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習(xí)題課
第八章
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二面角的平面角的常見解法
1.掌握二面角的定義及其平面角的作法.(重點(diǎn))
2.會使用定義法、垂面法、垂線法、射影面積法求二面角的大小.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
一、定義法求二面角
二、垂面法求二面角
課時對點(diǎn)練
三、垂線法求二面角
內(nèi)容索引
四、射影面積法
隨堂演練
定義法求二面角
一
定義法：在二面角的棱上找一個特殊點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.
　　　如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小.
例 1
取AB的中點(diǎn)D，連接VD，CD，如圖所示.
∵在△VAB中，VA=VB=AB=2，
∴△VAB為等邊三角形，
∴VD⊥AB且VD=，
同理CD⊥AB，CD=，
∴∠VDC為二面角V-AB-C的平面角，
由VC=，得△VDC是等邊三角形，則∠VDC=60°，∴二面角V-AB-C的大小為60°.
利用二面角的定義，在二面角的棱上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，解題時應(yīng)先找平面角，再證明，最后在三角形中求平面角.
反
思
感
悟
　　　　　如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)P在圓O所在平面上的射影恰是圓O上的點(diǎn)C，且AC=2BC.
(1)求證：BC⊥PA；
跟蹤訓(xùn)練 1
∵點(diǎn)P在圓O所在平面上的射影恰好是圓O上的點(diǎn)C，∴PC⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴BC⊥PC，
又AB是圓O的直徑，有BC⊥AC，
且PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PA 平面PAC，
∴BC⊥PA.
(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.
∵PC⊥平面ABC，BC，OC 平面ABC，∴PC⊥BC，
PC⊥OC，
∴∠BCO為二面角B-PC-O的平面角.
設(shè)AC=2BC=2，則AB=，OA=OB=OC=，有
∠BCO=∠OBC，則∠BCO為銳角，
在直角△ABC中，cos∠ABC===，
故cos∠BCO=，
故二面角B-PC-O的平面角的余弦值為.
二
垂面法求二面角
垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面各有一條交線，這兩條交線所成的角即二面角的平面角.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.
　　　如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.
例 2
∵SB=BC且E是SC的中點(diǎn)，
∴BE是等腰△SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，又BD 平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE=DE，
平面SAC∩平面BDC=DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.
設(shè)SA=2，則AB=2，BC=SB=2.
∵AB⊥BC，∴AC=2，∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC=60°.
即所求的二面角E-BD-C的大小為60°.
反
思
感
悟
二面角中如果存在一個平面與棱垂直，且與二面角的兩個半平面交于兩條射線，那么這兩條射線所成的角即為該二面角的平面角.
　　　　　如圖，設(shè)P是二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)，P到平面α，β的距離PA，PB分別為8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.
跟蹤訓(xùn)練 2
如圖，作AC⊥l于C，連接BC，PC，
∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l，
又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC，
∴l(xiāng)⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴l(xiāng)⊥PC，
∵PB⊥β，l β，∴PB⊥l，
又PB∩PC=P，PB，PC 平面PBC，
∴l(xiāng)⊥平面PBC，
∴平面PAC與平面PBC重合，且l⊥BC，
∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，
在△PAB中，PA=8，PB=5，AB=7，
∴cos∠APB==，
∴∠APB=60°，∴∠ACB=120°.
即二面角α-l-β的大小為120°.
垂線法求二面角
三
垂線法：過二面角的一個半平面內(nèi)異于棱上的點(diǎn)A向另一個半平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.
　如圖，平面β內(nèi)一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大小.
例 3
如圖，過A作AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，
∴由三垂線定理知BD⊥EF，
∴∠AFE為二面角α-BD-β的平面角.
依題意∠ACF=45°，∠ACE=30°，設(shè)AC=2，
∴AF=CF=，AE=1，
∴sin∠AFE===，
∴∠AFE=45°.
∴二面角α-BD-β的大小為45°.
反
思
感
悟
二面角中過一個半平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個半平面的垂線與二面角的棱的垂線，連接兩個垂足，應(yīng)用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.
　　　　　如圖，將正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，則二面角A-CD-B的余弦值為
A. B.
C. D.
跟蹤訓(xùn)練 3
√
∵以正方形A1BCD的對角線BD為棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，連接A1C交BD于點(diǎn)O，連接AO，如圖所示.
則AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD=BD，
AO 平面ABD，∴AO⊥平面BCD，
取CD的中點(diǎn)M，連接OM，AM，則OM∥BC，
∴OM⊥CD，根據(jù)三垂線定理知AM⊥CD，
∴∠AMO即為二面角A-CD-B的平面角.
不妨設(shè)正方形A1BCD的邊長為2，
則AO=，OM=1，
∴AM==.∴cos∠AMO==.
射影面積法
四
　如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.
例 4
連接BO(圖略)，∵AO⊥平面BB1C1C，
∴△OBC為△ABC的射影，
設(shè)二面角B1-BC-A的平面角為θ，
∵側(cè)面BB1C1C為菱形，且∠CBB1=60°，BC=1，
又∵B1C的中點(diǎn)為O，
∴BB1=BC=B1C=1，BO=，
∴S△OBC==××1×1×sin 60°=，
∵AC⊥AB1，∴AO=，
∴AB===1，
AC===，
在△ABC中，由余弦定理的推論可得
cos∠ABC=，
∴sin∠ABC=，
∴S△ABC=×1×1×=，
∴cos θ===.
反
思
感
悟
若多邊形的面積為S，它在一個平面內(nèi)的射影圖形的面積為S'，且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則cos θ=.
1.知識清單：利用二面角的定義及其平面角的作法求二面角.
2.方法歸納：定義法、垂面法、垂線法、射影面積法.
3.常見誤區(qū)：尋找二面角的平面角出錯，求二面角的三角函數(shù)值時出錯.
隨堂演練
五
1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA=，則側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大小是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
1
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3
4
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PA，又底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
又PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
∴CD⊥PD，可知∠PDA為側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角.
在Rt△PAD中，由PA=，AD=1，可得∠PDA=60°.
即側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大小是60°.
1
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4
2.如圖，在一個二面角的棱上有兩個點(diǎn)A，B，線段AC，
BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，
已知AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm，CD=2 cm，則
這個二面角的大小為
A.30° B.60° C.90° D.120°
√
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2
3
4
如圖，過點(diǎn)A作AE∥BD且AE=BD，連接CE，DE，
則AE⊥AB，即∠CAE為二面角的平面角，由題意，
得AE=BD=8 cm，AC=6 cm，∵DE∥AB，
∴DE⊥CE，∴CE2=CD2-ED2=52，
在△ACE中，由余弦定理的推論，
得cos∠CAE===，
則∠CAE=60°，即這個二面角的大小為60°.
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4
3.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側(cè)面與底面所成二面角的大小為　　　　.
1
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4
60°
正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則底面邊長為2，底面積為12，
所以正四棱錐的高為3，
所以側(cè)面與底面所成的二面角的正切值為，故所求二面角的大小為60°.
4.已知在如圖所示的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD
=1，AD=，則二面角B-CD-A的正切值為　　　　.
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4
1
∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，
AB，BC 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，
∴CD⊥AC，∴∠ACB為二面角B-CD-A的平面角.
∵BC⊥CD，
∴BD==.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，
∴AB==1，
在Rt△ABC中，tan∠ACB==1.
課時對點(diǎn)練
六
答案
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題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D A ABC 2
題號 11 12 13 14 15
答案 C ACD BC 75° C
對一對
答案
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9.
由已知可得
AD⊥DC，
又由其余各棱長都為1，得△BCD為正三角形，如圖，
取CD的中點(diǎn)E，連接BE，
則BE⊥CD，
在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點(diǎn)F，則∠BEF為二面角A-CD-B的平面角.
答案
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9.
∵EF=，BE=，BF=，
∴cos∠BEF=
==.
答案
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10.
設(shè)PA=AB=2，過點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)作AE⊥BC，連接PE，如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，
PA∩AE=A，
PA，AE 平面PAE，
答案
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10.
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角為∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∠ABE=30°，
AB=2，則AE=AB=1，
∵PA⊥平面ABCD，
答案
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10.
AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
由勾股定理得PE==，
∴cos∠PEA==.
∴二面角P-BC-A的余弦值為.
答案
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(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
答案
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16.
所以AD⊥AB.
因?yàn)锽C2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根據(jù)平面知識可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
答案
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16.
(2)如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，
再過點(diǎn)E作EF⊥CP于點(diǎn)F，
連接DF，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
答案
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DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
因?yàn)镃P 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
答案
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16.
根據(jù)二面角的定義可知，
∠DFE即為二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，
即tan∠DFE=.
因?yàn)锳D⊥DC，設(shè)AD=x，0則DC=，
由等面積法可得，DE=，
答案
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16.
