資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.1.2 菱形的判定（學案，有答案）
列清單·劃重點
知識點1 菱形的判定
1.定義法：有一組____________相等的平行四邊形是菱形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形且
∴平行四邊形 ABCD 是菱形.
2.定理1：對角線__________的平行四邊形是菱形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形且__________，
∴平行四邊形ABCD 是菱形.
3.定理2：四條邊都____________的四邊形是菱形.
幾何語言：如圖所示，
∵____________________,∴四邊形 ABCD 是菱形.
規律總結
判定菱形的基本思路：
四條邊都相等
(1)一般四邊形菱形.
(2)
知識點2 菱形的性質和判定
1.連接對角線構造等腰三角形或直角三角形.
2.作高構造直角三角形.
明考點·識方法
考點1 根據菱形的定義進行判定
典例 1 如圖,在中，對角線 AC 與 BD 相交于點O,點 E,F 在BD 上,BE=EF=FD,且AC 平分∠EAF,連接CE,CF.
(1)求證:四邊形 AECF 是菱形;
(2)若△ABC 的周長為36,BD=24,則四邊形 AECF 的面積為_____________.
思路導析 (1)由平行四邊形的性質可得OA=OC,OB=OD,又根據BE=FD,可得OE=OF,可證四邊形AECF是平行四邊形，由平行線的性質和角平分線的定義可證AE=CE，即可得結論；
(2)由菱形的性質可得AC⊥EF,AO=CO,EO=FO，可得AB=BC，由勾股定理可求AO的長，由菱形的面積公式即可求解.
變式 如圖,已知點 A,D,C,B在同一條直線上,且 AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求證:AE∥BF;
(2)若DF=FC時,求證:四邊形 DECF 是菱形.
考點2 根據菱形的邊進行判定
典例2 在一次數學實踐探究活動中，某興趣小組將一張平行四邊形紙片ABCD 進行折疊，折痕為AE，點 E 在 BC 邊上,點 B 落在點 F 處.當點 F恰好落在AD 邊上時，求證：四邊形 ABEF是菱形.
思路導析 根據四條邊相等的四邊形是菱形進行判定即可.
變式 周末，小美和媽媽買回來一盞簡單而精致的吊燈，其截面如圖所示，四邊形ABCD是一個菱形內框架，四邊形 AECF 是其外部框架,且點 E,B,D，F在同一直線上，
(1)求證:四邊形外框 AECF 是菱形;
(2)若外框 AECF 的周長為 80 cm, 32 cm,BE=7 cm,求 AB 的長.
考點3 根據菱形的對角線進行判定
典例3 如圖,在 中，對角線 BD的垂直平分線分別與AD，BD，BC 相交于點 E,O,F,連接BE,DF.求證:四邊形 EBFD是菱形.
思路導析 首先判定平行四邊形，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行判定即可.
變式 如圖，在 中，對角線AC 與 BD 相交于點O，過點 O的直線EF 與BA,DC的延長線分別交于點E,F.
(1)求證:
(2)請再添加一個條件，使四邊形 BFDE 是菱形，并說明理由.
考點4 菱形性質與判定的綜合應用
典例4 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,點 F 在邊AD上, 連接BF，點O為BF 的中點,AO的延長線交邊BC 于點 E, 連接EF.
(1)求證:四邊形 ABEF 是菱形;
(2)若平行四邊形 ABCD 的周長為22,求AE的長.
思路導析 (1)根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；(2)證明 是等邊三角形，求出AB 可得結論.
變式 如圖，在中,FA⊥AB 交 CD 于點 E,交BC的延長線于點F，且 連接AC, DF.
(1)求證:四邊形 ACFD 是菱形;
(2)若 求四邊形ACFD的面積.
