資源簡介

(共48張PPT)
第八章
<<<
章末復習課
知識網絡
知識網絡
知識網絡
一、幾何體的表面積與體積
二、空間中的平行關系
三、空間中的垂直關系
四、空間角的求法
內容索引
幾何體的表面積與體積
一
幾何體的表面積和體積的計算是現實生活中經常遇到的問題，如制作物體的下料問題、材料最省問題、相同材料容積最大問題，都涉及表面積和體積的計算.特別是特殊的柱、錐、臺，在計算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用，對于圓柱、圓錐、圓臺，要重視旋轉軸所在軸截面、底面圓的作用.割補法、構造法是常用的技巧.
　　　已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC的體積的最大值為36，則球O的表面積為多少？
例 1
∵V三棱錐O-ABC=V三棱錐C-OAB，
且S△AOB為定值，∴當點C到平面OAB的距離最大時，
V三棱錐O-ABC最大，即當點C位于垂直于球O的最大圓面
OAB的直徑頂端時，三棱錐O-ABC的體積最大.
如圖所示，設球O的半徑為R，此時V三棱錐O-ABC=V三棱錐C-OAB=×R2·R=
=36.
∴R=6.
∴球O的表面積S=4πR2=144π.
(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個面都可作為底面來處理，恰當地進行換底等積變換便于問題的求解.
(2)割補法：“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補”就是通過補形，使它轉化為熟悉的幾何體.
(3)展開法：將簡單的幾何體沿一條側棱或母線展開成平面圖形.
(4)構造法：當探究某些幾何體性質較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質.
反
思
感
悟
空間幾何體的體積與表面積的計算方法
正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為
A.20+12 B.28
C. D.
跟蹤訓練 1
√
作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，
所以該棱臺的高h==，
下底面面積S1=16，上底面面積S2=4，
所以該棱臺的體積V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.
二
空間中的平行關系
立體幾何中的平行問題有三類：一是線線平行，由基本事實4和面面平行的性質定理可以證明線線平行，由線面平行(或垂直)的性質定理可以證明線線平行；根據線線平行可以得出兩條異面直線所成的角，可以證明線面平行等；二是線面平行，由線面平行的定義和判定定理可證明線面平行；三是兩個平面平行，用定義和判定定理可以證明兩個平面平行，或垂直于同一條直線的兩個平面平行，或平行于同一個平面的兩個平面平行；由面面平行可以得出線面平行和線線平行.
　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=
AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.
(1)求證：MN∥平面PAB；
例 2
由已知得AM=AD=2.
如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，
由N為PC的中點知TN∥BC，TN=BC=2.
又AD∥BC，故TN AM，
所以四邊形AMNT為平行四邊形，
所以MN∥AT.
因為AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)求四面體N-BCM的體積.
因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以點N到平面ABCD的距離
為PA=2.
如圖，取BC的中點E，連接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC，
AE==.
由AM∥BC得點M到BC的距離為，
故S△BCM=×4×=2.
所以四面體N-BCM的體積
VN-BCM=S△BCM·=.
反
思
感
悟
平行關系的轉化
　　　　　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，MA∥PB，PB=2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.
跟蹤訓練 2
當F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，
證明如下：如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，又F是PB的中點，
∴在△PBD中，OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA=PB，
∴PF∥MA且PF=MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F，AF，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
空間中的垂直關系
三
1.判定線面垂直的常用方法
(1)利用線面垂直的判定定理；
(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”；
(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個平面也垂直”；
(4)利用面面垂直的性質.
2.判定線線垂直的方法
(1)平面幾何中證明線線垂直的方法；
(2)線面垂直的性質：a⊥α，b α a⊥b；
(3)線面垂直的性質：a⊥α，b∥α a⊥b.
3.判定面面垂直的方法
(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a⊥β α⊥β.
　如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D，F分別為AC，PC的中點，DE⊥AP于點E.
(1)求證：AP⊥平面BDE；
例 3
∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，
∴PC⊥BD.
∵AB=BC，D為AC的中點，∴BD⊥AC.
又PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又AP 平面PAC，∴BD⊥AP.
又DE⊥AP，DE∩BD=D，
DE，BD 平面BDE，
∴AP⊥平面BDE.
(2)求證：平面BDE⊥平面BDF；
∵D，F分別為AC，PC的中點，
∴DF∥AP.
又AP⊥平面BDE，
∴DF⊥平面BDE，又DF 平面BDF，
∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比.
設點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2，則h1∶h2=EP∶AP=2∶3，
又F為PC的中點，∴S△PBC=2S△PBF，
∴=
=
==.
故截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積之比為1∶2.
反
思
感
悟
線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
　　　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥
AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點.求證：
(1)PA⊥底面ABCD；
跟蹤訓練 3
因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA 平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)平面BEF⊥平面PCD.
因為AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，
所以AB∥DE，且AB=DE.
所以四邊形ABED為平行四邊形.
因為AB⊥AD，所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
又CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA=A，AD，PA 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.
