資源簡介

(共74張PPT)
第七章
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7.4
數學建模活動：周期現象的描述
1.能利用三角函數解決簡單的實際問題.
2.體會利用三角函數構建事物周期變化的數學模型.
學習目標
現實世界中，許多事物的運動、變化呈現出一定的周期性，例如，地球的自轉引起的晝夜交替變化和公轉引起的四季交替變化；海水在月球和太陽引力下發(fā)生的漲落現象；做簡諧運動的物體的位移變化；人體在一天中血壓、血糖濃度的變化等等，如果某種變化著的現象具有周期性，那么它可以借助三角函數來描述，利用三角函數的圖象和性質解決相應的實際問題，今天，我們就一起來探究如何構建三角函數模型解決實際問題.
導 語
一、三角函數模型在物理學中的應用
二、三角函數模型在生活中的應用
課時對點練
三、確定模型解決實際問題
隨堂演練
內容索引
三角函數模型在物理學中的應用
一
1.單擺、彈簧等簡諧振動模型
單擺、彈簧等簡諧振動可以用三角函數表達為y=Asin(ωx+φ)，其中x表
示時間，y表示位移，A表示振幅，表示頻率，φ表示初相位.
2.音叉發(fā)出的純音振動模型
音叉發(fā)出的純音振動可以用三角函數表達為y=Asin ωx，其中x表示時間，
y表示純音振動時音叉的位移，表示純音振動的頻率(對應音高)，A表
示純音振動的振幅(對應音強).
3.交變電流模型
交變電流可以用三角函數表達為y=Asin(ωx+φ)，其中x表示時間，y表示
電流，A表示最大電流，表示頻率，φ表示初相位.
4.潮汐現象模型
潮汐現象可以用函數y=Asin(ωx+φ)(x∈[0，+∞)，A>0，ω>0)來表示.
已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移
s(cm)隨時間t(s)的變化規(guī)律為s=4sin，t∈[0，+∞).用“五點法”
作出這個函數的簡圖，并回答下列問題：
(1)小球在開始振動(t=0)時的位移是多少？
例 1
列表如下：
2t+ 0 π 2π
t -
s=4sin 0 4 0 -4 0
描點、連線，圖象如圖所示.
將t=0代入s=4sin，得s=4sin=2，所以小球開始振動時的位
移是2 cm.
(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？
小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4 cm和-4 cm.
(3)經過多長時間小球往復振動一次？
因為振動的周期是π，所以小球往復振動一次所用的時間是π s.
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性.
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
處理物理學問題的策略
反
思
感
悟
已知電流I與時間t的關系為I=Asin(ωt+φ).
(1)如圖所示的是I=Asin(ωt+φ)在一個周期內的圖象，根
據圖中數據求I=Asin(ωt+φ)的解析式；
跟蹤訓練 1
由題圖知A=300，設t1=，t2=，
則周期T=2(t2-t1)=2×=.
∴ω==150π.
又當t=時，I=0，即sin=0，
而|φ|<，∴φ=.
故所求的解析式為I=300sin，t≥0.
(2)如果t在任意一段秒的時間內，電流I=Asin(ωt+φ)
都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數值是多少？
依題意得，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，
又ω∈N+，故所求最小正整數ω=943.
二
三角函數模型在生活中的應用
已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數，其中0≤t≤24，記y=f(t)，下表是某日各時的浪高數據：
例 2
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經長期觀測，y=f(t)的圖象可近似地看成是函數y=Acos ωt+b的圖象.
(1)根據以上數據，求其最小正周期和函數解析式；
由表中數據可知，T=12，∴ω==.
又當t=0時，y=1.5，∴A+b=1.5；
當t=3時，y=1.0，得b=1.0，∴A=0.5=，
∴函數解析式為y=cost+1(0≤t≤24).