又CE=
=，
而△EFC為等腰直角三角形，
所以EF=，
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
答案
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16.
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.
1.如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B'AC=60°.則二面角B'-AD-C的大小是
A.30° B.60°
C.90° D.120°
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基礎(chǔ)鞏固
答案
√
因?yàn)锳D是等腰直角△ABC斜邊BC上的高，所以B'D
=DC=AC，∠ADC=∠ADB'=90°，因此∠B'DC是
二面角B'-AD-C的平面角.
因?yàn)椤螧'AC=60°，
所以△B'AC是等邊三角形，連接B'C(圖略)，因此B'C=AB'=AC，
所以在△B'DC中，∠B'DC=90°，即二面角B'-AD-C的大小為90°.
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答案
2.已知二面角α-l-β的大小為130°，兩條異面直線a，b滿足a α，b β，且a⊥l，b⊥l，則a，b所成角的大小為
A.40° B.50° C.130° D.140°
如圖，在直線l上任取一點(diǎn)O，作OA∥b，OB∥a，
由a α，b β且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面角α-l-β的平
面角，則有∠AOB=130°，
又OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小為180°-130°=50°.
√
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答案
3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則平面C1D1EF與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值為
A. B.
C. D.
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答案
√
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1，E，
F分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB，所以EF⊥
平面B1BCC1，
所以EF⊥FC1，EF⊥FC，
所以∠CFC1就是平面C1D1EF與底面ABCD所成的銳二面角，
cos∠CFC1===.
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答案
4.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，則二面角A1-BC-A的正切值為
A.　 B.
C.1　 D.
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答案
設(shè)棱長為a，BC的中點(diǎn)為E，連接A1E，AE(圖略)，由
正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，可得A1E⊥BC，
AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角為∠A1EA，在
△ABC中，AE=a，所以tan∠A1EA===，即
二面角A1-BC-A的正切值為.
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答案
5.已知二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，則點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的
A.內(nèi)心 B.外心
C.垂心 D.重心
因?yàn)槎娼茿-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，所以點(diǎn)A在平面BCD上的射影到△BCD的三邊的距離都相等，所以點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的內(nèi)心.
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答案
6.(多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，∠APB=120°，PA=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則下列選項正確的是
A.該圓錐的體積為π
B.該圓錐的側(cè)面積為2π
C.AC=2
D.△PAC的面積為
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答案
√
√
依題意，∠APB=120°，PA=2，則OP=1，
OA=OB=，
A選項，圓錐的體積為×π×()2×1=π，A選項正確；
B選項，圓錐的側(cè)面積為π××2=2π，B選項正確；
C選項，如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，
因?yàn)镻A=PC，OA=OC，
所以PD⊥AC，OD⊥AC，
所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，
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答案
則∠PDO=45°，所以O(shè)D=OP=1，
故AD=CD==，則AC=2，C選項正確；
D選項，PD==，
所以S△PAC=×2×=2，D選項錯誤.
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答案
7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，則二面角C-BB1-D
的正切值是　　　.
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答案
由長方體特點(diǎn)可知，BB1⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BC⊥BB1，BD⊥BB1，
∴∠CBD即為二面角C-BB1-D的平面角.
又CD=AB=3，
BC=AD=4，BC⊥CD，
∴tan∠CBD==.
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答案
8.在60°的二面角的一個半平面上有一點(diǎn)C，它到棱的距離等于4，則點(diǎn)C到另一個平面的距離為　　　　.
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答案
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如圖所示，C是二面角α-l-β的半平面α上的一點(diǎn)，設(shè)C在二面角的棱上的射影為B，在平面β中的射影為A，連接AB，AC，BC，則CA⊥β，
∴CA⊥l，CA⊥AB，
又∵CB⊥l，CA∩CB=C，CA，CB 平面ABC，
∴l(xiāng)⊥平面ABC，而AB 平面ABC，
∴l(xiāng)⊥AB，
∴∠ABC為二面角α-l-β的平面角，
∴∠ABC=60°，
又∵CB=4，∴CA=4sin 60°=2，
即點(diǎn)C到平面β的距離為2.
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答案
9.在四面體A-BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，求二面角A-CD-B的余弦值.
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答案
由已知可得AD⊥DC，
又由其余各棱長都為1，得△BCD為正三角形，如圖，
取CD的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥CD，
在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點(diǎn)F，則
∠BEF為二面角A-CD-B的平面角.
∵EF=，BE=，BF=，
∴cos∠BEF===.
