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第九章
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章末復習課
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一、抽樣方法的選取及應用
二、用樣本的取值規律估計總體的取值規律
三、用樣本的百分位數估計總體
四、用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體
內容索引
抽樣方法的選取及應用
一
1.兩種抽樣方法的適用范圍：當總體容量較小，樣本容量也較小時，可采用抽簽法；當總體容量較大，樣本容量較小時，可采用隨機數法；當總體中個體差異較顯著時，可采用分層隨機抽樣.
2.掌握兩種抽樣方法，提升數據分析素養.
　　　某班45名同學都參加了立定跳遠和100米跑兩項體育學業水平測試，立定跳遠和100米跑測試合格的人數分別為30和35，兩項都不合格的人數為5.現從這45名同學中按測試是否合格分層(分成兩項都合格、僅立定跳遠合格、僅100米跑合格、兩項都不合格四種)，若用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取9人進行復測，那么應從兩項都合格的人中抽取
A.1人 B.2人
C.5人 D.6人
例 1
√
由題意知，兩項都不合格的有5人，兩項都合格的有25人，僅立定跳遠合格的有5人，僅100米跑合格的有10人.
從45人中抽取9人進行復測，則抽樣比為=，故應從兩項都合格的人中抽取25×=5(人).
比例分配的分層隨機抽樣的特點是“按比例分配”，即=.
反
思
感
悟
　　　　　以下抽樣方法為簡單隨機抽樣的是
A.在某年明信片的銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機
　抽取的方式確定號碼的后四位為2709的是三等獎
B.某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產
　品，稱其質量是否合格
C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解
　其對學校機構改革的意見
D.用抽簽法從10件產品中選取3件進行質量檢驗
跟蹤訓練 1
√
選項A，B不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；
選項C不是簡單隨機抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；
選項D是簡單隨機抽樣.
二
用樣本的取值規律估計總體的取值規律
1.根據樣本容量的大小，我們可以選擇利用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖對總體情況作出估計.
2.掌握頻率分布直方圖的繪制及應用，提升數據分析和數學運算素養.
　　　為了解高三年級學生的身高水平，某校按1∶10的比例對700名高三學生按性別分別進行“身高”抽樣檢查，測得“身高”的頻數分布表如表1、表2所示.
表1：男生“身高”頻數分布表
例 2
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175)
頻數 2 5 14
身高(cm) [175，180) [180，185) [185，190]
頻數 13 4 2
表2：女生“身高”頻數分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165)
頻數 1 7 12
身高(cm) [165，170) [170，175) [175，180]
頻數 6 3 1
(1)求高三年級的男生人數，并完成下面男生“身高”的頻率分布直方圖；
樣本中男生人數是40，由抽樣比例是1∶10可得高三年級男生人數是400，
男生“身高”的頻率分布直方圖如圖所示.
(2)估計該校高三年級學生“身高”在[165，175)內的人數.
樣本中“身高”在[165，175)內的頻數為28，所以估計該校高三年級學生“身高”在[165，175)內的學生人數為28×10=280.
反
思
感
悟
(1)繪制頻率分布直方圖時需注意的兩點
①制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確；
②頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率.
(2)與頻率分布直方圖計算有關的兩個關系式
①×組距=頻率；
②=頻率，此關系式的變形為=樣本容量，樣本
容量×頻率=頻數.
　　　　　某中學團委組織了“紀念抗日戰爭勝利”的知識競賽，從參加競賽的學生中抽取60名學生，將其成績(均為整數)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如圖所示
的部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息，
回答下列問題：
(1)求第四組的頻率，并補全這個頻率分布直
方圖；
跟蹤訓練 2
因為各組的頻率和等于1.
所以第四組的頻率P4=1-(0.025+0.015×2+0.010+0.005)×10=0.3，所以頻率分布直方圖中第四組的縱坐標是=0.030.
補全頻率分布直方圖如圖所示.
(2)估計這次競賽成績的及格率(60分及以上為及格)和平均分(同一組中的數據用該組區間的中點值代表).
依題意得，60分及以上所在的第三、四、
五、六組的頻率和為(0.015+0.030+0.025
+0.005)×10=0.75.
所以估計這項競賽成績的及格率是75%.