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(2)根據規(guī)定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的8∶00到20∶00之間，有多少時間可供沖浪愛好者進行活動？
∵當y>1時，才對沖浪愛好者開放，
∴y=cost+1>1，
即cost>0(0≤t≤24)，
則-+2kπ解得12k-3又0≤t≤24，
∴0≤t<3或9∴在規(guī)定時間內沖浪愛好者只有6個小時可以進行活動，即9解三角函數應用問題的基本步驟
反
思
感
悟
某旅游區(qū)每年各個月接待游客的人數近似地滿足周期性規(guī)律，因而一年中的第n月的從事旅游服務工作的人數f(n)可以近似用函數
f(n)=3 000cos+4 000來刻畫(其中正整數n表示一年中的月份).當
該地區(qū)從事旅游服務工作人數在5 500或5 500以上時，該地區(qū)也進入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份總數有
A.4個 B.5個
C.6個 D.7個
跟蹤訓練 2
√
令3 000cos+4 000≥5 500，
則cos≥，
則-+2kπ≤+≤+2kπ，k∈Z，
解得-6+12k≤n≤-2+12k，k∈Z，
∵1≤n≤12，∴6≤n≤10，
∵n是正整數，
∴n=6，7，8，9，10，共5個.
確定模型解決實際問題
三
平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y(單位：米)隨著一天的時間t(0≤t≤24，單位：時)呈周期性變化，某天各時刻t的水深數據的近似值如表：
例 3
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根據表中近似數據畫出散點圖.觀察散點圖，從①y=Asin(ωt+φ)；
②y=Acos(ωt+φ)+b；③y=-Asin ωt+b(A>0，ω>0，-π<φ<0)中選擇一個合適的函數模型，并求出該擬合模型的函數解析式；
根據表中近似數據畫出散點圖，如圖所示.
依題意，選②y=Acos(ωt+φ)+b作為函數模型，
∴A==，
b==，T=12，
∴ω==，
∴y=cos+，
又∵函數圖象過點(3，2.4)，
即2.4=cos+，
∴cos=1，∴sin φ=-1，
又∵-π<φ<0，∴φ=-，
∴y=cos+=sint+ .
(2)為保證隊員安全，規(guī)定在一天中5~18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(1)中選擇的函數解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全？
由(1)知，y=sint+，
令y≥1.05，即sint+≥1.05，
∴sint≥-，
∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z)，
∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z)，
又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴這一天安排早上5點至7點以及11點至18點組織訓練，能確保集訓隊員的安全.
反
思
感
悟
根據收集的數據，先畫出相應的“散點圖”，觀察散點圖，然后進行函數擬合獲得具體的函數模型，然后利用這個模型解決實際問題.
一物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應值如表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關系
的一個三角函數式為　　　　　　.
跟蹤訓練 3
y=-4cos t
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
設y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0)，
則從表中數據可以得到A=4，ω===，
又由4sin φ=-4.0，得sin φ=-1，
取φ=-，則y=4sin，
即y=-4cos t.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
1.知識清單：
(1)三角函數模型在物理學及生活中的應用.
(2)根據確定的三角函數模型解決生活中的問題.
2.方法歸納：數形結合，數學建模.
3.常見誤區(qū)：忽視實際生活中對三角函數的模型的限制.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.如圖所示的一個單擺，以平衡位置OA為始邊、OB為終邊的角θ(-π<θ<π)
與時間t(s)滿足函數關系式θ=sin，則當t=0時，角θ的大小及單擺
的頻率是
A.， B.2，
C.，π D.2，π
√
當t=0時，θ=sin ==π，故單擺的頻率為.
1
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4
2.已知簡諧振動的振幅是，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則該簡諧振動的頻率和初相分別是
A.， B.，
C.， D.，
√
1
2
3
4
由題意可知A=，32+=52，
則T=8，ω==，∴y=sin.
由圖象過點sin φ=，∴sin φ=，
∵|φ|<，∴φ=.
3.在兩個彈簧上各有一個質量分別為M1和M2的小球做上下自由振動，已知它們在時間t(s)離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由下列兩式確定：
s1=5sin，s2=10cos 2t，當t=時，s1與s2的大小關系是
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能確定
1
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√
當t=時，s1=5sin=5sin =-5，s2=10cos=
10 cos=-5，所以s1=s2.