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答案
10.在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
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答案
設(shè)PA=AB=2，過點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)作AE⊥BC，連接PE，如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，PA∩AE=A，PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角為∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
AB=2，則AE=AB=1，
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答案
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
由勾股定理得PE==，
∴cos∠PEA==.
∴二面角P-BC-A的余弦值為.
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答案
11.已知二面角α-MN-β的平面角為θ1，AB α，B∈MN，∠ABM=θ2(θ2為銳角)，AB與β的夾角為θ3，則下列關(guān)系式成立的是
A.cos θ3=cos θ1·cos θ2
B.cos θ3=sin θ1·cos θ2
C.sin θ3=sin θ1·sin θ2
D.sin θ3=cos θ1·sin θ2
√
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綜合運(yùn)用
答案
如圖，過A作AH⊥β于H，作HO⊥MN于O，連接
AO，則AO⊥MN，所以∠AOH為α-MN-β的平面角，
∠ABH為AB與β所成的角，因?yàn)閟in θ1=，sin θ2
=，
所以sin θ1·sin θ2=·==sin θ3.
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答案
12.(多選)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是
A.AC⊥B1D
B.A1C1∥平面B1CD
C.二面角B1-CD-B的大小為45°
D.點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為
√
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答案
√
√
連接BD，如圖所示，
對于A，由正方體性質(zhì)可知，
BB1⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD，
又BB1∩BD=B，且BB1，BD 平面BB1D，
所以AC⊥平面BB1D，因?yàn)锽1D 平面BB1D，所以AC⊥B1D，所以A正確；
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答案
對于B，連接A1D，平面B1CD即為平面B1A1DC，
又A1C1∩平面B1A1DC=A1，
即A1C1與平面B1CD相交，所以B錯誤；
對于C，平面B1CD∩平面ABCD=CD，易知B1C⊥CD，
BC⊥CD，
所以∠B1CB即為二面角B1-CD-B的平面角，顯然∠B1CB=45°，即二面角B1-CD-B的大小為45°，所以C正確；
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答案
對于D，易知三棱錐C1-B1CD與三棱錐B1-C1CD的體積
相等，
設(shè)點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為d，
即·d=·B1C1，
可得×××1·d=××1×1×1，
所以d=，即點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為，所以D正確.
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答案
13.(多選)如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠ABC=∠BCD
=，∠CBD=，AB=BD=2，則下列結(jié)論正確的是
A.四面體ABCD的體積為
B.AB⊥CD
C.二面角A-CD-B的余弦值為
D.四面體ABCD外接球的體積為
√
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答案
√
因?yàn)椤螦BC=，所以AB⊥BC，又平面ABC⊥平面
BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AB 平面ABC，
所以AB⊥平面BCD，
在△BCD中，因?yàn)椤螧CD=，∠CBD=，BD=2，
所以CD=1，BC=，
所以S△BCD=BC·DC=××1=，
所以V四面體ABCD=S△BCD·AB=××2=，A錯誤，B正確；
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答案
二面角A-CD-B的平面角是∠ACB，
易得AC=，
所以cos∠ACB==，C正確；
將原幾何體補(bǔ)成長方體，如圖所示.
則四面體ABCD的外接球即為長方體的外接球，外接球的直徑為AD，
且AD==2，
所以外接球半徑R=，
故V球=π·()3=，D錯誤.
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答案
14.若某銳二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個半平面的距離分別為1和，到二面角的棱的距離為2，則此二面角的大小為　　　　.
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答案
75°
根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P在銳二面角α-l-β內(nèi)，
過點(diǎn)P作PA⊥平面α，垂足為A，過點(diǎn)P作PB⊥平面β，垂足為B，
因?yàn)镻A⊥α，l α，則PA⊥l，同理PB⊥l，
而PA∩PB=P，PA，PB 平面PAB，
則l⊥平面PAB，
設(shè)平面PAB與直線l的交點(diǎn)為C，連接PC，AC，BC，PC，AC，BC 平面PAB，
則有PC⊥l，AC⊥l，BC⊥l，
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答案
則∠ACB是二面角α-l-β的平面角，
依題意，不妨設(shè)PA=1，則PB=，PC=2，如圖，
在Rt△PAC中，PA=1，PC=2，則∠ACP=30°，
在Rt△BCP中，PB=，PC=2，
則∠BCP=45°，
則∠ACB=30°+45°=75°，所以銳二面角的大小為75°.
