資源簡介

(共18張PPT)
任務一 工人師傅在做門窗或矩形零件時，怎樣測量才能確保是矩形嗎
實際問題
幾何問題
A
B
C
D
O
想一想 怎樣判斷四邊形 ABCD 是矩形？
情景導入
模塊三
如何判定平行四邊形家族3(矩形)
第十八章 平行四邊形
根據定義，可以判定一個四邊形是不是矩形. 除了矩形的定義，還有其他的判定方法嗎？
推理論證
矩形的判定
提出逆命題
矩形的性質
定義
性質
判定
提出猜想
推理論證
推出
推出
同樣，我們是否可以通過研究矩形性質的逆命題，得到判定矩形的方法呢？ 請你根據矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質，寫下自己的猜想.
矩形的性質 矩形的判定
矩形的對角線相等 猜想1
矩形的內角都是直角 猜想2
猜想3
矩形的判定
探究新知
問題1 上節課我們已經知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？
我猜想：對角線相等的四邊形是矩形.
不對，等腰梯形的對角線也相等.
不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.
同學們，拿出一張白紙，在紙上畫出一個如圖平行四邊形，然后寫出已知和求證的條件，想一想怎么去證明？
猜想 對角線相等的平行四邊形是矩形
A
B
C
D
證明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定義).
已知：如圖，在□ABCD 中，AC， DB 是它的兩條對角線，AC = DB.
求證：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
證一證
矩形的判定定理1
對角線相等的平行四邊形是矩形.
幾何語言描述：
在□ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ □ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
歸納總結
例1 如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于點 O，E、F、G、H 分別是 AO、BO、CO、DO 上的一點，且 AE = BF = CG = DH. 求證：四邊形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
證明：
∵四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD (矩形的對角線相等)，
AO = BO = CO = DO (矩形的對角線互相平分).
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形，
且 EG = FH.
∴ 四邊形 EFGH 是矩形.
典例精析
1. 如圖，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于點 O，則下面條件能判定 ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
練一練
問題1 前邊我們學習了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？
逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.
成立.
問題2 四邊形至少有幾個角是直角就是矩形呢？
A
B
D
C
(有一個角是直角)
A
B
D
C
(有二個角是直角)
A
B
D
C
(有三個角是直角)
有三個角是直角的四邊形是矩形
證一證
已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求證：四邊形 ABCD 是矩形.
證明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
∴ 四邊形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理2
有三個角是直角的四邊形是矩形.
幾何語言描述：
在四邊形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四邊形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
歸納總結
例2 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13．
求證：四邊形 ABCD 是矩形．
證明：四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
∴∠ADC = 90°.
在△ABC 中，∵ AB = 5，BC = 12，AC = 13，
∴ AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
∴ 四邊形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
典例精析
矩形的幾種判定方法：
矩形
角
______________的四邊形是矩形
_________的平行四邊形是矩形
有一個角是直角
有三個角是直角
對角線
的平行四邊形是矩形
對角線相等
__________________
判定定理
矩形的定義
當堂小結
1. 下列各句判定矩形的說法是否正確？
(1) 對角線相等的四邊形是矩形；
(2) 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；
(3) 有一個角是直角的四邊形是矩形；
(5) 有三個角是直角的四邊形是矩形；
(6) 四個角都相等的四邊形是矩形；
(7) 對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；
(4) 有三個角都相等的四邊形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
(8) 一組對角互補的平行四邊形是矩形.
課堂練習
2. 如圖，直線 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A、C 兩點，
AB、CB、CD、AD 分別是∠EAC、∠MCA、
∠ ACN、∠CAF 的平分線，則四邊形 ABCD 是 ( )
A. 梯形 B. 平行四邊形
C. 矩形 D. 不能確定
C
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
3. 如圖，平行四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD 相交于點 O，延長 OA 到 N，使 ON＝OB，再延長 OC 至 M，使 CM＝AN. 求證：四邊形 NDMB 為矩形．
證明：∵四邊形 ABCD 為平行四邊形，
∴ OA＝OC，OD＝OB.
∵ AN＝CM，ON＝OB，
∴ ON＝OM＝OD＝OB.
∴ 四邊形 NDMB 為平行四邊形，且 MN＝BD.
∴ 平行四邊形 NDMB 為矩形．模塊三 單課時作業
如何判定平行四邊形家族3
(矩形)
1. ( 2023春·平邑縣期末)在數學活動課上，老師讓同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學習小組擬定的方案，其中正確的方案是( A )
A. 測量其中三個角是否為直角
B. 測量兩組對邊是否相等
C. 測量對角線是否相互平分
D. 測量對角線是否相等
2. ( 2023秋· 未央區校級月考)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE = AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( D )
AB = BE B. CE⊥DE
C.∠ADB = 90° D. BE⊥AB
3. ( 2022春·鐵東區期末)一個木匠要制作矩形的踏板.他在一個對邊平行的長木板
上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板.