1
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4
4.設y=f(t)是某港口水的深度y(m)關于時間t(h)的函數，其中0≤t≤24，下列是該港口某一天從0 h至24 h記錄的時間t與水深y的關系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
經觀察，函數y=f(t)的圖象可以近似地看成函數y=k+Asin(ωt+φ)
(t∈[0，24])的圖象，最能近似表示數據間對應關系的是　　　　　　.
y=12+3sin t
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4
由圖表可知，k=12，A=3，=3，
∴T=12，ω==，
又當t=0時，y=12，且點(0，12)在函數的單調遞增區(qū)間上，
∴φ=2nπ，n∈Z，令n=0，得φ=0.
∴y=12+3sin t.
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
課時對點練
五
答案
對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C A C 25
題號 11 12 13 14　 　15
答案 C C 20.5 2 D
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(1)散點圖如圖所示.
9.
(2)設t時的體溫y=Asin(ωt+φ)+c，
由表知ymax=37.4，ymin=36.6，
則c==37，A==0.4，ω===.
由0.4sin+37=37.4，
得sin=1，
即+φ=2kπ+，k∈Z，
則φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-，
故可用三角函數y=0.4sin+37來近似描述這些數據.
答案
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10.
(1)因為x∈[4，16]，則x-∈.
由函數解析式易知，當x-=，即x=14時，函數取得最大值，最大值為30，即最高溫度為30 ℃，當x-=-，即x=6時，函數取得最小值，
最小值為10，即最低溫度為10 ℃，所以最大溫差為30-10=20(℃).
(2)令10sin+20=15，可得sin=-，
而x∈[4，16]，所以x-=-，即x=.
令10sin+20=25，可得sin=，
而x∈[4，16]，所以x-=即x=.
故該細菌在這段時間內能存活-=(小時).
答案
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(1)由題意知，A=40，h=50，T=3，
∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10，
即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-；
∴f(t)=40sin+50(t≥0)；
∴f(2 022)=40sin+50
=40sin+50=10，
即2 022分鐘時，點P所在位置的高度為10 m.
(2)由(1)知，f(t)=40sin+50
=50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20，
答案
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∴-40cost>20，即cost<-，
解得+2kπ即3k+∵-=，
∴轉一圈中有0.5分鐘時間可以看到公園全貌.
答案
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基礎鞏固
1.音叉是呈“Y”形的鋼質或鋁合金發(fā)聲器(如圖1)，各種音叉可因其質量和叉臂長短、粗細不同而在振動時發(fā)出不同頻率的純音.敲擊某個音叉時，在一定時間內，音叉上點P離開平衡位置的位移y與時間t的函數關
系為y=sin ωt，t∈[0，+∞).圖2是該函數在一個周期內的圖象，根據
圖中數據可確定ω的值為
A.200 B.400
C.200π D.400π
√
由圖象可得，T=4×==，則ω=400π.
答案
2.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y=
3sin+k.據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為
A.5 B.6
C.8 D.10
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√
根據圖象得函數的最小值為2，
有-3+k=2，解得k=5，故最大值為3+k=8.
答案
3.如圖所示為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是
A.該質點的振動周期為0.7 s
B.該質點的振幅為5 cm
C.該質點在0.1 s和0.5 s時速度最大
D.該質點在0.3 s和0.7 s時加速度最大
√
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由圖象易知振幅為5 cm，周期T=2×(0.7-0.3)=0.8 s，故A錯誤，B正確；在最高點時，速度為0，加速度最大，故C，D錯誤.
答案
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4.某房地產中介對本市一樓盤在今年的房價做了統(tǒng)計與預測：發(fā)現每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均單價如下表所示：
則此樓盤在第三季度的平均單價大約是
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
√
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
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因為y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，所以當x=1時，500sin(ω+φ)+9 500
=10 000；當x=2時，500sin(2ω+φ)+9 500=9 500，所以ω可取，φ可
取π，即y=500sin+9 500；當x=3時，y=9 000.
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5.據市場調查，一年內某種商品每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈
f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波動(x為月份)，已知3
月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，根據以上條件可確定f(x)的解析式為
A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+)
B.f(x)=9sin(1≤x≤12，x∈N+)
C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12，x∈N+)
D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+)
√
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方法一　令x=3可排除D，令x=7可排除B，由A==2可排除C；
方法二　由題意，可得A=2，b=7，周期T==2×(7-3)=8，
則ω=，f(x)=2sin+7.
