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章末復習課
第八章
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五、三角恒等變換的應用
一、向量數量積的運算
二、向量數量積的應用
三、三角函數式求值
內容索引
四、三角函數式的化簡與證明
向量數量積的運算
一
1.求平面向量的數量積主要有三種方法：一是利用定義a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量數量積的幾何意義：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b為a在b上的投影的數量與b的模的乘積；三是利用數量積的坐標運算：a=(x1，y1)，b=
(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2.
2.掌握向量數量積的概念以及求向量數量積的基本方法，重點提升邏輯推理和數學運算素養.
如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=2.若=-3，則=　　　.
例 1
因為
=
=-2-=-3，所以=.
求數量積的兩種常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.從而轉化成基底之間的運算；二是建系進行坐標運算.
反
思
感
悟
已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=，
=，則的值為　　　.
跟蹤訓練 1
-
由題意，得E為AC的中點，F為AB的中點，D為BC的四等分點，以點A為原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴F(1，0)，E(0，2)，D，
∴==.
∴=×+1×(-1)
=-1=-.
二
向量數量積的應用
1.主要考查利用向量的數量積求向量的模、夾角，以及向量的數量積與向量垂直的關系，熟記公式，掌握向量運算，以及向量坐標運算.
2.掌握向量的求模、求夾角公式以及向量垂直的數量積表示，提升邏輯推理和數學運算素養.
已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示數量積a·b；
例 2
由|ka+b|=|a-kb|，
得(ka+b)2=3(a-kb)2，
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2，
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|==1，
|b|==1，
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0，
∴a·b==.
(2)求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角θ的大小.
由(1)知a·b==.
由函數的單調性可知，f(k)=在(0，1]上單調遞減，在[1，+∞)上單調遞增，
∴當k=1時，(a·b)min=f(1)=×(1+1)=，
此時a與b的夾角θ的余弦值cos θ==，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
反
思
感
悟
向量數量積運算是向量運算的核心，利用向量數量積可以解決以下問題，設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
(1)a∥b x1y2-x2y1=0，a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的夾角和模的問題
①|a|=；
②兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π，a，b為非零向量)
cos θ==.
已知|a|=1，|b|=.
(1)若a∥b，求a·b；
跟蹤訓練 2
若a∥b，則a與b的夾角為0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b=|a||b|·cos π=-.
(2)若a與b的夾角為60°，求|a+b|；
因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2
=3+，所以|a+b|=.
(3)若(2a-b)⊥b，求a與b的夾角θ.
若(2a-b)⊥b，則(2a-b)·b=0，
即2a·b-b2=0，所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，即2×cos θ-2=0，所以cos θ=，又0≤θ≤π，所以θ=.
三
三角函數式求值
1.三角函數式求值主要有三種類型：(1)給角求值；(2)給值求值；(3)給值求角.注意觀察已知角與所求角之間的關系，根據需要靈活地進行拆角和湊角的變換.
2.掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式并會靈活運用，提升邏輯推理與數學運算素養.
已知角α的頂點在坐標原點O處，始邊與x軸的正半軸重合，將角α
的終邊繞O點逆時針旋轉后經過點(-3，4)，則sin α=　　　　.
例 3
∵角α的終邊繞O點逆時針旋轉后得到的角為α+，
∴cos==-，
sin==，
∴sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
反
思
感
悟
求值的重要思想是探求已知式與待求式之間的聯系，常常在進行角的變換時，要注意各角之間的和、差、倍、半的關系，
如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β)]，β=[(α+β)-(α-β)]等.
若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，則
α+β的值是
A. B.
C.或 D.或
跟蹤訓練 3
√
∵α∈，
∴2α∈，
又∵sin 2α=，
∴2α∈，α∈，
∴cos 2α=-=-.
又∵β∈，
∴β-α∈，
∴cos(β-α)=-=-，
∴cos(α+β)=cos
=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)
=-×-×=，
易得α+β∈，則α+β=.
四
三角函數式的化簡與證明
1.三角函數式的化簡與證明是常考內容，重點考查三角公式的正用、逆用以及變形用等等，要熟記公式以及公式的變形形式.
2.掌握三角函數公式以及變形形式并會靈活運用，提升邏輯推理素養.
化簡：(-π<α<0).
例 4
原式=
=
==.
因為-π<α<0，所以-<<0，所以sin<0，
所以原式==cos α.