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答案
拓廣探究
15.(2023·北京)芻曹是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某屋頂可視為五面體ABCDEF，四邊形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角的正切值均為.為這個模型的輪廓安裝燈帶(不計損耗)，則所需燈帶的長度為
A.102 m B.112 m
C.117 m D.125 m
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答案
根據(jù)題意及對稱性可知底面四邊形ABCD為矩形，
設(shè)E，F(xiàn)在底面矩形的射影點(diǎn)分別為M，N，
設(shè)AD與BC的中點(diǎn)分別為P，Q，則M，N在線段PQ上，如圖，
過M，N分別作AB的垂線，垂足點(diǎn)分別
為G，H，連接HF，F(xiàn)Q，GE，EP，
則根據(jù)題意及三垂線定理易得
tan∠EPM=tan∠EGM=tan∠FHN=tan∠FQN=，
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答案
又MG=NH=5，∴EM=FN=，
∴PM=QN=5，∴EP=FQ==，
∴MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15，
∴EF=MN=15，
又BQ=5，F(xiàn)Q=，∴FB==8，
∴ED=EA=FC=FB=8，
∴該多面體的所有棱長和為8×4+(25+10)×2+15=117.故所需燈帶的長度為117 m.
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答案
16.(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.
(1)若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；
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答案
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答案
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
所以AD⊥AB.
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答案
因?yàn)锽C2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根據(jù)平面知識可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值為，求AD.
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答案
如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，
再過點(diǎn)E作EF⊥CP于點(diǎn)F，連接DF，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
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答案
因?yàn)镃P 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
根據(jù)二面角的定義可知，
∠DFE即為二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，
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答案
即tan∠DFE=.
因?yàn)锳D⊥DC，設(shè)AD=x，0則DC=，
由等面積法可得，DE=，
又CE==，
而△EFC為等腰直角三角形，
所以EF=，
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答案
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.
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答案作業(yè)40　二面角的平面角的常見解法
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共18分
1.如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B'AC=60°.則二面角B'-AD-C的大小是(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.已知二面角α-l-β的大小為130°，兩條異面直線a，b滿足a α，b β，且a⊥l，b⊥l，則a，b所成角的大小為(　　)
A.40° B.50° C.130° D.140°
3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則平面C1D1EF與底面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
4.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，則二面角A1-BC-A的正切值為(　　)
A.　 B.　 C.1　 D.
5.已知二面角A-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，則點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的(　　)
A.內(nèi)心 B.外心
C.垂心 D.重心
6.(多選)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，∠APB=120°，PA=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則下列選項正確的是(　　)
A.該圓錐的體積為π
B.該圓錐的側(cè)面積為2π
C.AC=2
D.△PAC的面積為
7.(5分)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，則二面角C-BB1-D的正切值是　　　　.
8.(5分)在60°的二面角的一個半平面上有一點(diǎn)C，它到棱的距離等于4，則點(diǎn)C到另一個平面的距離為　　　　　　.
9.(10分)在四面體A-BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，求二面角A-CD-B的余弦值.
10.(10分)在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
11.已知二面角α-MN-β的平面角為θ1，AB α，B∈MN，∠ABM=θ2(θ2為銳角)，AB與β的夾角為θ3，則下列關(guān)系式成立的是(　　)
A.cos θ3=cos θ1·cos θ2
B.cos θ3=sin θ1·cos θ2
C.sin θ3=sin θ1·sin θ2
D.sin θ3=cos θ1·sin θ2
12.(多選)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.AC⊥B1D
B.A1C1∥平面B1CD
C.二面角B1-CD-B的大小為45°
D.點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為
13.(多選)如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠ABC=∠BCD=，∠CBD=，AB=BD=2，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.四面體ABCD的體積為
B.AB⊥CD
C.二面角A-CD-B的余弦值為
D.四面體ABCD外接球的體積為
14.(5分)若某銳二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個半平面的距離分別為1和，到二面角的棱的距離為2，則此二面角的大小為　　　　.
15.(2023·北京)芻曹是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某屋頂可視為五面體ABCDEF，四邊形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角的正切值均為.為這個模型的輪廓安裝燈帶(不計損耗)，則所需燈帶的長度為(　　)
A.102 m B.112 m C.117 m D.125 m
16.(12分)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.
(1)若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；(4分)
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值為，求AD.(8分)
答案精析
1.C　2.B　3.B
4.D　[設(shè)棱長為a，BC的中點(diǎn)為E，連接A1E，AE(圖略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角為∠A1EA，在△ABC中，AE=a，所以tan∠A1EA===，即二面角A1-BC-A的正切值為.]
