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章末復習課
第七章
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一、三角函數的定義
二、同角三角函數的基本關系式及誘導公式
三、三角函數的圖象與性質
內容索引
四、三角函數的圖象變換
三角函數的定義
一
1.利用三角函數的定義求三角函數值，以及利用三角函數的定義判斷三角函數值的符號是常見考查題型，含參時要注意檢驗是否出現增根或分類討論.
2.掌握三角函數的定義，重點提升邏輯推理和數學運算素養.
已知角θ的終邊經過點P(-，m)(m≠0)且sin θ=m，試判斷角θ所
在的象限，并求cos θ和tan θ的值.
例 1
由題意得，r=，
所以sin θ==m.
因為m≠0，所以m=±，故角θ是第二或第三象限角.
當m=時，r=2，點P的坐標為(-)，角θ是第二象限角，
所以cos θ===-，
tan θ===-，
當m=-時，r=2，點P的坐標為(-，-)，角θ是第三象限角，所
以cos θ===-，tan θ===.
利用三角函數定義求三角函數值，注意平方能出現增根，開方需取正，所以含參時要檢驗或分類討論.
反
思
感
悟
跟蹤訓練 1
(1)若sin α<0且tan α>0，則α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
∵sin α<0，∴α的終邊在第三或第四象限，
∵tan α>0，∴α的終邊在第一或第三象限，
故α是第三象限角.
(2)已知角α的終邊過點P(-8m，-6sin 30°)，且cos α=-，則m的值為
A.- B.- C. D.
√
由題意得點P(-8m，-3)，r=，
所以cos α==-，所以m=.
二
同角三角函數的基本關系式及誘導公式
1.同角三角函數有兩個基本關系式，重點考查給值求值和給式求值以及簡單的三角函數式的化簡、證明.在求值過程中注意角的范圍、三角函數值的正負判斷，在化簡、證明中充分利用“1”的作用.
2.誘導公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式.記憶規律是：奇變偶不變，符號看象限.其中，奇、偶是指的奇數倍或偶數倍，變與
不變是指函數名稱的變化.若是奇數倍，則函數名稱變為相應的異名函數(即正余互變)；若是偶數倍，則函數名稱不變.符號看象限是指把α看成銳角時原函數值的符號作為結果的符號.
3.掌握正弦、余弦、正切值之間的基本關系及誘導公式，重點提升邏輯推理和數學運算素養.
例 2
已知=-4，求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值.
方法一　由已知得=-4，
解得tan θ=2.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ
=
=
==.
方法二　由已知=-4，
解得tan θ=2.
即=2，∴sin θ=2cos θ.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos2θ
===.
反
思
感
悟
(1)關于同角三角函數的基本關系
一是利用基本關系進行直接運算，二是綜合利用基本關系進行弦、切互化，整體代換求值等.
(2)關于誘導公式的應用
首先結合口訣理解、熟記誘導公式，其次在應用的過程中要善于觀察角度之間的關系，如互余、互補、拆分出特殊角等，以達到靈活應用目的.
已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，求
·tan2(π-α)的值.
跟蹤訓練 2
方程5x2-7x-6=0的兩根為x1=-，
x2=2，
由α是第三象限角，得sin α=-，
則cos α=-，
∴·tan2(π-α)
=·tan2α
=-tan2α=-=-.
三
三角函數的圖象與性質
1.三角函數的性質包括定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等，在研究性質時，將ωx+φ看成一個整體，利用整體代換思想解題是常見的技巧.
2.“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.
3.掌握三角函數的圖象和性質，重點培養直觀想象和數學運算素養.
函數f(x)=3sin的部分圖象如圖所示.
(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；
例 3
f(x)的最小正周期T===π，
令2x+=+kπ，k∈Z，
則x=+，k∈Z，
當k=2時，x0=，y0=3.
(2)求f(x)的單調遞減區間；
令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z.
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的單調遞減區間為，k∈Z.
(3)求f(x)在區間上的最大值和最小值.
因為x∈，
所以2x+∈，
于是當2x+=0，
即x=-時，f(x)取得最大值0；
當2x+=-，
即x=-時，f(x)取得最小值-3.
反
思
感
悟
(1)單調性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函數的單調區間可以通過解不等式的方法去解答，即把ωx+φ視為一個“整體”.
(2)周期性：函數y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期
為，y=tan(ωx+φ)的最小正周期為.
三角函數的四條性質
反
思
感
悟
(3)奇偶性：三角函數中奇函數一般可化為y=Asin ωx或y=Atan ωx，而偶函數一般可化為y=Acos ωx+B的形式.
(4)對稱性：求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的對稱中心和對稱軸，把ωx+φ視為一個整體，分別與y=sin x，y=cos x的對稱中心、對稱軸對應解出x，即得相應函數的對稱中心的坐標和對稱軸方程.對于y=tan(ωx+φ)的對稱中心，則令ωx+φ
=(k∈Z)解得.