因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
空間角的求法
四
空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角度問題時，無論哪種情況，最終都歸結到兩條相交直線所成的角的問題.求角度的解題步驟：(1)找出這個角；(2)證明該角符合題意；(3)構造出含這個角的三角形，解這個三角形，求出角.
　　　如圖，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PD=
DC=2，BC=2.
(1)求PB與平面ADC所成角的大??；
例 4
因為PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD即為PB與平面ADC所成的角.
因為四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥DC，
所以BD=2，tan∠PBD==，
所以∠PBD=30°，
即PB與平面ADC所成角的大小為30°.
(2)求異面直線PC與BD所成角的正弦值.
取PA的中點G，連接OG，DG，如圖.
顯然OG∥PC，所以∠DOG即為異面直線PC與BD所
成的角.
因為OG=PC=，OD=BD=，DG=PA=，
所以△OGD是等腰三角形，作底邊的高(圖略)，
易求出sin∠DOG=，
所以異面直線PC與BD所成角的正弦值為.
反
思
感
悟
(1)求異面直線所成的角常用平移轉化法(轉化為相交直線的夾角).
(2)求直線與平面所成的角常用射影轉化法(即作垂線、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②三垂線法；③垂面法.
　　　　　如圖，在圓錐PO中，已知PO⊥底面☉O，PO=，☉O的直徑AB=2，C是的中點，D為AC的中點.
(1)證明：平面POD⊥平面PAC；
跟蹤訓練 4
如圖，連接OC.
∵PO⊥底面☉O，AC 底面☉O，∴AC⊥PO.
∵OA=OC，D是AC的中點，
∴AC⊥OD.
又OD∩PO=O，OD，PO 平面POD，
∴AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.
在平面POD中，過點O作OH⊥PD于點H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交線為PD，OH 平面POD，∴OH⊥平面PAC.
又PA 平面PAC，∴PA⊥OH.
在平面PAO中，過點O作OG⊥PA于點G，
連接HG，
∵OG∩OH=O，OG，OH 平面OGH，
則PA⊥平面OGH，又HG 平面OGH，
∴PA⊥HG.
故∠OGH為二面角B-PA-C的平面角.
∵C是的中點，AB是直徑，∴OC⊥AB，
又OA=OC，∴∠OAC=45°.
在Rt△ODA中，OD=OAsin 45°=.
在Rt△POD中，
OH====.
在Rt△POA中，
OG====.
∵OH⊥平面PAC，GH 平面PAC，
∴OH⊥GH.在Rt△OHG中，
sin∠OGH===.
由圖易知∠OGH為銳角，
∴cos∠OGH=
==.
故二面角B-PA-C的余弦值為.一、幾何體的表面積與體積
幾何體的表面積和體積的計算是現實生活中經常遇到的問題，如制作物體的下料問題、材料最省問題、相同材料容積最大問題，都涉及表面積和體積的計算.特別是特殊的柱、錐、臺，在計算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用，對于圓柱、圓錐、圓臺，要重視旋轉軸所在軸截面、底面圓的作用.割補法、構造法是常用的技巧.
例1　已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC的體積的最大值為36，則球O的表面積為多少？
跟蹤訓練1　正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為(　　)
A.20+12 B.28
C. D.
二、空間中的平行關系
立體幾何中的平行問題有三類：一是線線平行，由基本事實4和面面平行的性質定理可以證明線線平行，由線面平行(或垂直)的性質定理可以證明線線平行；根據線線平行可以得出兩條異面直線所成的角，可以證明線面平行等；二是線面平行，由線面平行的定義和判定定理可證明線面平行；三是兩個平面平行，用定義和判定定理可以證明兩個平面平行，或垂直于同一條直線的兩個平面平行，或平行于同一個平面的兩個平面平行；由面面平行可以得出線面平行和線線平行.
例2　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.
(1)求證：MN∥平面PAB；
(2)求四面體N-BCM的體積.
反思感悟　平行關系的轉化
跟蹤訓練2　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，MA∥PB，PB=2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.
三、空間中的垂直關系
1.判定線面垂直的常用方法
(1)利用線面垂直的判定定理；
(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”；
(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個平面也垂直”；
(4)利用面面垂直的性質.
2.判定線線垂直的方法
(1)平面幾何中證明線線垂直的方法；
(2)線面垂直的性質：a⊥α，b α a⊥b；
(3)線面垂直的性質：a⊥α，b∥α a⊥b.
3.判定面面垂直的方法
(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a α，a⊥β α⊥β.
例3　如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D，F分別為AC，PC的中點，DE⊥AP于點E.
(1)求證：AP⊥平面BDE；
(2)求證：平面BDE⊥平面BDF；
(3)若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比.
反思感悟　線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
跟蹤訓練3　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點.求證：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
四、空間角的求法
空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角度問題時，無論哪種情況，最終都歸結到兩條相交直線所成的角的問題.求角度的解題步驟：(1)找出這個角；(2)證明該角符合題意；(3)構造出含這個角的三角形，解這個三角形，求出角.