∵當x=3時，y=9，∴2sin+7=9，
即sin=1.∵|φ|<，∴φ=-.
∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12，x∈N+).
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6.商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數，某節(jié)日期間某一天商場的人流量滿足函數F(t)=50+4sin (t≥0)，則下列時間段中人流量增加的是
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
√
由-+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，知函數F(t)的單調遞增區(qū)間為
[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z.當k=1時，t∈[3π，5π].
因為[10，15] [3π，5π]，所以C符合題意.
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據I=5sin知ω=100π，該電流的周期為T=== s，
從而頻率為每秒50次，0.5 s往復運動25次.
7.已知某種交流電電流I(A)隨時間t(s)的變化規(guī)律可以擬合為函數I=
5sin，t∈[0，+∞)，則這種交流電在0.5 s內往復運動____次.
25
答案
8.有一小球從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)關于時間t(單位：s)的函數解析式是s=Asin(ωt+φ)，0<φ<，函數圖象如圖所示，則φ=　　　.
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根據圖象，知T=-=，
所以T=1，則ω==2π.
因為t=時，函數取得最大值，
所以2π×+φ=+2kπ，k∈Z.
所以φ=+2kπ，k∈Z，又0<φ<，
所以φ=.
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9.下表中給出了在24小時期間人的體溫的變化(從夜間零點開始計時)：
時間(時) 0 2 4 6 8 10 12
溫度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
時間(時) 14 16 18 20 22 24
溫度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
(1)作出這些數據的散點圖；
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散點圖如圖所示.
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(2)選用一個三角函數來近似描述這些數據.
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設t時的體溫y=Asin(ωt+φ)+c，
由表知ymax=37.4，ymin=36.6，
則c==37，A==0.4，ω===.
由0.4sin+37=37.4，
得sin=1，
即+φ=2kπ+，k∈Z，
則φ=2kπ-，k∈Z，取φ=-，
故可用三角函數y=0.4sin+37來近似描述這些數據.
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10.已知某地一天從4點到16點的溫度變化曲線近似滿足函數y=10sin+20，x∈[4，16].
(1)求該地區(qū)這一段時間內的最大溫差；
因為x∈[4，16]，則x-∈.
由函數解析式易知，當x-=，即x=14時，函數取得最大值，最大值為30，即最高溫度為30 ℃，當x-=-，即x=6時，函數取得最小值，
最小值為10，即最低溫度為10 ℃，所以最大溫差為30-10=20(℃).
答案
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(2)若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時間內，該細菌能生存多長時間？
答案
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令10sin+20=15，
可得sin=-，
而x∈[4，16]，所以x-=-，即x=.
令10sin+20=25，
可得sin=，
而x∈[4，16]，所以x-=即x=.
故該細菌在這段時間內能存活-=(小時).
答案
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11.如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，經過個周
期，乙將傳播到
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
√
綜合運用
相鄰的最大值和最小值之間間隔區(qū)間長度為半個周期，由題圖可知應傳播至丙位置.
答案
12.如圖所示，設點A是單位圓上的一定點，動點P從點A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉一周，點P所旋轉過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數d=f(l)的圖象大致是
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設所對的圓心角為α，則α=l，
弦AP的長d=2|OA|·cos=2|OA|·sin =2sin，即有d=f(l)=2sin .
√
答案
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13.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數
y=a+Acos(x=1，2，3，…，12，A>0)來表示，已知6月份的月
平均氣溫最高為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低為18 ℃，則10月份的
平均氣溫值為　　　　 ℃.
20.5
由題意得∴
∴y=23+5cos，
當x=10時，y=23+5×=20.5.
答案
14.如圖是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心O距離水面1米，已知水輪自點M開始以1分鐘旋轉4圈的速度順時針旋轉，點M距水面的高度y(米)與時間x(秒)滿足函數關系式y(tǒng)=
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∵水輪的半徑為2米，水輪圓心O距離水面1米，∴A=2，
又水輪每分鐘旋轉4圈，故轉一圈需要15秒，
∴T=15=，∴ω=.
