資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
課時7.3定義、命題、定理（學案）
1.讓學生理解定義的概念，能夠識別不同數學概念的定義，明確定義是對一個概念本質特征的描述。
2.了解命題的概念，能區分命題的題設和結論，會判斷命題的真假。像“相等的角是對頂角“這個命題，學生要能判斷出它是假命題，并能給出反例。
3.理解定理的含義，知道定理是經過證明為真的命題。例如，三角形內角和定理“三角形的內角和等于180°”，明白它是經過嚴格證明得到的結論，并目可以作為后續證明其他命題的依據。
學習重點：深入理解定義、命題、定理的概念。熟練區分命題的題設和結論。
學習難點：命題概念的理解，尤其是對一些復雜語句是否為命題的判斷。
像這樣可以判斷為正確（或真）或錯誤（或假）的陳述句，叫做命題。被判斷為正確（或真）的命題叫做真命題，被判斷為錯誤（或假）的命題叫做假命題；
請指出下列命題的條件和結論，并判斷它們的真假．
（1）如果兩個角是直角，那么這兩個角相等；
（2）絕對值相等的兩個數相等；
（3）兩個鈍角的和一定大于．
【詳解】（1）解：條件：兩個角是直角；結論：這兩個角相等；
直角為，故原命題是真命題；
（2）解：條件：兩個數絕對值相等；結論：這兩個數相等；
絕對值相等的兩個數，還可以互為相反數，不一定相等，故原命題是假命題；
（3）解：條件：兩個角是鈍角；結論：這兩個角的和一定大于；
鈍角大于，故兩個鈍角的和一定大于，故原命題是真命題．
前面，我們學習一些新的數學對象的時候，對它們進行了清晰、明確的描述，根據以往學習的知識填空；
（1）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作 數軸 ；
（2）使得方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作 方程的解 ；
（3）從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的 角平分線；
（4）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作 點到直線的距離 ；
探究一：你能參照復習引入在列舉幾個嗎
例如：（1）有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形稱為正方形；
（2）經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線叫做垂直平分線；
這樣的描述稱為數學對象上的定義 ；一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠準確的幫助我們準確的理解它，并作出準確的判斷。
探究二：判斷下面陳述句是否正確；
（1）等式兩邊加同一個數，結果仍相等； （√）
（2）對頂角相等; （√）
（3）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行； （√）
（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補； （√）
（5）如果一個數能被2整除，那么它也能被4整除； （×）
像這樣可以判斷為正確（或真）或錯誤（或假）的陳述句，叫做命題。被判斷為正確（或真）的命題叫做真命題，被判斷為錯誤（或假）的命題叫做假命題；
探討交流：你還能列舉出哪些假命題？哪些真命題？同學之間討論一下
例1 判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例．
（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
（2）有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
（3）兩個銳角的和是鈍角．
【詳解】（1）解：該命題為假命題，反例：兩條直線不平行時，被第三條直線所截，同位角不相等；
（2）解：該命題為真命題；
（3）解：該命題為假命題，反例：當，時，，不是鈍角．
探究三：觀察下面的命題，它們分別是由哪些部分組成，談論一下
（1）如果兩個數互為相反數，那么它們的絕對值相等；
（2）如果兩個角是鄰補角，那么它們互補；
（3）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；
（4）如果兩個角是相等的角的補角，那么這兩個角相等.
數學中的命題常可以寫成“如果……那么……”的形式，這時“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論。
探討交流：跟同學討論一下，上述的命題的題設是什么？結論是什么？
如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題就是正確的；
如果題設成立，但是結論不一定成立，這么的命題就是錯誤的。
例2 判斷下列語句是否是命題，若是，寫成“如果…那么…”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．
（1）同位角相等，兩直線平行；
（2）延長到點；
（3）同角的補角相等；
（4）平方后等于的數是．
【詳解】（1）解：同位角相等，兩直線平行是真命題，寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩直線被第三條直線所截，同位角相等，那么這兩直線平行；
（2）延長到點不是命題；
（3）同角的補角相等是真命題；寫成“如果…那么…”的形式為∶如果兩個角都是同一個角的補角，那么這兩個角相等；
（4）∵，，
∴平方后等于的數是是假命題，寫成“如果…那么…”的形式為：如果一個數的平方等于，那么這個數為．
探究四：判斷下面命題的正確性是否是經過推理證實的
（1）兩點確定一條直線；
（2）過直線外的一點有且只有一條直線與這條直線平行；
（3）對頂角相等；
（4）內錯角相等，兩直線平行.
