資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.2.2 矩形的判定（學案，有答案）
列清單·劃重點
知識點1 矩形的判定
1.定義法：有一個角是_________的平行四邊形是矩形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
是矩形.
2.定理1：有___________是直角的四邊形是矩形.
幾何語言：如圖所示，
∵_____________＝____________＝____________＝
∴四邊形ABCD 是矩形.
3.定理2：對角線_的平行四邊形是矩形.
幾何語言：如圖所示，
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，且___________，
是矩形.
注意
判定矩形的兩種基本思路：
(1)四邊形矩形.
(2)
知識點2 解決矩形問題常添輔助線
1.連接對角線構造等腰三角形或直角三角形.
2.作對角線上的高，構造含特殊角的直角三角形.
明考點·識方法
考點1 用角判定四邊形是矩形
典例1 如圖,在中， ，D為BC 中點，四邊形ABDE 是平行四邊形.求證：四邊形 ADCE 是矩形.
思路導析 先證四邊形 ADCE 是平行四邊形，再由等腰三角形的性質得 則 即可得出結論.
變式 如圖,在中,AF,BH,CH, DF 分別是與 的平分線,AF 與BH 交于點E,CH 與DF 交于點G,連接EG,FH,求證:
考點2 用對角線判定四邊形是矩形
典例2 如圖，已知在中，對角線AC,BD 相交于點O,
(1)求證: 是矩形；
(2)若 求對角線AC的長.
思路導析 (1)由等腰三角形的性質得 再由平行四邊形的性質得 則 即可得出結論：
(2)由矩形的性質得 再由含 角的直角三角形的性質求解即可.
變式 如圖，已知四邊形ABCD, 對角線AC，BD 相交于點O,點 E 是四邊形ABCD 外一點.
(1)求證:AC,BD互相平分;
(2)若 請判斷四邊形 ABCD的形狀，并給予證明.
考點3 矩形判定和性質的綜合應用
典例3 如圖,線段 DE與AF分別為 的中位線與中線.
(1)求證:AF 與DE互相平分；
(2)當線段 AF 與BC 滿足怎樣的數量關系時，四邊形ADFE為矩形 請說明理由.
思路導析 (1)根據線段中點的定義和三角形的中位線定理，可得四邊形ADFE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質即可解答；(2)當 時，四邊形 ADFE 為矩形，根據三角形的中位線定理可得 從而可得AF=DE，然后利用(1)的結論即可解答.
變式 如圖，在 中，延長 DC 至點 E,使連接 AE,交 BC 于點 F,連接AC,BE, .
(1)求證:四邊形 ABEC 是矩形;
(2)求 的面積.
當堂測·夯基礎
1.在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB= CD.下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是 ( )
A. AB∥CD B. AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D
2.如圖,用長度分別相等的一種材料為對邊做矩形窗框時，工人師傅們常常測量窗框的對角線是否相等，這樣做的數學依據是____________________________.
3.如圖,在矩形 ABCD 中,點 E 在 BC 邊上,DF⊥AE于點 F,若EF=CE=1,AB=3,則線段AF 的長是____________.
第3題圖 第4題圖
4.如圖,在矩形ABCD中,E,F 分別是邊 AB,AD 上的動點,P 是線段 EF 的中點,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H 為垂足,連接 GH.若AB=8,AD=6,EF=7,則GH的最小值是_________.
5.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=90°,O 是邊 AB 的中點,∠AOD=∠BOC.求證:四邊形 ABCD是矩形.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 1. 直角 90° 2.三個角 ∠A ∠B ∠C 3. 相等 AC=BD
【明考點·識方法】
典例1 證明：∵四邊形 ABDE 是平行四邊形，∴AE∥BC,AE=BD,
∵D為BC 中點,∴CD=BD,∴CD∥AE,CD=AE,∴四邊形 ADCE 是平行四邊形，
∵AB=AC,D為BC 中點,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴平行四邊形 ADCE 是矩形.
變式 證明：∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF,BH分別平分∠DAB,∠ABC, ∴∠AEB=∠HEF=90°,同理,∠AFD=90°,∠DGC=90°,
∴∠HGF=∠DGC=90°,∴四邊形 EFGH 是矩形,∴EG=FH.
典例2 解:(1)證明:∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,
∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴BD=AC,∴□ABCD 是矩形;
(2)∵ ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,
∵∠AOB=120°,∴∠ABD=∠OAB=30°,∴BD=2AD=8,∴AC=BD=8.
變式 解:(1)證明: ∴四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴AC,BD互相平分;
(2)四邊形ABCD 是矩形,
證明：連接OE，如圖所示：
由(1)得，四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD 是矩形.
典例3 解:(1)證明:∵點 D 是AB 的中點,
∵點 E 是AC 的中點,點 F 是BC 的中點,∴EF 是 的中位線，
∥∴四邊形 ADFE 是平行四邊形，
∴AF與DE 互相平分;
(2)當 時,四邊形 ADFE 為矩形，
理由：∵線段DE為 的中位線，
由(1)得，四邊形ADFE 是平行四邊形，∴四邊形 ADFE為矩形.
變式 解:(1)證明:∵四邊形 ABCD 是平行四邊形,∠AFC=2∠D,
∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D,
∵CE=CD,∴AB=CE,∴四邊形 ABEC 是平行四邊形，∴BC=2BF,AE=2AF,
∵2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∴∠ABC=∠BAE,∴AF=BF,∴AE=BC,
∴四邊形 ABEC 是矩形;
(2)∵四邊形ABEC 是矩形,AB=2,BC=5,∴∠BAC=90°,
∴□ABCD的面積為
【當堂測·夯基礎】
1. C
2.對角線相等的平行四邊形是矩形
3. 4 4. 6.5
5.證明:∵O是邊AB 的中點,∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中, ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB,
∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°, ∥
∴四邊形 ABCD 是平行四邊形，
又 ∴四邊形 ABCD 是矩形.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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