當堂測·夯基礎
1.如圖, 的對角線AC，BD 交于點O，以下條件不能證明是菱形的是 ( )
第1題圖 第2題圖
2.如圖所示,AD 是的角平分線,DE∥AB交AC 于點E,DF∥AC交AB 于點 F,則四邊形AEDF為 ( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四邊形
3.判斷四邊形的框架(如圖)是不是菱形，有以下方法：①檢測框架的四條邊是不是相等 ②檢測框架的四個角是不是相等 ③檢測框架對角線是否互相垂直且相等.其中方法可行的是 ( )
A. ① B. ② C. ①③ D. ②③
第3題圖 第4 題圖
4.如圖,在△ABC中,AD,CD分別平分∠BAC 和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若從三個條件:①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC中,選擇一個作為已知條件，則能使四邊形 ADCE 為菱形的是___________.(填序號)
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 1.鄰邊
2.互相垂直 AC⊥BD
3.相等 AB=BC=CD=DA
【明考點·識方法】
典例1 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,
又∵BE=FD,∴OB-BE=OD-FD.∴OE=OF,∴四邊形 AECF 是平行四邊形，
∴AF∥EC,∴∠FAC=∠ECA,
又∵AC平分∠EAF,∴∠EAC=∠FAC,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=CE,
∴四邊形 AECF 是菱形;
(2)∵四邊形 AECF 是菱形,∴AC⊥EF,AO=CO,EO=FO,∴AB=BC,
∵四邊形ABCD 是平行四邊形,BD=24,∴BO=DO=12,
∵△ABC的周長為36,∴AB+AO=18,
∴AO=5,∴AC=10,
∵BE=EF=FD,∴EF=8,∴四邊形AECF 的面積
故答案為：40.
變式 證明:(1)∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,∴AC=BD,
∵AE=BF,CE=DF,∴△AEC≌△BFD(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF;
(2)∵△AEC≌△BFD,∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,
∵EC=DF,∴四邊形 DECF 是平行四邊形，
∵DF=FC,∴四邊形 DECF 是菱形.
典例2 證明:由折疊可知,△AEF 與△AEB 關于AE 對稱,
∴AF=AB,EF=EB,∠FAE=∠BAE,
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴AD∥BC,
∵點E在BC 邊上,點 F 落在AD 邊上,∴AF∥BE,∴∠FAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB,∴AB=EB=EF=AF,
故四邊形 ABEF 是菱形.
變式 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是菱形,
∴AB=AD=BC=CD,∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB,
∴∠ABE=∠ADF=∠EBC=∠CDF,
在△ABE與△ADF中,
同理可得. ∴四邊形 AECF 是菱形;
(2)連接AC,交 EF 于點O,
∵四邊形 AECF 是菱形,外框 AECF 的周長為80 cm,
∴OE=16 cm,OB=16-7=9(cm),
12(cm),
15(cm).
典例3 證明：∵四邊形 ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,
∵O是BD中點,∴BO=DO,
∵∠EOD=∠BOF,在△DEO和△BFO中,
∴△DEO≌△BFO(ASA),∴OE=OF,∴四邊形 EBFD 是平行四邊形，
又∵EF⊥BD,∴四邊形 EBFD是菱形.
變式 證明:(1)∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,∴OA=OC,BE∥DF,∴∠E=∠F,
在△AOE 和△COF 中, ∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF;
(2)當 EF⊥BD時,四邊形 BFDE 是菱形,(答案不唯一)
理由:如圖:連接 BF,DE,
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴OB=OD,
∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四邊形 BFDE 是平行四邊形，
∵EF⊥BD,∴四邊形 BFDE 是菱形.
典例4 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AD∥BC,即AF∥BE,∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,
∵O為BF的中點,∴BO=FO,∴△AOF≌△EOB(AAS),∴BE=FA,
∵AF∥BE,∴四邊形 ABEF 是平行四邊形，
又∵AB=AF,∴四邊形ABEF 是菱形;
(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE=1,
∵平行四邊形ABCD的周長為22，∴菱形ABEF 的周長為22-2=20,
∴AB=20÷4=5,
∵四邊形 ABEF 是菱形,
又∵AB=BE,∴△ABE是等邊三角形,∴AE=AB=5.
變式 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴AD∥BC,AD=BC,
∵點F在BC 的延長線上,且CF=BC,∴AD∥CF,AD=CF,
∴四邊形ACFD 是平行四邊形，
∵CD∥AB,FA⊥AB交CD 于點E,∴∠CEF=∠BAF=90°,∴FA⊥CD,
∴四邊形 ACFD 是菱形;
(2)∵四邊形 ACFD 是菱形,CD=AB=5,
∴FA=2FE=12, =30,
∴四邊形 ACFD 的面積為 30.
【當堂測·夯基礎】
1. D 2. C 3. A 4.②
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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