5.A　[因?yàn)槎娼茿-BC-D，A-CD-B，A-BD-C的平面角都相等，所以點(diǎn)A在平面BCD上的射影到△BCD的三邊的距離都相等，所以點(diǎn)A在平面BCD上的射影是△BCD的內(nèi)心.]
6.ABC　[依題意，∠APB=120°，
PA=2，
則OP=1，
OA=OB=，
A選項，圓錐的體積為×π×()2×1=π，A選項正確；
B選項，圓錐的側(cè)面積為π××2=2π，B選項正確；
C選項，如圖，取AC的中點(diǎn)D，
連接OD，PD，
因?yàn)镻A=PC，OA=OC，
所以PD⊥AC，OD⊥AC，
所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，
則∠PDO=45°，所以O(shè)D=OP=1，
故AD=CD==，
則AC=2，C選項正確；
D選項，PD==，
所以S△PAC=×2×=2，
D選項錯誤.]
7.
8.2
解析　如圖所示，C是二面角α-l-β的半平面α上的一點(diǎn)，設(shè)C在二面角的棱上的射影為B，在平面β中的射影為A，連接AB，AC，BC，則CA⊥β，
∴CA⊥l，CA⊥AB，
又∵CB⊥l，CA∩CB=C，
CA，CB 平面ABC，
∴l(xiāng)⊥平面ABC，而AB 平面ABC，
∴l(xiāng)⊥AB，
∴∠ABC為二面角α-l-β的平面角，
∴∠ABC=60°，
又∵CB=4，∴CA=4sin 60°=2，
即點(diǎn)C到平面β的距離為2.
9.解　由已知可得
AD⊥DC，
又由其余各棱長都為1，得△BCD為正三角形，如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，
則BE⊥CD，
在平面ADC中，過E作AD的平行線交AC于點(diǎn)F，則∠BEF為二面角A-CD-B的平面角.
∵EF=，BE=，BF=，
∴cos∠BEF=
==.
10.解　設(shè)PA=AB=2，過點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)作AE⊥BC，連接PE，如圖所示，
∵PA⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵AE⊥BC，
PA∩AE=A，
PA，AE 平面PAE，
∴BC⊥平面PAE，
∵PE 平面PAE，∴PE⊥BC，
∴二面角P-BC-A的平面角為∠PEA，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∠ABE=30°，
AB=2，則AE=AB=1，
∵PA⊥平面ABCD，
AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
由勾股定理得PE==，
∴cos∠PEA==.
∴二面角P-BC-A的余弦值為.
11.C　[如圖，過A作AH⊥β于H，作HO⊥MN于O，連接AO，則AO⊥MN，所以∠AOH為α-MN-β的平面角，∠ABH為AB與β所成的角，因?yàn)閟in θ1=，sin θ2=，
所以sin θ1·sin θ2=·
==sin θ3.]
12.ACD　[連接BD，如圖所示，
對于A，由正方體性質(zhì)可知，
BB1⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BB1⊥AC，
又因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AC⊥BD，
又BB1∩BD=B，
且BB1，BD 平面BB1D，
所以AC⊥平面BB1D，因?yàn)锽1D 平面BB1D，所以AC⊥B1D，所以A正確；
對于B，連接A1D，平面B1CD即為平面B1A1DC，
又A1C1∩平面B1A1DC=A1，
即A1C1與平面B1CD相交，
所以B錯誤；
對于C，平面B1CD∩平面ABCD=CD，易知B1C⊥CD，BC⊥CD，
所以∠B1CB即為二面角B1-CD-B的平面角，顯然∠B1CB=45°，即二面角B1-CD-B的大小為45°，所以C正確；
對于D，易知三棱錐C1-B1CD與三棱錐B1-C1CD的體積相等，
設(shè)點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為d，
即·d=·B1C1，
可得×××1·d=××1×1×1，
所以d=，即點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為，所以D正確.]
13.BC　[因?yàn)椤螦BC=，
所以AB⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD=BC，
AB 平面ABC，
所以AB⊥平面BCD，
在△BCD中，因?yàn)椤螧CD=，∠CBD=，BD=2，
所以CD=1，BC=，
所以S△BCD=BC·DC
=××1=，
所以V四面體ABCD=S△BCD·AB
=××2=，A錯誤，B正確；
二面角A-CD-B的平面角是∠ACB，
易得AC=，
所以cos∠ACB==，
C正確；
將原幾何體補(bǔ)成長方體，如圖所示.則四面體ABCD的外接球即為長方體的外接球，外接球的直徑為AD，
且AD==2，
所以外接球半徑R=，
故V球=π·()3=，
D錯誤.]