利用組中值估計抽樣學生成績的平均分為
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分)，
所以估計這次競賽成績的平均分是71分.
用樣本的百分位數估計總體
三
　某次數學考試后，抽取了20名同學的成績作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.
估計樣本數據的第一四分位數和第80百分位數(保留三位有效數字).
例 3
由圖可知，2a+3a+7a+6a+2a=0.1，所以a=0.005，
則[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，
[90，100]對應的頻率分別為0.1，0.15，0.35，
0.3，0.1，前兩組頻率之和恰為0.25，故第一四
分位數為70.0，前三組頻率之和為0.6，前四組
頻率之和為0.9，所以第80百分位數在第四組.
設第80百分位數為x，則0.6+(x-80)×6×0.005=0.8，解得x≈86.7.
反
思
感
悟
(1)四分位數：第25百分位數，第50百分位數，第75百分位數，這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.
(2)由頻率分布直方圖求百分位數時，一般采用方程的思想，設出第p百分位數，根據其意義列出方程求解.
　　　　　高一(1)班30名學生的一次數學考試成績按從小到大排序結果如下：
51　54　59　60　64　68　68　70　71　72
72　74　75　76　79　80　80　81　82　83
85　87　88　90　91　92　93　95　98　100
則估計這次數學考試成績的第75百分位數為
A.87 B.88 　　C.90 　　　D.87.5
跟蹤訓練 3
√
由30×75%=22.5，可知樣本的第75百分位數為第23項數據，據此估計這次數學考試成績的第75百分位數為88.
用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體
四
1.為了從整體上更好地把握總體規律，我們還可以通過樣本數據的眾數、中位數、平均數估計總體的集中趨勢，通過樣本數據的方差或標準差估計總體的離散程度.
2.掌握樣本數據的眾數、中位數、平均數及方差的計算方法，提升數據分析和數學運算素養.
　　　在某縣100萬戶家庭中隨機抽取200戶家庭，對其2024年的全年收入進行調查，調查結果的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計這200戶家庭的全年收入的樣本平均數和方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
例 4
估計這200戶家庭的全年收入的樣
本平均數=1×0.06+2×0.10+3×
0.14+4×0.31+5×0.30+6×0.06+7
×0.02+8×0.01=4，
方差s2=(-3)2×0.06+(-2)2×0.10+
(-1)2×0.14+02×0.31+12×0.30+22×0.06+32×0.02+42×0.01=1.96.
(2)用樣本的頻率分布估計總體分布，估計該縣100萬戶家庭中全年收入低于1.5萬元的數量.
由頻率分布直方圖可知，樣本中全
年收入低于1.5萬元的頻率為0.06，
所以估計該縣100萬戶家庭中全年
收入低于1.5萬元的數量為100×
0.06=6(萬戶).
反
思
感
悟
(1)一般情況下，需要將平均數和標準差結合，得到更多樣本數據的信息，從而對總體作出較好的估計.因為平均數容易掩蓋一些極端情況，使我們對總體作出片面的判斷，而標準差較好地避免了極端情況.
(2)若兩組數據的平均數差別很大，也可以只比較平均數，估計總體的平均水平，從而作出判斷.
通常我們用樣本的平均數和方差(標準差)來近似代替總體的平均數和方差(標準差)，呈現樣本數據的集中趨勢及波動大小，從而實現對總體的估計.
　　　　　某汽車租賃公司為了調查A型汽車與B型汽車的出租情況，現隨機抽取這兩種車各50輛，分別統計每輛車在某個星期內的出租天數，統計數據如表所示.
跟蹤訓練 4
出租天數 3 4 5 6 7
車輛數 3 30 5 7 5
B型汽車
出租天數 3 4 5 6 7
車輛數 10 10 15 10 5
A型汽車
(1)試根據上面的統計數據，判斷這兩種車在某個星期內的出租天數的方差的大小關系(只需寫出結果)；
由數據的離散程度，可以看出B型汽車在某個星期內出租天數的方差較大.
(2)如果A型汽車與B型汽車每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要購買一輛汽車，請你根據所學的統計知識，給出建議應該購買哪一種車，并說明你的理由.
