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第一章
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章末復習課
知識網(wǎng)絡
一、三角函數(shù)的化簡與求值
二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
三、數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的應用
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三角函數(shù)的化簡與求值
一
1.三角函數(shù)的化簡與求值主要用到了任意角三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的誘導公式的知識，其中熟練掌握誘導公式是關鍵所在.
2.通過三角函數(shù)的化簡與求值，提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).
　　 已知角α的終邊經(jīng)過單位圓上的點P.
(1)求sin α的值；
例 1
∵點P在單位圓上，
∴由正弦的定義得sin α=-.
(2)求的值.
原式=
由余弦的定義得cos α=.
解決三角函數(shù)的化簡與求值問題一般先化簡再求值，充分利用誘導公式，進行化簡求值.
反
思
感
悟
跟蹤訓練 1
化簡：.
=
=
==1.
二
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要是借助于正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用整體思想研究y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象變換，這是三角函數(shù)中的核心內(nèi)容.
2.通過研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，促進直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)的提升.
例 2
　　 將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度，縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的sin x的圖象.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
函數(shù)y=
-1的圖象，
∴函數(shù)y=f(x)的最小正周期為T==6.
由2kπ-k∈Z，
得6k-k∈Z，
∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k∈Z.
(2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，求當x∈[0，1]時，函數(shù)y=g(x)的最小值和最大值.
∵函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，
∴當x∈[0，1]時，y=g(x)的最值即為x∈[3，4]時，y=f(x)的最值.
∵當x∈[3，4]時
∴sin .
∴當x∈[0，1]時，y=g(x)的最小值是-1，最大值為.
反
思
感
悟
研究y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性、最值問題，把ωx+φ看作一個整體來解決.
已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，求ω的取值范圍.
跟蹤訓練 2
因為函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，
所以φ==-sin ωx，
要使得f(x)在上單調(diào)遞增，
因為x∈>0，
結合正弦函數(shù)圖象可知-
解得ω≤綜上，ω∈.
數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的應用
三
1.在三角函數(shù)學習和解題過程中，善于運用數(shù)形結合的方法尋找解題的突破口，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結合的習慣，解題先想圖，以圖促解題，用好數(shù)形結合的方法，能起到事半功倍的效果.
2.通過數(shù)形結合的方法，促進直觀想象和核心素養(yǎng)的提升.
　 如果關于x的方程sin 2x-(2+a)sin x+2a=0在x∈上有兩個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.
例 3
sin 2x-(2+a)sin x+2a=0，
即(sin x-2)(sin x-a)=0.
∵sin x-2≠0，∴sin x=a，
因此此題轉(zhuǎn)化為求在x∈上，
sin x=a有兩個實數(shù)根時a的取值范圍.
由y=sin x，x∈≤a<1.
故實數(shù)a的取值范圍是.
反
思
感
悟
數(shù)形結合思想貫穿了三角函數(shù)的始終，對于與方程解有關的問題以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)和由性質(zhì)研究圖象時，常利用數(shù)形結合思想.
方程lg|x|=sin 的實數(shù)根的個數(shù)為
A.4 B.5
C.6 D.7
跟蹤訓練 3
√
由≤1得-1≤lg|x|≤1，
即
圖象公共點的個數(shù)，當x>0時，
兩函數(shù)圖象如圖所示，
兩圖象有3個公共點，同理，當x<0時，兩圖象也有3個公共點，
故兩圖象共有6個公共點，從而方程有6個實數(shù)根，故選C.　　　　　　　　　　　　　　　　
一、三角函數(shù)的化簡與求值
1.三角函數(shù)的化簡與求值主要用到了任意角三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的誘導公式的知識，其中熟練掌握誘導公式是關鍵所在.
2.通過三角函數(shù)的化簡與求值，提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).
例1　已知角α的終邊經(jīng)過單位圓上的點P.
(1)求sin α的值；
(2)求的值.
反思感悟　解決三角函數(shù)的化簡與求值問題一般先化簡再求值，充分利用誘導公式，進行化簡求值.
跟蹤訓練1　化簡：.
二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要是借助于正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用整體思想研究y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象變換，這是三角函數(shù)中的核心內(nèi)容.
2.通過研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，促進直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)的提升.
例2　將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度，縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍，然后向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=sin x的圖象.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，求當x∈［0，1］時，函數(shù)y=g(x)的最小值和最大值.
反思感悟　研究y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性、最值問題，把ωx+φ看作一個整體來解決.
跟蹤訓練2　已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，求ω的取值范圍.
三、數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的應用
1.在三角函數(shù)學習和解題過程中，善于運用數(shù)形結合的方法尋找解題的突破口，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結合的習慣，解題先想圖，以圖促解題，用好數(shù)形結合的方法，能起到事半功倍的效果.
2.通過數(shù)形結合的方法，促進直觀想象和核心素養(yǎng)的提升.
例3　如果關于x的方程sin2x-(2+a)sin x+2a=0在x∈上有兩個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.
反思感悟　數(shù)形結合思想貫穿了三角函數(shù)的始終，對于與方程解有關的問題以及在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)和由性質(zhì)研究圖象時，常利用數(shù)形結合思想.
跟蹤訓練3　方程lg|x|=sin的實數(shù)根的個數(shù)為(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案精析
例1　解　(1)∵點P在單位圓上，
∴由正弦的定義得sin α=-.
(2)原式=·==，
由余弦的定義得cos α=，故原式=.
跟蹤訓練1　解　··
=··
=··=··
=··=1.
例2　解　(1)函數(shù)y=sin x的圖象向下平移1個單位長度得y=sin x-1，再將得到的圖象上的點的橫坐標縮短為原來的，得到y(tǒng)=sinx-1的圖象，然后向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=sin-1的圖象，
∴函數(shù)y=f(x)的最小正周期為
T==6.
由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，
得6k-≤x≤6k+，k∈Z，
∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.
(2)∵函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，
∴當x∈［0，1］時，y=g(x)的最值即為x∈［3，4］時，y=f(x)的最值.
∵當x∈［3，4］時，
x-∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈.
∴當x∈［0，1］時，y=g(x)的最小值是-1，最大值為.
跟蹤訓練2　解　因為函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，
所以φ=，故f(x)=cos
=-sin ωx，
要使得f(x)在上單調(diào)遞減，只需y=sin ωx在上單調(diào)遞增，
因為x∈，所以ωx∈，其中-<0，>0，
結合正弦函數(shù)圖象可知-≥-，≤，解得ω≤，
綜上，ω∈.
例3　解　sin2x-(2+a)sin x+2a=0，
即(sin x-2)(sin x-a)=0.
∵sin x-2≠0，∴sin x=a，
因此此題轉(zhuǎn)化為求在x∈上，
sin x=a有兩個實數(shù)根時a的取值范圍.
由y=sin x，x∈與y=a的圖象(圖略)知，≤a<1.
故實數(shù)a的取值范圍是.
跟蹤訓練3　C　［由≤1得-1≤lg|x|≤1，
即≤|x|≤10，
方程lg|x|=sin實根的個數(shù)就是函數(shù)y=lg|x|與y=sin圖象公共點的個數(shù)，當x>0時，兩函數(shù)圖象如圖所示，
兩圖象有3個公共點，同理，當x<0時，兩圖象也有3個公共點，
故兩圖象共有6個公共點，從而方程有6個實數(shù)根，故選C.］

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