資源簡介

第一單元 倍數和因數
1、0和1,2,3,4,5……這些數都是 (自然數) 。這個部分我們研究的是(非零自然數)。
2、9×4 = 36 36÷4 = 9 (36)能 被(4)和(9)整除 ，(4)和(9)能整除(36)。
倍數和因數是(成對)的，(沒有)單獨的因數和倍數,(4)和(9)都是(36)的因數 .(36)是(4)和(9)的倍數。
3、找一個數的因數可以先寫成(乘法算式)，按組寫出；也可以(依次寫出)，不要漏寫。
如 36的因數：(1,36 ，2,18 ，3,12 ，4,9 ，6)；或者：(1,2,3,4,6,9,12,18,36)。
4、一個自然數的因數中，最小的因數是(1)，最大的因數是(它本身)。1是所有(非零自然數)公有的因數。
5、一個自然數的倍數中，最小的倍數是（它本身），沒有（最大的倍數）。
6、2,4,6,8,10……都是（2的倍數），也就是能被（2整除的數），它們又都是（ 偶數）（0也是偶數。）
1,3,5,7,9……不能被2整除，它們是（奇數） 。
2的倍數特征：（ 個位上是0,2,4,6,8的數）。判斷時只需看（個位）。
5的倍數特征：（ 個位上是0或5的數就是5的倍數）。判斷時只需看（個位）。
如果一個數（同時）能被2和5整除，那它一定是（偶數)，個位上是(0），也就是（整十數）。
7、一個數，如果各個數位上的數字（之和)是3的倍數，這個數就是 (3的倍數)。
判斷一個數能否被3整除，不看(個位)，而是把幾個數字(加起來)看是不是(3的倍數)。
一個數如果能被3整除，同時它又是一個偶數，那它一定能被 (6整除)，是(6的倍數)。
一個數如果能同時被2，5,3整除，那它就是能被3整除的(整十數)，最小的就是( 30).
在填能被3整除的數字時，先看已有(數字和）是幾，再看（差）幾就是(3)的倍數。如果可以填（1），那就還能填（4,7）；填（2），就可以填（2，5,8）；填（3），就可以填（0,3,6,9）
例如：在□填上適當的數使它能被3整除： 5□（1,4,7），22□（2,5,8) ，63□（0,3,6,9）；就可以分別有幾種填法。
注意：如果有其他要求還要仔細分析選擇：
如 5□ 能同時被2和3整除，就只能填（4） ； 22□能同時被3和9整除只能填（5）；
63□能同時被2,5,3整除就只能填（0） 。
8、像2,3,11,19這樣的數，只有（1和它本身）兩個因數，叫做（ 質數） 。
像4,6,12,24這樣的數，除1和它本身外還有（別的因數）（至少3個），叫做 （合數） 。
（1）既不是質數也不是合數。（只有一個因數）
9、20以內的質數有：（2,3,5,7,11,13,17,19） 一共 （八）個，
20以內質數的和是（77），（2+3+5+7+11+13+17+19).10以內的質數的和是（17）(2+3+5+7)。
最小的質數是(2)，同時2也是質數中(唯一)的一個(偶數)，其他都是(奇數)。最小的合數是(4)。
最小的質奇數是(1)，最小的偶數是(0)，最小的自然數是(0)
10、一個合數可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數叫做它的 （質因數）。
如：42可以寫成2,3,7相乘的形式，2，3，7都是質數，同時也是42的因數，因此2,3,7就叫做42的（質因數）。
把一個合數用（質數）相乘的形式表示出來，叫做（分解質因數） 。42=2 3 7
分解質因數一般可以用（短除法）去做，用（質數）做除數，除到商是(質數)為止；也可以先根據數想口訣，再看有沒有合數，繼續用口訣分解，直到全部都是(質數)為止。 56=2 2 2 7
如分解36的質因數：想口訣：四九三十六或者六六三十六都可以，36=4×9，然后二二得四，三三得九，36=2×2×3×3；或者 36=6×6，然后二三得六，36=2×3×2×3。注意：分解質因數必須寫成（質數）相乘的形式。54=2 3 3 3
第二單元 分數的意義和性質
1、分數的意義：把（單位“1”）平均分成若干份，表示這樣的（一）份或（幾）份的數，叫做(分數)。
2、分數單位：把(單位“1”)平均分成若干份，表示這樣的(一)份的數叫做(分數單位）。即（幾分之一）。
3、分數與除法的關系：除法中的被除數相當于分數的（分子），除數相等于（分母）。
4、求一個數是另一個數的幾分之幾用（除法）計算，用（一個數÷另一個數）。
5、分數（未帶單位）表示（兩個量之間的倍數）關系(分率)用（1÷總份數）；分數（帶有單位）表示（一個具體的數量），用（一個數÷另一個數）。
6、分數的大小比較：①（分母）相同的兩個分數，分子（大）的就(大)，分子(小)的就(小)。②(分子)相同的兩個分數，分母(小)的分數反而(大) ，分母大的分數反而(小) 。③ 異分母分數大小比較，先化成(同分母分數)（分數單位相同），再進行比較。
5、分子比分母(小)的分數叫做(真分數)，真分數(小于1)。
6、分子比分母(大)或分子和分母(相等)的分數叫做(假分數)，假分數(大于)1或(等于)1。分子是分母的(倍數)的假分數可以化成(整數），用（分子除以分母）。
7、由整數部分和分數部分組成的分數叫做(帶分數)。
8、把假分數化成帶分數，用(分子除以分母)，所得商作(整數部分)，余數作(分子)，分母(不變)。
9、把帶分數化成假分數，用整數部分乘以分母加上分子作(分子)，分母(不變)。
10、分數的基本性質：分數的分子和分母同時(乘)或(除以)(相同的數）（0除外），分數的大小（不變），這叫做分數的(基本性質)。
11、最大公因數：幾個數(共有)的因數叫做它們的(公因數)，其中(最大)的一個叫做(最大公因數)。可以用(短除法)求最大公因數。
12、兩個數的公因數和它們最大公因數之間的關系：所有的(公因數)都是最大公因數的(因數)，最大公因數是它們的(倍數)。
13、互質數：只有(公因數1）的兩個數叫做（互質數）。
14、兩個數互質的特殊判斷方法：① 1和任何大于1的自然數互質。② 2和任何奇數都是互質數。③ 相鄰的兩個自然數是互質數。④ 相鄰的兩個奇數互質。⑤ 不相同的兩個質數互質。⑥當一個數是合數，另一個數是質數時（除了合數是質數的倍數情況下），一般情況下這兩個數也都是互質數。
15、求最大公因數的方法：① 倍數關系：最大公因數就是（較小數）。② 互質關系：最大公因數就是（1）。③ 一般關系：從大到小看（較小數的因數是否是較大數的因數）。
16、最簡分數：分子和分母只有（公因數1）(是互質數)的分數叫做（最簡分數）。
17、約分：把一個分數化成和它（相等），但分子和分母都比較（小）的分數，叫做（約分）。（并不是一定要把分數化成與它相等的最簡分數才叫約分；但一般要約到（最簡分數)為止）
18、最小公倍數：幾個數(共有)的倍數叫做它們的(公倍數)，其中(最小)的一個叫最小公倍數。可以用(短除法)求最小公倍數。
19、兩個數的公倍數和它們的最小公倍數之間的關系：幾個數的公倍數是它們最小公倍數的(倍數)。
20、通分：把異分母分數分別化成和原來分數(相等)的(同分母)分數，叫做(通分)。（通分時，公分母一般為幾個數的最小公倍數）。
