過點D作DE⊥BA于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：四邊形BFDE是正方形；
（2）若BF=6，點C為BF的中點，直接寫出AE的長．
思考：絲巾是正方形的嗎？
小燕在商場里看到一條很漂亮的方絲巾，非常想買.但她拿起來看時感覺絲巾不太方.售貨員看見她猶豫的樣子，就拿過絲巾拉起一組對角，讓小燕看看另一組對角是否對齊了，如圖所示.可不知為什么，小燕感覺還是有些不對勁兒.于是，售貨員又拉起另一組對角，再次讓小燕檢驗最初拉起的一組對角是否又對齊了.最后，小燕終于買了這條柔軟漂亮的絲巾.
你認為小燕買的這條絲巾真是正方形的嗎
你有什么方法確定一條絲巾是否為正方形嗎？畫出示意圖加以說明.模塊三 如何判定平行四邊形家族3(菱形與正方形)
任務單
一、類比學習，提出猜想
同樣，我們是否可以通過研究菱形性質的逆命題，得到判定菱形的方法呢？ 請你根據菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質，寫下自己的猜想.
菱形的性質 菱形的判定
菱形的對角線相互垂直 猜想1：
菱形的四條邊都相等 猜想2：
猜想3：
二、理性思考，證明定理
畫出四邊形ABCD中，根據你的2個猜想，寫出已知和求證，嘗試證明.
已知：
求證：
歸納總結：
菱形的判定：
文字語言 圖形語言 符號語言
判定方法1
判定方法2
判定方法3
三、活動探究
活動一：把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
【討論】 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
猜想：
已知：
求證：
活動二：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.
【討論】滿足怎樣條件的矩形是正方形？
猜想：
已知：
求證：
歸納總結：
常用的正方形判定方法：
定義法
矩形法
菱形法
四、應用判定，解決問題
任務一 如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形 ABCD 是一個菱形嗎 為什么
任務二 怎樣轉動其中一張紙條，使紙條重合部分構成的四邊形 ABCD 是一個正方形.
五、課堂總結
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結：

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