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2009年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——圓錐曲線
1.（2009浙江文）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是（ ）21世紀(jì)教育網(wǎng)
A． B． C． D．
答案：D 【命題意圖】對于對解析幾何中與平面向量結(jié)合的考查，既體現(xiàn)了幾何與向量的交匯，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用．
【解析】對于橢圓，因為，則 21世紀(jì)教育網(wǎng)
2.(2009山東卷文)設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為4,則拋物線方程為( ).
A. B. C. D.
【解析】: 拋物線的焦點F坐標(biāo)為,則直線的方程為,它與軸的交點為A,所以△OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B.
答案:B.
【命題立意】:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)的符號不定而引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應(yīng)變化有兩種情況,這里加絕對值號可以做到合二為一.
3.（2009安徽卷文）下列曲線中離心率為的是21世紀(jì)教育網(wǎng)
A. B. C. D.
【解析】依據(jù)雙曲線的離心率可判斷得..選B。
【答案】B
4.（2009安徽卷文）直線過點（-1，2）且與直線垂直，則的方程是
A． B.
C. D.
【解析】可得斜率為即，選A。
【答案】A
5.（2009天津卷文）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為
【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運用。考察了同學(xué)們的運算能力和推理能力。
6.（2009遼寧卷文）已知圓C與直線x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為
（A） (B)
(C) (D)
【解析】圓心在x＋y＝0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.
【答案】B
7.（2009寧夏海南卷文）已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為
（A）+=1 （B）+=1
（C）+=1 （D）+=1
【答案】B
【解析】設(shè)圓的圓心為（a，b），則依題意，有，解得：，對稱圓的半徑不變，為1，故選B。.
8.（2009福建卷文）若雙曲線的離心率為2，則等于
A. 2 B.
C. D. 1
解析解析 由，解得a=1或a=3，參照選項知而應(yīng)選D.
9.(2009年廣東卷文)以點（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是 .
【答案】
【解析】將直線化為,圓的半徑,所以圓的方程為 21世紀(jì)教育網(wǎng)
10.（2009天津卷文）若圓與圓的公共弦長為，則a=________.
【答案】1
【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1
【考點定位】本試題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式的運用。考察了同學(xué)們的運算能力和推理能力。
11.（2009寧夏海南卷文）已知拋物線C的頂點坐標(biāo)為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若為的中點，則拋物線C的方程為 。
【答案】
【解析】設(shè)拋物線為y2＝kx，與y＝x聯(lián)立方程組，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故.
12.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）
已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.
(1)求橢圓G的方程
(2)求的面積
(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.
【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c;
則 , 解得 ,
所求橢圓G的方程為：. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
(2 )點的坐標(biāo)為

（3）若，由可知點（6，0）在圓外，
若，由可知點（-6，0）在圓外；
不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.
13.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．
（I）求與的值；
（II）設(shè)拋物線上一點的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點．若是的切線，求的最小值．
解析（Ⅰ）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義
點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得
拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得
（Ⅱ）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。
則，當(dāng) 則。
聯(lián)立方程，整理得：
即：，解得或
，而，直線斜率為 21世紀(jì)教育網(wǎng)
，聯(lián)立方程
整理得：，即：
，解得：，或
，
而拋物線在點N處切線斜率：
MN是拋物線的切線，， 整理得
，解得（舍去），或，
14. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）
設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; 21世紀(jì)教育網(wǎng)
（2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標(biāo)原點),并求出該圓的方程;
(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1解:（1）因為,,,
所以, 即. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
當(dāng)m=0時,方程表示兩直線,方程為;
當(dāng)時, 方程表示的是圓
當(dāng)且時,方程表示的是橢圓;
當(dāng)時,方程表示的是雙曲線.
(2).當(dāng)時, 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,
則使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當(dāng)切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.
(3)當(dāng)時,軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因為直線與圓C:(1因為與軌跡E只有一個公共點B1,
由（2）知得,
即有唯一解
則△=, 即, ②
由①②得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點, 21世紀(jì)教育網(wǎng)
由 中,所以,,
B1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,即
當(dāng)時|A1B1|取得最大值,最大值為1.
【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.
15.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）
已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心。橢圓短半軸長半徑的
圓與直線y=x+2相切，
（Ⅰ）求a與b；21世紀(jì)教育網(wǎng)
（Ⅱ）設(shè)該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交與點p..求線段P垂直平分線與的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型。
【思路】（1）由橢圓建立a、b等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.
（2）依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了。
【解析】（1）由于 ∴ ∴ 又 ∴b2=2,a2=3因此，. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
（2）由（1）知F1，F(xiàn)2兩點分別為（-1，0），（1,0），由題意可設(shè)P（1，t）.（t≠0）.那么線段PF1中點為，設(shè)M(x、y)是所求軌跡上的任意點.由于則消去參數(shù)t得
,其軌跡為拋物線（除原點）
16.（2009江西卷文）（本小題滿分14分）
如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點.
（1）求圓的半徑;
（2）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，
證明：直線與圓相切．

解: （1）設(shè)，過圓心作于,交長軸于
由得,
即 (1)
而點在橢圓上, (2)
由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）
(2) 設(shè)過點與圓相切的直線方程為: (3)
則,即 (4)
解得
將(3)代入得,則異于零的解為
設(shè),，則
則直線的斜率為：
于是直線的方程為:
即
則圓心到直線的距離 21世紀(jì)教育網(wǎng)
故結(jié)論成立.
17.（2009天津卷文）（本小題滿分14分）
已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且
（Ⅰ求橢圓的離心率
（Ⅱ）直線AB的斜率；
（Ⅲ）設(shè)點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】 （1）解：由，得,從而
，整理得，故離心率
（2）解：由（1）知，，所以橢圓的方程可以寫為
設(shè)直線AB的方程為即
由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組 21世紀(jì)教育網(wǎng)
消去y整理，得
依題意，
而，有題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以
聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得
(3)由（2）知，，當(dāng)時，得A由已知得
線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為
直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故
當(dāng)時，同理可得
【考點定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎(chǔ)知識。考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力。
18.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）
已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（－1，0）（1，0）。
求橢圓C的方程；
E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
(22)解：（Ⅰ）由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為。
因為A在橢圓上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以橢圓方程為 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分
（Ⅱ）設(shè)直線ＡＥ方程：得，代入得
設(shè)Ｅ（，），Ｆ（，）．因為點Ａ（1，）在橢圓上，所以
，
。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得
，
。
所以直線EF的斜率。
即直線EF的斜率為定值，其值為。 　　 ．．．．．．．12分
19.（2009寧夏海南卷文）(本小題滿分12分)
已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點，焦點在軸上，它的一個項點到兩個
焦點的距離分別是7和1
求橢圓的方程‘
若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，
（e為橢圓C的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
解：
（Ⅰ）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3, 21世紀(jì)教育網(wǎng)
所以橢圓C的方程為
（Ⅱ）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得
而，故 ①
由點P在橢圓C上得
代入①式并化簡得
所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.
20.（2009福建卷文）（本小題滿分14分）
已知直線經(jīng)過橢圓 21世紀(jì)教育網(wǎng)
的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢
圓上位于軸上方的動點，直線，與直線
分別交于兩點。
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這
樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由
解法一：
（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為
故橢圓的方程為
（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而
由得0
設(shè)則得，從而 21世紀(jì)教育網(wǎng)
即又
由得
故
又
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立21世紀(jì)教育網(wǎng)
時，線段的長度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)取最小值時，
此時的方程為
要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。
設(shè)直線
則由解得或

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