21、求最小公倍數的方法：① 倍數關系： 最小公倍數就是(較大數)。② 互質關系： 最小公倍數就是(它們的乘積)。③ 一般關系：（大數翻倍）（從小到大看較大數的倍數是否是較小數的倍數）。
22、約分和通分的依據都是（分數的基本性質）。
23、小數化分數的方法：一位小數表示（十分之幾），兩位小數表示（百分之幾），三位小數表示（千分之幾……），去掉（小數點）作（分子），能約分的必須約成（最簡分數）。
24、分數化小數的方法：用（分子除以分母），除不盡的按要求保留幾位小數。（一般保留兩位小數。）
25、判斷分數是否能化成有限小數的方法：① 判斷分數是否是最簡分數；如果不是最簡分數，先把它化成最簡分數；
② 把分數的分母分解質因數:如果分母中除了2和5以外，不含有其他（質因數），這個分數就（能化成有限小數）；如果分母中含有2和5（以外的質因數），這個分數就（不能化成有限小數）。
=0.5
第三單元 長方體和正方體
1、長方體和正方體都是（立體圖形）。正方體也叫（立方體）。
2、相交于（一個頂點）的三條棱的長度分別叫做長方體的（長、寬、高）。 （長、寬、高都各有4條，分別平行并且相等）
3、長方體的特征；面：有（6）個面，都是（長方形）（特殊情況下最多有兩個相對的面是正方形）。
相對的面（完全相同）。棱：有（12）條棱。相對的棱（長度相等）。 頂點：有（8）個頂點。
4、正方體的特征：
面：有（6）個面都是(正方形)，(6）個面（完全相同）。棱：有（12）條棱。12條棱的（長度相等），頂點：有（8）個頂點。
相同點
不同點
面
棱
長方體
都有6個面，
12條棱，
8個頂點。
6個面都是長方形。（有可能有兩個相對的面是正方形）。
相對的棱的長度都相等
正方體
6個面都是正方形。
12條棱都相等。
5、正方體是特殊的長方體。6、長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4 7、正方體的棱長總和=棱長×12
8、至少要8個小正方體才能拼成一個稍大的正方體。
9、表面積：一個物體表面所有面的面積（之和）叫做（表面積）。
長方體或正方體(6）個面的（總面積），叫做它的（表面積）。
10、長方體的表面積： ①長方體有（上、下、前、后、左、右）（6）個面。
②長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2???用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2
③特殊長方體的表面積（有兩個面是正方形）正方形的兩個面（完全相同），其余四個面（完全相同）。
11、正方體的表面積=棱長×棱長×6??? 用字母表示： S= 6a
12、表面積的常用單位有（平方米、平方分米、平方厘米），相鄰兩個面積單位之間的進率是（100） 。
1m =100dm 1 dm =100 cm 1 m=10000 cm
13、生活實際：油箱、罐頭盒等都是 （上、下、前、后、左、右 ）（6）個面；游泳池、魚缸等都只有（下、前、后、左、右）（5）個面；水管、煙囪等都只有（前、后、左、右）（ 4)個面。
14、長方體或正方體每(截斷一次)會增加(兩個)截面，所以這時的兩個物體的表面積(大于)原來物體的表面積。
兩個長方體或正方體拼成（一個大)的長方體或正方體會減少(兩個)截面，所以這時的兩個物體的表面積（小于）原來物體 的表面積。
15、長方體或正方體的長、寬、高同時(擴大)幾倍，表面積會擴大(倍數的平方倍)。（如長、寬、高各擴大2倍，表面積就會擴大到原來的2 2=4倍）。
15、體積：物體所占（空間的大小）叫做物體的（體積）。（就是看物體含有多少個體積單位）
16、常用的體積單位有：立方米（ ） 、立方分米（ ） 、立方厘米（ ）
① 棱長是1 cm的正方體，體積是（1 cm ) ② 棱長是1 dm的正方體，體積是（1 dm ） ③ 棱長是1 m的正方體，體積 是（1 m ），相鄰兩個體積單位之間的進率是（1000?） . 1m =（1000）dm ? 1dm=（1000）cm
17、長方體的體積=(長×寬×高?)??? 用字母表示：V=（abh）
18、正方體的體積=（棱長×棱長×棱長）?用字母表示：V=(a ）（讀作：a的立方，表示3個a相乘）
19、底面積：長方體或正方體（底面的面積）叫做底面積。
20、長方體和正方體的體積統一公式：長方體或正方體的體積=（底面積×高）用字母表示：V=Sh S= V÷h h= V÷S
21、容積：容器所能容納物體的（體積），叫做它（的容積）。容積單位有：升（L）、毫升（ml） 1 L = 1000 ml
22、容積單位和體積單位的關系： （ 1 L = 1 dm 1 mL = 1 cm ）
23、容積的計算：長方體和正方體容器容積的計算方法，跟（體積）的計算方法相同，但要從（里面）量（長、寬、高）。（所以物體的體積大于它的容積）。
24、長方體或正方體的長、寬、高同時（擴大）幾倍，體積就會擴大倍數的（立方倍）。（如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的2 2 2=8倍）。
25、排水法：（計算不規則物體的體積）
26、把長方體或正方體截成若干個小長方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。
把長方體或正方體拼成一個大的長方體（或正方體）后，表面積減少了，體積不變。
一厘米：拇指寬； 一分米：一搾長； 一米:米尺長。
一平方厘米：指甲表面大小 ；一平方分米：粉筆盒一面大小； 一平方米：粉筆盒一百個一面的大小 。
一立方厘米：拇指尖的體積； 一立方分米：粉筆盒一個的體積；一立方米：大約12個學生的體積 。
第四單元 分數的加法和減法
1、同分母分數加、減法：同分母分數相加、減，分母（不變），只把分子（相加減）。計算的結果，能約分的要約成（最簡分數）。
2、分母不同，也就是（分數單位不同），不能（直接）相加、減。
3、異分母分數的加減法：異分母分數相加、減，要先（通分），再按照（同分母分數加減法）的方法進行計算。
4、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的（順序相同）。在一個算式中，如果有（括號），應先算（括號里面的），再算（括號外面的）；如果只含有（同一級）運算，應從（左到右依次）計算。
5、整數加法的（交換律、結合律）對分數加法（同樣適用）。
第五單元 簡易方程
1、在含有字母的式子里，數字和字母。字母和字母之間的（乘號）可以記作“·”，也可以（省略不寫），數通常寫在字母的（前面）。（加號、減號除號以及數與數之間）的乘號（不能省略）。
2、a×a可以寫作（a·a0或 ， 讀作（a的平方）。??2a表示（a+a）
3、等式：表示相等關系的（式子）叫（等式）。
4、等式的性質：等式（左右兩邊）同時加、減、乘、除（相同的數）（0除外），等式（依然成立）。