反
思
感
悟
三角函數式的化簡與證明，主要從三個方面尋求思路
(1)觀察函數特點，已知和所求中包含什么函數，它們可以怎樣聯系起來.
(2)觀察角的特點，它們之間可通過何種形式聯系起來.
(3)觀察結構特點，它們之間經過怎樣的變形可達到統一.
求證：tan2x+=.
跟蹤訓練 4
左邊=+=
=
==
==
=
==右邊.
原式得證.
五
三角恒等變換的應用
1.利用三角恒等變換研究函數的性質是重點考查題型，關鍵在于熟練運用三角公式，對解析式變形.常用倍角的降冪公式，輔助角公式以及積化和差與和差化積公式進行化簡.
2.掌握利用三角公式及變形形式對函數式化簡，重點提升邏輯推理與數學運算素養.
已知函數f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函數f(x)的最小正周期和值域；
例 5
f(x)=cos2-sincos-
=(1+cos x)-sin x-=cos.
所以f(x)的最小正周期為2π，值域為.
(2)若f(α)=，求sin 2α的值.
由(1)知f(α)=cos=，
所以cos=.
所以sin 2α=-cos=-cos 2
=1-2cos2=1-=.
反
思
感
悟
(1)為了研究函數的性質，往往要充分利用三角恒等變換公式轉化為正弦型(余弦型)函數，這是解決問題的前提.
(2)解答此類題目要充分運用兩角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化積與積化和差公式消除差異，減少角的種類和函數式的項數，將三角函數表達式變形化簡，然后根據化簡后的三角函數，討論其圖象和性質.
已知函數f(x)=sin·cos.
(1)求f(x)的周期；
跟蹤訓練 5
由積化和差公式可知f(x)=
=sin+sin
=sin-，
∴T==.
(2)若x∈，求f(x)的值域.
∵x∈，
∴4x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈，
∴f(x)的值域為.一、向量數量積的運算
1.求平面向量的數量積主要有三種方法：一是利用定義a·b=|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量數量積的幾何意義：a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b為a在b上的投影的數量與b的模的乘積；三是利用數量積的坐標運算：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2.
2.掌握向量數量積的概念以及求向量數量積的基本方法，重點提升邏輯推理和數學運算素養.
例1　如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，=.若·=-3，則·=　　　　.
反思感悟　求數量積的兩種常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.從而轉化成基底之間的運算；二是建系進行坐標運算.
跟蹤訓練1　已知在△ABC中，A=，AB=2，AC=4，=，=，=，則·的值為　　　　.
二、向量數量積的應用
1.主要考查利用向量的數量積求向量的模、夾角，以及向量的數量積與向量垂直的關系，熟記公式，掌握向量運算，以及向量坐標運算.
2.掌握向量的求模、求夾角公式以及向量垂直的數量積表示，提升邏輯推理和數學運算素養.
例2　已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示數量積a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角θ的大小.
反思感悟　向量數量積運算是向量運算的核心，利用向量數量積可以解決以下問題，設a=(x1，y1)，
b=(x2，y2)，
(1)a∥b x1y2-x2y1=0，a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)求向量的夾角和模的問題
①|a|=；
②兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π，a，b為非零向量)cos θ==.
跟蹤訓練2　已知|a|=1，|b|=.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a與b的夾角為60°，求|a+b|；
(3)若(2a-b)⊥b，求a與b的夾角θ.
三、三角函數式求值
1.三角函數式求值主要有三種類型：(1)給角求值；(2)給值求值；(3)給值求角.注意觀察已知角與所求角之間的關系，根據需要靈活地進行拆角和湊角的變換.
2.掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式并會靈活運用，提升邏輯推理與數學運算素養.
例3　已知角α的頂點在坐標原點O處，始邊與x軸的正半軸重合，將角α的終邊繞O點逆時針旋轉后經過點(-3，4)，則sin α=　　　　　　　　　　.
反思感悟　求值的重要思想是探求已知式與待求式之間的聯系，常常在進行角的變換時，要注意各角之間的和、差、倍、半的關系，如α=2·，α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α=[(α+β)+(α-β)]，β=[(α+β)-(α-β)]等.
跟蹤訓練3　若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，則α+β的值是 (　　)
A. B.
C.或 D.或
四、三角函數式的化簡與證明
1.三角函數式的化簡與證明是常考內容，重點考查三角公式的正用、逆用以及變形用等等，要熟記公式以及公式的變形形式.
