資源簡(jiǎn)介

8.1　平方根
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力
2.了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算,會(huì)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
【新知要點(diǎn)】 【對(duì)點(diǎn)小練】
1.平方根 (1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)數(shù)x叫作a的平方根或二次方根. (2)表示與讀法:正數(shù)a的平方根可以用符號(hào)　±　表示,讀作　正、負(fù)根號(hào)a　. 1.“的平方根是±”,下列各式表示正確的是(B) A.=± B.±=± C.= D.±=
2.平方根的性質(zhì) (1)正數(shù)有　兩個(gè)　平方根,它們　互為相反數(shù)　. (2)0的平方根是　0　. (3)負(fù)數(shù)　沒(méi)有　平方根. 2.若2m-4與3m-1是同一個(gè)正數(shù)兩個(gè)不同的平方根,則m的值為(B) A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1
3.開(kāi)平方 (1)定義:求一個(gè)數(shù)的　平方根　的運(yùn)算,叫作開(kāi)平方. (2)平方與開(kāi)平方的關(guān)系:　互為逆運(yùn)算　. 3.因?yàn)?2=　16　,(-4)2=　16　,所以4和-4都是　16　的平方根.
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長(zhǎng)
重點(diǎn)1求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根(模型觀念)
【典例1】(教材再開(kāi)發(fā)·P40例1強(qiáng)化)
求下列各數(shù)的平方根:
(1)121;(2)2;(3)(-13)2; (4)-(-4)3.
【自主解答】(1)因?yàn)?±11)2=121,
所以121的平方根是±11;
(2)2=,因?yàn)?±)2=,
所以2的平方根是±;
(3)(-13)2=169,因?yàn)?±13)2=169,
所以(-13)2的平方根是±13;
(4)-(-4)3=64,因?yàn)?±8)2=64,
所以-(-4)3的平方根是±8.
【舉一反三】
1.若x2-9=0,則x的值為(C)
A.3 B.-3 C.±3 D.81
2.(1)的平方根為　±　;
(2)1.44的平方根為　±1.2　;
(3)(-2)2的平方根為　±2　;
(4)0.12的平方根為　±0.1　.
【技法點(diǎn)撥】
求一個(gè)數(shù)的平方根的方法
(1)對(duì)于易求出平方根的數(shù),通常先寫(xiě)出哪個(gè)數(shù)的平方等于已知數(shù),然后寫(xiě)出這個(gè)數(shù)的平方根.
(2)對(duì)于帶分?jǐn)?shù),應(yīng)先把其化為假分?jǐn)?shù),再求其平方根.
(3)對(duì)于不易求出平方根的正數(shù)a,其平方根為±,它的大小可以用計(jì)算器直接得出.
重點(diǎn)2平方根性質(zhì)的應(yīng)用(運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開(kāi)發(fā)·P41思考拓展)
(1)25的平方根是　　　　,
的平方根是　　　　　;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得:一個(gè)正數(shù)的平方根有　　　　　個(gè),它們互為　　　　　;
(3)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是4a-5和2-3a,求a及這個(gè)正數(shù).
【自主解答】(1)因?yàn)?±5)2=25,
所以25的平方根為±5.
因?yàn)?±)2=,所以的平方根為±.
答案:±5　±
(2)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).
答案:兩　相反數(shù)
(3)由題意得,4a-5+2-3a=0,解得a=3,
當(dāng)a=3時(shí),4a-5=7,2-3a=-7,
所以這個(gè)正數(shù)為(±7)2=49.
【舉一反三】
1.[數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化]中國(guó)清代學(xué)者華蘅芳和英國(guó)人傅蘭雅合譯英國(guó)瓦里斯的《代數(shù)術(shù)》,卷首有“代數(shù)之法,無(wú)論何數(shù),皆可以任何記號(hào)代之”,說(shuō)明了所謂“代數(shù)”,就是用符號(hào)來(lái)代表數(shù)的一種方法.若一個(gè)正數(shù)的平方根分別是2a-3和5-a,則這個(gè)正數(shù)是　49　.
2.若m是169的正的平方根,n是121的負(fù)的平方根,求:
(1)m+n的值;
(2)(m+n)2的平方根.
【解析】(1)因?yàn)?32=169,所以m=13.
因?yàn)?-11)2=121,所以n=-11,
所以m+n=13+(-11)=2;
(2)因?yàn)?m+n)2=4=(±2)2,
所以(m+n)2的平方根是±2.
【技法點(diǎn)撥】
依據(jù)平方根的性質(zhì)求字母的值的思路
(1)若已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根,則這兩個(gè)平方根互為相反數(shù);
(2)若已知兩個(gè)數(shù)都是一個(gè)正數(shù)的平方根,則這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù).