5、方程：含有未知數的（等式)叫做(方程)。使方程左右兩邊相等的(未知數)的值，叫做(方程的解)。求方程的解的過程叫做解方程。解方程的格式要求：①必須寫(“解”并打上：)。②所有 = 對齊。③自覺進行(驗算)。
6、10個數量關系式：加法：和=(加數+加數) ??一個加數=(和-另一個加數)
減法：差=(被減數-減數) ???? 被減數=(差+減數)???? ? 減數=(被減數-差)
乘法：積=(因數×因數)?? ???一個因數=(積÷另一個因數)
除法：商=(被除數÷除數) ??? 被除數=(商×除數) ???? 除數=(被除數÷商)
7、所有的方程都是(等式)，但等式(不一定)都是方程。
8、方程的解是(一個數)，解方程是一個(計算過程)。
9、列方程解決問題的(步驟)：
?①弄清題意，找出未知數，用X表示。②分析找出數量之間的(等量關)，列方程。③解方程。④驗算，寫出答語。
第六單元 折線統計圖
折線統計圖：用一個單位長度表示一定的(數量)，根據數量的(多少)，描出(各點)，然后把(各點)用線段(順次連接起來)的統計圖。
折統計圖的特點：不但可以表示(數量的多少)，而且能清楚地反映數量的(增減變化趨勢)。
常用的數量關系式 1、每份數×份數＝總數 總數÷每份數＝份數 總數÷份數＝每份數
2、1倍數×倍數＝幾倍數 幾倍數÷1倍數＝倍數 幾倍數÷倍數＝1倍數
速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度
單價×數量＝總價 總價÷單價＝數量 總價÷數量＝單價
5、工作效率×工作時間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時間 工作總量÷工作時間＝工作效率
6、加數＋加數＝和 和－一個加數＝另一個加數
7、被減數－減數＝差 被減數－差＝減數 差＋減數＝被減數
8、因數×因數＝積 積÷一個因數＝另一個因數
9、被除數÷除數＝商 被除數÷商＝除數 商×除數＝被除數
小學數學圖形計算公式 1、正方形（C：周長 S：面積 a：邊長 ）周長＝邊長×4 C=4a 面積=邊長×邊長 S=a×a 2、正方體 （V:體積 a:棱長 ）表面積=棱長×棱長×6 S表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 V=a×a×a
3、長方形（ C：周長 S：面積 a：邊長 ） 周長=(長+寬)×2 C=2(a+b) 面積=長×寬 S=ab
4、長方體 （V:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高）
表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 體積=長×寬×高 V=abh
5、三角形 (s：面積 a：底 h：高） 面積=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高
6、平行四邊形 （s：面積 a：底 h：高） 面積=底×高 s=ah
7、梯形 （s：面積 a：上底 b：下底 h：高） 面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
1、總數÷總份數＝平均數 2、和差問題的公式 (和＋差)÷2＝大數 (和－差)÷2＝小數
3、和倍問題 和÷(倍數－1)＝小數 小數×倍數＝大數 (或者 和－小數＝大數)
4、差倍問題 差÷(倍數－1)＝小數 小數×倍數＝大數 (或 小數＋差＝大數)
5、相遇問題 相遇路程＝速度和×相遇時間 相遇時間＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇
換算方法：把高級單位化成低級單位乘進率；把高級單位聚成低級單位除以進率
常用單位換算 長度單位換算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面積單位換算 1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米 1平方米=100平方 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
體(容)積單位換算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量單位換算1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民幣單位換算 1元=10角 1角=10分 1元=100分
時間單位換算 1世紀=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 平年2月28天,閏年2月29天,平年全年365天,閏年全年366天 1日=24小時 1時=60分 1分=60秒1時=3600秒  運算定律 1. 加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，a+b=b+a 。
2. 加法結合律：
三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再和第一個數相加它們的和不變， （a+b)+c=a+(b+c) 。
乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把后兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，
(a×b)×c=a×(b×c) 。
5. 乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘再把兩個積相加，(a+b)×c=a×c+b×c 。
6. 減法的性質：從一個數里連續減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，a-b-c=a-(b+c) 。
運算順序
1. 小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。 2. 分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
3. 沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，后算加減法。
4. 有括號的混合運算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。
5. 第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。 6. 第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。
應用題 （一）整數和小數的應用