(1)函數f(x)=tan的單調遞增區間是
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
跟蹤訓練 3
√
令-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z.
解得-+所以f(x)的單調遞增區間為，k∈Z.
(2)函數y=sin的圖象的對稱中心和對稱軸方程分別
為　　　　　 　　　　　　.
(k∈Z)，x=+，k∈Z
令2x-=kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
∴f(x)的對稱中心為(k∈Z).
令2x-=+kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z.
∴f(x)的對稱軸方程為x=+，k∈Z.
四
三角函數的圖象變換
1.重點考查三角函數的平移變換、伸縮變換和解析式的確定，通過對圖象的描述、觀察來討論函數的有關性質.
2.掌握平移和伸縮變換，以及由圖象求解析式，重點提升直觀想象和邏輯推理素養.
如圖是函數y=Asin(ωx+φ)+k的部分圖象.
(1)求此函數的解析式；
例 4
由圖象知A==，
k==-1，T=2×=π，
∴ω==2，
∴y=sin(2x+φ)-1.
當x=時，2×+φ=+2kπ，k∈Z，
∴φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，
∴φ=，
故所求函數的解析式為y=sin-1.
(2)分析該函數的圖象是由y=sin x的圖象如何變換得來的？
把y=sin x的圖象向左平移個單位，得到y=sin
，得到y=sin
，得到y=sin的圖象，最后把函數y=sin的圖象向下平移1個單位，得到y=sin-1的圖象.
反
思
感
悟
(1)由圖象求解析式一般采用待定系數法求A，ω，φ.求φ時一般代入函數圖象上的最高點或最低點.
(2)先平移后伸縮與先伸縮后平移，兩者平移的量是不同的.左右平移只是把x變成x±φ，其他不變，左右伸縮只是
把x變成ωx或x，其他不變.
把函數f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐
標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位，得到一個
最小正周期為2π的奇函數g(x)，求ω和φ的值.
跟蹤訓練 4
依題意得f(x)第一次變換得到的函數解析式為m(x)=2cos，
則函數g(x)=2cos.
因為函數g(x)的最小正周期為2π，所以ω=2，
則g(x)=2cos.
又因為函數g(x)為奇函數，
所以φ+=+kπ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z.又0<φ<π，則φ=.一、三角函數的定義
1.利用三角函數的定義求三角函數值，以及利用三角函數的定義判斷三角函數值的符號是常見考查題型，含參時要注意檢驗是否出現增根或分類討論.
2.掌握三角函數的定義，重點提升邏輯推理和數學運算素養.
例1　已知角θ的終邊經過點P(-，m)(m≠0)且sin θ=m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值.
反思感悟　利用三角函數定義求三角函數值，注意平方能出現增根，開方需取正，所以含參時要檢驗或分類討論.
跟蹤訓練1　(1)若sin α<0且tan α>0，則α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知角α的終邊過點P(-8m，-6sin 30°)，且cos α=-，則m的值為 (　　)
A.- B.-
C. D.
二、同角三角函數的基本關系式及誘導公式
1.同角三角函數有兩個基本關系式，重點考查給值求值和給式求值以及簡單的三角函數式的化簡、證明.在求值過程中注意角的范圍、三角函數值的正負判斷，在化簡、證明中充分利用“1”的作用.
2.誘導公式可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式.記憶規律是：奇變偶不變，符號看象限.其中，奇、偶是指的奇數倍或偶數倍，變與不變是指函數名稱的變化.若是奇數倍，則函數名稱變為相應的異名函數(即正余互變)；若是偶數倍，則函數名稱不變.符號看象限是指把α看成銳角時原函數值的符號作為結果的符號.
3.掌握正弦、余弦、正切值之間的基本關系及誘導公式，重點提升邏輯推理和數學運算素養.
例2　已知=-4，
求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值.
反思感悟　(1)關于同角三角函數的基本關系
一是利用基本關系進行直接運算，二是綜合利用基本關系進行弦、切互化，整體代換求值等.
(2)關于誘導公式的應用
首先結合口訣理解、熟記誘導公式，其次在應用的過程中要善于觀察角度之間的關系，如互余、互補、拆分出特殊角等，以達到靈活應用目的.
跟蹤訓練2　已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，α是第三象限角，
求·tan2(π-α)的值.
三、三角函數的圖象與性質
1.三角函數的性質包括定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等，在研究性質時，將ωx+φ看成一個整體，利用整體代換思想解題是常見的技巧.
2.“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)的圖象.
3.掌握三角函數的圖象和性質，重點培養直觀想象和數學運算素養.
例3　函數f(x)=3sin的部分圖象如圖所示.
(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；
(2)求f(x)的單調遞減區間；
(3)求f(x)在區間上的最大值和最小值.