它們的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫作定理，定理也可以作為繼續推理的依據。
在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫做證明。
例3 如圖所示，已知直線a⊥b，b∥c，求證a⊥c
∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定義）
∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
∴∠2=90°（等式的基本性質）
∴a⊥c（垂直的定義）
1．下列語句：鈍角大于；兩點之間，線段最短；希望明天下雨；作；同旁內角不互補，兩直線不平行．其中是命題的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：鈍角大于，是命題；
兩點之間，線段最短，是命題；
希望明天下雨，不是命題；
作，不是命題；
同旁內角不互補，兩直線不平行，是命題；
綜上可知：是命題
2．對于命題“若，則．”能說明它屬于假命題的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】解：對于命題“若 則 ”，能說明它屬于假命題的反例是： ，，，但 ．
3．將命題“等腰三角形中兩腰上的中線相等”的逆命題改寫成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一個三角形的兩邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三角形
【詳解】解：由題意，逆命題為：如果一個三角形的兩邊上的中線相等，那么這個三角形是等腰三角形．
4．如圖，有三個論斷：
① ；
② ；
③．
(1)請你從中任選兩個作為題設，另一個作為結論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題；
(2)選擇（）中的一個真命題加以證明．
【詳解】（1）解：選擇①②為題設，③為結論，命題為：若，，則，該命題是真命題；
選擇①③為題設，②為結論，命題為：若，，則，該命題是真命題；
選擇②③為題設，①為結論，命題為：若，，則，該命題是真命題；
（2）證明：選擇①②為題設，③為結論，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
選擇①③為題設，②為結論，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
選擇②③為題設，①為結論
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴．
5．完成下面的推理說明：
已知：如圖，，分別平分和．
求證：．
證明：∵分別平分和（已知），
∴______，______（____________）．
∵（____________），
∴（______________________）．
∴____________（____________），
∴∠____________（等式的基本性質），
∴（______________________）；
【詳解】解：（1）∵、分別平分和(已知)，
∴(角平分線的定義)，
∵(已知)，
∴(兩直線平行，內錯角相等)，
∴(等量代換)，
∴(等式的性質)，
∴(內錯角相等，兩直線平行)．
故答案為：；；角平分線的定義；已知；兩直線平行，內錯角相等；；；等量代換；；；內錯角相等，兩直線平行；
6．已知命題“兩直線平行，同旁內角互補”．
(1)寫出該命題的題設和結論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想證明該命題，下面是她的解題過程，請將其補全，并在括號內填上推理的根據．
如圖，已知直線，直線截，于點M，N．
求證　　．
證明：∵（已知），
∴（ 　　）．
∵　　（平角的定義），
∴　　（ 　　）．
【答案】(1)該命題的題設是“兩直線平行”，結論是“同旁內角互補”，改成“如果……那么……”的形式是：如果兩直線平行，那么同旁內角互補
(2)；兩直線平行，同位角相等；；；等量代換
【詳解】（1）該命題的題設是“兩直線平行”，結論是“同旁內角互補”，
改成“如果……那么……”的形式是：如果兩直線平行，那么同旁內角互補；
（2）如圖，已知直線，直線截，于點M，N．
求證．
證明：∵（已知），
∴（兩直線平行，同位角相等）．
∵（平角的定義），
∴（等量代換）．
故答案為：；兩直線平行，同位角相等；；；等量代換．中小學教育資源及組卷應用平臺
課時7.3定義、命題、定理（學案）
1.讓學生理解定義的概念，能夠識別不同數學概念的定義，明確定義是對一個概念本質特征的描述。
2.了解命題的概念，能區分命題的題設和結論，會判斷命題的真假。像“相等的角是對頂角“這個命題，學生要能判斷出它是假命題，并能給出反例。
3.理解定理的含義，知道定理是經過證明為真的命題。例如，三角形內角和定理“三角形的內角和等于180°”，明白它是經過嚴格證明得到的結論，并目可以作為后續證明其他命題的依據。
學習重點：深入理解定義、命題、定理的概念。熟練區分命題的題設和結論。
學習難點：命題概念的理解，尤其是對一些復雜語句是否為命題的判斷。
像這樣可以判斷為 或 的 ，叫做命題。被判斷為正確（或真）的命題叫做 ，被判斷為錯誤（或假）的命題叫做 ；
請指出下列命題的條件和結論，并判斷它們的真假．
（1）如果兩個角是直角，那么這兩個角相等；
（2）絕對值相等的兩個數相等；
（3）兩個鈍角的和一定大于．
前面，我們學習一些新的數學對象的時候，對它們進行了清晰、明確的描述，根據以往學習的知識填空；