1 簡單應用題 （1） 簡單應用題：只含有一種基本數量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應用題。
（2） 解題步驟：
a 審題理解題意：了解應用題的內容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復述條件和問題，幫助理解題意。
b選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據所給的條件和問題，聯系四則運算的含義，分析數量關系，確定算法，進行解答并標明正確的單位名稱。
C檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正確，是否符合題意。如果發現錯誤，馬上改正。
2 復合應用題
（1）有兩個或兩個以上的基本數量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，通常叫做復合應用題。
（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。
求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。 比較兩數差與倍數關系的應用題。
（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。
已知兩數相差多少（或倍數關系）與其中一個數，求兩個數的和（或差）。
已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關系）。
（4）解答連乘連除應用題。 （5）解答三步計算的應用題。
（6）解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量關系、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，只是在已知數或未知數中間含有小數。
d答案：根據計算的結果，先口答，逐步過渡到筆答。
( 3 ) 解答加法應用題：
a求總數的應用題：已知甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。
b求比一個數多幾的數應用題：已知甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。
(4 ) 解答減法應用題：
a求剩余的應用題：從已知數中去掉一部分，求剩下的部分。
b求兩個數相差的多少的應用題：已知甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或乙數比甲數少多少。
c求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是多少。
(5 ) 解答乘法應用題：
a求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。
b求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求另一個數是多少。
( 6) 解答除法應用題：
a把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均分成幾份的，求每一份是多少。
b求一個數里包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。
C 求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的幾倍。
d已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。
（7）常見的數量關系 總價= 單價×數量 路程= 速度×時間 工作總量=工作時間×工效 總產量=單產量×數量
3典型應用題
（1）平均數問題： 解題關鍵：在于確定（總數量）和與之（相對應的總份數）。
平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：（數量之和÷數量的個數=平均數）。
加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。
數量關系式 :（部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。
差額平均數：是把各個大于或小于標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。
數量關系式：（大數－小數）÷2=小數應得數 最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數
最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。
例：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時間為 ，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時間是 ，汽車共行的時間為 + = , 汽車的平均速度為 2 ÷ =75 （千米）
（2）歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。
一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”
兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”
正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結果的歸一問題。
解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然后以它為標準，根據題目的要求算出結果。
數量關系式：單一量×份數=總數量（正歸一） 總數量÷單一量=份數（反歸一）
例 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米 ，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。
特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反。
數量關系式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量
例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4） 和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。