反思感悟　三角函數的四條性質
(1)單調性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函數的單調區間可以通過解不等式的方法去解答，即把ωx+φ視為一個“整體”.
(2)周期性：函數y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為，y=tan(ωx+φ)的最小正周期為.
(3)奇偶性：三角函數中奇函數一般可化為y=Asin ωx或y=Atan ωx，而偶函數一般可化為y=Acos ωx+B的形式.
(4)對稱性：求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的對稱中心和對稱軸，把ωx+φ視為一個整體，分別與y=sin x，y=cos x的對稱中心、對稱軸對應解出x，即得相應函數的對稱中心的坐標和對稱軸方程.對于y=tan(ωx+φ)的對稱中心，則令ωx+φ=(k∈Z)解得.
跟蹤訓練3　(1)函數f(x)=tan的單調遞增區間是 (　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函數y=sin的圖象的對稱中心和對稱軸方程分別為　　　　　　　　　　　.
四、三角函數的圖象變換
1.重點考查三角函數的平移變換、伸縮變換和解析式的確定，通過對圖象的描述、觀察來討論函數的有關性質.
2.掌握平移和伸縮變換，以及由圖象求解析式，重點提升直觀想象和邏輯推理素養.
例4　如圖是函數y=Asin(ωx+φ)+k的部分圖象.
(1)求此函數的解析式；
(2)分析該函數的圖象是由y=sin x的圖象如何變換得來的？
反思感悟　(1)由圖象求解析式一般采用待定系數法求A，ω，φ.求φ時一般代入函數圖象上的最高點或最低點.
(2)先平移后伸縮與先伸縮后平移，兩者平移的量是不同的.左右平移只是把x變成x±φ，其他不變，左右伸縮只是把x變成ωx或x，其他不變.
跟蹤訓練4　把函數f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位，得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x)，求ω和φ的值.
答案精析
例1　解　由題意得，r=，
所以sin θ==m.
因為m≠0，所以m=±，故角θ是第二或第三象限角.
當m=時，r=2，點P的坐標為(-，)，角θ是第二象限角，
所以cos θ===-，
tan θ===-，
當m=-時，r=2，點P的坐標為(-，-)，角θ是第三象限角，所以cos θ===-，
tan θ===.
跟蹤訓練1　(1)C　[∵sin α<0，
∴α的終邊在第三或第四象限，
∵tan α>0，∴α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角.]
(2)C　[由題意得點P(-8m，-3)，
r=，
所以cos α==-，
所以m=.]
例2　解　方法一　由已知得
=-4，解得tan θ=2.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=4sin θcos θ-sin2θ-3cos2θ
=
=
==.
方法二　由已知=-4，
解得tan θ=2.
即=2，∴sin θ=2cos θ.
∴(sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)
=(2cos θ-3cos θ)(cos θ-2cos θ)=cos2θ===.
跟蹤訓練2　解　方程5x2-7x-6=0的兩根為x1=-，x2=2，
由α是第三象限角，得sin α=-，
則cos α=-，
∴·
tan2(π-α)=·tan2α
=-tan2α=-=-.
例3　解　(1)f(x)的最小正周期
T===π，
令2x+=+kπ，k∈Z，
則x=+，k∈Z，
當k=2時，x0=，y0=3.
(2)令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z.解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的單調遞減區間為，k∈Z.
(3)因為x∈，
所以2x+∈，
于是當2x+=0，
即x=-時，f(x)取得最大值0；
當2x+=-，
即x=-時，f(x)取得最小值-3.
跟蹤訓練3　(1)B　[令-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z.
解得-+所以f(x)的單調遞增區間為，k∈Z.]
(2)(k∈Z)，
x=+，k∈Z
解析　令2x-=kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
∴f(x)的對稱中心為(k∈Z).
令2x-=+kπ，k∈Z，
解得x=+，k∈Z.
∴f(x)的對稱軸方程為
x=+，k∈Z.
例4　解　(1)由圖象知
A==，
k==-1，
T=2×=π，
∴ω==2，
∴y=sin(2x+φ)-1.
當x=時，2×+φ
=+2kπ，k∈Z，
∴φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，
∴φ=，故所求函數的解析式為
y=sin-1.
(2)把y=sin x的圖象向左平移個單位，得到y=sin的圖象，然后將得到的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短為原來的，得到y=sin的圖象，再將得到的圖象上所有點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的，得到y=sin的圖象，最后把函數y=sin的圖象向下平移1個單位，得到y=sin-1的圖象.
跟蹤訓練4　解　依題意得f(x)第一次變換得到的函數解析式為
m(x)=2cos，
則函數g(x)=2cos.
因為函數g(x)的最小正周期為2π，所以ω=2，
則g(x)=2cos.
又因為函數g(x)為奇函數，
所以φ+=+kπ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z.又0<φ<π，則φ=.

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