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運(yùn)算能力)0.04的平方根是(B)
A.0.2 B.±0.2 C.0.02 D.±0.02
2.(4分·推理能力)平方根等于它本身的數(shù)是(B)
A.-1 B.0 C.1 D.±1
3.(4分·推理能力)下列說(shuō)法中,正確的是(C)
A.正數(shù)的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一個(gè)平方根
D.-1的平方根是-1
4.(8分·運(yùn)算能力)求下列各式的平方根.
①36; ②; ③; ④0.01.
【解析】①±=±6;②±=±;
③±=±;④±=±0.1.
訓(xùn)練升級(jí),請(qǐng)使用　“課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià) 九”8.1　平方根
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力
2.了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算,會(huì)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
【新知要點(diǎn)】 【對(duì)點(diǎn)小練】
1.平方根 (1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)數(shù)x叫作a的平方根或二次方根. (2)表示與讀法:正數(shù)a的平方根可以用符號(hào) 表示,讀作 . 1.“的平方根是±”,下列各式表示正確的是( ) A.=± B.±=± C.= D.±=
2.平方根的性質(zhì) (1)正數(shù)有 平方根,它們 . (2)0的平方根是 . (3)負(fù)數(shù) 平方根. 2.若2m-4與3m-1是同一個(gè)正數(shù)兩個(gè)不同的平方根,則m的值為( ) A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1
3.開(kāi)平方 (1)定義:求一個(gè)數(shù)的 的運(yùn)算,叫作開(kāi)平方. (2)平方與開(kāi)平方的關(guān)系: . 3.因?yàn)?2= ,(-4)2= ,所以4和-4都是 的平方根.
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長(zhǎng)
重點(diǎn)1求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根(模型觀念)
【典例1】(教材再開(kāi)發(fā)·P40例1強(qiáng)化)
求下列各數(shù)的平方根:
(1)121;(2)2;(3)(-13)2; (4)-(-4)3.
【舉一反三】
1.若x2-9=0,則x的值為( )
A.3 B.-3 C.±3 D.81
2.(1)的平方根為 ;
(2)1.44的平方根為 ;
(3)(-2)2的平方根為 ;
(4)0.12的平方根為 .
【技法點(diǎn)撥】
求一個(gè)數(shù)的平方根的方法
(1)對(duì)于易求出平方根的數(shù),通常先寫(xiě)出哪個(gè)數(shù)的平方等于已知數(shù),然后寫(xiě)出這個(gè)數(shù)的平方根.
(2)對(duì)于帶分?jǐn)?shù),應(yīng)先把其化為假分?jǐn)?shù),再求其平方根.
(3)對(duì)于不易求出平方根的正數(shù)a,其平方根為±,它的大小可以用計(jì)算器直接得出.
重點(diǎn)2平方根性質(zhì)的應(yīng)用(運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開(kāi)發(fā)·P41思考拓展)
(1)25的平方根是 ,
的平方根是 ;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得:一個(gè)正數(shù)的平方根有 個(gè),它們互為 ;
(3)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是4a-5和2-3a,求a及這個(gè)正數(shù).
【舉一反三】
1.[數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化]中國(guó)清代學(xué)者華蘅芳和英國(guó)人傅蘭雅合譯英國(guó)瓦里斯的《代數(shù)術(shù)》,卷首有“代數(shù)之法,無(wú)論何數(shù),皆可以任何記號(hào)代之”,說(shuō)明了所謂“代數(shù)”,就是用符號(hào)來(lái)代表數(shù)的一種方法.若一個(gè)正數(shù)的平方根分別是2a-3和5-a,則這個(gè)正數(shù)是 .
2.若m是169的正的平方根,n是121的負(fù)的平方根,求:
(1)m+n的值;
(2)(m+n)2的平方根.
【技法點(diǎn)撥】
依據(jù)平方根的性質(zhì)求字母的值的思路
(1)若已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根,則這兩個(gè)平方根互為相反數(shù);
(2)若已知兩個(gè)數(shù)都是一個(gè)正數(shù)的平方根,則這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù).
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運(yùn)算能力)0.04的平方根是( )
A.0.2 B.±0.2 C.0.02 D.±0.02
2.(4分·推理能力)平方根等于它本身的數(shù)是( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
3.(4分·推理能力)下列說(shuō)法中,正確的是( )
A.正數(shù)的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一個(gè)平方根
D.-1的平方根是-1
4.(8分·運(yùn)算能力)求下列各式的平方根.
