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第四章
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章末復習課
知識網絡
一、三角函數求值
二、三角函數式的化簡與證明
三、三角恒等變換與函數、向量的綜合運用
內容索引
三角函數求值
一
1.三角函數的求值問題通常包括三種類型：給角求值、給值求值、給值求角.
2.通過三角函數求值，提升學生的數學運算素養.
　　 已知tan的值.
例 1
==2cos α.
∵tan=∴tan α=-3，
∵α∈
∴=2=-.
三角函數的求值問題通常包括三種類型：給角求值、給值求值、給值求角.
給角求值的關鍵是將要求角轉化為特殊角的三角函數值；給值求值關鍵是找準要求角與已知角之間的聯系，合理進行拆角、湊角；給值求角實質是給值求值，先求角的某一三角函數值，再確定角的范圍，從而求出角.
反
思
感
悟
跟蹤訓練 1
(1)的值為
A.- B. C. D.
√
原式==.
(2)已知α，β為銳角，cos α=則cos β的值為　　 .
∵α是銳角，cos α=
∴sin α=.
∴tan β=tan[α-(α-β)]=.
∴
又sin2β+cos2β=1，且β是銳角，故cos β=.
二
三角函數式的化簡與證明
1.本章涉及的公式有兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函數基本關系式，熟記公式是解答化簡與證明題的基礎.
2.通過解決三角函數式的化簡與證明問題，提升學生的數學運算素養和邏輯推理素養.
例 2
　　 化簡：.
原式=
=
=cos 2x.
反
思
感
悟
三角函數化簡常用策略有切化弦、異名化同名、降冪公式、“1”的代換等，化簡的結果應做到項數盡可能少，次數盡可能低，函數名盡量統一.
三角函數證明常用方法有從左向右(或從右向左)，一般由繁向簡；從兩邊向中間，左右歸一法；作差證明，證明“左邊-右邊=0”；左右分子、分母交叉相乘，證明差值為0等.
證明：.
跟蹤訓練 2
∵左邊=
=
=
==右邊，∴原等式成立.
三角恒等變換與函數、向量的綜合運用
三
1.向量坐標運算中的數量積、向量的平行與垂直、向量的模等與三角恒等變換知識交匯的一類題，是常考的一種重要題型，多是中檔題.它通常應用向量的坐標運算及三角恒等變換等運算最終化為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再進一步研究其性質.
2.通過解決此類問題，有利于促進學生數學運算素養的提升.
　 已知函數f(x)=sin 2x+cos(x∈R).
(1)求 f(x)的最大值；
例 3
f(x)=sin 2x+cos
=sin 2x+
=
故f(x)的最大值為.
(2)設g(x)=則把函數f(x)的圖象沿x軸至少向左平移多少個單位長度，才可得到函數g(x)的圖象？
設把函數f(x)的圖象向左平移t(t>0)個單位長度，則得到函數
y==的圖象，
令2x+2t+(k∈Z)，得t=kπ-(k∈Z)，
∵t>0，∴當k=1時，t取得最小值.
故把函數f(x)的圖象沿x軸至少向左平移個單位長度，才可得到函數g(x)的圖象.
反
思
感
悟
研究三角函數的性質時，當問題以向量為載體時，一般通過向量運算，將問題轉化為三角函數形式，再運用三角恒等變換如降冪公式、輔助角公式對三角函數進行化簡求解.
已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值；
跟蹤訓練 3
因為向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，
|a-b|=
=
所以2-2cos(α-β)=.
(2)若-求sin α的值.
因為0<α<<β<0，所以0<α-β<π，
因為cos(α-β)=
所以sin(α-β)=
所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=.一、三角函數求值
1.三角函數的求值問題通常包括三種類型：給角求值、給值求值、給值求角.
2.通過三角函數求值，提升學生的數學運算素養.
例1　已知tan的值.
反思感悟　三角函數的求值問題通常包括三種類型：給角求值、給值求值、給值求角.
給角求值的關鍵是將要求角轉化為特殊角的三角函數值；給值求值關鍵是找準要求角與已知角之間的聯系，合理進行拆角、湊角；給值求角實質是給值求值，先求角的某一三角函數值，再確定角的范圍，從而求出角.
跟蹤訓練1　(1)的值為(　　)
A.- B.
C. D.
(2)已知α，β為銳角，cos α=則cos β的值為　　　　.
二、三角函數式的化簡與證明
1.本章涉及的公式有兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函數基本關系式，熟記公式是解答化簡與證明題的基礎.
2.通過解決三角函數式的化簡與證明問題，提升學生的數學運算素養和邏輯推理素養.
例2　化簡：.
反思感悟　三角函數化簡常用策略有切化弦、異名化同名、降冪公式、“1”的代換等，化簡的結果應做到項數盡可能少，次數盡可能低，函數名盡量統一.
三角函數證明常用方法有從左向右(或從右向左)，一般由繁向簡；從兩邊向中間，左右歸一法；作差證明，證明“左邊-右邊=0”；左右分子、分母交叉相乘，證明差值為0等.
跟蹤訓練2　證明：.
三、三角恒等變換與函數、向量的綜合運用
1.向量坐標運算中的數量積、向量的平行與垂直、向量的模等與三角恒等變換知識交匯的一類題，是常考的一種重要題型，多是中檔題.它通常應用向量的坐標運算及三角恒等變換等運算最終化為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再進一步研究其性質.
2.通過解決此類問題，有利于促進學生數學運算素養的提升.
例3　已知函數f(x)=sin 2x+cos(x∈R).
(1)求 f(x)的最大值；
(2)設g(x)=則把函數f(x)的圖象沿x軸至少向左平移多少個單位長度，才可得到函數g(x)的圖象？
反思感悟　研究三角函數的性質時，當問題以向量為載體時，一般通過向量運算，將問題轉化為三角函數形式，再運用三角恒等變換如降冪公式、輔助角公式對三角函數進行化簡求解.
跟蹤訓練3　已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值；
(2)若-求sin α的值.
答案精析
例1　解　
==2cos α.
∵tan==-，
∴tan α=-3，
∵α∈，∴cos α=-，
∴
=2cos α=2×
=-.
跟蹤訓練1　(1)B　[原式====.]
(2)
解析　∵α是銳角，cos α=，
∴sin α=，tan α=.
∴tan β=tan[α-(α-β)]
==.
∴=，
又sin2β+cos2β=1，且β是銳角，
故cos β=.
例2　解　原式
=
=
=
=cos 2x.
跟蹤訓練2　證明　∵左邊=
=
==
=tan +=右邊，∴原等式成立.
例3　解　(1)f(x)=sin 2x+cos
=sin 2x+
=sin 2x+cos 2x
=sin，
故f(x)的最大值為.
(2)設把函數f(x)的圖象向左平移t(t>0)個單位長度，則得到函數
y=sin
=sin的圖象，
令2x+2t+=2kπ+2x-(k∈Z)，
得t=kπ-(k∈Z)，
∵t>0，∴當k=1時，t取得最小值.
故把函數f(x)的圖象沿x軸至少向左平移個單位長度，才可得到函數g(x)的圖象.
跟蹤訓練3　解　(1)因為向量
a=(cos α，sin α)，
b=(cos β，sin β)，
|a-b|=
==，
所以2-2cos(α-β)=，
所以cos(α-β)=.
(2)因為0<α<，-<β<0，
所以0<α-β<π，
因為cos(α-β)=，
所以sin(α-β)=，且sin β=-，cos β=，
所以sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×=.

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