資源簡介

5.1.1　平均變化率
[學習目標]　1.了解平均變化率的實際背景.2.理解平均變化率的含義.3.會求函數在某區間上的平均變化率，并能用平均變化率解釋一些實際問題．
一、平均變化率的概念
問題　如圖是某市近34天最高氣溫的統計圖，用怎樣的數學模型刻畫氣溫變化的快慢程度？
知識梳理
1．一般地，函數f(x)在區間[x1，x2]上的平均變化率為.
2．平均變化率是曲線陡峭程度的“______”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“______”．
注意點：(1)函數在區間[x1，x2]上有意義．
(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可負、可為0.
(3)實質：函數值的改變量與自變量的改變量之比．
(4)作用：刻畫函數值在區間[x1，x2]上變化的快慢．
例1　(多選)某物體的位移公式為s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時間內，下列理解正確的有(　　)
A．(t0＋Δt)－t0為自變量的改變量
B．t0為函數值的改變量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)為函數值的改變量
D.為S(t)在區間[t0，Δt＋t0]上的平均變化率
反思感悟 　平均變化率概念的理解
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可負，但Δx≠0，Δy可為零，若函數f(x)為常數函數，則Δy＝0.
(2)求點x0附近的平均變化率可用表示．
(3)平均變化率一定是相對某一區間而言的，一般地，區間不同，平均變化率也不同．
跟蹤訓練1　(多選)下列說法正確的是(　　)
A．平均變化率只能是正數
B．在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的變化量Δx可取任意實數
C．利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢和快慢程度，效果是“粗糙不精確的”
D．平均變化率的絕對值越大，曲線y＝f(x)在相應區間上越“陡峭”，反之亦然
二、實際問題中的平均變化率
例2　下表為某水庫存水量y(單位：萬m3)與水深x(單位：m)的對照表：
水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35
存水量y/萬m3 0 20 40 90 160 275 437.5 650
(1)當x從5 m增長到10 m時，存水量y關于x的平均變化率為多少？解釋它的實際意義；
(2)當x從25 m增長到30 m時，存水量y關于x的平均變化率為多少？解釋它的實際意義；
(3)比較(1)與(2)的數值的大小，并聯系實際情況解釋意義．
反思感悟　平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時間內的平均速度、加速度、膨脹率、經濟效益等．分清自變量和因變量是解決此類問題的關鍵．
跟蹤訓練2　蜥蜴的體溫與陽光的照射有關，其關系為T＝＋15，其中T為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時間(單位：min)，則t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫的平均變化率為______℃/min.
三、函數中的平均變化率
例3　計算函數f(x)＝x2從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.
并思考：當Δx越來越小時，函數f(x)在區間[1,1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？
反思感悟　求函數平均變化率的步驟
(1)求自變量的改變量x2－x1.
(2)求函數值的改變量f(x2)－f(x1)．
(3)求平均變化率.
跟蹤訓練3　(1)求函數f(x)＝3x2＋2在區間[2,2.1]上的平均變化率；
(2)求函數g(x)＝3x－2在區間[－2，－1]上的平均變化率．
1．知識清單：
(1)平均變化率的概念．
(2)實際問題中的平均變化率．
(3)函數的平均變化率．
2．方法歸納：轉化法．
3．常見誤區：對平均變化率的理解不透徹導致出錯．
1．如圖，函數y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率等于(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．一物體的運動方程是S＝2t＋3(位移單位：m，時間單位：s)，則該物體在[2,2.1]這段時間內的平均速度是(　　)
A．0.4 m/s B．2 m/s C．0.3 m/s D．0.2 m/s
3．已知函數f(x)＝x2－1，當自變量x由1變到1.1時，函數的平均變化率是(　　)
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
4.如圖是某變量變化的折線圖，則該變量在區間[0,2]上的平均變化率為______.
5.1.1　平均變化率
問題　“陡峭”的程度反應了氣溫變化的快與慢；AB兩點相差31天，氣溫相差了15.1°C，則有≈0.5；而BC兩點相差2天，氣溫相差了14.8 °C，則有＝7.4，我們用比值刻畫氣溫變化的快慢程度．
知識梳理
2．數量化　視覺化
例1　ACD　[由自變量的改變量、函數值的改變量、平均變化率的概念易得ACD正確．]
跟蹤訓練1　CD　[平均變化率可正、可負、可以為0，Δx不可為0，故A，B錯誤；平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但當Δx很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”，故C正確，D顯然正確．]
例2　解　(1)根據表格可知當x從5 m增長到10 m時，存水量y關于x的平均變化率為＝4，
即當x從5 m增長到10 m時，水庫存水量隨水深每增加1 m，水量增加4萬m3.
(2)根據表格可知當x從25 m增長到30 m時，
存水量y關于x的平均變化率為＝32.5，
即當x從25 m增長到30 m時，水庫存水量隨水深每增加1 m，水量增加32.5萬m3.
(3)顯然4<32.5，所以該水庫的水深從5 m增長到10 m時，存水量的平均變化率小于水深從25 m增長到30 m時存水量的平均變化率，
說明該水庫的存水量隨著水深的增長會增加的越來越快．
跟蹤訓練2?。?.6
解析　＝＝－1.6(℃/min)，
故從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫的平均變化率為－1.6 ℃/min.
例3　解　因為f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，
所以＝＝Δx＋2.
(1)當Δx＝2時，平均變化率為Δx＋2＝4，
即函數f(x)＝x2在區間[1,3]上的平均變化率為4.
(2)當Δx＝1時，平均變化率為Δx＋2＝3，
即函數f(x)＝x2在區間[1,2]上的平均變化率為3.
(3)當Δx＝0.1時，平均變化率為Δx＋2＝2.1，即函數f(x)＝x2在區間[1,1.1]上的平均變化率為2.1.
(4)當Δx＝0.01時，平均變化率為Δx＋2＝2.01，即函數f(x)＝x2在區間[1,1.01]上的平均變化率為2.01.
觀察上式可知，當Δx越來越小時，函數f(x)在區間[1,1＋Δx]上的平均變化率逐漸變小并接近于2.
跟蹤訓練3　解　(1)函數f(x)＝3x2＋2在區間[2,2.1]上的平均變化率為
＝＝12.3.
(2)函數g(x)＝3x－2在區間[－2，－1]上的平均變化率為
＝
＝＝3.
隨堂演練
1．B　[平均變化率為＝－1.]
2．B　[＝＝＝2(m/s)．]
3．A　[Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝f(1.1)－f(1)＝1.12－1－(12－1)＝0.21，所以函數f(x)＝x2－1在區間[1,1.1]上的平均變化率為＝＝＝2.1.]
4.
解析　由折線圖知，f(x)＝
所以該變量在區間[0,2]上的平均變化率為＝＝.

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