資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.3.2 正方形的判定（學案，有答案）
列清單·劃重點
知識點1 正方形的判定
1.定義法：有一組__________相等的矩形是正方形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是矩形,
∴矩形 ABCD是正方形.
2.定理1：對角線相等的_________是正方形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是菱形,____________,
∴菱形 ABCD是正方形.
3.定理2：對角線互相________的矩形是正方形.
幾何語言：如圖所示，
∵ 四邊形 ABCD 是矩形,____________,
∴矩形 ABCD是正方形.
4.定理3：有一個角是直角的菱形是正方形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形ABCD 是菱形,___________,
∴菱形 ABCD 是正方形.
注意
判定正方形的一般思路；
正方形的判定方法較多，應用時要注意靈活選擇.
知識點2 正方形的性質和判定
注意
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形.
明考點·識方法
考點1 利用矩形證明正方形
典例1 如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD上一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為點 E、F.求證：四邊形 PEBF 是正方形.
思路導析 根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形證明即可。
變式 如圖，在四邊形AECF中, CE,CF 分別是 的內、外角平分線.
(1)求證：四邊形AECF是矩形；
(2)當 滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形 請說明理由.
考點2 利用菱形證明正方形
典例2 如圖，四邊形ABCD 是平行四邊形， 點 E 是邊 CD 的延長線上的動點，連接AE,過點 C作 于點 F.
(1)求證:四邊形ABCD 是正方形;
(2)當點 F 是AE 的中點,且 時，求四邊形ABCD的面積.
思路導析 (1)根據四邊形 ABCD 是平行四邊形，AB=BC得平行四邊形ABCD 為菱形，再根據 即可得出結論；(2)連接 AC，根據于點 F,點 F 為AE 的中點得 CF 為線段 AE 的垂直平分線，則 在中由勾股定理得 據此可得四邊形ABCD的面積.
變式 如圖，四邊形AECF 是菱形,對角線 AC,EF交于點O,點 D，B是對角線EF 所在直線上兩點，且連接 AD,AB, CD,CB,
(1)求證:四邊形ABCD 是正方形;
(2)若正方形 ABCD 的面積為72, 求菱形 AECF 的面積.
考點3 正方形性質和判定的綜合應用
典例3 如圖，在正方形ABCD和 中,點 B,C,G在同一條直線上，P是線段AF 的中點，連接 DP，連接EP 并延長，交AD于點 Q.請證明：
(1)四邊形 ECGF 是矩形;
(2)當 時,四邊形 ECGF 是正方形.
思路導析 (1)根據正方形的性質和平角的定義證明 即可證明平行四邊形 ECGF 是矩形；(2)根據正方形的性質，結合已知條件，證明得出 PE，進而證明 得出 即可得出 根據鄰邊相等的矩形是正方形即可證明.
變式 如圖，正方形ABCD 的對角線 AC,BD 相交于點 O,∥∥
(1)求證:四邊形OCED 是正方形;
(2)若 則點 E 到邊 AB 的距離為___________.
當堂測·夯基礎
1.如圖，將矩形紙片ABCD 折疊,使點 A 落在 BC上的點 F 處, 折痕為 BE，若沿 EF 剪下，則折疊部分是一個正方形，其數學原理是 ( )
A.鄰邊相等的矩形是正方形 B.對角線相等的菱形是正方形
C.兩個全等的直角三角形構成正方形 D.軸對稱圖形是正方形
第1題圖 第2 題圖
2.如圖，在平行四邊形ABCD中，添加的下列條件中，能判定平行四邊形 ABCD是正方形的是 ( )
平分
3.如圖，在正方形ABCD內,作等邊三角形ADE,連接BD,BE.則
4.如圖,在 中，垂足為點 D,AN 是外角 的平分線， AN,垂足為點 E.
(1)求證:四邊形 ADCE 為矩形;
(2)當 滿足什么條件時，四邊形ADCE 是一個正方形 請給出證明；
(3)在(2)的條件下,若, 求正方形 ADCE 的周長.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 1. 鄰邊 2. 菱形 3.垂直 4.∠ABC=90°
【明考點·識方法】
典例1 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形 PEBF 是矩形,
∴四邊形 PEBF 是正方形.
變式 證明:(1)∵CE,CF分別是 的內、外角平分線，
∴∠AEC=∠AFC=90°,∴四邊形 AECF 是矩形;
(2)當△ABC 滿足∠ACB=90°時,四邊形AECF 是正方形,
理由:∵∠ACB=90°,
∴∠EAC=45°=∠ACE,∴AE=CE,
∵四邊形 AECF 是矩形,∴四邊形 AECF 是正方形.
典例2 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,AB=BC,
∴平行四邊形 ABCD 為菱形，
又∵AB⊥BC,∴菱形ABCD為正方形;
(2)連接AC,如圖所示:
∵CF⊥AE于點F,點F為AE 的中點,∴CF 為線段AE的垂直平分線，
∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC,∠ADC=90°,
在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得
∴四邊形 ABCD的面積
變式 解:(1)證明:∵菱形 AECF 的對角線AC 和EF 交于點O,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,∵DE=BF,∴BO=DO,
又∵AC⊥BD,∴四邊形 ABCD 是菱形,
∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°,∴AO=DO,∴AC=BD,
∴四邊形 ABCD 是正方形;
(2)∵正方形 ABCD的面積為72,
∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12,
∵BF=4,∴OF=2,
∵四邊形AECF 是菱形,∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF,.
∴菱形 AECF的面積
典例3 證明:(1)∵四邊形 ABCD 是正方形,∴∠BCD=90°,∴∠GCE=90°,
∵四邊形 ECGF 是平行四邊形，∴平行四邊形 ECGF 是矩形；
(2)在正方形 ABCD 和□ECGF 中,點 B,C，G在同一條直線上，
∴AD∥BG,EF∥BG,∠ADC=90°,AD=DC,∴AD∥EF,∴∠QAP=∠EFP,
∵P 是線段AF 的中點,∴AP=PF,
又∵∠APQ=∠FPE,∴△APQ≌△FPE(ASA),∴AQ=EF,QP=PE,
∵∠DPE=90°,∴∠DPQ=90°,
在△PDQ和△PDE中,,
∴矩形 ECGF 是正方形.
變式 解:(1)證明: ∥∥∴四邊形OCED 是平行四邊形，
在正方形ABCD中，
∴四邊形 OCED 是正方形;
(2)如圖，連接EO并延長，交AB于點G，交CD于點 H,
由(1)知,四邊形OCED 是正方形,
∵四邊形ABCD 是正方形， ∥
∵四邊形OCED 是正方形，
∴點 E到邊 AB 的距離為1.5;
故答案為:1.5.
【當堂測·夯基礎】
1. A 2. A 3. 30
4.解:(1)證明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.
∵AN 是△ABC外角∠CAM的平分線,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE,
∵ ∠DAC + ∠CAE + ∠BAD +∠MAE=180°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°,
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四邊形 ADCE 為矩形;
(2)答案不唯一,如:當∠BAC=90°時,四邊形 ADCE 是一個正方形.
證明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠B=45°,
∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD,
∵四邊形 ADCE為矩形,∴矩形 ADCE是正方形.
故當∠BAC=90°時,四邊形 ADCE 是一個正方形；
(3)由勾股定理，得
∴ AD=2 ,∴AD=2,
∴正方形 ADCE 的周長為 4AD=4×2=8.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