Asin(ωx+φ)+1，則A=　　　　，ω=　　　　.
2
答案
15.科學研究已經證實，人的智力、情緒和體力分別以33天、28天和23天為周期，按y=sin(ωx+φ)進行變化，記智力曲線為I，情緒曲線為E，體力曲線為P，且現在三條曲線都處于x軸的同一點處，那么第322天時
A.智力曲線I處于最低點
B.情緒曲線E與體力曲線P都處于上升期
C.智力曲線I與情緒曲線E相交
D.情緒曲線E與體力曲線P都關于(322，0)對稱
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√
拓廣探究
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第322天時，322除33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲線I
位于周期處，情緒曲線E位于周期處，體力曲線P剛好位于起始點處.A項，>，則智力曲線I不處于最低點，故A錯誤；
B項，情緒曲線E處于下降期，故B錯誤；
C項，經過n個周期后，因為周期不同，所以智力曲線I與情緒曲線E不一定相交，故C錯誤；
D項，(322，0)位于體力曲線P與情緒曲線E的交點，且在x軸上，故D正確.
答案
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16.如圖，某公園摩天輪的半徑為40 m，點O距地面的高度為50 m，摩天輪逆時針轉動，每3分鐘轉一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.
(1)已知在時刻t(分鐘)時點P距離地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h，求2 022分鐘時點P距離地面的高度；
答案
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由題意知，A=40，h=50，T=3，
∴ω==；又f(0)=40sin φ+50=10，
即sin φ=-1，又|φ|≤，∴φ=-；
∴f(t)=40sin+50(t≥0)；
∴f(2 022)=40sin+50
=40sin+50=10，
即2 022分鐘時，點P所在位置的高度為10 m.
答案
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(2)當離地面(50+20)m以上時，可以看到公園的全貌，求轉一圈中有多少時間可以看到公園全貌？
答案
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由(1)知，f(t)=40sin+50
=50-40cost(t≥0)；令f(t)>50+20，
∴-40cost>20，即cost<-，
解得+2kπ即3k+∵-=，
∴轉一圈中有0.5分鐘時間可以看到公園全貌.
答案培優(yōu)課　三角函數中的最值問題
　　三角函數的最值問題是三角函數的基本內容，它對三角函數的恒等變形及綜合應用要求較高，解決該類問題的基本途徑一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可轉化為所熟知的函數最值問題.
一、y=Asin(ωx+φ)+B型的最值問題
例1　y=3sin在區(qū)間上的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　.
跟蹤訓練1　已知函數f(x)=1+2sin，則f(x)在上的最小值是　　　　　　，若不等式f(x)-m<2在上恒成立，則實數m的取值范圍是　　　　.
二、可化為y=f(sin x)(y=f(cos x))型的最值問題
例2　已知0≤x≤，求函數y=cos2x-2acos x的最大值M(a)與最小值m(a).
反思感悟　可化為y=f(cos x)型三角函數的最值或值域，也可通過換元法轉為其他函數的最值或值域.
跟蹤訓練2　若函數y=sin2x+acos x+a-在上的最大值是1，則實數a的值為　　　　　　　　.
三、函數圖象平移距離的最小值問題
例3　將函數f(x)=sin 4x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將它的圖象向左平移φ(φ>0)個單位，得到一個偶函數的圖象，則φ的最小值為 (　　)
A. B. C. D.
反思感悟　函數圖象平移后函數解析式發(fā)生了變化，解題時首先確定函數圖象平移后的解析式，再根據新函數具備的性質求出平移距離的通解，再從通解中確定其最小值.
跟蹤訓練3　已知函數f(x)=cos 2ωx的最小正周期為π，將其圖象沿x軸向左平移m(m>0)個單位，所得圖象關于直線x=對稱，則實數m的最小值為 (　　)
A. B.
C. D.
四、由三角函數的值域，求定義域中參數的最值
例4　已知函數f(x)=sin，其中x∈，若f(x)的值域是，則實數a的取值范圍是　　　　.
反思感悟　由值域求定義域，充分利用正余弦函數的圖象，要用整體代換、換元思想，轉換成最簡單的正弦、余弦曲線.