理由是 有一個角為直角的平行四邊形是矩形 .
4. ( 2023春.玄武區校級期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC， BD相交于點O，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A出發沿AC方向運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度從點C出發沿CA方向運動，若AC=12， BD=8，則經過秒 后，四邊形BEDF是矩形.
【解答】解：設運動的時間為 t秒,
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，AC=12，BD=8，
∴ OA = OC = AC = 6，OB = OD = BD = 4.
∴ AE = CF = t.
∴OE = OF = 6 - t或OE = OF = t - 6.
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
∴當EF = BD時，四邊形BEDF是矩形.
∴OE = OD.
∴6 - t = 4或t - 6=4.
∴t = 2或t = 10.
∴經過2秒或l0秒，四邊形BEDF是矩形，
故答案為：2或10.
( 2023春.保山期末)如圖，分別以△A BC的三邊為邊，在BC的同側作3個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.回答下列問題，并說明理由.
( 1 )判斷四邊形ADEF的形狀；
( 2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形
[解答]解：( 1 )平行四邊形，理由：
∵等邊△ABD、△BCE、△ACF,
∴DB = AB，BE = BC.
又∠DBE = 60° - ∠EBA,
∠ABC = 60° - ∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△CBA ( AAS ).
∴DE = AC.
又∵AC = AF，
∴AF = DE.
同理可證：△ABC≌△FCE，證得EF = AD.
∴四邊形ADEF是平行四邊形.
( 2 )假設四邊形ABCD是矩形，
∵四邊形ADEF是矩形，
∴∠DAF = 90° .
又∵等邊△ABD、△BCE、 △ACF，
∴∠DAB =∠FAC = 60°.
∴∠BAC = 360° - ∠DAF - ∠FAC - ∠DAB = 150°.
當△ABC滿足∠BAC = 150° 時，四邊形ADEF是矩形.
(2023春·平陰縣期末)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，AB∥OC，點B， C的坐標分別為( 15，8)，(21，0) ，動點M從點A沿A→B以每秒1個單位的速度運動;動點N從點C沿C→O以每秒2個單位的速度運動. M，N同時出發，當一個點到達終點后另一個點繼續運動，直至到達終點，設運動時間為t秒.
( I )在t = 3時，M點坐標 (3，8)，N點坐標 (15，0).
(2)當t為何值時，四邊形OAMN是矩形
[解答] 解：（l）∵B(15，8)，C (21，0)，
∴AB = 15，OA = 8，OC = 21，
當t = 3時，AM = l×3=3， CN = 2×3=6，
∴ON = OC - CN = 21 - 6 = 15，
∴點M(3，8)，N(15，0).
故答案為：(3，8)；( 15，0).
(2)根據題意：AM = t，CN = 2t,
則ON = OC - CN = 21 - 2t,
當四邊形OAMN是矩形時，AM = ON,
∴t = 2l - 2t,
解得：t = 7.
∴t = 7時，四邊形OAMN是矩形.
7.（體驗探究題）如圖所示，已知在 ABCD中，各個內角的平分線相交于點E、F、G、H．
（1）猜想EG與FH之間的關系；（2）試說明你猜想的正確性．
【解答】解：（1）EG = FH．
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
又∵AF，BH分別平分∠BAD，∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE=∠DAB，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEH=90°．
同理可證∠EFG=90°，∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH為矩形，
∴EG=FH．模塊三 單課時作業
如何判定平行四邊形家族3
(矩形)
1. ( 2023春·平邑縣期末)在數學活動課上，老師讓同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學習小組擬定的方案，其中正確的方案是( )
A. 測量其中三個角是否為直角
B. 測量兩組對邊是否相等
C. 測量對角線是否相互平分
D. 測量對角線是否相等
2. ( 2023秋· 未央區校級月考)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE = AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( )
AB = BE B. CE⊥DE
C.∠ADB = 90° D. BE⊥AB
3. ( 2022春·鐵東區期末)一個木匠要制作矩形的踏板.他在一個對邊平行的長木板
上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板.
理由是 .
4. ( 2023春.玄武區校級期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC， BD相交于點O，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A出發沿AC方向運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度從點C出發沿CA方向運動，若AC=12， BD=8，則經過秒 后，四邊形BEDF是矩形.
( 2023春.保山期末)如圖，分別以△A BC的三邊為邊，在BC的同側作3個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.回答下列問題，并說明理由.
( 1 )判斷四邊形ADEF的形狀；
( 2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形
(2023春·平陰縣期末)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，AB∥OC，點B， C的坐標分別為( 15，8)，(21，0) ，動點M從點A沿A→B以每秒1個單位的速度運動;動點N從點C沿C→O以每秒2個單位的速度運動. M，N同時出發，當一個點到達終點后另一個點繼續運動，直至到達終點，設運動時間為t秒.
( I )在t = 3時，M點坐標 ，N點坐標 .
(2)當t為何值時，四邊形OAMN是矩形
7.（體驗探究題）如圖所示，已知在 ABCD中，各個內角的平分線相交于點E、F、G、H．
（1）猜想EG與FH之間的關系；（2）試說明你猜想的正確性．模塊三 單課時作業 如何判定平行四邊形家族3(矩形)
任務單
一、類比學習，提出猜想
同樣，我們是否可以通過研究矩形性質的逆命題，得到判定矩形的方法呢？ 請你根據矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質，寫下自己的猜想.
矩形的性質 矩形的判定
矩形的對角線相等 猜想1：
矩形的內角都是直角 猜想2：
猜想3：
二、理性思考，證明定理
畫出四邊形ABCD中，根據你的2個猜想，寫出已知和求證，嘗試證明.
已知：
求證：
三、應用判定，解決問題
任務一 工人師傅在做門窗或矩形零件時，怎樣測量才能確保是矩形嗎
課堂總結
矩形的幾種判定方法：
的平行四邊形是矩形
角
判定定理
的四邊形是矩形
對角線
的平行四邊形是矩形

展開更多......

收起↑