2.掌握三角函數公式以及變形形式并會靈活運用，提升邏輯推理素養.
例4　化簡：(-π<α<0).
反思感悟　三角函數式的化簡與證明，主要從三個方面尋求思路
(1)觀察函數特點，已知和所求中包含什么函數，它們可以怎樣聯系起來.
(2)觀察角的特點，它們之間可通過何種形式聯系起來.
(3)觀察結構特點，它們之間經過怎樣的變形可達到統一.
跟蹤訓練4　求證：tan2x+=.
五、三角恒等變換的應用
1.利用三角恒等變換研究函數的性質是重點考查題型，關鍵在于熟練運用三角公式，對解析式變形.常用倍角的降冪公式，輔助角公式以及積化和差與和差化積公式進行化簡.
2.掌握利用三角公式及變形形式對函數式化簡，重點提升邏輯推理與數學運算素養.
例5　已知函數f(x)=cos2-sincos-.
(1)求函數f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)=，求sin 2α的值.
反思感悟　(1)為了研究函數的性質，往往要充分利用三角恒等變換公式轉化為正弦型(余弦型)函數，這是解決問題的前提.
(2)解答此類題目要充分運用兩角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化積與積化和差公式消除差異，減少角的種類和函數式的項數，將三角函數表達式變形化簡，然后根據化簡后的三角函數，討論其圖象和性質.
跟蹤訓練5　已知函數f(x)=sin·cos.
(1)求f(x)的周期；
(2)若x∈，求f(x)的值域.
答案精析
例1　
解析　因為·
=·
=-2-·=-3，
所以·=.
跟蹤訓練1　-
解析　由題意，得E為AC的中點，F為AB的中點，D為BC的四等分點，以點A為原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A(0，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∴F(1，0)，E(0，2)，D，
∴=，
=.
∴·=×+
1×(-1)=-1=-.
例2　解　(1)由|ka+b|=|a-kb|，
得(ka+b)2=3(a-kb)2，
∴k2a2+2ka·b+b2
=3a2-6ka·b+3k2b2，
∴(k2-3)a2+8ka·b+
(1-3k2)b2=0.
∵|a|==1，
|b|==1，
∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0，
∴a·b==.
(2)由(1)知a·b=
=.
由函數的單調性可知，f(k)
=在(0，1]上單調遞減，
在[1，+∞)上單調遞增，
∴當k=1時，(a·b)min
=f(1)=×(1+1)=，
此時a與b的夾角θ的余弦值
cos θ==，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
跟蹤訓練2　解　(1)若a∥b，則a與b的夾角為0或π.所以a·b=|a||b|cos 0=1××1=或a·b
=|a||b|·cos π=-.
(2)因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 60°+|b|2=1+2×1××+2=3+，
所以|a+b|=.
(3)若(2a-b)⊥b，則(2a-b)·b=0，
即2a·b-b2=0，
所以2|a||b|cos θ-|b|2=0，
即2×cos θ-2=0，
所以cos θ=，又0≤θ≤π，
所以θ=.
例3　
解析　∵角α的終邊繞O點逆時針旋轉后得到的角為α+，
∴cos==-，
sin==，
∴sin α=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
跟蹤訓練3　B　[∵α∈，
∴2α∈，
又∵sin 2α=，
∴2α∈，α∈，
∴cos 2α=-=-.
又∵β∈，
∴β-α∈，
∴cos(β-α)=-
=-，
∴cos(α+β)=cos
=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)
=-×-×=，
易得α+β∈，
則α+β=.]
例4　解　原式=
=
=
=.
因為-π<α<0，所以-<<0，所以sin<0，
所以原式==cos α.
跟蹤訓練4　證明　左邊=+=
=
==
==
=
==右邊.
原式得證.
例5　解　(1)f(x)=cos2-sincos-
=(1+cos x)-sin x-
=cos.
所以f(x)的最小正周期為2π，值域為.
(2)由(1)知f(α)=cos
=，所以cos=.
所以sin 2α=-cos
=-cos 2
=1-2cos2=1-=.
跟蹤訓練5　解　(1)由積化和差公式可知f(x)=
+
=sin+sin
=sin-，
∴T==.
(2)∵x∈，
∴4x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈，
∴f(x)的值域為.

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