跟蹤訓練4　已知函數f(x)=cos在(0，m)上的值域為，則m的取值范圍是　　　　　　　.
五、求ω的最值問題
例5　(1)已知將函數f(x)=2cos-1(ω>0)的圖象向左平移個單位后與原圖象重合，則ω的最小值是 (　　)
A.3 B. C. D.
(2)先將函數f(x)=sin x的圖象上的各點向左平移個單位，再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?其中ω∈N+且縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調遞增，則ω的最大值為　　　　　　　.
反思感悟　已知三角函數在某區(qū)間遞增(減)求ω的范圍，一般先求函數的遞增(減)區(qū)間，再利用已知區(qū)間是遞增(減)區(qū)間的子集，列關于ω的不等式(組)求范圍或最值.
跟蹤訓練5　設函數f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f對任意的實數x都成立，則ω的最小值為　　　　　　.
答案精析
例1　
解析　∵x∈，
∴2x-∈，
∴sin∈，
∴y∈.
故該函數的值域為.
跟蹤訓練1　2　(1，+∞)
解析　函數f(x)=1+2sin，
又x∈，
∴2x-∈，
即2≤1+2sin≤3，
∴f(x)min=2，f(x)max=3，
∵f(x)-m<2 m>f(x)-2，
∴m>1，即m的取值范圍是(1，+∞).
例2　解　設cos x=t，∵0≤x≤，
∴0≤t≤1.
∵y=t2-2at=(t-a)2-a2，
∴當a≤0時，m(a)=0，
M(a)=1-2a；
當0M(a)=1-2a；當m(a)=-a2，M(a)=0；
當a≥1時，m(a)=1-2a，M(a)=0.
綜上所述，M(a)=
m(a)=
跟蹤訓練2　
解析　y=1-cos2x+acos x+a-=-++a-.
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
①若>1，即a>2，
則當cos x=1時，
ymax=a+a-=1 a
=<2(舍去)；
②若0≤≤1，即0≤a≤2，
則當cos x=時，
ymax=+a-=1，
解得a=或a=-4<0(舍去)；
③若<0，即a<0，
則當cos x=0時，
ymax=a-=1
a=>0(舍去).
綜上可知，a=.
例3　D　[伸長后得y=sin 2x，
平移后得y=sin[2(x+φ)]
=sin(2x+2φ)，
因為該函數為偶函數，
所以2φ=+kπ(k∈Z)，
即φ=+(k∈Z)，又φ>0，
所以取k=0，得φ的最小值為.]
跟蹤訓練3　A　[f(x)=cos 2ωx，
由其最小正周期為π，
得=π，解得ω=1，
所以f(x)=cos 2x.
將其圖象沿x軸向左平移m(m>0)個單位，所得圖象對應函數為
y=cos[2(x+m)]=cos(2x+2m)，
因為其圖象關于x=對稱，
所以+2m=kπ，k∈Z，
所以m=-+，k∈Z，
又m>0，則實數m的最小值為.]
例4　
解析　令t=x+，
∵x∈，
∴t∈.
∴函數y=sin t，
t∈的值域為
，作出y=sin t的圖象.
如圖所示，圖中點A的坐標為，
∴≤a+≤，即≤a≤π.
跟蹤訓練4　
解析　因為x∈(0，m)，
所以-<2x-<2m-.
因為f(x)在(0，m)上的值域為，f(0)=cos=，
所以0<2m-≤，
解得例5　(1)B　[依題意知，=k·T，
k∈N+，
∴=k·，k∈N+，
∴ω=k，k∈N+，
∴ω的最小值為.]
(2)9
解析　由題意易知g(x)
=sin在區(qū)間上單調遞增，所以有
k∈Z，即12k-4≤ω≤8k+，k∈Z.
由12k-4≤8k+可得k≤，
當k=1時，ω∈，所以正整數ω的最大值為9.
跟蹤訓練5　
解析　由于對任意的實數x都有f(x)≤f成立，故當x=時，函數f(x)有最大值，
故f=1，
∴-=2kπ(k∈Z)，
∴ω=8k+(k∈Z)，又ω>0，
∴ωmin=.

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