例4　如圖，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PD=DC=2，BC=2.
(1)求PB與平面ADC所成角的大??；
(2)求異面直線PC與BD所成角的正弦值.
跟蹤訓練4　如圖，在圓錐PO中，已知PO⊥底面☉O，PO=，☉O的直徑AB=2，C是的中點，D為AC的中點.
(1)證明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B-PA-C的余弦值.
答案精析
例1　解　∵V三棱錐O-ABC=V三棱錐C-OAB，
且S△AOB為定值，
∴當點C到平面OAB的距離最大時，V三棱錐O-ABC最大，即當點C位于垂直于球O的最大圓面OAB的直徑頂端時，三棱錐O-ABC的體積最大.如圖所示，設球O的半徑為R，此時V三棱錐O-ABC=V三棱錐C-OAB
=×R2·R==36.
∴R=6.∴球O的表面積S=4πR2
=144π.
跟蹤訓練1　D　[作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，
所以該棱臺的高
h==，
下底面面積S1=16，上底面面積S2=4，
所以該棱臺的體積V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.]
例2　(1)證明　由已知得
AM=AD=2.
如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，
由N為PC的中點知TN∥BC，TN=BC=2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四邊形AMNT為平行四邊形，
所以MN∥AT.
因為AT 平面PAB，
MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解　因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以點N到平面ABCD的距離為PA=2.
如圖，取BC的中點E，連接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC，
AE==.
由AM∥BC得點M到BC的距離為，
故S△BCM=×4×=2.
所以四面體N-BCM的體積
VN-BCM=S△BCM·=.
跟蹤訓練2　解　當F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，
證明如下：如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，
又F是PB的中點，
∴在△PBD中，OF∥PD.
又OF 平面PMD，
PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA=PB，
∴PF∥MA且PF=MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，
PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F，
AF，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
例3　(1)證明　∵PC⊥底面ABC，
BD 平面ABC，
∴PC⊥BD.
∵AB=BC，D為AC的中點，
∴BD⊥AC.
又PC∩AC=C，
PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
又AP 平面PAC，∴BD⊥AP.
又DE⊥AP，DE∩BD=D，
DE，BD 平面BDE，
∴AP⊥平面BDE.
(2)證明　∵D，F分別為AC，PC的中點，
∴DF∥AP.
又AP⊥平面BDE，
∴DF⊥平面BDE，
又DF 平面BDF，
∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)解　設點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2，
則h1∶h2=EP∶AP=2∶3，
又F為PC的中點，
∴S△PBC=2S△PBF，
∴=
=
=
=.
故截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積之比為1∶2.
跟蹤訓練3　證明　(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
PA 平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因為AB∥CD，CD=2AB，
E為CD的中點，
所以AB∥DE，且AB=DE.
所以四邊形ABED為平行四邊形.
因為AB⊥AD，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
又CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.又AD∩PA=A，
AD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD.
因為E和F分別是CD和PC的中點，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E，
EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
例4　解　(1)因為PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD即為PB與平面ADC所成的角.
因為四邊形ABCD是矩形，
所以BC⊥DC，
所以BD=2，
tan∠PBD==，
所以∠PBD=30°，
即PB與平面ADC所成角的大小為30°.
(2)取PA的中點G，連接OG，DG，如圖.
顯然OG∥PC，所以∠DOG即為異面直線PC與BD所成的角.
因為OG=PC=，
OD=BD=，DG=PA=，所以△OGD是等腰三角形，作底邊的高(圖略)，
易求出sin∠DOG=，
所以異面直線PC與BD所成角的正弦值為.
跟蹤訓練4　(1)證明　如圖，
連接OC.
∵PO⊥底面☉O，AC 底面☉O，
∴AC⊥PO.
∵OA=OC，
D是AC的中點，
∴AC⊥OD.
又OD∩PO=O，
OD，PO 平面POD，
∴AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，
∴平面POD⊥平面PAC.
(2)解　在平面POD中，過點O作OH⊥PD于點H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交線為PD，OH 平面POD，∴OH⊥平面PAC.
又PA 平面PAC，∴PA⊥OH.
在平面PAO中，
過點O作OG⊥PA于點G，
連接HG，
∵OG∩OH=O，
OG，OH 平面OGH，
則PA⊥平面OGH，
又HG 平面OGH，
∴PA⊥HG.
故∠OGH為二面角B-PA-C的平面角.
∵C是的中點，AB是直徑，
∴OC⊥AB，
又OA=OC，∴∠OAC=45°.
在Rt△ODA中，OD=OAsin 45°
=.
在Rt△POD中，
OH==
==.
在Rt△POA中，
OG==
==.
∵OH⊥平面PAC，GH 平面PAC，
∴OH⊥GH.在Rt△OHG中，
sin∠OGH===.
由圖易知∠OGH為銳角，
∴cos∠OGH=
==.
故二面角B-PA-C的余弦值為.

展開更多......

收起↑