（1）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作 ；
（2）使得方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作 ；
（3）從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的 ；
（4）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作 ；
探究一：你能參照復習引入在列舉幾個嗎
例如：（1）有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形稱為 ；
（2）經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線叫做 ；
這樣的描述稱為數學對象上的 ；一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠準確的幫助我們準確的理解它，并作出準確的判斷。
探究二：判斷下面陳述句是否正確；
（1）等式兩邊加同一個數，結果仍相等； （ ）
（2）對頂角相等; （ ）
（3）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行； （ ）
（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補； （ ）
（5）如果一個數能被2整除，那么它也能被4整除； （ ）
像這樣可以判斷為 或 的 ，叫做命題。被判斷為正確（或真）的命題叫做 ，被判斷為錯誤（或假）的命題叫做 ；
探討交流：你還能列舉出哪些假命題？哪些真命題？同學之間討論一下
例1 判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例．
（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
（2）有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
（3）兩個銳角的和是鈍角．
探究三：觀察下面的命題，它們分別是由哪些部分組成，談論一下
（1）如果兩個數互為相反數，那么它們的絕對值相等；
（2）如果兩個角是鄰補角，那么它們互補；
（3）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；
（4）如果兩個角是相等的角的補角，那么這兩個角相等.
數學中的命題常可以寫成“ ”的形式，這時“如果”后接的部分是 ，“那么”后接的部分是 。
探討交流：跟同學討論一下，上述的命題的題設是什么？結論是什么？
如果題設成立， ，這樣的命題就是正確的；
如果題設成立， ，這么的命題就是錯誤的。
例2 判斷下列語句是否是命題，若是，寫成“如果…那么…”的形式，并判斷其是真命題還是假命題．
（1）同位角相等，兩直線平行；
（2）延長到點；
（3）同角的補角相等；
（4）平方后等于的數是．
探究四：判斷下面命題的正確性是否是經過推理證實的
（1）兩點確定一條直線；
（2）過直線外的一點有且只有一條直線與這條直線平行；
（3）對頂角相等；
（4）內錯角相等，兩直線平行.
它們的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫作 ，定理也可以作為繼續推理的依據。
在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫做 。
例3 如圖所示，已知直線a⊥b，b∥c，求證a⊥c
∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（ ）
∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（ ）
∴∠2=90°（ ）
∴a⊥c（ ）
1．下列語句：鈍角大于；兩點之間，線段最短；希望明天下雨；作；同旁內角不互補，兩直線不平行．其中是命題的是（ ）
A． B．
C． D．
2．對于命題“若，則．”能說明它屬于假命題的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．將命題“等腰三角形中兩腰上的中線相等”的逆命題改寫成“如果…，那么…”的形式 ．
4．如圖，有三個論斷：
① ；
② ；
③．
(1)請你從中任選兩個作為題設，另一個作為結論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題；
(2)選擇（）中的一個真命題加以證明．
5．完成下面的推理說明：
已知：如圖，，分別平分和．
求證：．
證明：∵分別平分和（已知），
∴______，______（____________）．
∵（____________），
∴（______________________）．
∴____________（____________），
∴∠____________（等式的基本性質），
∴（______________________）；
6．已知命題“兩直線平行，同旁內角互補”．
(1)寫出該命題的題設和結論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想證明該命題，下面是她的解題過程，請將其補全，并在括號內填上推理的根據．
如圖，已知直線，直線截，于點M，N．
求證　　．
證明：∵（已知），
∴（ 　　）．
∵　　（平角的定義），
∴　　（ 　　）．

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