資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
6.2.1 矩形的性質(zhì)（學案，有答案）
列清單·劃重點
知識點1 矩形的定義
有一個角是_____________的平行四邊形是矩形.
知識點2 矩形的性質(zhì)
1.一般性質(zhì)：矩形具有___________的所有性質(zhì).
2.特殊性質(zhì)：
(1)定理1:矩形的四個角都是__________.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD是矩形,
(2)定理2：矩形的對角線___________.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是矩形,∴_________________.
3.矩形的對稱性：
矩形既是__________對稱圖形，又是_________對稱圖形，對稱軸是過每組對邊中點的直線.
注意
矩形的兩條對角線將矩形分成四個大的直角三角形或四個小的等腰三角形，因此矩形問題常放在等腰三角形或直角三角形中解決.
知識點3 矩形的面積
知識點4 直角三角形斜邊中線的性質(zhì)
直角三角形斜邊上的___________等于斜邊的一半.
幾何語言：
∵在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB的中線，
∴CD=AD=BD=_________ AB(或AB=________ CD).
明考點·識方法
考點1 矩形的定義及邊角的性質(zhì)
典例1 如圖，在矩形ABCD 中,點 E 在 AD 上,且 EC 平分∠BED,若AB=4,DE=2.
(1)求證:BC=BE;
(2)求△BEC的面積.
思路導(dǎo)析 (1)由矩形的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠BEC=∠ECB,則 BC=BE;
(2)∠A=90°,AB=CD=4,設(shè)BC=BE=x,則AE=x-2,根據(jù)求解x,得出BC,所以△BEC的面積
變式 如圖,矩形 ABCD中，過對角線 BD 的中點O 作 BD 的垂線EF,分別交 AD, BC 于 點 E, F,連接BE,DF.
(1)求證:
(2)若 求四邊形 EBFD的周長.
考點2 矩形對角線的性質(zhì)
典例2 如圖,在矩形 ABCD中,O為對角線AC,BD的交點，過點O的直線分別與邊DA,BC 延長線交于點 E,F.
(1)求證:AE=CF;
(2)若 求證：
思路導(dǎo)析 (1)證明 可得結(jié)論；(2)因為 所以 根據(jù)三角形的外角可得 則AE=AO，從而得結(jié)論.
變式 如圖，在平行四邊形 ABCD中,點 E 是邊AB 的中點,連接CE并延長CE 交 DA 的延長線于點 F,連接 AC,BF.
(1)求證：四邊形 AFBC 是平行四邊形；
(2)若 且四邊形 AFBC 是矩形時，求 的度數(shù).
考點3 直角三角形斜邊中線的性質(zhì)
典例3 如圖，在中,CD為斜邊AB上的中線，過點 D 作 DE ⊥AB,連接 AE,BE, 若 則 DE 的長為____________.
思路導(dǎo)析 先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到 AD=4，再利用勾股定理求出DE 的長即可.
變式 如圖，在中，于點 D,于點 E,點 M,N 分別是 BC,DE
的中點.
(1)求證:
(2)若 求MN的長.
當堂測·夯基礎(chǔ)
1.如圖,在矩形 ABCD中,對角線AC 與BD 相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD
第1題圖 第2題圖
2.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AE⊥BD于點 E,∠ADB=35°,則∠OAE 的度數(shù)為 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3.如圖,在矩形ABCD中,點 E在AB 的延長線上.若 BE=AC=6,∠E=15°,則AD=________.
4.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,對角線AC與BD交于點O,點 E 為BC邊上的一個動點,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分別為點 F,G,則 EF+EG=__________.
第 4 題圖 第 5 題圖
5.如圖,在 Rt△AEB 和 Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O為AB的中點,連接EF,OE,若∠EAF=50°,則∠OEF=___________.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 直角
知識點 2 1.平行四邊形 2.直角 相等 3.中心 軸
知識點 3 2. 2 4
知識點4 中線
【明考點·識方法】
典例1 解:(1)證明:∵四邊形ABCD 是矩形,
∥
∵EC平分∠BED,∴∠BEC=∠DEC,
(2)設(shè)
的面積
變式 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠OED=∠OFB,
∵O是BD 的中點,∴OD=OB,
在△DOE 和△BOF 中, ∴△DOE≌△BOF(AAS);
(2)∵AD∥BC,點 E,F分別在AD,BC上,∴DE∥BF,
∵△DOE≌△BOF,∴DE=BF,∴四邊形 BFDE 是平行四邊形，
∵EF⊥BD,∴四邊形 BFDE 是菱形,∴BE=DE=BF=DF,
∵∠A=90°,AB=4,AD=8,
解得 BE=5,
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×5=20,∴四邊形 BFDE 的周長為20.
典例2 證明:(1)∵四邊形 ABCD是矩形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE 和△OCF中, ∴△OAE≌△OCF(ASA),∴AE=CF;
(2)∵四邊形ABCD 是矩形,
∴OA=OD,∴∠OAD=∠ADB=2∠E,
∵∠OAD=∠E+∠AOE,∴∠E=∠AOE,∴AE=AO,
變式 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴DA∥CB,∴∠EAF=∠EBC,
∵點 E是邊AB 的中點,∴AE=BE,
在△AEF 和△BEC中, ∴△AEF≌△BEC(ASA),∴EF=EC,
又∵AE=BE,∴四邊形 AFBC 是平行四邊形；
(2)∵四邊形 AFBC 是矩形,∴AB=CF,∴EC=EB,∴∠ECB=∠EBC,
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,∠D=50°,∴∠D=∠EBC=50°,∴∠ECB=50°,
∴ ∠AEC = ∠ECB +∠EBC = 50°+50°=100°.
典例3 3 解析:在 Rt△ABC中,CD 為斜邊AB 上的中線,CD=4,
∵DE⊥AB,AE=5,
變式 解:(1)證明:連接EM,DM,
∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵在 Rt△DBC和Rt△EBC中,M是BC 的中點，
∵N是DE 的中點,∴MN⊥ED;
(2)在 Rt△DBC中,M 是BC 的中點,
同理∠MEC=∠MCE,
∵∠ECB+∠DBC=45°,∴∠EMB+∠DMC=2(∠ECB+∠DBC)=90°,∴∠EMD=90°,
∵N是DE 的中點,DE=10,
【當堂測·夯基礎(chǔ)】
1. C 2. A 3. 3 5. 40°
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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