出租天數 3 4 5 6 7
車輛數 3 30 5 7 5
B型汽車
出租天數 3 4 5 6 7
車輛數 10 10 15 10 5
A型汽車
50輛A型汽車出租天數的平均數為==4.62，
50輛B型汽車出租天數的平均數為==4.8，
方案一：A型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.62，B型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.8，選擇B型汽車的出租車的利潤較大，應該購買B型汽車.
方案二：A型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.62，B型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.8，平均數相差不大，而B型汽車出租天數的方差較大，所以應該購買A型汽車.一、抽樣方法的選取及應用
1.兩種抽樣方法的適用范圍：當總體容量較小，樣本容量也較小時，可采用抽簽法；當總體容量較大，樣本容量較小時，可采用隨機數法；當總體中個體差異較顯著時，可采用分層隨機抽樣.
2.掌握兩種抽樣方法，提升數據分析素養.
例1　某班45名同學都參加了立定跳遠和100米跑兩項體育學業水平測試，立定跳遠和100米跑測試合格的人數分別為30和35，兩項都不合格的人數為5.現從這45名同學中按測試是否合格分層(分成兩項都合格、僅立定跳遠合格、僅100米跑合格、兩項都不合格四種)，若用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取9人進行復測，那么應從兩項都合格的人中抽取(　　)
A.1人 B.2人
C.5人 D.6人
反思感悟　比例分配的分層隨機抽樣的特點是“按比例分配”，即=.
跟蹤訓練1　以下抽樣方法為簡單隨機抽樣的是(　　)
A.在某年明信片的銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的是三等獎
B.某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其質量是否合格
C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解其對學校機構改革的意見
D.用抽簽法從10件產品中選取3件進行質量檢驗
二、用樣本的取值規律估計總體的取值規律
1.根據樣本容量的大小，我們可以選擇利用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖對總體情況作出估計.
2.掌握頻率分布直方圖的繪制及應用，提升數據分析和數學運算素養.
例2　為了解高三年級學生的身高水平，某校按1∶10的比例對700名高三學生按性別分別進行“身高”抽樣檢查，測得“身高”的頻數分布表如表1、表2所示.
表1：男生“身高”頻數分布表
身高(cm) [160，165) [165，170) [170，175)
頻數 2 5 14
身高(cm) [175，180) [180，185) [185，190]
頻數 13 4 2
表2：女生“身高”頻數分布表
身高(cm) [150，155) [155，160) [160，165)
頻數 1 7 12
身高(cm) [165，170) [170，175) [175，180]
頻數 6 3 1
(1)求高三年級的男生人數，并完成下面男生“身高”的頻率分布直方圖；
(2)估計該校高三年級學生“身高”在[165，175)內的人數.
反思感悟　(1)繪制頻率分布直方圖時需注意的兩點
①制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確；
②頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率.
(2)與頻率分布直方圖計算有關的兩個關系式
①×組距=頻率；
②=頻率，此關系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數.
跟蹤訓練2　某中學團委組織了“紀念抗日戰爭勝利”的知識競賽，從參加競賽的學生中抽取60名學生，將其成績(均為整數)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息，回答下列問題：
(1)求第四組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(2)估計這次競賽成績的及格率(60分及以上為及格)和平均分(同一組中的數據用該組區間的中點值代表).
三、用樣本的百分位數估計總體
例3　某次數學考試后，抽取了20名同學的成績作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.
估計樣本數據的第一四分位數和第80百分位數(保留三位有效數字).
反思感悟　(1)四分位數：第25百分位數，第50百分位數，第75百分位數，這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.
(2)由頻率分布直方圖求百分位數時，一般采用方程的思想，設出第p百分位數，根據其意義列出方程求解.
跟蹤訓練3　高一(1)班30名學生的一次數學考試成績按從小到大排序結果如下：
51　54　59　60　64　68　68　70　71　72
72　74　75　76　79　80　80　81　82　83
85　87　88　90　91　92　93　95　98　100
則估計這次數學考試成績的第75百分位數為(　　)
A.87 B.88
C.90 D.87.5
四、用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體
1.為了從整體上更好地把握總體規律，我們還可以通過樣本數據的眾數、中位數、平均數估計總體的集中趨勢，通過樣本數據的方差或標準差估計總體的離散程度.
