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2009年普通高等學校招生全國統一考試試題數學(理)匯編
圓錐曲線方程部分
1．（安徽3）下列曲線中離心率為的是
（A） （B） （C） （D）
答案：B 解析：由得，選B
2．（安徽20）（本小題滿分13分）
點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.
（I）證明: 點是橢圓與直線的唯一交點；
（II）證明:構成等比數列.
解：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數方程，直線和曲線的幾何性質，等比數列等基礎知識。考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。
解：（I）（方法一）由得代入橢圓,
得.
將代入上式,得從而
因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.
(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得
即故P與Q重合。
（方法三）在第一象限內，由可得
橢圓在點P處的切線斜率
切線方程為即。
因此，就是橢圓在點P處的切線。
根據橢圓切線的性質，P是橢圓與直線的唯一交點。
（II）的斜率為的斜率為
由此得構成等比數列。
3．（福建13)過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則________________
答案：2
解析：由題意可知過焦點的直線方程為，聯立有
，又。
4．(福建19)（本小題滿分13分）
已知A,B 分別為曲線C： +=1（y0,a>0）與x軸
的左、右兩個交點，直線過點B,且與軸垂直，S為上
異于點B的一點，連結AS交曲線C于點T.
(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標；
（II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。
解法一：
(Ⅰ)當曲線C為半圓時，如圖，由點T為圓弧的三等分點得∠BOT=60°或120°.
(1)當∠BOT=60°時, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)當∠BOT=120°時,同理可求得點S的坐標為,綜上,
(Ⅱ)假設存在,使得O,M,S三點共線.
由于點M在以SB為直線的圓上,故.
顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設直線AS的方程為.
由
設點
故,從而.
亦即
由得
由,可得即
經檢驗,當時,O,M,S三點共線. 故存在,使得O,M,S三點共線.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假設存在a,使得O,M,S三點共線.
由于點M在以SO為直徑的圓上,故.
顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設直線AS的方程為
由
設點,則有
故
由所直線SM的方程為
O,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即.
故存在,使得O,M,S三點共線.
5．（廣東19）．（本小題滿分１４分）已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區域（含邊界）為．設點是上的任一點，且點與點和點均不重合．
（１）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；
（２）若曲線與點有公共點，試求的最小值．
解：（1）聯立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，
∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為（）.
（2）曲線，
即圓：，其圓心坐標為，半徑
由圖可知，當時，曲線與點有公共點；
當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.
6．(江蘇18)（本小題滿分16分）21世紀教育網
在平面直角坐標系中，已知圓和圓.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。
[解析] 本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。
(1)設直線的方程為：，即
由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，
結合點到直線距離公式，得：
化簡得：
求直線的方程為：或，即或
(2) 設點P坐標為，直線、的方程分別為：
，即：
因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。
故有：，
化簡得：
關于的方程有無窮多解，有：
解之得：點P坐標為或。
7．(遼寧卷16)已知F是雙曲線的左焦點，定點A（1，4），
P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為_________。
答案：9 解析：設雙曲線的右焦點為E，則，
，當A、P、E共線時，
，的最小值為9。
8．(遼寧 20 ) （本小題滿分 12 分）
已知橢圓C經過點A,兩個焦點為.
( 1)求橢圓C的方程；
(2 )E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線 EF的斜率為定值．并求出這個定值．
（1）解：由題意，可設橢圓方程為，
∵A在橢圓上，∴，解得，（舍去）
∴橢圓C的方程為----------------4分。
（2）設AE的方程為：，代入得：
，
設E，F，∵點A在橢圓上，∴，
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式以代，可得
∴直線EF的斜率，
即直線EF的斜率為定值。-------------------------12分
9．(山東9)設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).
A. B. 5 C. D.
答案:D.
解析：雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故選D.
【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
10．（山東22）（本小題滿分14分）
設橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標原點，
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。
解:（1）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點,
所以解得所以橢圓E的方程為
（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,
則△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.
因為,
所以,
,
①當時
因為所以,
所以,
所以當且僅當時取”=”.
當時,.
當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,
綜上, |AB |的取值范圍為即:
【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數問題以及方程的根與系數關系.
11． (天津21）（本小題滿分14分）
以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。
求橢圓的離心率；
求直線AB的斜率；
設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值
本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、圓的方程等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查運算能力和推理能力，滿分14分
解：由//且，得，從而
整理，得，故離心率
解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為
設直線AB的方程為，即.
由已知設，則它們的坐標滿足方程組
消去y整理，得.
依題意，
而 ①
②
由題設知，點B為線段AE的中點，所以
③
聯立①③解得，
將代入②中，解得.
(III)解法一：由（II）可知
當時，得，由已知得.
線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸
的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.
直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組
， 由解得故
當時，同理可得.
解法二：由（II）可知
當時，得,由已知得
由橢圓的對稱性可知B，，C三點共線，因為點H（m，n）在的外接圓上，
且，所以四邊形為等腰梯形.
由直線的方程為,知點H的坐標為.
因為，所以，解得m=c（舍），或.
則，所以. 當時同理可得
12．(浙江9)過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是( )
A． B． C． D．
答案：C 解析：對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，，
則有，
因．
13．(浙江21)（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為．
（I）求橢圓的方程；
（II）設點在拋物線：上，在點處
的切線與交于點．當線段的中點與的中
點的橫坐標相等時，求的最小值．
解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，
（II）不妨設則拋物線在點P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因為直線MN與橢圓有兩個不同的交點，所以有，
設線段MN的中點的橫坐標是，則，
設線段PA的中點的橫坐標是，則，由題意得，即有，其中的或；
當時有，因此不等式不成立；
因此，當時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．
14．（寧夏、海南卷20）（本小題滿分12分）
已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
解:
(Ⅰ)設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得
，
所以橢圓的標準方程為
（Ⅱ）設，其中。由已知及點在橢圓上可得
。
整理得，其中。
（i）時。化簡得
所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。
（ii）時，方程變形為，其中
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分。
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；
15．(北京8)點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，
且，則稱點為“點”，那么下列結論中正確的是 （ ）
A．直線上的所有點都是“點”
B．直線上僅有有限個點是“點”
C．直線上的所有點都不是“點”
D．直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”
答案：A
解析：本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力. 屬于創新題型.
本題采作數形結合法易于求解，如圖，
設，
則，
∵，
∴
消去n,整理得關于x的方程 （1）
∵恒成立，
∴方程（1）恒有實數解，∴應選A.

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