14.75°
解析　根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P在銳二面角α-l-β內(nèi)，
過點(diǎn)P作PA⊥平面α，垂足為A，
過點(diǎn)P作PB⊥平面β，垂足為B，
因?yàn)镻A⊥α，l α，
則PA⊥l，同理PB⊥l，
而PA∩PB=P，
PA，PB 平面PAB，
則l⊥平面PAB，
設(shè)平面PAB與直線l的交點(diǎn)為C，
連接PC，AC，BC，PC，AC，BC 平面PAB，
則有PC⊥l，AC⊥l，BC⊥l，
則∠ACB是二面角α-l-β的平面角，
依題意，不妨設(shè)PA=1，則PB=，PC=2，如圖，
在Rt△PAC中，PA=1，PC=2，則∠ACP=30°，
在Rt△BCP中，PB=，PC=2，
則∠BCP=45°，
則∠ACB=30°+45°=75°，所以銳二面角的大小為75°.
15.C　[根據(jù)題意及對稱性可知底面四邊形ABCD為矩形，
設(shè)E，F(xiàn)在底面矩形的射影點(diǎn)分別為M，N，
設(shè)AD與BC的中點(diǎn)分別為P，Q，
則M，N在線段PQ上，如圖，
過M，N分別作AB的垂線，垂足點(diǎn)分別為G，H，連接HF，F(xiàn)Q，GE，EP，
則根據(jù)題意及三垂線定理易得
tan∠EPM=tan∠EGM
=tan∠FHN=tan∠FQN=，
又MG=NH=5，
∴EM=FN=，
∴PM=QN=5，
∴EP=FQ==，
∴MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15，
∴EF=MN=15，
又BQ=5，F(xiàn)Q=，
∴FB==8，
∴ED=EA=FC=FB=8，
∴該多面體的所有棱長和為8×4+(25+10)×2+15=117.故所需燈帶的長度為117 m.]
16.(1)證明　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
所以AD⊥AB.
因?yàn)锽C2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根據(jù)平面知識可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
(2)解　如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，
再過點(diǎn)E作EF⊥CP于點(diǎn)F，
連接DF，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE 平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
因?yàn)镃P 平面PAC，所以DE⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥平面DEF，
所以DF⊥CP，
根據(jù)二面角的定義可知，
∠DFE即為二面角A-CP-D的平面角，
即sin∠DFE=，
即tan∠DFE=.
因?yàn)锳D⊥DC，設(shè)AD=x，0則DC=，
由等面積法可得，DE=，
又CE=
=，
而△EFC為等腰直角三角形，
所以EF=，
又DE⊥平面PAC，EF 平面PAC，
所以DE⊥EF，
故tan∠DFE===，
解得x=，即AD=.習(xí)題課　二面角的平面角的常見解法
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握二面角的定義及其平面角的作法.2.會使用定義法、垂面法、垂線法、射影面積法求二面角的大小.
一、定義法求二面角
知識梳理
定義法：在二面角的棱上找一個特殊點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.
例1　如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2，VC=，求二面角V-AB-C的大小.
跟蹤訓(xùn)練1　如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)P在圓O所在平面上的射影恰是圓O上的點(diǎn)C，且AC=2BC.
(1)求證：BC⊥PA；
(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.
二、垂面法求二面角
知識梳理
垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面各有一條交線，這兩條交線所成的角即二面角的平面角.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.
例2　如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖，設(shè)P是二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)，P到平面α，β的距離PA，PB分別為8和5，且AB=7，求二面角α-l-β的大小.
三、垂線法求二面角
知識梳理
垂線法：過二面角的一個半平面內(nèi)異于棱上的點(diǎn)A向另一個半平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.
例3　如圖，平面β內(nèi)一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大小.
反思感悟　二面角中過一個半平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個半平面的垂線與二面角的棱的垂線，連接兩個垂足，應(yīng)用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，將正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，則二面角A-CD-B的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
四、射影面積法
例4　如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C，若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求二面角B1-BC-A的余弦值.
1.知識清單：利用二面角的定義及其平面角的作法求二面角.
2.方法歸納：定義法、垂面法、垂線法、射影面積法.
3.常見誤區(qū)：尋找二面角的平面角出錯，求二面角的三角函數(shù)值時出錯.