①36; ②; ③; ④0.01.8.1　平方根
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.通過(guò)實(shí)際生活中的例子認(rèn)識(shí)算術(shù)平方根. 抽象能力、模型觀念
2.了解算術(shù)平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的算術(shù)平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力、模型觀念
3.會(huì)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根,會(huì)用計(jì)算器求算術(shù)平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢(shì) 向上向陽(yáng)
【新知要點(diǎn)】 【對(duì)點(diǎn)小練】
1.算術(shù)平方根 (1)定義:正數(shù)a有 個(gè)平方根,其中 的平方根叫作a的算術(shù)平方根. (2)記法與讀法:正數(shù)a的算術(shù)平方根記作 ,讀作 . 2.0的算術(shù)平方根 0的算術(shù)平方根是 ,也就是說(shuō)= . 1.(1)52的算術(shù)平方根是 ; (2)(-5)2的算術(shù)平方根是 ; (3)x2的算術(shù)平方根是 ; (4)(x+2)2的算術(shù)平方根是 . 2. 的算術(shù)平方根是0.
3.的雙重非負(fù)性 被開(kāi)方數(shù)a是 ,是 . 3.若+=0,則ab等于( )　　　　　　　　　　　 A.6 B.-6 C.1 D.-1
4.算術(shù)平方根的求法 (1)根據(jù)算術(shù)平方根的定義,用 的方法; (2)利用計(jì)算器. 4.已知≈11.09, ≈35.07, 那么≈ .
5.比較算術(shù)平方根的大小 被開(kāi)方數(shù)越大,算術(shù)平方根 . 5.比較大小: 2.
6.帶分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根 當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時(shí),應(yīng)先將其化為 ,再求其算術(shù)平方根. 6.化簡(jiǎn):= .
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
重點(diǎn)1 求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根(運(yùn)算能力)
【典例1】(教材再開(kāi)發(fā)·P42例3拓展)
求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.
(1)169;　　　　(2)0.09; (3)2;　　　　(4) (-)2.
【舉一反三】
1.(2024·石家莊模擬)化簡(jiǎn)的結(jié)果是( )
A.±4 B.4 C.2 D.±2
2.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.
①1.96; ②; ③; ④289.
【技法點(diǎn)撥】
求算術(shù)平方根的方法
(1)熟記常用的平方數(shù)可迅速求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.
(2)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)或其中含有運(yùn)算時(shí),應(yīng)先將其化為假分?jǐn)?shù)或進(jìn)行整理,再求其算術(shù)平方根.
(3)對(duì)于開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù),求其算術(shù)平方根時(shí),直接根據(jù)定義進(jìn)行表示,如5的算術(shù)平方根是,然后利用計(jì)算器計(jì)算出其算術(shù)平方根,注意精確度.
重點(diǎn)2 算術(shù)平方根的應(yīng)用(應(yīng)用意識(shí))
【典例2】(教材再開(kāi)發(fā)·P42探究強(qiáng)化)
小明打算用如圖一塊面積為900 cm2的正方形木板,沿著邊的方向裁出一個(gè)面積為768 cm2的長(zhǎng)方形桌面,桌面的長(zhǎng)寬之比為4∶3,你認(rèn)為他能做到嗎 如果能,計(jì)算出桌面的長(zhǎng)和寬;如果不能,說(shuō)明理由.
【舉一反三】
將邊長(zhǎng)分別為1和2的長(zhǎng)方形如圖剪開(kāi),拼成一個(gè)與長(zhǎng)方形面積相等的正方形,則該正方形的邊長(zhǎng)是( )
A. B. C. D.2
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)“a的算術(shù)平方根”表示為( )
A.± B.- C. D.a2
2.(3分·運(yùn)算能力)的算術(shù)平方根是( )
A. B.- C. D.±
3.(3分·應(yīng)用意識(shí))面積為5的正方形邊長(zhǎng)為 .
4.(3分·推理能力)如果+y2=0,那么x+y= .
5.(8分·運(yùn)算能力)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:
(1)64;　(2)0.25;　(3)1;　(4)0.01.8.1　平方根
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.通過(guò)實(shí)際生活中的例子認(rèn)識(shí)算術(shù)平方根. 抽象能力、模型觀念
2.了解算術(shù)平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的算術(shù)平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力、模型觀念
3.會(huì)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根,會(huì)用計(jì)算器求算術(shù)平方根. 抽象能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢(shì) 向上向陽(yáng)
【新知要點(diǎn)】 【對(duì)點(diǎn)小練】
1.算術(shù)平方根 (1)定義:正數(shù)a有　兩　個(gè)平方根,其中　正　的平方根叫作a的算術(shù)平方根. (2)記法與讀法:正數(shù)a的算術(shù)平方根記作 　,讀作　根號(hào)a　. 2.0的算術(shù)平方根 0的算術(shù)平方根是　0　,也就是說(shuō)=　0　. 1.(1)52的算術(shù)平方根是　5　; (2)(-5)2的算術(shù)平方根是　5　; (3)x2的算術(shù)平方根是　|x|　; (4)(x+2)2的算術(shù)平方根是　|x+2|　. 2.　0　的算術(shù)平方根是0.