解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然后再求另一個數。
解題規律：（和＋差）÷2 = 大數 大數－差=小數 （和－差）÷2=小數 和－小數= 大數
例： 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數 關系，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。
解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數。求出倍數和之后，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關系，再去求另一個數或幾個數的數量。
解題規律：和÷倍數和=標準數 標準數×倍數=另一個數
例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛內，為了使總數與（ 5+1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛 。 列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛）
（6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。
解題規律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 標準數 標準數×倍數=另一個數。
例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。
（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵及規律：
同時同地相背而行： 路程=速度和×時間。
同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）： 路程=速度差×時間。
同時相向而行： 相遇時間=速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）： 追及時間=路程速度差。
例 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？
分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。
已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28 千米里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷（16-9 =4 （小時）
（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度 水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。 順速=船速＋水速
逆水速度：船逆流航行的速度。 逆速=船速－水速
解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。 解題時要以水流為線索。 解題規律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2
路程=順流速度× 順流航行所 需時間 路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例 一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？
分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時） 28 × 5=140 （千米）。
（9） 還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算后所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關系。
解題規律：從最后結果 出發，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。
根據原題的運算順序列出數量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數。
解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。
例 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等于平均數。四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。
（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。
解題規律：沿線段植樹 棵樹=段數+1 棵樹=總路程÷株距+1 株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1）
沿周長植樹： 棵樹=總路程÷株距 株距=總路程÷棵樹 總路程=株距×棵樹
例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數減掉一。列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。 他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足
例 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。
（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。
解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。
例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一只雞兔腿數的差=兔子只數
兔子只數=（總腿數-2×總頭數）÷2
如果假設全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2
兔的頭數=總頭數-雞的只數
例 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少只？
兔子只數 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）
雞的只數 50-35=15 （只）
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