1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA=，則側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的大小是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.如圖，在一個二面角的棱上有兩個點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，已知AB=4 cm，AC=6 cm，BD=8 cm，CD=2 cm，則這個二面角的大小為(　　)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側(cè)面與底面所成二面角的大小為　　　　.
4.已知在如圖所示的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=1，AD=，則二面角B-CD-A的正切值為　　　　.
答案精析
例1　解　取AB的中點(diǎn)D，連接VD，CD，如圖所示.
∵在△VAB中，VA=VB=AB=2，
∴△VAB為等邊三角形，
∴VD⊥AB且VD=，
同理CD⊥AB，
CD=，
∴∠VDC為二面角V-AB-C的平面角，
由VC=，得△VDC是等邊三角形，則∠VDC=60°，∴二面角V-AB-C的大小為60°.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)證明　∵點(diǎn)P在圓O所在平面上的射影恰好是圓O上的點(diǎn)C，∴PC⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴BC⊥PC，
又AB是圓O的直徑，有BC⊥AC，
且PC∩AC=C，
PC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又PA 平面PAC，
∴BC⊥PA.
(2)解　∵PC⊥平面ABC，BC，OC 平面ABC，∴PC⊥BC，PC⊥OC，
∴∠BCO為二面角B-PC-O的平面角.
設(shè)AC=2BC=2，則AB=，OA=OB=OC=，有∠BCO=∠OBC，則∠BCO為銳角，
在直角△ABC中，
cos∠ABC===，
故cos∠BCO=，
故二面角B-PC-O的平面角的余弦值為.
例2　解　∵SB=BC且E是SC的中點(diǎn)，
∴BE是等腰△SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE，∴SC⊥平面BDE，又BD 平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA=S，SC，SA 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE=DE，
平面SAC∩平面BDC=DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
設(shè)SA=2，
則AB=2，BC=SB=2.
∵AB⊥BC，∴AC=2，
∴∠ACS=30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC=60°.
即所求的二面角E-BD-C的大小為60°.
跟蹤訓(xùn)練2　解　如圖，作AC⊥l于C，連接BC，PC，
∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l，
又AC⊥l，AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC，
∴l(xiāng)⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，
∴l(xiāng)⊥PC，
∵PB⊥β，l β，∴PB⊥l，
又PB∩PC=P，
PB，PC 平面PBC，
∴l(xiāng)⊥平面PBC，
∴平面PAC與平面PBC重合，
且l⊥BC，
∴∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，
在△PAB中，PA=8，PB=5，AB=7，
∴cos∠APB==，
∴∠APB=60°，∴∠ACB=120°.
即二面角α-l-β的大小為120°.
例3　解　如圖，過A作AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，
∴由三垂線定理知BD⊥EF，
∴∠AFE為二面角α-BD-β的平面角.
依題意∠ACF=45°，∠ACE=30°，
設(shè)AC=2，
∴AF=CF=，AE=1，
∴sin∠AFE===，
∴∠AFE=45°.
∴二面角α-BD-β的大小為45°.
跟蹤訓(xùn)練3　B　[∵以正方形A1BCD的對角線BD為棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，連接A1C交BD于點(diǎn)O，連接AO，如圖所示.
則AO⊥BD，
∵平面ABD∩
平面BCD=BD，
AO 平面ABD，∴AO⊥平面BCD，
取CD的中點(diǎn)M，連接OM，AM，
則OM∥BC，
∴OM⊥CD，根據(jù)三垂線定理知AM⊥CD，
∴∠AMO即為二面角A-CD-B的平面角.
不妨設(shè)正方形A1BCD的邊長為2，
則AO=，OM=1，
∴AM==.
∴cos∠AMO==.]
例4　解　連接BO(圖略)，
∵AO⊥平面BB1C1C，
∴△OBC為△ABC的射影，
設(shè)二面角B1-BC-A的平面角為θ，
∵側(cè)面BB1C1C為菱形，且∠CBB1=60°，BC=1，
又∵B1C的中點(diǎn)為O，
∴BB1=BC=B1C=1，BO=，
∴S△OBC==××1×1×sin 60°=，
∵AC⊥AB1，∴AO=，
∴AB=
==1，
AC==
=，
在△ABC中，由余弦定理的推論可得
cos∠ABC=，
∴sin∠ABC=，
∴S△ABC=×1×1×=，
∴cos θ===.
隨堂演練
1.C　2.B　3.60°　4.1

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