2.掌握樣本數據的眾數、中位數、平均數及方差的計算方法，提升數據分析和數學運算素養.
例4　在某縣100萬戶家庭中隨機抽取200戶家庭，對其2024年的全年收入進行調查，調查結果的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計這200戶家庭的全年收入的樣本平均數和方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
(2)用樣本的頻率分布估計總體分布，估計該縣100萬戶家庭中全年收入低于1.5萬元的數量.
反思感悟　通常我們用樣本的平均數和方差(標準差)來近似代替總體的平均數和方差(標準差)，呈現樣本數據的集中趨勢及波動大小，從而實現對總體的估計.
(1)一般情況下，需要將平均數和標準差結合，得到更多樣本數據的信息，從而對總體作出較好的估計.因為平均數容易掩蓋一些極端情況，使我們對總體作出片面的判斷，而標準差較好地避免了極端情況.
(2)若兩組數據的平均數差別很大，也可以只比較平均數，估計總體的平均水平，從而作出判斷.
跟蹤訓練4　某汽車租賃公司為了調查A型汽車與B型汽車的出租情況，現隨機抽取這兩種車各50輛，分別統計每輛車在某個星期內的出租天數，統計數據如表所示.
A型汽車
出租天數 3 4 5 6 7
車輛數 3 30 5 7 5
B型汽車
出租天數 3 4 5 6 7
車輛數 10 10 15 10 5
(1)試根據上面的統計數據，判斷這兩種車在某個星期內的出租天數的方差的大小關系(只需寫出結果)；
(2)如果A型汽車與B型汽車每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要購買一輛汽車，請你根據所學的統計知識，給出建議應該購買哪一種車，并說明你的理由.
答案精析
例1　C
跟蹤訓練1　D
例2　解　(1)樣本中男生人數是40，由抽樣比例是1∶10可得高三年級男生人數是400，男生“身高”的頻率分布直方圖如圖所示.
(2)樣本中“身高”在[165，175)內的頻數為28，所以估計該校高三年級學生“身高”在[165，175)內的學生人數為28×10=280.
跟蹤訓練2　解　(1)因為各組的頻率和等于1.
所以第四組的頻率P4=1-(0.025+0.015×2+0.010+0.005)×10=0.3，所以頻率分布直方圖中第四組的縱坐標是=0.030.
補全頻率分布直方圖如圖所示.
(2)依題意得，60分及以上所在的第三、四、五、六組的頻率和為(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75.
所以估計這項競賽成績的及格率是75%.
利用組中值估計抽樣學生成績的平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分)，
所以估計這次競賽成績的平均分是71分.
例3　解　由圖可知，2a+3a+7a+6a+2a=0.1，所以a=0.005，則[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]對應的頻率分別為0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前兩組頻率之和恰為0.25，故第一四分位數為70.0，前三組頻率之和為0.6，前四組頻率之和為0.9，所以第80百分位數在第四組.
設第80百分位數為x，則0.6+(x-80)×6×0.005=0.8，解得x≈86.7.
跟蹤訓練3　B
例4　解　(1)估計這200戶家庭的全年收入的樣本平均數=1×0.06+2×0.10+3×0.14+4×0.31+5×0.30+6×0.06+7×0.02+8×0.01=4，
方差s2=(-3)2×0.06+(-2)2×0.10+(-1)2×0.14+02×0.31+12×0.30+22×0.06+32×0.02+42×0.01=1.96.
(2)由頻率分布直方圖可知，樣本中全年收入低于1.5萬元的頻率為0.06，所以估計該縣100萬戶家庭中全年收入低于1.5萬元的數量為100×0.06=6(萬戶).
跟蹤訓練4　解　(1)由數據的離散程度，可以看出B型汽車在某個星期內出租天數的方差較大.
(2)50輛A型汽車出租天數的平均數為=
=4.62，
50輛B型汽車出租天數的平均數為
=
=4.8，
方案一：A型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.62，B型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.8，選擇B型汽車的出租車的利潤較大，應該購買B型汽車.
方案二：A型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.62，B型汽車在某個星期內出租天數的平均數為4.8，平均數相差不大，而B型汽車出租天數的方差較大，所以應該購買A型汽車.

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