3.的雙重非負(fù)性 被開(kāi)方數(shù)a是　非負(fù)數(shù)　,是　非負(fù)數(shù)　. 3.若+=0,則ab等于(B)　　　　　　　　　　　 A.6 B.-6 C.1 D.-1
4.算術(shù)平方根的求法 (1)根據(jù)算術(shù)平方根的定義,用　平方　的方法; (2)利用計(jì)算器. 4.已知≈11.09, ≈35.07, 那么≈　3.51　.
5.比較算術(shù)平方根的大小 被開(kāi)方數(shù)越大,算術(shù)平方根　越大　. 5.比較大小:　<　2.
6.帶分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根 當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時(shí),應(yīng)先將其化為　假分?jǐn)?shù)　,再求其算術(shù)平方根. 6.化簡(jiǎn):= 　.
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
重點(diǎn)1 求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根(運(yùn)算能力)
【典例1】(教材再開(kāi)發(fā)·P42例3拓展)
求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.
(1)169;　　　　(2)0.09; (3)2;　　　　(4) (-)2.
【自主解答】(1)因?yàn)?32=169,
所以169的算術(shù)平方根是13,即=13;
(2)因?yàn)?0.3)2=0.09,所以0.09的算術(shù)平方根是0.3,即=0.3.
(3)因?yàn)?)2==2,所以2的算術(shù)平方根是,即=;
(4)因?yàn)?)2=(-)2,所以(-)2的算術(shù)平方根是,即=.
【舉一反三】
1.(2024·石家莊模擬)化簡(jiǎn)的結(jié)果是(B)
A.±4 B.4 C.2 D.±2
2.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.
①1.96; ②; ③; ④289.
【解析】①=1.4;②=;③=;④=17.
【技法點(diǎn)撥】
求算術(shù)平方根的方法
(1)熟記常用的平方數(shù)可迅速求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.
(2)當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)或其中含有運(yùn)算時(shí),應(yīng)先將其化為假分?jǐn)?shù)或進(jìn)行整理,再求其算術(shù)平方根.
(3)對(duì)于開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù),求其算術(shù)平方根時(shí),直接根據(jù)定義進(jìn)行表示,如5的算術(shù)平方根是,然后利用計(jì)算器計(jì)算出其算術(shù)平方根,注意精確度.
重點(diǎn)2 算術(shù)平方根的應(yīng)用(應(yīng)用意識(shí))
【典例2】(教材再開(kāi)發(fā)·P42探究強(qiáng)化)
小明打算用如圖一塊面積為900 cm2的正方形木板,沿著邊的方向裁出一個(gè)面積為768 cm2的長(zhǎng)方形桌面,桌面的長(zhǎng)寬之比為4∶3,你認(rèn)為他能做到嗎 如果能,計(jì)算出桌面的長(zhǎng)和寬;如果不能,說(shuō)明理由.
【解析】不能裁出長(zhǎng)寬之比為4∶3的長(zhǎng)方形桌面.理由如下:
設(shè)桌面的長(zhǎng)為4x cm,寬為3x cm,
根據(jù)題意,得4x·3x=768,
整理,得x2=64.因?yàn)閤>0,所以x=8,
所以桌面的長(zhǎng)為4x=32,寬為3x=24.
因?yàn)檎叫文景宓拿娣e為900 cm2,
所以正方形木板的邊長(zhǎng)為30 cm.因?yàn)?2>30,
所以不能裁出長(zhǎng)寬之比為4∶3的長(zhǎng)方形桌面.
【舉一反三】
將邊長(zhǎng)分別為1和2的長(zhǎng)方形如圖剪開(kāi),拼成一個(gè)與長(zhǎng)方形面積相等的正方形,則該正方形的邊長(zhǎng)是(C)
A. B. C. D.2
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)“a的算術(shù)平方根”表示為(C)
A.± B.- C. D.a2
2.(3分·運(yùn)算能力)的算術(shù)平方根是(C)
A. B.- C. D.±
3.(3分·應(yīng)用意識(shí))面積為5的正方形邊長(zhǎng)為 　.
4.(3分·推理能力)如果+y2=0,那么x+y=　1　.
5.(8分·運(yùn)算能力)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:
(1)64;　(2)0.25;　(3)1;　(4)0.01.
【解析】(1)=8;(2)=0.5;(3)==;(4)=0.1.

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